新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)精講講練學(xué)案 平面向量數(shù)量積的基本概念及運(yùn)算（含解析）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第第頁參考答案1．B【解析】【分析】利用向量垂直及數(shù)量積的定義可判斷A，根據(jù)平面向量數(shù)乘的分配律即可判斷B，利用數(shù)量積的定義可判斷CD．【詳解】對于A，若和，都垂直，顯然，至少在模的方面沒有特定關(guān)系，所以命題不成立；對于B，這是平面向量數(shù)乘的分配律，顯然成立；對于C，若，則，，而與不一定相等，所以命題不成立；對于D，與分別是一個和，共線的向量，顯然命題不一定成立．故選：B．2．C【解析】【分析】由向量數(shù)量積的定義及三角形面積公式可得，結(jié)合三角形內(nèi)角性質(zhì)即可求.【詳解】由題設(shè)，，又，所以，即，而，故.故選：C3．C【解析】【分析】由向量數(shù)量積的定義及三角形內(nèi)角的性質(zhì)可得，即可判斷三角形形狀.【詳解】由，而，所以且，故.所以△ABC一定為鈍角三角形.故選：C4．D【解析】【分析】由正六邊形的性質(zhì)易得，，，則在直角中可求得，在中，利用余弦定理可求得，從而可求出，進(jìn)而利用數(shù)量積的定義可求得結(jié)果【詳解】由正六邊形的性質(zhì)易得，，，所以，所以為直角三角形，且，，，在中，，所以，，所以．故選：D．5．A【解析】【分析】由已知條件可求出的值，從而可求出，進(jìn)而利用數(shù)量積公式可求出【詳解】在中，，，所以，，在中，，，所以，，因為為銳角，所以，所以，所以，所以，故選：A6．B【解析】【分析】利用數(shù)量積的定義直接求解.【詳解】因為是等邊三角形，所以.所以是邊長為2的等邊三角形，點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，所以.所以.故選：B7．D【解析】由向量投影定義及投影值，即可確定的值.【詳解】根據(jù)定義可知向量在向量方向上的投影為，解得.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量投影定義及簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.8．D【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算及外心的性質(zhì)，即可求出數(shù)量積的值.【詳解】如圖，,因為,所以，又因為是三角形的外心，所以,所以.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用三角形外心的性質(zhì)，可知在向量上的投影為，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.9．D【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義即可求解.【詳解】.故選：D.10．C【解析】【分析】由，兩邊平方得，，由，結(jié)合兩邊同時平方得，，從而可求.【詳解】∵，∴①∵且，兩邊同時平方得，∴②①②聯(lián)立得：.故選：C．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于m、n的齊次方程，進(jìn)而求得兩參數(shù)的比值.11．A【解析】【分析】由數(shù)量積的定義，結(jié)合條件即可求解.【詳解】因為，而，所以，所以，故.故選：A12．C【解析】【分析】由題意得，然后轉(zhuǎn)化為橢圓上的點(diǎn)P到點(diǎn)的距離的問題處理，根據(jù)二次函數(shù)的最值可得所求．【詳解】解：由題意得．設(shè)橢圓上一點(diǎn)，則，，又，當(dāng)時，取得最小值．故選：C．13．D【解析】【分析】直接根據(jù)向量的數(shù)量積公式求解即可.【詳解】由已知得故選：D14．D【解析】【分析】以為原點(diǎn)，直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)及，根據(jù)題意列出的方程，從而可判斷出動點(diǎn)的軌跡為拋物線.【詳解】以為原點(diǎn)，直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，，因為，所以，整理，得，所以動點(diǎn)的軌跡為拋物線.故選：D.15．C【解析】【分析】由題設(shè)有，，，，即可得，分析使的最小時的位置關(guān)系，進(jìn)而求的最小值.【詳解】由題設(shè)，，，∴，∴，，∴，要使的最小，即同向共線.又，∴.故選：C16．B【解析】【分析】待定系數(shù)法將向量分解，由平面向量共線定理求出系數(shù)，然后代回原式計算【詳解】設(shè)，由知，∴，∵，，三點(diǎn)共線，∴①，由知，∴，∵，，三點(diǎn)共線，∴②，由①②得：.，∴，而，∴故選：B17．B【解析】【分析】先利用數(shù)量積運(yùn)算化簡得到，再利用余弦定理化簡得解.【詳解】因為，所以，所以，所以，所以，所以三角形是直角三角形.故選：B18．B【解析】根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算，以及向量模的計算公式，逐項判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】已知非零平面向量，，，（1）若，則，所以或，即（1）錯；（2）若，則與同向，所以，即（2）正確；（3）若，則，所以，則；即（3）正確；（4）若，則，所以，不能得出向量共線，故（4）錯；故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查向量有關(guān)的判定，屬于基礎(chǔ)題型.19．A【解析】【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系得到的取值范圍，再利用余弦定理表示出，最后根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義計算可得；【詳解】解：因為，，所以，即，解得，由余弦定理，所以，因為，所以，所以，即；故選：A20．A【解析】【分析】先求出，再求出，即得解.【詳解】向量的夾角是，，∴.∴，.∴.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積的計算，考查平面向量的模的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.21．A【解析】【分析】首先根據(jù)題中所給的條件，結(jié)合正六邊形的特征，得到在方向上的投影的取值范圍是，利用向量數(shù)量積的定義式，求得結(jié)果.【詳解】的模為2，根據(jù)正六邊形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范圍是，結(jié)合向量數(shù)量積的定義式，可知等于的模與在方向上的投影的乘積，所以的取值范圍是，故選：A.【點(diǎn)睛】該題以正六邊形為載體，考查有關(guān)平面向量數(shù)量積的取值范圍，涉及到的知識點(diǎn)有向量數(shù)量積的定義式，屬于簡單題目.22．A【解析】【分析】根據(jù)向量的加法和減法的幾何意義，結(jié)合向量的數(shù)量積運(yùn)算，即可得到答案；【詳解】，，，，，，故選：A23．A【解析】【分析】利用向量知識可得，兩邊平方可得，再利用不等式知識可求得結(jié)果.【詳解】因為，所以，所以，所以，所以，整理得，所以，因為，所以，所以，解得.所以的最大值為故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將向量條件化為，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算得到是解題關(guān)鍵.24．B【解析】【分析】先根據(jù)向量等式推導(dǎo)出甲中P為△ABC的重心，乙中△ABC為直角三角形，丙中P為△ABC的外心，丁中P為△ABC的垂心，故得到當(dāng)△ABC為等邊三角形時，三心重合，此時甲丙丁均成立，乙不成立，得到答案.【詳解】甲：，則，故P為△ABC的重心；乙：，則，故，即△ABC為直角三角形；丙：點(diǎn)P到三角形三個頂點(diǎn)距離相等，故P為△ABC的外心；?。?，則，同理可得：，即P為△ABC的垂心，當(dāng)△ABC為等邊三角形時，三心重合，此時甲丙丁均成立，乙不成立，滿足要求，當(dāng)乙成立時，其他三個均不一定成立.故選：B．25．A【解析】【分析】將作為基底表示出，然后求其數(shù)量積即可【詳解】解：因為在中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，所以，因為，，，所以故選：A26．C【解析】【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，求得，得到為鈍角，即可求解.【詳解】由向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，可得，即，因為，所以為鈍角，所以－定是鈍角三角形.故選：C.27．C【解析】【分析】設(shè)與的夾角為，進(jìn)而根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律和向量垂直時數(shù)量積為0得，進(jìn)而得答案.【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)與的夾角為，則，若，則，即，又由，則，故選：C．28．C【解析】【分析】利用向量投影的定義求解.【詳解】由題設(shè)可得，即，則，設(shè)與的夾角為，則.又，故,因為是與方向相同的單位向量，所以在方向上的投影向量為.故選:C29．D【解析】【分析】連接，根據(jù)正六邊形的特征可得，從而可得，再根據(jù)當(dāng)在上運(yùn)動時，與均逐漸增大，當(dāng)從移動到時，與均逐漸減小，即可求得，，從而得出答案.【詳解】解：連接，在正六邊形中，，∴，∵正六邊形的邊長為2，∴，因為當(dāng)在上運(yùn)動時，與均逐漸增大，當(dāng)從移動到時，與均逐漸減小，所以當(dāng)在上運(yùn)動時，取得最大值，為，當(dāng)移動到點(diǎn)時，取得最小值，為0．∴，，∴．故選：D.【點(diǎn)睛】30．AC【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)中的圓冪定理可判斷AC的正誤，取的中點(diǎn)為，連接，利用向量的線性運(yùn)算可判斷B的正誤，根據(jù)直徑的大小可判斷D的正誤.【詳解】如圖，設(shè)直線與圓于，.則,故A正確.取的中點(diǎn)為，連接，則，而，故的取值范圍是，故B錯誤.當(dāng)時，，故C正確.因為，故，故D錯誤.故選：AC31．ACD【解析】【分析】利用向量的線性運(yùn)算、向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合條件逐項判斷即得.【詳解】∵在平行四邊形中，，∴分別為AB、AD的中點(diǎn)，∴，故A正確；因為，故B錯誤；因為，故C正確；若，則，又，∴，∴∴，故D正確.故選：ACD.32．BCD【解析】【分析】利用三角形外心、重心、垂心的性質(zhì)，結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算法則以及平面向量的數(shù)量積的定義及運(yùn)算律逐項分析即可求出結(jié)果.【詳解】由G是三角形ABC的重心可得，所以=，故A項錯誤；過三角形ABC的外心O分別作AB、AC的垂線，垂足為D、E，如圖（1），易知D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，則，故B項正確；因為G是三角形ABC的重心，所以有，故，由歐拉線定理可得，故C項正確；如圖（2），由可得，即，則有，D項正確，故選：BCD.33．ACD【解析】【分析】對于A，注意；對于B，根據(jù)平面向量數(shù)乘的分配律即可判斷；對于C，若和，都垂直即可判斷；對于D，根據(jù)數(shù)量積定義即可判斷．【詳解】對于A，，命題不成立；對于B，這是平面向量數(shù)乘的分配律，顯然成立；對于C，若和，都垂直，顯然，至少在模的方面沒有特定關(guān)系，所以命題不成立；對于D，與分別是一個和，共線的向量，顯然命題不一定成立．故選：ACD．34．9【解析】【分析】建立直角坐標(biāo)系，由題意結(jié)合雙曲線的定義可得點(diǎn)的軌跡方程為，轉(zhuǎn)化條件得，由求出最大值后即可得解.【詳解】以所在直線為軸，的中垂線為軸，如圖建立直角坐標(biāo)系，則，，由得點(diǎn)的軌跡方程為，所以，設(shè)，則，因為，所以，所以的最大值為9.故答案為：9.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則及向量模的坐標(biāo)表示，考查了雙曲線定義的應(yīng)用，屬于中檔題.35．3【解析】【分析】由得，結(jié)合模長求解過程，得到，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合基本不等關(guān)系，求得最小值.【詳解】，則，，易知當(dāng)時，最小為，此時，，同向.故答案為：3【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由題干條件，求得，最后把模長表達(dá)出來后，利用基本不等關(guān)系求解，最后要考慮等號成立條件，滿足則可以取得最小值.36．【解析】【分析】求出及，然后由數(shù)量積定義可得夾角．【詳解】由已知，所以，，設(shè)與的夾角為，則，，所以．故答案為：．37．【解析】【分析】由題知是等腰直角三角形，故，，再根據(jù)數(shù)量積定義計算即可.【詳解】由，，知是等腰直角三角形，∴，，∴.故答案為：.38．13【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，有，即可求的最大值.【詳解】∵，∴當(dāng)時，有最大值為169.∴的最大值為13.故答案為：13.39．22【解析】【分析】利用數(shù)量積的定義及運(yùn)算律可求的值.【詳解】，故答案為：22.40．(1)(2)的最小值為，為.【解析】【分析】（1）由向量的減法公式，結(jié)合題意和平面向量共線定理，即可求得，進(jìn)而求出結(jié)果；（2）記，因為，所以，設(shè)，根據(jù)平面向量加法理和平面向量共線定可得，進(jìn)而求得，化簡整理可得，再根據(jù)二次函數(shù)和余弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求出結(jié)果.(1)解：因為，，所以，所以，即.(2)解：記，因為，所以，設(shè)，則，所以當(dāng)時，取最小值，即最小值為，又，所以，所以，即，所以的最小值為，此時為.41．（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先設(shè)，，根據(jù)題意，求出，，再由向量模的計算公式，即可得出結(jié)果；（2）先由題意，得到，，再由向量數(shù)量積的運(yùn)算法則，以及題中條件，得到，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)，，則，，因此，所以，，（2）因為，所以，同理可得，，所以，∴，即，同除以可得，.【點(diǎn)睛】本題主要考查用向量的方法求線段長，考查由向量數(shù)量積求參數(shù)，熟記平面向量基本定理，以及向量數(shù)量積的運(yùn)算法則即可，屬于常考題型.42．(1)；(2).【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理將邊化為角的表達(dá)式.結(jié)合正弦函數(shù)和角公式化簡即可求得,即可得.（2）由余弦定理及平面向量數(shù)量積的乘積,即可得.進(jìn)而得三角形的周長.【詳解】（1）因為,在中,由正弦定理所以,即,,得,得,,；（2）由余弦定理,代入可得.即,即,可得,所以,得,所以周