2022年江西省吉安市高考文科數(shù)學押題試卷及答案解析

2022年江西省吉安市高考文科數(shù)學押題試卷

本試卷滿分150分?？荚囉脮r120分鐘。

注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的市(縣、區(qū))、學校、班級、姓名、考場號、座

位號和考生號填寫在答題卡上。將條形碼橫貼在每張答題卡右上角“條形碼

粘貼處”。

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對應題目選項

的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不

能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目

指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先畫掉原來的答案，然后再寫上新答案；

不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，將試卷和答題卡一并交回。

一、單項選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只

有一個選項是符合題目要求的.

1.集合A={x|4x-/<0},B={x|2r<5},則AUB=()

A.(-co,|)u(4,+oo)B.(-°°,0)

C.(-oo,0)U(|,+oo)D.(-8,4)

2.已知復數(shù)z(1-z)在復平面內對應點的坐標為(2,1),則復數(shù)z的虛部為()

3333

A.—iB.—C.一iD.一5

2222

3.電力工業(yè)是一個國家的經濟命脈，它在國民經濟和人民生活中占有極其重要的地位.目

前開發(fā)的電力主要是火電，水電、風電、核電、太陽能發(fā)電，其中，水電、風電、太陽

能發(fā)電屬于可再生能源發(fā)電.如圖所示的是2020年各電力行業(yè)發(fā)電量及增幅的統(tǒng)計圖,

下列說法錯誤的是()

2020年各電力行業(yè)發(fā)電量及增幅

■發(fā)電量(萬億度)?熠幅

B.在火電，水電、風電、核電、太陽能發(fā)電量中，比上一年增幅最大的是風電

第1頁共25頁

C.火電，水電、風電、核電、太陽能發(fā)電的發(fā)電量的極差是7.28

D.以上可再生能源發(fā)電量的增幅均跑贏全行業(yè)整體增幅

4.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間（-8,0）上單調遞減的是（）

A.y=x2+lB.y=[C.y=xiD.y=2'x

5.“Iog2a>k>g2b”是"2">2b”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.如圖，設P在aABC的內部，D、E是邊AB、AC的中點（。、P、E三點不共線），PE

=2PD=2,盛?而=-4,則向量訪與赤的夾角大小為（）

C1

7.已知△45。的內角A,B,。的對邊分別為小b,c,若A=28,且A為銳角，則工+——

bcosA

的最小值為（）

A.2>/2+1B.3C.2V2+2D.4

8.過點P（-2,0）的直線與拋物線C：/=4x相交于A,8兩點，且|PA|=罰48],則點

A到原點的距離為（）

52歷2V7

A.-B.2C.-----D.-----

323

9.設隨機變量E?B（2,p）,…（4,p）,若P&>1）=|,則P（欄2）的值為（）

32116516

A.-B.-C.-D.一

81278181

10.若靖2ZeM+dk在R上恒成立，則實數(shù)★的取值范圍為（）

A.反1B.04W1C.e1D.iWkWe

11.已知函數(shù)/（x）=a7-x+/nr有兩個不同的極值點xi，xi,若不等式/（xi）（X2）>

2（xi+x2）+f有解，則f的取值范圍是（）

A.(-8,-21n2)B.(一8,-2ln2]

C.(-8,-11+2加2)D.(-8,-U+2仇2]

第2頁共25頁

12.已知雙曲線C：=l（a>0,b>0）的左、右焦點分別為Fi，F(xiàn)2,實軸長為2,漸

近線方程為y=±±x，IMF1ITMF2l=2,點N在圓Q：/+/-2），=0上，則

的最小值為（）

35

-2-a3

A.2B.2

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

3%—y—6<0

：二：+220,則目標函數(shù)z=2x+y最大值為.

{y>o

14.在棱長為1的正方體ABCO-AiBiCiOi中，點〃是對角線AG上的動點（點M與A,

Ci不重合），則下列結論正確的是.

①存在點M,使得平面AiQML平面BCiD；

②存在點M,使得。M〃平面BiCDi；

③△AiOM的面積不可能等于f：

6

④若Si，S2分別是△AbDM在平面4B1GO1與平面B81CC的正投影的面積，則存在點

M,使得Si=S2-

15.已知二項式（黃-％）8的展開式中含/項的系數(shù)為16,則實數(shù)”的值是.

16.己知Fi，&是橢圓C；務丫2=19>1）的兩個焦點，且橢圓上存在一點P,使得

4&PF2=冬，則橢圓C的離心率的最小值為.若點M,N分別是圓Q：x2+（y

-3）2=3和橢圓C上的動點，當橢圓C的離心率取得最小值時，|M/V|+|NF2|的最大值

是

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三、解答題：本題共7小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

1111

17.已知數(shù)列｛斯｝的前"項和為S”，且滿足「-+"7京+…+，丁=1一藐。

1+511+521+S九2'

(1)求證：數(shù)列｛彳±-｝是等比數(shù)列；

■L十3九

(2)若數(shù)列｛與｝滿足%=T-~g,求數(shù)列出"｝的前n項和T,,.

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18.某校對甲、乙兩個文科班最近一次的數(shù)學考試成績進行分析，統(tǒng)計成績后，得到如下的

2X2列聯(lián)表，且已知在甲、乙兩個文科班全部100人中隨機抽取1人，該人的數(shù)學成績

3

為優(yōu)秀的概率為二.

優(yōu)秀非優(yōu)秀總計

甲班10

乙班30

總計100

(I)請完成上面的列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，判斷是否有95%的把握認為“數(shù)

學成績是否優(yōu)秀與班級有關系”；

(II)按下面的方法從甲班優(yōu)秀的學生中抽取若干人：先把甲班優(yōu)秀的10名學生從1到

10進行編號，再同時拋擲兩枚相同的骰子(骰子是質地均勻的)，將序號比兩枚骰子擲得

的點數(shù)之和小的所有學生抽出，求抽到9號學生的概率.

參考公式：0=口物圖鼠%b+d)，其中〃="+/，+，+”?

參考數(shù)據(jù):

p/))0.100.050.0250.0100.0050.001

例2.7063.8415.0246.6357.87910.828

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19.如圖所示，在多面體BC-AOE中，△AOE為正三角形，平面ABC￡>_L平面ADE,且

BC//AD,ZBAD=60°,ZCDA=30°,AB=BC=2.

(I)求證：ADLCE；

(ID求直線CD與平面BCE所成角的正弦值

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20.已知橢圓C：當+彳=l（a>b>0）的左、右焦點分別為Fi，F(xiàn)2,且尸畫=2,點M（百，

Qb

空）在橢圓C上.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）P為橢圓C上一點，射線PFi，分別交橢圓C于點A,B,試問粵+粵是

|BF2|

否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

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1Q

21.已知函數(shù)/(汽)=+]/+ax(〃€R),5(X)=ex+-2x2—x,

(1)當a=-4時，求函數(shù)/(x)的極值；

(2)定義：對于函數(shù)/(x),若存在次，使/(xo)=必成立，則稱xo為函數(shù)的不動點,

如果函數(shù)尸(x)=/(x)-g(x)存在不動點，求實數(shù)。的取值范圍.

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口一2*區(qū)

22.在直角坐標系xOy中，直線人的參數(shù)方程為112。為參數(shù))，以坐標原點O

(y=/

為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為p=2cos&

(1)求直線/1的普通方程和C的直角坐標方程；

(2)若直線/1與C交于兩點(4點的橫坐標小于3點的橫坐標)，直線/2：e=|(PGR)

與直線1\交于點P,求

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23.已知f(x)是定義在［-5,5］上的奇函數(shù)，且/(-5)=-2,若對任意的nel-5,

「一c切右f(7n)+"n)、c

5］,都有---------->0.

m+n

(1)若/(為-1)V-(3〃-3),求。的取值范圍.

(2)若不等式/(X)W(67-2)計5對任意小［-5,5］和響-3,0］都恒成立，求，的

取值范圍.

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2022年江西省吉安市高考文科數(shù)學押題試卷

參考答案與試題解析

一、單項選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只

有一個選項是符合題目要求的.

1.集合4={x|4x-/<0},B={x|2x<5},則AU8=()

A.(-oo,|)u(4,+oo)B.(-8,o)

C.(-oo,0)U(|,+8)D.(-8,4)

【解答】解：4=34尸/<0}={小>4或》<0},

B=W2x<5}={x|x<1},

5

則AU8=(-co,-)u(4,+8),

2

故選：A.

2.已知復數(shù)z(1-z)在復平面內對應點的坐標為(2,1),則復數(shù)z的虛部為()

3333

A.-iB.-C.一十D.一得

2222

【解答】解：???復數(shù)z(1-/)在復平面內對應點的坐標為(2,1),

Az(1-/)=2+i,

2+i_(2+i)(l+0_l3

,,z-l=i-(l-i)(l+i)-2+21,

3

???復數(shù)z的虛部為一.

故選：B.

3.電力工業(yè)是一個國家的經濟命脈，它在國民經濟和人民生活中占有極其重要的地位.目

前開發(fā)的電力主要是火電，水電、風電、核電、太陽能發(fā)電，其中，水電、風電、太陽

能發(fā)電屬于可再生能源發(fā)電.如圖所示的是2020年各電力行業(yè)發(fā)電量及增幅的統(tǒng)計圖,

下列說法錯誤的是()

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2020年各電力行業(yè)發(fā)電量及增幅

■發(fā)電量（萬億度）?增幅

B.在火電，水電、風電、核電、太陽能發(fā)電量中，比上一年增幅最大的是風電

C.火電，水電、風電、核電、太陽能發(fā)電的發(fā)電量的極差是7.28

D.以上可再生能源發(fā)電量的增幅均跑贏全行業(yè)整體增幅

【解答】解：對于A,火電發(fā)電量大約占全行業(yè)發(fā)電量為三竺，0.71,故選項A正確；

7.42

對于8,由折線圖可知，風電增幅為10.50%,是增幅最大的，故選項8正確；

對于C,火電，水電、風電、核電、太陽能發(fā)電的發(fā)電量的極差是5.28-0.14=5.14,故

選項C錯誤；

對于Z）,由折線圖可得，可再生能源發(fā)電量的增幅均跑贏全行業(yè)整體增幅，故選項。正

確.

故選：C.

4.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間（-8,0）上單調遞減的是（）

A.y=/+lB.y=[C.y—^D.y—2x

【解答】解：A.y=/+l是偶函數(shù)，滿足在區(qū)間（-8,o）上單調遞減，

是奇函數(shù)，不滿足條件.

C.y=/是奇函數(shù)，不滿足條件.

D.y=2'是非奇非偶函數(shù)，不滿足條件.

故選：A.

5.“l(fā)og2a>log2〃'是"2。>2"”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

第12頁共25頁

【解答】解：2a>2h^a>b,

當?<0或b<0時，不能得到log2a>log26，

反之由log2a>log2。即：a>b>0可得2">2,成立.

“l(fā)og2a>log2〃'是"2">2"的充分不必要條件.

故選：A.

6.如圖，設P在△ABC的內部，D、E是邊48、AC的中點（。、P、E三點不共線），PE

=2PD=2,BC-PD=-4,則向量訪與病的夾角大小為（）

【解答】解：連接。E,如圖:

因為。、E是邊48、4c的中點，DE//BC,DE=

故DE=/8C,

—>T->—?T—>—>—>

J.BC'PD=2DE-=2(PE—PD)-PD=2PE-PD-2PD2=2\PE\*\PD\*cosZDPE-

2PD2=4cosZDPE-2=-4,

故cosZDPE=-1，

又NDPEW(0°,180°),

故NOPE=120°,

即向量而與藁的夾角大小為120°,

故選：B.

c1

7.已知AABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若4=28,且4為銳角，則一+——

bcosA

第13頁共25頁

的最小值為()

A.2V2+1B.3C.2V2+2D.4

【解答】解:因為sinC=sin(A+B)

=siiiAcosB+cosAsinB

=sin2BcosB+cos2BsinB

=2sinBcos2B+(2cos2B-1)sinB

=sin8(4COS2B-1)

=sinB(2cos2B+l)

因為sinC=sinB(2cosA+l),BPc=b(2cosA+l),

所以丁=2cosA+l,

b

因為A為銳角，cosA>0,

c11_

則一+----=2cosA+—5-r+1>2V2+1,

bcosAcosA

當且僅當2cosA=蔡，即cosA=￥時，等號成立，

C1L

則工+—7的最小值為2V2+1.

bcosA

故選：A.

8.過點P(-2,0)的直線與拋物線C：y2=4x相交于A,B兩點,且|PA|則點

A到原點的距離為()

52^/6277

A.-B.2C.-----D?-----

323

【解答】解：設直線AB的方程為》=沖-2,代入/=4x可得丁-4沖+8=0,

設A(xi，yi),B(X2，")，則yi”=8,①

'：\PA\=^\AB\,：.\PA\=^\PB\,二”=30,②

由①②可得y/=|,代入>2=4x可得巾=|,

22

\OA\=yjxy+yx-挈.

故選：D.

9.設隨機變量Y-B(2,p),n?B(4,p),若>1)=|,則P(n22)的值為()

32116516

A.—B.—C.—D.—

81278181

第14頁共25頁

【解答】解：,隨機變量F?B(2,p),P(f>1)=

2=|,

...p_-31

1

(4,

:?P5》2)=冊(32X(|)2+廢0)3X(|)1+4()4(|)0=11,

故選:B.

10.若e/Ne,+mk在R上恒成立，則實數(shù)人的取值范圍為()

A.ZW1B.0CAW1C.⑶D.IWkWe

【解答】解：若#>ex2+切k在R上恒成立，

則lnk<ex2-ex1在R恒成立，

令/=r,則信0,

則/"ZWe'-ef在te[0,+°°)恒成立，

令力(t)=e'-et,(f20),則》(t)=e'-e,

令h'(r)>0,解得：f>l,令h'⑺<0,解得：0Wf<l,

故/z(/)在[0,1)遞減，在(1,+8)遞增，

故/z(r)min—h(1)=0,

故加two,解得：0V&W1,

故選：B.

11.已知函數(shù)/(x)-x+濃有兩個不同的極值點XI，XI,若不等式/(XI)+/,(X2)>

2(xi+%2)+f有解，則，的取值范圍是()

A.(-8,-2歷2)B.(-8,-2ln2]

C.(-8,-n+2/n2)D.(-8,-n+2/n2]

2ax2x+1

【解答】解：根據(jù)條件f(x)=-(y>o),

因為函數(shù)/(x)=〃/-x+加:有兩個不同的極值點K，X2,

所以方程加好-x+l=0有兩個不相等的正實數(shù)根，則2a,解得OVqV左

1-8a>0

若不等式/(XI)4/(X2)>2(幻+%2)+，有解，

所以+f(X2)-2(X1+X2)]rnax-

第15頁共25頁

ax

因為/(%1)+/(%2)-2(%i+X2)=l-%1+m%1+?%2—%2+6工2-2(XX+%2)=

2

a[(xi+x2)-2%I%2]-3(xj+x2)+/n(Xi%2)=一詬一1一m(2a).

設/i(a)=—微^—1—/n(2cz)(0Vavg),'>0,

故力(a)在(0,/)上單調遞增，

故/i(a)=-11+2ln2,

所以t<-11+2歷2,

所以f的取值范圍是(-8,-11+2/?2).

故選：C.

12.已知雙曲線C：A，=l(a>0,b>0)的左、右焦點分別為乃，F(xiàn)2,實軸長為2,漸

近線方程為y=±1x,\MF\\-\MF2\=2,N在圓Q：/+/-2y=0上，則

的最小值為()

35

-氏2c-a3

A.22

【解答】解：因為|M『HTMF2|=2=2m所以點M在雙曲線。右支上，因為漸近線方程

為y=±9，所以b=2，c=與,尸2(.，0).圓Q：/+y2-2y=0,即/+(y-1)2

=1,設圓心為4(0,1),

則有|MN|+\MFr\>\MA\-1+2+\MF2\>\AF2\+1=^,

故選：C.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

3%—y—6<0

^-^+2-°,則目標函數(shù)z=2x+v最大值為14.

{y>o

【解答】解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：

由z=2x+y得y=-2x+z,

平移直線y=-2x+z,

由圖象可知當直線y=-2%+z經過點A時，y=-2x+z的截距最大，此時z最大.

山tc-y+2=0'

第16頁共25頁

解得[J]3即4(4,6),

代入z=2x+y=2X4+6=14.

即目標函數(shù)z=2x+y最大值為14.

故答案為：14.

14.在棱長為1的正方體A8CZ)-48iCiDi中，點M是對角線AG上的動點(點M與A,

。不重合)，則下列結論正確的是①②④.

①存在點M,使得平面平面BC1D；

②存在點M,使得QM〃平面BiCQi；

③△4。m的面積不可能等于一；

6

④若Si，S2分別是△4DW在平面4B1C1O1與平面B8C1C的正投影的面積，則存在點

M，使得5=52?

【解答】解：以Di為坐標原點，DiCi，所在直線為x,y,z軸建立直角坐標

系，可得Ai(1,0,0),D(0,0,1),B(1,1,1),Ci(0,1,0),

連接8C，設平面A181C。與對角線4cl交于“，

由BGBCi,DCIBCi，可得8。_L平面AiSCZ),

存在點M,使得平面AiOM,平面8。。，故①正確；

第17頁共25頁

由A\D//B\C,可得平面AiBO〃平面BiOiC,

設平面48。與對角線AC交于M,可得。M〃平面81c￡>i，故②正確；

設M(r,1-t,t),0<t<\,可得HIO|=VL\MD\=\MAI\=V3t2-4t+2,

可得△4DW的面積為a?J3t2-4t+9^3(t—|)2+>看

7A/3

可得時，△AiOM的面積等于g故③錯誤；

J6

設△4。例在平面AiBiCid與平面BBCC的正投影分別為△4G7,△BiCN,

1

由M(31-f,力，可得T(f,1-f,0),可得S1="1-f),

由M(f,1-f,f),可得N(f,1,f),可得$2=V2*V2|/—^|—|f—

2

由S1=S2,可得f=0或3故④正確.

故答案為：①②④.

15.已知二項式（￡一%）8的展開式中含/項的系數(shù)為16,則實數(shù)“的值是-2.

【解答】解：???二項式嗡一》）8展開式中的通項公式為％]=（-1）,％?小『./24+%

令-24+4r=4,求得r=7,可得含丁項的系數(shù)為（-1）7d.“=m，則實數(shù)“=-2,

故答案為：-2.

16.己知Fi,尸2是橢圓C：務必=i（a>l）的兩個焦點，且橢圓上存在一點P,使得

Z-F1PF2=則橢圓C的離心率的最小值為若點M,N分別是圓O：?+（y

-3）2=3和橢圓C上的動點，當橢圓C的離心率取得最小值時，|MM+|NF2|的最大值是

4+3V3.

【解答】解：如圖，當動點尸在橢圓長軸端點處沿橢圓弧向短軸端點運動時，

P對兩個焦點的張角NBPF2漸漸增大，當且僅當P點位于短軸端點此處時，

張角/QPF2達到最大值.

第18頁共25頁

由橢圓上存在一點P,使得NF1PF2=等，

可得△P0F1F2中，ZFIPOF2>可得RtAPoOF2中，ZOPoF2>|,

71V3V3

sinZOPo^^sin-=—，即一>—,

32a2

V3

橢圓離心率e的最小值為一，

2

由b=l,a2-c2=1,-=—,解得a=2,c=V3,

a2

圓O：/+(y-3)2=3的圓心D(0,3),半徑=V3,

INQI+IN乃|=2a=4,\MN\+\NF2\=4+\MN\-\NF\\,

而|MM-|NQ|的最大值，可求|￡W|-|NB|的最大值，

當D,Fi，N共線時，|M7V|-|NQ|取得最大值4+E+|OFI|=4+V5+2V5=4+3V5,

故答案為：4+3V3.

2

三、解答題：本題共7小題，共70分?解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

1111

17.已知數(shù)列｛〃〃｝的前〃項和為S”且滿足丁■二+—｝+???+—―=1--.

1+3]l+b21+3九N'

（1）求證：數(shù)列q占｝是等比數(shù)列；

（2）若數(shù)列｛仇｝滿足%=77；~封“沖,求數(shù)列｛為｝的前〃項和T,”

（。九+1十十

111111

【解答】解：（1）證明：由；++…+=1-藐，〃22時，——++

1+S11+?^21+S九2T+5T1+?5）2

…肅；=1一/，相減可得：念=1一次一（1一號”會

11111111

*/----=1—5=5，滿足上式，時，----+-------=--j-=~,

n

1+Si22i+sn1+Sn_i22n一12

第19頁共25頁

工數(shù)列｛彳%｝是等比數(shù)列，首項與公比都為之

,十Jn2

11

(2)由(1)可得：——=—,：.S=2n-1,

nn

l+sn2

,,_|

w22時,,an=Sn-Sn-\=2"-1-(2-1)=2"”，

〃=1時，41=1,也滿足上式.

數(shù)列出，，讖足b=(%高(5)=談與和=冷一品’

...數(shù)列｛為｝的前〃項和刀尸治―白+白一卷+…+齊"一七=?六.

18.某校對甲、乙兩個文科班最近一次的數(shù)學考試成績進行分析，統(tǒng)計成績后，得到如下的

2X2列聯(lián)表，且已知在甲、乙兩個文科班全部100人中隨機抽取1人，該人的數(shù)學成績

3

為優(yōu)秀的概率為二.

優(yōu)秀非優(yōu)秀總計

甲班10

乙班30

總計100

(I)請完成上面的列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，判斷是否有95%的把握認為“數(shù)

學成績是否優(yōu)秀與班級有關系”；

(II)按下面的方法從甲班優(yōu)秀的學生中抽取若干人：先把甲班優(yōu)秀的10名學生從1到

10進行編號，再同時拋擲兩枚相同的骰子(骰子是質地均勻的)，將序號比兩枚骰子擲得

的點數(shù)之和小的所有學生抽出，求抽到9號學生的概率.

參考公式.(2=-----n(ad-bc)------ttchn=a+h+c+d

々差公隊.K(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'夬中"a+o+c+a.

參考數(shù)據(jù)：

P(非》如)0.100.050.0250.0100.0050.001

ko2.7063.8415.0246.6357.87910.828

【解答】解：(I)完成2X2列聯(lián)表如下:

優(yōu)秀非優(yōu)秀總計

甲班104050

乙班203050

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總計3070100

2

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到K2=]00裝牌黑舞40)一”4.762>3.841.

因此有95%的把握認為“數(shù)學成績是否優(yōu)秀與班級有關系”.

(H)設“抽到9號學生”為事件A,

同時拋擲兩枚質地均勻的骰子，出現(xiàn)的點數(shù)為(x,y),

所有的基本事件有(1.1),(1,2),(1,3),…，(6,6),共36個，

事件A包含的基本事件有(5,5),(4,6),(6,4),(5,6).(6,5),(6,6),共6個，

所以P(A)=U

1

故抽到9號學生的概率為一.

6

19.如圖所示，在多面體BC-AOE中，AWE為正三角形，平面ABCC平面ACE,且

BC//AD,ZBAD=60°,ZCDA=30°,A8=8C=2.

(I)求證：AD1.CE；

(Il)求直線CO與平面BCE所成角的正弦值.

E

【解答】(I)證明：如圖，過8作8尸1,4。于F,過C作CGJ_A。于G,連接GE.

可得8/〃CG,又因為BC〃/1。，

在Rt/XABF中，因為NBA￡>=60°,AB=2,所以AF=1,BF=V3,

所以BF=CG=W，F(xiàn)G=BC=2,

在RtZ^CDG中，NCDG=30°,GD=V3CG=3.

所以AG=GO,

因為△4OE為正三角形，所以GELA。，

因為CGCEG=G,QGu平面CGE,EGu平面CGE,所以AQ_L平面CGE,

C￡<=^F?CGE,所以4￡>_LCE.

(II)解：由(I)可知GE,GD,GC兩兩互相垂直，

以G為坐標原點，GE,GD,GC所在直線為x,y,z軸建立空間坐標系，如圖所示.

第21頁共25頁

z

則C(0,0,V3),B(0,-2,V3),D(0,3,0),E(3g,0,0),

所以a=(36，0,-V3),CB=(0,-2,0),CD=(0,3,-V3),

設平面8CE的法向量為n=(x,y,z),

(T1

n-CB=-2y=0

所以

TTf—t—

、n?CE=3v3x—V3z=0

取x=l,可得蔡=(1,0,3),

小三__一3同_3710

所以cos〈CD,

\CD\\n\25/3X/1020

所以直線。與平面BCE所成角的正弦值為鬻.

20.己知橢圓C：務苴=l(a>b>0)的左、右焦點分別為尸1，尸2,且|尸典=2,點M(b,

多在橢圓C上.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)P為橢圓C上一點，射線PFi，PF2分別交橢圓C于點A,B,試問！普［+I：?!是

|AFi|\BF2\

否為定值？若是，求出該定值：若不是，請說明理由.

33

【解答】解：(1)由題意可知，a2=b2+c2,2c=2且-7+1■=1,

az4bz

所以〃=2,b=A/3,C—1,

22

所以橢圓方程為一x+'y=1;

43

(2)①當點尸在x軸上時，由對稱性不妨設點P(-2,0),此時A、3兩點重合，

j/PFil\PF2\110

|PFI|=|F2B|=1,|PF2|=|FM|=3,故身+匕言=4+3=竽；

MFj\BF2\3$

②當點P不在x軸上時，由對稱性不妨設P(xi,yi)(yi>0),A(X2,>2),B(X3，”)，

第22頁共25頁

1I(x=—%1——+1y—1

此時直線PF\的方程為A-=爐y-1,聯(lián)立1,

力甘+91

整理得［3(降二)2+4］/-6(^-1))-9=0,

m.i9-9y/-23yl

則力”=一聲a=3勺2+64+3+4%2=再3y有，故＞2=一衍石，

同理可得”=一一奧玩，

—4X］十D

..\PF1\,1^21yi,yi2X1+5-2久1+510

|4&|\BF2\~-y2-y3-33-3'

護卜IP&I依2110

綜上：---;+;---;=—.

M&I|BF2|3

21.己知函數(shù)/'(x)=Znx+寺/+。刀(”€R),g(x)=ex+^x2—x.

(1)當a=-4時，求函數(shù)/(x)的極值：

(2)定義：對于函數(shù)/(x),若存在刈，使/(即)=xo成立，則稱如為函數(shù)的不動點,

如果函數(shù)/(無)=/(x)-g(無)存在不動點，求實數(shù)a的取值范圍.

【解答】解：(1)當。=-4時,/(%)=Inx+1x2-4x,f'(x)=--~

由，(x)=0,求得x=2士遍，列表如下：

X(0,2-V32-V3(2-V32+V3(2+V3

),2+V3,+8

))

f(X)+0-0+

/(X)單調遞增單調遞減單調遞增

???f9極小=f(2+次)=m(2+遮)-28一2'f(x)極大=/(2-V3)="(2—8)+

2>/3—/

13

2

(2)F(x)=f(X)-g(x)=Inx+^%2+QX—e*一]%2+%—inx-x+ax+x-/(x

>0),

ex-lnx+x2

VF(x)存在不動點，，方程尸(x)=x有實數(shù)根，即戶有解,

x

e”一仇x+42

令h(x)