大學(xué)數(shù)學(xué)關(guān)于積分的

一元函數(shù)積分學(xué)定積分的計算一定積分計算的基本公式§1、不定積分的概念與性質(zhì)原函數(shù)與不定積分定義1：若，則稱為的原函數(shù)。連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)；若為的原函數(shù)，則也為的原函數(shù)；事實(shí)上，的任意兩個原函數(shù)僅相差一個常數(shù)。事實(shí)上，由，得故表示了的所有原函數(shù)，其中為的一個原函數(shù)。定義2：的所有原函數(shù)稱為的不定積分，記為，積分號，被積函數(shù)，積分變量。顯然求下列函數(shù)的不定積分①②基本積分表（共24個基本積分公式）不定積分的性質(zhì)①②求下列不定積分①②③④⑤⑥⑦⑧§2、不定積分的換元法第一類換元法（湊微分法）1、例1、求不定積分①②③④2、例2、求不定積分①②③④3、求不定積分①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩例4、求不定積分①②③④⑤⑥⑦⑧第二類換元法1、三角代換例1、解：令，則原式=例2、解：令原式=例3、解：令，則原式=例4、解：令，則原式=例5、解：令，則原式=例6、解：令，則原式=小結(jié)：中含有可考慮用代換2、無理代換例7、解：令原式=例8、解：令原式=例9、解：令原式=例10、解：令原式倒代換例11、解：令原式§3、分部積分法分部積分公式：，故（前后相乘）（前后交換）例1、例2、例3、或解：令原式例4、或解：令原式例5、故例6、例7、§4、兩種典型積分一、有理函數(shù)的積分有理函數(shù)可用待定系數(shù)法化為部分分式，然后積分。例1、將化為部分分式，并計算解：故或解：例2、例3、例4、二、三角函數(shù)有理式的積分對三角函數(shù)有理式積分，令，，故，三角函數(shù)有理式積分即變成了有理函數(shù)積分。例5、 解：令，原式例6、解：令，原式例7、ppt1第二節(jié)多元函數(shù)的基本概念二、多元函數(shù)的概念定義1設(shè)D是平面上的一個非空點(diǎn)集，如果對于內(nèi)的任一點(diǎn)，按照某種法則，都有唯一確定的實(shí)數(shù)與之對應(yīng)，則稱是上的二元函數(shù)，它在處的函數(shù)值記為，即，其中x，y稱為自變量，z稱為因變量.點(diǎn)集D稱為該函數(shù)的定義域，數(shù)集稱為該函數(shù)的值域.類似地，可定義三元及三元以上函數(shù).當(dāng)時,n元函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù).二元函數(shù)的幾何意義三、二元函數(shù)的極限定義2設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)點(diǎn)無限趨于點(diǎn)時，函數(shù)無限趨于一個常數(shù)，則稱A為函數(shù)當(dāng)時的極限.記為.或（）也記作或二元函數(shù)的極限與一元函數(shù)的極限具有相同的性質(zhì)和運(yùn)算法則，在此不再詳述.為了區(qū)別于一元函數(shù)的極限，我們稱二元函數(shù)的極限為二重極限.四、二元函數(shù)的連續(xù)性定義3設(shè)二元函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，如果,則稱在點(diǎn)處連續(xù).如果函數(shù)在點(diǎn)處不連續(xù)，則稱函數(shù)在處間斷.與一元函數(shù)類似，二元連續(xù)函數(shù)經(jīng)過四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算后仍為二元連續(xù)函數(shù).由和的基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合所構(gòu)成的可用一個式子表示的二元函數(shù)稱為二元初等函數(shù).一切二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的.這里定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域.利用這個結(jié)論，當(dāng)要求某個二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)的極限時，只要算出函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值即可.特別地，在有界閉區(qū)域上連續(xù)的二元函數(shù)也有類似于一元連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上所滿足的定理.下面我們不加證明地列出這些定理.定理1（最大值和最小值定理）在有界閉區(qū)域D上的二元連續(xù)函數(shù),在D上至少取得它的最大值和最小值各一次.定理2（有界性定理）在有界閉區(qū)域D上的二元連續(xù)函數(shù)在D上一定有界.定理3（介值定理）在有界閉區(qū)域D上的二元連續(xù)函數(shù),若在D上取得兩個不同的函數(shù)值,則它在D上取得介于這兩值之間的任何值至少一次.例題選講：多元函數(shù)的概念例1（講義例1）求二元函數(shù)的定義域.例2（講義例2）已知函數(shù)求.二元函數(shù)的極限例3（講義例3）求極限.例4求極限例5（講義例4）求極限.例6求極限例7求例8（講義例5）證明不存在.例9證明不存在.二元函數(shù)的連續(xù)性例10（講義例6）討論二元函數(shù)在處的連續(xù)性.例11求例12求課堂練習(xí)1.設(shè)求2.若點(diǎn)沿著無數(shù)多條平面曲線趨向于點(diǎn)時,函數(shù)都趨向于A,能否斷定3.討論函數(shù)的連續(xù)性.PPT2第四節(jié)全微分我們已經(jīng)知道，二元函數(shù)對某個自變量的偏導(dǎo)數(shù)表示當(dāng)其中一個自變量固定時，因變量對另一個自變量的變化率.根據(jù)一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系，可得上面兩式左端分別稱為二元函數(shù)對x和對y的偏增量，而右端分別稱為二元函數(shù)對x和對y的偏微分.在實(shí)際問題中，有時需要研究多元函數(shù)中各個自變量都取得增量時因變量所獲得的增量，即所謂全增量的問題.下面以二元函數(shù)為例進(jìn)行討論.如果函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，并設(shè)為這鄰域內(nèi)的任意一點(diǎn)，則稱為函數(shù)在點(diǎn)P對應(yīng)于自變量增量的全增量，記為，即(4.1)一般來說，計算全增量比較復(fù)雜.與一元函數(shù)的情形類似，我們也希望利用關(guān)于自變量增量的線性函數(shù)來近似地代替函數(shù)的全增量，由此引入關(guān)于二元函數(shù)全微分的定義.內(nèi)容分布圖示★偏增量與全增量★全微分的定義★可微的必要條件★可微的充分條件★例1★例2★例3★例4★多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系★全微分在近似計算中的應(yīng)用★例5★絕對誤差與相對誤差★例6★內(nèi)容小結(jié)★課堂練習(xí)★習(xí)題6-4★返回內(nèi)容提要：一、微分的定義定義1如果函數(shù)在點(diǎn)的全增量可以表示為(4.2)其中A,B不依賴于而僅與x,y有關(guān),則稱函數(shù)在點(diǎn)可微分,稱為函數(shù)在點(diǎn)的全微分,記為即.(4.3)若函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)各點(diǎn)處可微分，則稱這函數(shù)在D內(nèi)可微分.二、函數(shù)可微的條件定理1(必要條件)如果函數(shù)在點(diǎn)處可微分,則該函數(shù)在點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必存在,且在點(diǎn)處的全微分.(4.4)我們知道，一元函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)是在該點(diǎn)可微的充分必要條件.但對于多元函數(shù)則不然.定理1的結(jié)論表明，二元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在只是全微分存在的必要條件而不是充分條件.由此可見，對于多元函數(shù)而言，偏導(dǎo)數(shù)存在并不一定可微.因?yàn)楹瘮?shù)的偏導(dǎo)數(shù)僅描述了函數(shù)在一點(diǎn)處沿坐標(biāo)軸的變化率，而全微分描述了函數(shù)沿各個方向的變化情況.但如果對偏導(dǎo)數(shù)再加些條件，就可以保證函數(shù)的可微性.一般地，我們有：定理2(充分條件)如果函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)連續(xù),則函數(shù)在該點(diǎn)處可微分.三、微分的計算習(xí)慣上，常將自變量的增量、分別記為、，并分別稱為自變量的微分.這樣，函數(shù)的全微分就表為(4.5)上述關(guān)于二元函數(shù)全微分的必要條件和充分條件，可以完全類似地推廣到三元及三元以上的多元函數(shù)中去.例如，三元函數(shù)的全微分可表為(4.6)四、全微分在近似計算中的應(yīng)用設(shè)二元函數(shù)在點(diǎn)的兩個偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),且都較小時,則根據(jù)全微分定義，有即由，即可得到二元函數(shù)的全微分近似計算公式(4.7)例題選講：全微分的計算例1（講義例1）求函數(shù)的全微分.例2計算函數(shù)在點(diǎn)（2,1）處的全微分.例3（講義例3）求函數(shù)的全微分.例4求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分.例5（講義例4）計算的近似值.例6測得矩形盒的邊長為75cm、60cm、以及40cm,且可能的最大測量誤差為0.2cm.試用全微分估計利用這些測量值計算盒子體積時可能帶來的最大誤差.課堂練習(xí)1.討論函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處函數(shù)的全微分是否存在?2.設(shè)求偏導(dǎo)數(shù)一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計算法回顧一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的概念。對于二元函數(shù)z=f(x,y),如果只有自變量x變化,而自變量y固定,這時它就是x的一元函數(shù),這函數(shù)對x的導(dǎo)數(shù),就稱為二元函數(shù)z=f(x,y)對于x的偏導(dǎo)數(shù).定義設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)y固定在y0而x在x0處有增量x時,相應(yīng)地函數(shù)有增量f(x0x,y0)f(x0,y0).如果極限存在,則稱此極限為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處對x的偏導(dǎo)數(shù),記作,,,或例如.類似地,函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處對y的偏導(dǎo)數(shù)定義為,記作,,,或fy(x0,y0).偏導(dǎo)函數(shù)：如果函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)(x,y)處對x的偏導(dǎo)數(shù)都存在,那么這個偏導(dǎo)數(shù)就是x、y的函數(shù),它就稱為函數(shù)z=f(x,y)對自變量的偏導(dǎo)函數(shù),記作,,,或..類似地,可定義函數(shù)z=f(x,y)對y的偏導(dǎo)函數(shù),記為,,zy,或.求時只要把y暫時看作常量而對x求導(dǎo)數(shù)；求時，只要把x暫時看作常量而對y求導(dǎo)數(shù)．偏導(dǎo)數(shù)的概念還可推廣到二元以上的函數(shù)，例如三元函數(shù)uf(xyz)在點(diǎn)(xyz)處對x的偏導(dǎo)數(shù)定義為其中(xyz)是函數(shù)uf(xyz)的定義域的內(nèi)點(diǎn)它們的求法也仍舊是一元函數(shù)的微分法問題．例1求z=的偏導(dǎo)數(shù)解求時，把y看作常量，求時，把x看作常量，因此,.例2求在點(diǎn)(1,3)處的偏導(dǎo)數(shù)．解先求偏導(dǎo)函數(shù),.,.例3設(shè),求證:.證,..例4已知理想氣體的狀態(tài)方程為pV=RT(R為常數(shù)),求證：.證因?yàn)?;,;,;所以例4說明偏導(dǎo)數(shù)的記號是一個整體記號,不能看作分子分母之商．例5二元函數(shù)在（0，0）可導(dǎo)，因?yàn)椋?，．但函?shù)在點(diǎn)(0,0)并不連續(xù)．由例5可知，對于多元函數(shù)來說,即使各偏導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)都存在,也不能保證函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù).二元函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義：fx(x0,y0)是過曲面z=f(x,y)上點(diǎn)M0(x0,y0,f(x0,y0))的曲線在點(diǎn)M0處的切線Tx對x軸的斜率.fy(x0,y0)過曲面z=f(x,y)上點(diǎn)M0(x0,y0,f(x0,y0))的曲線在點(diǎn)M0處的切線Ty對y軸的斜率．課堂練習(xí)：習(xí)題8－2：1（單）．二、高階偏導(dǎo)數(shù)回顧一元函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)的概念．設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù),,那么在D內(nèi)fx(x,y)、fy(x,y)都是x,y的函數(shù).如果這兩個函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)也存在,則稱它們是函數(shù)z=f(x,y)的二偏導(dǎo)數(shù).按照對變量求導(dǎo)次序的為同有下列四個二階偏導(dǎo)數(shù)如果函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)的偏導(dǎo)數(shù)fx(x,y)、fy(x,y)也具有偏導(dǎo)數(shù),則它們的偏導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù).按照對變量求導(dǎo)次序的不同有下列四個二階偏導(dǎo)數(shù),,,.其中,稱為混合偏導(dǎo)數(shù)．同樣可得三階、四階、以及n階偏導(dǎo)數(shù)．二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)．例6．求z=x3ｙ3xy3的二階偏導(dǎo)數(shù)解,;,＝定理如果函數(shù)z=f(x,y)的兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)及在區(qū)域D內(nèi)連續(xù),那么在該區(qū)域內(nèi)這兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等.類似地可定義二元以上函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù).例7驗(yàn)證函數(shù)滿足方程.證因?yàn)?所以,,,.因此.例8．證明函數(shù)滿足方程,其中.證：,.同理,因此.提示：.例7和例8中的兩個方程都叫拉普拉斯方程（Laplace），是數(shù)學(xué)物理方程中的重要方程。課外作業(yè)：復(fù)合函數(shù)微分法與隱函數(shù)微分法在一元函數(shù)的復(fù)合求導(dǎo)中，有所謂的“鏈?zhǔn)椒▌t”，這一法則可以推廣到多元復(fù)合函數(shù)的情形.下面分幾種情況來討論.一、多元復(fù)合函數(shù)微分法1．復(fù)合函數(shù)的中間變量為一元函數(shù)的情形設(shè)函數(shù),,構(gòu)成復(fù)合函數(shù)（5.1）公式(5.1)中的導(dǎo)數(shù)稱為全導(dǎo)數(shù).2、復(fù)合函數(shù)的中間變量為多元函數(shù)的情形設(shè)構(gòu)成復(fù)合函數(shù)(5.3)(5.4)3、復(fù)合函數(shù)的中間變量既有一元也有為多元函數(shù)的情形定理3如果函數(shù)在點(diǎn)具有對及對的偏導(dǎo)數(shù),函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，函數(shù)在對應(yīng)點(diǎn)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則復(fù)合函數(shù)在對應(yīng)點(diǎn)的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在,且有(5.7)(5.8)注：這里與是不同的，是把復(fù)合函數(shù)中的看作不變而對的偏導(dǎo)數(shù)，是把函數(shù)中的及看作不變而對的偏導(dǎo)數(shù).與也有類似的區(qū)別.在多元函數(shù)的復(fù)合求導(dǎo)中，為了簡便起見，常采用以下記號:這里下標(biāo)1表示對第一個變量求偏導(dǎo)數(shù)，下標(biāo)2表示對第二個變量求偏導(dǎo)數(shù)，同理有等等.二、全微分形式的不變性根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t，可得到重要的全微分形式不變性.以二元函數(shù)為例，設(shè),是可微函數(shù)，則由全微分定義和鏈?zhǔn)椒▌t，有由此可見，盡管現(xiàn)在的u、v是中間變量，但全微分與、是自變量時的表達(dá)式在形式上完全一致.這個性質(zhì)稱為全微分形式不變性.適當(dāng)應(yīng)用這個性質(zhì)，會收到很好的效果.三、隱函數(shù)微分法在一元微分學(xué)中，我們曾引入了隱函數(shù)的概念，并介紹了不經(jīng)過顯化而直接由方程(5.11)來求它所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法.這里將進(jìn)一步從理論上闡明隱函數(shù)的存在性，并通過多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t建立隱函數(shù)的求導(dǎo)公式，給出一套所謂的“隱式”求導(dǎo)法.定理4設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),且則方程在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)它滿足并有(5.12)定理5設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),且則方程在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù),它滿足條件,并有(5.14)例題選講：多元復(fù)合函數(shù)微分法例1（講義例1）設(shè)而求導(dǎo)數(shù)例2（講義例2）設(shè)而求和例3求的偏導(dǎo)數(shù).例4設(shè)求和例5（講義例3）設(shè)求例6設(shè)其中有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù),求例7（講義例4）設(shè)其中函數(shù)f有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求和.例8利用全微分形式不變性解本節(jié)的例2.設(shè)而求和全微分形式的不變性例9（講義例5）利用一階全微分形式的不變性求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).例10求函數(shù)的全微分.例11（講義例6）已知求和.隱函數(shù)微分法例12（講義例7）驗(yàn)證方程在點(diǎn)(0,1)的某鄰域內(nèi)能唯一確定一個有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、當(dāng)時的隱函數(shù),求這函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)在的值.例13求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例14（講義例8）求由方程所確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)例15求由方程是常數(shù))所確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和例16（講義例9）設(shè)求例17設(shè)求例18設(shè)方程確定了隱函數(shù)求課堂練習(xí)1.設(shè)求2.設(shè)其中F是可微函數(shù),證明3.設(shè)其中為可微函數(shù),求.二重積分一、內(nèi)容概要1.二重積分的定義定義設(shè)函數(shù)在有界閉區(qū)域D上有定義.分割用任意兩組曲線將區(qū)域D分成n個小區(qū)域，分別記為.并以代表第i個小區(qū)域的面積.求和在每個小區(qū)域上任意一點(diǎn)作乘積，并求和.取極限記為n個小區(qū)域中的最大的直徑，如果.存在，且此極限值不依賴區(qū)域D的分法，也不依賴于點(diǎn)的取法，則稱此極限值為函數(shù)在區(qū)域D上的二重積分，記為，稱為面積元素.2.二重積分的幾何解釋由二重積分的定義可知，二重積分為一個數(shù)值.從幾何上可以解釋為：若在區(qū)域D上，，則二重積分的值等于以區(qū)域D為底，以曲面為頂?shù)那斨敝w的體積.若在區(qū)域D上，，則二重積分的值的絕對值等于以D為底，以曲面為曲頂?shù)闹敝w體積，此時二重積分的值為負(fù)值.若在區(qū)域D上的某些子區(qū)域上，而另一些子域上，則二重積分的值等于這些子區(qū)域上，以為曲頂?shù)闹敝w體積的代數(shù)和，其中的直柱體體積值前取“+”，在的直柱體體積前取“-”.3.二重積分的存在性存在定理若在閉區(qū)域D上連續(xù)，則在D上的二重積分必存在.4.二重積分的性質(zhì)設(shè)下列被積函數(shù)都是可積的.性質(zhì)1.此性質(zhì)由左向右看，可以解釋為：常數(shù)因子可以提到積分號外面去.由右向左看，可以解釋為：常數(shù)乘以二重積分，可以將此因子送入積分表達(dá)式中去.性質(zhì)2.性質(zhì)3如果閉區(qū)域D由有限條曲線分為兩個區(qū)域,則.性質(zhì)4若記區(qū)域D的面積為S，則.性質(zhì)5在D上若，則,.性質(zhì)6若在D上有,則,其中S為區(qū)域D的面積.性質(zhì)7設(shè)函數(shù)在閉區(qū)域D上連續(xù)，S為區(qū)域D的面積，則在D上至少存在一點(diǎn)，使得,稱此性質(zhì)為二重積分的中值定理.5.二重積分的計算二重積分是定積分的推廣.計算的基本途徑是將其轉(zhuǎn)化為二次積分計算，不同積分次序的二次積分計算量可能相差很大，甚至其中一種次序易于計算，而另一種次序計算復(fù)雜，以至于不能用初等函數(shù)形式表出.因此計算二重積分時選擇積分次序是至關(guān)重要的問題.有些問題中給定了積分次序，但依此次序積分可能計算復(fù)雜，以至于不能用初等函數(shù)形式表示，但是這并不能斷言二重積分不能計算，此時應(yīng)考慮交換積分次序或改變坐標(biāo)系.因此二重積分有交換積分次序的問題與轉(zhuǎn)換坐標(biāo)系的問題.常見的二重積分計算可歸納為以下規(guī)律：選擇積分次序?qū)τ诮o定的二重積分應(yīng)先選定積分次序，積分次序的選擇要考慮兩個因素：被積函數(shù)與積分區(qū)域.選定積分次序之后，關(guān)鍵是確定二次積分的積分限，通常的方法是：先畫出積分區(qū)域D的圖形.若先對y積分，且平行于y軸的直線與區(qū)域D的邊界線的交點(diǎn)不多于兩點(diǎn)，那么確定關(guān)于y的積分限的方法為：作平行于y軸的直線與區(qū)域D相交，沿y軸的正向看，所作出的直線與區(qū)域D先相交的邊界線（稱之為入口線），作為積分下限.離開區(qū)域D的邊界線（稱之為出口線），作為積分上限.而后對x積分時，其積分下限取自區(qū)域D在Ox軸上投影的最小值；積分上限取自區(qū)域D在Ox軸上投影的最大值.即先對y積分（入口線）下限（出口線）上限后對x積分將區(qū)域D在Ox軸上投影（最小值）下限（最大值）上限其特點(diǎn)是：內(nèi)層積分限為外層積分變量的函數(shù)（或常數(shù)），而外層積分限一定為常數(shù)！交換積分次序如果給定的積分為二次積分，它不能用初等函數(shù)形式表示出來，或者積分的計算量較大，可考慮采用交換積分次序，其一般步驟為：eq\o\ac(○,1)先依給定的二次積分限，寫出積分區(qū)域D的不等式表達(dá)式，并依此作出區(qū)域D的圖形.eq\o\ac(○,2)再依區(qū)域D的圖形，按前面（1）所述確定積分限的方法，確定出另一種積分次序的積分限.選取坐標(biāo)系如果二重積分不宜在直角坐標(biāo)系中計算，可考慮利用極坐標(biāo)系計算，特別是被積函數(shù)為，或積分區(qū)域?yàn)閳A域、扇形域、圓環(huán)域時，利用極坐標(biāo)系計算二重積分較方便.在極坐標(biāo)系下二重積分計算的基本思想也是將其轉(zhuǎn)化為二次積分.其一般做法是：先將積分區(qū)域D的邊界曲線用極坐標(biāo)表示.設(shè)積分區(qū)域的邊界曲線與過極點(diǎn)的射線至多有兩個交點(diǎn).eq\o\ac(○,1)若極點(diǎn)O在區(qū)域D外部，區(qū)域D可以表示為，則.eq\o\ac(○,2)若極點(diǎn)O在區(qū)域D的邊界曲線上，區(qū)域D可以表示為，則.eq\o\ac(○,3)若極點(diǎn)O在區(qū)域D的內(nèi)部，區(qū)域D可以表示為，則.對稱性質(zhì)注意利用被積函數(shù)與積分區(qū)域的對稱性，以簡化運(yùn)算.若為x的奇函數(shù)，而積分區(qū)域D關(guān)于y軸對稱，則當(dāng)為D上的連續(xù)函數(shù)時.必有.若為x的偶函數(shù)，積分區(qū)域D關(guān)于y軸對稱，且在x軸右方部分記為，則當(dāng)為D上連續(xù)函數(shù)時，必有.如果積分區(qū)域D關(guān)于y軸對稱，而被積函數(shù)既非x的奇函數(shù)，也非x的偶函數(shù)，但是可以將，即分解為兩個函數(shù)之和，其中或?yàn)閤的連續(xù)的奇函數(shù)或偶函數(shù)，則可以部分地使用對稱性簡化計算.如果為x的連續(xù)的奇函數(shù)或偶函數(shù)，而積分區(qū)域D不關(guān)于y軸對稱，但是可以將D分解為與兩個子區(qū)域，其中或關(guān)于y軸對稱，則可以部分地使用對稱性以簡化計算.被積函數(shù)中含有絕對值符號此時應(yīng)將積分區(qū)域分割為幾個子區(qū)域，使被積函數(shù)在每個子區(qū)域中保持同一符號，以消除被積函數(shù)中的絕對值符號.如果被積函數(shù)中含有開偶次方根的表達(dá)式，注意開方后應(yīng)取絕對值形式的表達(dá)式.如果積分區(qū)域D為無界區(qū)域，在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，則為二重反常積分，化為二次積分后可依反常積分處理.二、基本問題與基本運(yùn)算方法基本問題計算二重積分基本運(yùn)算方法1