由一個(gè)二元二次方程和一個(gè)可以分解為兩個(gè)二元一次方程

由一個(gè)二元二次方程和一個(gè)可以分解為兩個(gè)二元一次方程組成的方程組

【教學(xué)目標(biāo)】（一）

使學(xué)生會解由一個(gè)二元二次方程和一個(gè)可以分解為兩個(gè)二元一次方程組成的方程組的解法；（二）

使學(xué)生掌握分解降次的解題思路。【教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)】重點(diǎn)：用分解因式降次的方法解二元二次方程組。難點(diǎn)：把一個(gè)二元二次方程分解降次，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)二元一次方程?！窘虒W(xué)過程設(shè)計(jì)】（一）復(fù)習(xí)1．什么叫做二元二次方程2．什么叫做二元二次方程組？3．什么叫做二元二次方程組的解？4．

我們已學(xué)過的由一個(gè)二元二次方程和一個(gè)二元一次方程組成的方程組的最基本的解法是什么法？（代入消元法）5．

用因式分解法解一元二次方程，要寫出解題過程。x2－3x－4=－6.解：移項(xiàng)，使等號右邊為零，得x2－3x+2=0，等號左邊分解因式（x－2）（x－1）=0①方程①可分解為兩個(gè)一次方程x－2=0，x－1=0，所以x1=2，x2=1.（二）新課我們今天學(xué)習(xí)另一類二元二次方程組的解法，這一類二元二次方程組的特點(diǎn)是：由一個(gè)二元二次方程和一個(gè)可以分解為兩個(gè)二元一次方程組成的方程組。例1解方程組x2+y2=20，①x2-5xy+6y2=0②分析：在這個(gè)方程組中，方程②的左邊各項(xiàng)都是2次，右邊的項(xiàng)是數(shù)0，也可以看作是二次項(xiàng)（因?yàn)?x2=0）。我們把方程②叫做二元二次齊次方程，把方程②的左邊叫做二次齊次三項(xiàng)式。在原方程組中，方程②左邊的二次齊次三項(xiàng)式可以分解為兩個(gè)一次齊次式的積（x-2y）（x-3y），而右邊為0，因此，方程②可以化為兩個(gè)二元一次方程x-2y=0,x-3y=0。它們與方程①分別組成兩個(gè)方程組解這兩個(gè)方程組，就得到原方程組的所有的解。解：由②，得(x-2y)(x-3y)=0所以x-2y=0,或。因此，原方程組可以化為兩個(gè)方程組（1）（2）根據(jù)上次課程，由一個(gè)二元二次方程與一個(gè)二元一次方程組成的方程組的解法，可解出方程組（1），（2）。由方程組（1）得由方程組（2）得為了弄清這個(gè)問題，避免出現(xiàn)不應(yīng)有的錯(cuò)誤，我們滲透了同解方程組的概念和理論。設(shè)A（是含有未知數(shù)的二元二此整式。M（是含有未知數(shù)的二元一次整式，則有定理3方程組（1）與下列兩個(gè)方程組（1）和（3）是同解方程組。例1的解題根據(jù)就是定理3例2

解方程組②②①①分析：方程①，②都能分解因式。解：原方程變形為④④③③

（1）方程組（1），同解于下列兩個(gè)方程組（2），（3）。（2）（3）同理，方程組（2），同解于方程組（4），（5）。同理，方程組（3），同解于方程組（6），（7）。即（4）（5）（6）（7）由二元一次方程組（4），（5），（6），（7）分別解得例3解方程組：②②①①分析：方程①與方程②的右邊都不是0，（而方程一邊為0是分解因式法解方程的必要前提），于是把①、②右邊都移項(xiàng)，成為④④③③

雖經(jīng)過這樣的變形，但③、④的左邊都不能分解因式，還需做一些技術(shù)處理。把③-④，得即即⑤方程組（1）同解于下列方程組（2），即(2)而方程組（2）同解于下列兩個(gè)方程組（3），（4）。即（3）（4）由（3）解得由（4）解得此例3的解題依據(jù)是用了下述的同解定理4。定理4設(shè)A（x,y）,B(x,y)都是二元二次式，且m,n是非零實(shí)數(shù)，則方程組（1）同解于方程組（2）例4解方程組②②①①分析：先移項(xiàng)，使方程一邊為0，得④④③③但是這兩個(gè)方程的左邊三項(xiàng)都不能分解因式。我們在前面學(xué)過的，用分式法分解二次三項(xiàng)式時(shí)，會對或等式子因式分解，也就是說，我們會對二次齊次三項(xiàng)式因式分解。注意二次齊次三項(xiàng)式不含常數(shù)項(xiàng)。為此，我們想法從③、④來構(gòu)造出一個(gè)不含常數(shù)項(xiàng)的二次齊次三項(xiàng)式。⑤⑤把③式兩邊都乘以2，得⑥⑥把④式兩邊都乘以7，得把⑤-⑥，得 2x2-xy-28y2=0 ⑦根據(jù)定理4，由⑦與④組成的方程組（1）與原方程組是同解方程組。②②①①即 與（1） 是同解方程組。⑦的左邊可分解為（2x+7y）(x-4y)=0,即（1）為方程組（1）同解于下面兩個(gè)方程（2），（3），即

（2） （3）

方程組（2），（3）都是由一個(gè)二元二次方程與一個(gè)二元一次方程組組成的方程組，用代入消元法一定會解，解得 （三）課堂練習(xí)解方程組：提示：得4個(gè)方程組 分別解得（四）小結(jié)1.

本單元內(nèi)容與上一單元有密切聯(lián)系，上一單元的解法關(guān)鍵是代入消元；本單元的解法關(guān)鍵是先通過因式分解，把二元二次方程降次為兩個(gè)二元一次方程，然后再用上一單元的解法。由此可知，消元與降次這兩個(gè)方法是解二元二次方程組的核心。2.

在用因式分解法解方程時(shí)，方程的一邊必須是零。而方程的左邊的因式分解，有時(shí)要求技巧較高，需要用換元等方法。尤其要注意二次齊次三項(xiàng)式ax+bxy+cy在b-4ac0時(shí)，總可用求根公式法分解因式。3.

有時(shí)需要用定理4，對原方程組中的方程進(jìn)行適當(dāng)?shù)募印p、乘，構(gòu)造出一個(gè)能分解因式的二元二次方程，由此制造出一個(gè)與原方程組同解的方程組。（五）作業(yè)1.

把下列方程化成兩個(gè)二元一次方程：(1) x-3xy+2y=0; (2)x-4xy+3y=0(3) x-6xy+9y=16; (4) 2x-5xy=3y;(5) (x+y)-10=3(x+y); (6) x-4xy+4y=2x-4y+3.2.

解下列方程組： （1） （2）（3）3．解下列方程組：（1） （2）（3）（4）課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說明1．在復(fù)習(xí)舊知識為引入新課作準(zhǔn)備時(shí)，突出了“代入消元法”及用因式分解法解一元二