重難點(diǎn)05 一類(lèi)與斜率和、差、商、積問(wèn)題的探究 （四大題型）（原卷版）

重難點(diǎn)05一類(lèi)與斜率和、差、商、積問(wèn)題的探究【題型歸納目錄】題型一：斜率和問(wèn)題題型二：斜率差問(wèn)題題型三：斜率積問(wèn)題題型四：斜率商問(wèn)題【方法技巧與總結(jié)】1、已知是橢圓上的定點(diǎn)，直線(xiàn)（不過(guò)點(diǎn)）與橢圓交于，兩點(diǎn)，且，則直線(xiàn)斜率為定值．2、已知是雙曲線(xiàn)上的定點(diǎn)，直線(xiàn)（不過(guò)點(diǎn)）與雙曲線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，且，直線(xiàn)斜率為定值．3、已知是拋物線(xiàn)上的定點(diǎn)，直線(xiàn)（不過(guò)點(diǎn)）與拋物線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，若，則直線(xiàn)斜率為定值．4、為橢圓上一定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作斜率為，的兩條直線(xiàn)分別與橢圓交于兩點(diǎn)．（1）若，則直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)；（2）若，則直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)．5、設(shè)是直角坐標(biāo)平面內(nèi)不同于原點(diǎn)的一定點(diǎn)，過(guò)作兩條直線(xiàn)，交橢圓于、、、，直線(xiàn)，的斜率分別為，，弦，的中點(diǎn)記為，．（1）若，則直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)；（2）若，則直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)．6、過(guò)拋物線(xiàn)上任一點(diǎn)引兩條弦，，直線(xiàn)，斜率存在，分別記為，即，則直線(xiàn)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．【典型例題】題型一：斜率和問(wèn)題例1．（2023·重慶南岸·高二重慶市第十一中學(xué)校?？计谥校┮阎p曲線(xiàn)，點(diǎn)在E上．(1)求E的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l交E于不同的兩點(diǎn)A，B（均異于點(diǎn)P），求直線(xiàn)PA，PB的斜率之和．例2．（2023·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線(xiàn)上有兩點(diǎn)，且直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)．(1)求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若拋物線(xiàn)上有一點(diǎn)，縱坐標(biāo)為4，拋物線(xiàn)上另有兩點(diǎn)，且直線(xiàn)與的斜率滿(mǎn)足重心的橫坐標(biāo)為4，求直線(xiàn)的方程．例3．（2023·四川巴中·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，且.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)斜率不為0的直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn)，記直線(xiàn)與直線(xiàn)的斜率分別為，當(dāng)時(shí)，求的面積.變式1．（2023·陜西渭南·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的離心率為，直線(xiàn)恒過(guò)橢圓的右焦點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，在軸上是否存在定點(diǎn)，使得當(dāng)變化時(shí)，總有直線(xiàn)的斜率和直線(xiàn)的斜率滿(mǎn)足？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.變式2．（2023·陜西延安·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)為M，動(dòng)點(diǎn)A（異于原點(diǎn)O）在拋物線(xiàn)C上，當(dāng)與y軸垂直時(shí)，.(1)求拋物線(xiàn)C的方程；(2)若直線(xiàn)與拋物線(xiàn)C交于另一點(diǎn)B，證明：直線(xiàn)的斜率與直線(xiàn)的斜率互為相反數(shù).變式3．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為1的直線(xiàn)l與E交于A，B兩點(diǎn)，且．(1)求拋物線(xiàn)E的方程；(2)設(shè)為E上一點(diǎn)，E在P處的切線(xiàn)與x軸交于Q，過(guò)Q的直線(xiàn)與E交于M，N兩點(diǎn)，直線(xiàn)PM和PN的斜率分別為和．求證：為定值．變式4．（2023·四川瀘州·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓心為C的動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)，且在軸上截得的弦長(zhǎng)為4，記C的軌跡為曲線(xiàn)E．(1)求E的方程，并說(shuō)明E為何種曲線(xiàn)；(2)已知及曲線(xiàn)E上的兩點(diǎn)B和D，直線(xiàn)AB，AD的斜率分別為，，且，求證：直線(xiàn)BD經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．變式5．（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·高二嘉積中學(xué)?？计谀┮阎獧E圓：的右焦點(diǎn)在直線(xiàn)上，分別為的左、右頂點(diǎn)，且.(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知，是否存在過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，使得直線(xiàn)，的斜率之和等于1?若存在，求出的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.變式6．（2023·廣東·高二校聯(lián)考期末）設(shè)點(diǎn)F為拋物線(xiàn)C：的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F且斜率為的直線(xiàn)與C交于A，B兩點(diǎn)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）(1)求拋物線(xiàn)C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作兩條斜率分別為，的直線(xiàn)，，它們分別與拋物線(xiàn)C交于點(diǎn)P，Q和R，S.已知，問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)，使得為定值?若存在，求的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.變式7．（2023·山東青島·高二校聯(lián)考期中）設(shè)橢圓：的離心率為，且短軸長(zhǎng)為.(1)求橢圓C的方程；(2)若在y軸上的截距為2的直線(xiàn)與橢圓C分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且直線(xiàn)OA，OB的斜率之和等于12，求直線(xiàn)AB的方程題型二：斜率差問(wèn)題例4．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）橢圓C：的離心率，．(1)求橢圓C的方程；(2)如圖，A，B，D是橢圓C的頂點(diǎn)，P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，直線(xiàn)DP交x軸于點(diǎn)N，直線(xiàn)AD交BP于點(diǎn)M，設(shè)MN的斜率為m，BP的斜率為n，證明：為定值．例5．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知定點(diǎn)A(1，0)，點(diǎn)M在軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P為坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)點(diǎn)Q為圓上一點(diǎn)，由Q向C引切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為S、T,記分別為切線(xiàn)QS，QT的斜率，當(dāng)Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的取值范圍.例6．（2023·四川成都·高二棠湖中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)、為拋物線(xiàn)上的兩點(diǎn)，與的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，直線(xiàn)的斜率為.（1）求拋物線(xiàn)的方程；（2）已知點(diǎn)，、為拋物線(xiàn)（除原點(diǎn)外）上的不同兩點(diǎn)，直線(xiàn)、的斜率分別為，，且滿(mǎn)足，記拋物線(xiàn)在、處的切線(xiàn)交于點(diǎn)，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，若，求的值.變式8．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖,已知點(diǎn)是拋物線(xiàn)：的焦點(diǎn),點(diǎn)在拋物線(xiàn)上,且.（1）若直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn),求的值;（2）若點(diǎn)在拋物線(xiàn)上,且拋物線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)交于點(diǎn),記直線(xiàn)的斜率分別為,且滿(mǎn)足,求證：的面積為定值.變式9．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知橢圓的離心率為，，分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，右焦點(diǎn)，，過(guò)且斜率為的直線(xiàn)與橢圓相交于，兩點(diǎn)，在軸上方．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)記，的面積分別為，，若，求的值；(3)設(shè)線(xiàn)段的中點(diǎn)為，直線(xiàn)與直線(xiàn)相交于點(diǎn)，記直線(xiàn)，，的斜率分別為，，，求的值．變式10．（2023·廣東廣州·高三華南師大附中?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知橢圓的兩焦點(diǎn)分別為，A是橢圓上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的面積為.(1)求橢圓的方程；(2)直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，過(guò)作垂直軸的直線(xiàn)在第二象限交橢圓于點(diǎn)S，過(guò)S作橢圓的切線(xiàn)，的斜率為，求的取值范圍.題型三：斜率積問(wèn)題例7．（2023·江蘇淮安·高二統(tǒng)考期中）已知拋物線(xiàn)，直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于兩點(diǎn)，中點(diǎn)為．(1)求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)記拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，直線(xiàn)斜率為，直線(xiàn)斜率為，求．例8．（2023·遼寧·高二校聯(lián)考期中）已知是拋物線(xiàn)上位于第一象限的一點(diǎn)，且到的焦點(diǎn)的距離為5.(1)求拋物線(xiàn)的方程；(2)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為的焦點(diǎn)，，為上異于的兩點(diǎn)，且直線(xiàn)與斜率乘積為.（i）證明：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)；（ii）求的最小值.例9．（2023·黑龍江·高二統(tǒng)考期中）已知橢圓C：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓C的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，△OFP的面積為．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)且斜率不為0的直線(xiàn)l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，橢圓C的左頂點(diǎn)為A，求直線(xiàn)AM與直線(xiàn)AN的斜率之積．變式11．（2023·遼寧·高二本溪高中校聯(lián)考期中）已知直線(xiàn)的方向向量與直線(xiàn)的方向向量共線(xiàn)且過(guò)點(diǎn)；(1)求的方程；(2)若與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)，直線(xiàn)的斜率分別是；求及的值.變式12．（2023·山東日照·高二統(tǒng)考期中）已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到點(diǎn)，的距離之差的絕對(duì)值為，斜率為的直線(xiàn)l與點(diǎn)M的軌跡C交于A，B兩點(diǎn)．(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；(2)若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)，記直線(xiàn)NA，的斜率分別為，，求的值．變式13．（2023·甘肅武威·高二?？计谥校┮阎獧E圓的離心率為，焦點(diǎn)是和，(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線(xiàn)（不過(guò)原點(diǎn)）與橢圓交于兩點(diǎn)，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，求直線(xiàn)與直線(xiàn)的斜率乘積的值.變式14．（2023·河北衡水·高二衡水市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程及其準(zhǔn)線(xiàn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，記直線(xiàn)，的斜率分別為，，求的值．變式15．（2023·北京·高二校聯(lián)考期中）已知橢圓：的一個(gè)頂點(diǎn)為，離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)點(diǎn)定點(diǎn)作斜率為的直線(xiàn)與橢圓交于，，直線(xiàn)，的斜率分別記為，.求的值題型四：斜率商問(wèn)題例10．（2023·云南·高二校聯(lián)考期中）已知雙曲線(xiàn)：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，為左右頂點(diǎn)，且.(1)求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)過(guò)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于，兩點(diǎn)（不與重合），記直線(xiàn)，的斜率為，，證明：為定值.例11．（2023·湖南長(zhǎng)沙·高二雅禮中學(xué)校考期中）已知拋物線(xiàn)（）的焦點(diǎn)為F，的頂點(diǎn)都在拋物線(xiàn)上，滿(mǎn)足．(1)求的值；(2)設(shè)直線(xiàn)AB、直線(xiàn)BC、直線(xiàn)AC的斜率分別為，，，若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足：上，求的值．例12．（2023·河南·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線(xiàn)實(shí)軸左右兩個(gè)頂點(diǎn)分別為，雙曲線(xiàn)的焦距為，漸近線(xiàn)方程為．(1)求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)．設(shè)的斜率分別為，且，求的方程．變式16．（2023·河北石家莊·高三石家莊二中?？茧A段練習(xí)）已知隨圓的左?右焦點(diǎn)分別為點(diǎn)在上，的周長(zhǎng)為，面積為.(1)求的方程.(2)設(shè)的左?右頂點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與交于兩點(diǎn)（不同于左右頂點(diǎn)），記直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)的斜率為，則是否存在實(shí)常數(shù)，使得恒成立.變式17．（2023·江西南昌·高二南昌十中?？计谥校┮阎p曲線(xiàn)C經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且漸近線(xiàn)方程為.(1)求雙曲線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)點(diǎn)A為雙曲線(xiàn)C的左頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)C于M、N兩點(diǎn)，試問(wèn)，直線(xiàn)AM與直線(xiàn)AN的斜率之和是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.變式18．（2023·福建廈門(mén)·高二廈門(mén)一中?？计谥校┮阎p曲線(xiàn)：實(shí)軸長(zhǎng)為4（在的左側(cè)），雙曲線(xiàn)上第一象限內(nèi)的一點(diǎn)到兩漸近線(xiàn)的距離之積為.(1)求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)過(guò)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，記直線(xiàn)，的斜率為，，請(qǐng)從下列的結(jié)論中選擇一個(gè)正確的結(jié)論，并予以證明.①為定值；②為定值；③為定值變式19．（2023·廣西南寧·高二賓陽(yáng)中學(xué)校聯(lián)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，直線(xiàn)：，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與直線(xiàn)的距離之比為.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；(2)設(shè)曲線(xiàn)與軸交于、兩點(diǎn)，過(guò)軸上點(diǎn)作一直線(xiàn)與橢圓交于，兩點(diǎn)（異于，），若直線(xiàn)與的交點(diǎn)為，記直線(xiàn)與的斜率分別為，，求.變式20．（2023·四川成都·石室中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足直線(xiàn)與的斜率之積為.記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn).(1)求曲線(xiàn)的方程，并說(shuō)明是什么曲線(xiàn)；(2)設(shè)為曲線(xiàn)上的兩動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)的斜率為，且.①求證：直線(xiàn)恒過(guò)一定點(diǎn)；②設(shè)的面積為，求的最大值.變式21．（2023·貴州銅仁·高二