必修第二章 (一)

2.4.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義(一)第二章

§2.4平面向量的數(shù)量積學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解平面向量數(shù)量積的物理背景，即物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s所做的功.2.掌握平面向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律，理解其幾何意義.3.會(huì)用兩個(gè)向量的數(shù)量積求兩個(gè)向量的夾角以及判斷兩個(gè)向量是否垂直.問(wèn)題導(dǎo)學(xué)達(dá)標(biāo)檢測(cè)題型探究?jī)?nèi)容索引問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一平面向量數(shù)量積的物理背景及其定義一個(gè)物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s，如圖.思考1如何計(jì)算這個(gè)力所做的功？答案W＝|F||s|cosθ.思考2

力做功的大小與哪些量有關(guān)？答案與力的大小、位移的大小及它們之間的夾角有關(guān).梳理?xiàng)l件非零向量a與b，a與b的夾角為θ結(jié)論數(shù)量

叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)記法向量a與b的數(shù)量積記作

，即______________規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0a·b|a||b|cosθa·b＝|a||b|cosθ知識(shí)點(diǎn)二平面向量數(shù)量積的幾何意義思考1

什么叫做向量b在向量a方向上的投影？什么叫做向量a在向量b方向上的投影？|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影，|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影.思考2

向量b在向量a方向上的投影與向量a在向量b方向上的投影相同嗎？答案由投影的定義知，二者不一定相同.梳理(1)條件：向量a與b的夾角為θ.(2)投影向量b在a方向上的投影|b|cosθ向量a在b方向上的投影|a|cosθ(3)a·b的幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與

的乘積.b在a的方向上的投影|b|cosθ知識(shí)點(diǎn)三平面向量數(shù)量積的性質(zhì)思考1

向量的數(shù)量積運(yùn)算結(jié)果和向量的線性運(yùn)算的結(jié)果有什么區(qū)別？答案向量的線性運(yùn)算結(jié)果是向量，而向量的數(shù)量積是數(shù)量.思考2非零向量的數(shù)量積是否可為正數(shù)，負(fù)數(shù)和零，其數(shù)量積的符號(hào)由什么來(lái)決定？答案由兩個(gè)非零向量的夾角決定.當(dāng)0°≤θ＜90°時(shí)，非零向量的數(shù)量積為正數(shù).當(dāng)θ＝90°時(shí)，非零向量的數(shù)量積為零.當(dāng)90°＜θ≤180°時(shí)，非零向量的數(shù)量積為負(fù)數(shù).______，a與b同向，________，a與b反向.梳理設(shè)向量a與b都是非零向量，它們的夾角為θ，(1)a⊥b?a·b＝0.(3)a·a＝

或|a|＝______.(4)cosθ＝______.(5)|a·b|

|a||b|.|a||b|－|a||b||a|2≤(2)當(dāng)a∥b時(shí)，a·b＝1.向量數(shù)量積的運(yùn)算結(jié)果是向量.(

)2.向量a在向量b上的投影一定是正數(shù).(

)[思考辨析判斷正誤]答案提示×××題型探究類型一求兩向量的數(shù)量積解答例1

已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為1，求：解答反思與感悟

求平面向量數(shù)量積的兩個(gè)方法(1)定義法：若已知向量的模及其夾角，則直接利用公式a·b＝|a||b|cosθ.運(yùn)用此法計(jì)算數(shù)量積的關(guān)鍵是正確確定兩個(gè)向量的夾角，條件是兩向量的始點(diǎn)必須重合，否則，要通過(guò)平移使兩向量符合以上條件.(2)幾何意義法：若已知一向量的模及另一向量在該向量方向上的投影，可利用數(shù)量積的幾何意義求a·b.跟蹤訓(xùn)練1

已知|a|＝4，|b|＝7，且向量a與b的夾角為120°，求(2a＋3b)·(3a－2b).解(2a＋3b)·(3a－2b)＝6a2－4a·b＋9b·a－6b2＝6|a|2＋5a·b－6|b|2＝6×42＋5×4×7·cos120°－6×72＝－268.解答類型二求向量的模解答解答引申探究若本例中條件不變，求|2a＋b|，|a－2b|.解答跟蹤訓(xùn)練2

已知|a|＝1，|b|＝3，且|a－b|＝2，求|a＋b|.解方法一

∵|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1＋9－2a·b＝4，∴a·b＝3.∴|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋9＋2×3＝16，∴|a＋b|＝4.方法二

∵|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，∴|a－b|2＋|a＋b|2＝2a2＋2b2＝2×1＋2×9＝20.又|a－b|＝2，∴|a＋b|2＝16，∴|a＋b|＝4.類型三求向量的夾角解答例3

(1)設(shè)n和m是兩個(gè)單位向量，其夾角是60°，求向量a＝2m＋n與b＝2n－3m的夾角.解∵|n|＝|m|＝1且m與n夾角是60°，a·b＝(2m＋n)·(2n－3m)＝m·n－6m2＋2n2設(shè)a與b的夾角為θ，解答(2)已知非零向量a，b滿足|a|＝|b|＝|a＋b|，求a與a＋b的夾角及a與a－b的夾角.∴四邊形OACB為菱形，OC平分∠AOB，∴∠AOC＝60°，即a與a＋b的夾角為60°.∵∠AOC＝60°，∴∠AOB＝120°，即a與a－b的夾角為30°.反思與感悟(1)求向量的夾角，主要是利用公式cosθ＝

求出夾角的余弦值，從而求得夾角.可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以尋找|a|，|b|，a·b三者之間的關(guān)系，然后代入求解.(2)求向量的夾角，還可結(jié)合向量線性運(yùn)算、模的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.(3)求向量的夾角時(shí)，注意向量夾角的范圍是[0，π].解答跟蹤訓(xùn)練3

已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，求a與b的夾角.解∵(a＋2b)·(a－b)＝|a|2－2|b|2＋a·b＝－2.|a|＝|b|＝2，∴a·b＝2，達(dá)標(biāo)檢測(cè)1.已知|a|＝1，|b|＝2，a與b的夾角為

則a·b等于A.1 B.2 C.3 D.4答案1234√5解析√12345答案解析答案1234解析53.已知|a|＝8，|b|＝4，〈a，b〉＝120°，則向量b在a方向上的投影為A.4 B.－4 C.2 D.－2√解析向量b在a方向上的投影為|b|cos〈a，b〉＝4×cos120°＝－2.答案解析12345√12345解析如圖所示，由題意，得BC＝a，CD＝a，∠BCD＝120°.123455.已知向量a，b的夾角為60°，且|a|＝2，|b|＝1，若c＝2a－b，d＝a＋2b，求：(1)c·d；解答解c·d＝(2a－b)·(a＋2b)＝2a2－2b2＋3a·b(2)|c＋2d|.解|c＋2d|2＝(4a＋3b)2＝16a2＋9b2＋24a·b規(guī)律與方法1.兩向量a與b的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是一個(gè)向量，其值可以為正(當(dāng)a≠0，b≠0,0°≤θ<90°時(shí))，也可以為負(fù)(當(dāng)a≠0，b≠0,90°<θ≤1