2023-2024學(xué)年黑龍江省大慶市實驗中學(xué)實驗一部高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat17頁2023-2024學(xué)年黑龍江省大慶市實驗中學(xué)實驗一部高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用并集和補集的定義可求得集合.【詳解】因為合，，則，因此，.故選：C.2．命題“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】利用存在量詞命題的否定可得出結(jié)論.【詳解】命題“，”為存在量詞命題，該命題的否定為“，”.故選：B.3．函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理可得出結(jié)論.【詳解】因為函數(shù)、在上均為增函數(shù)，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，因為，則，即，可得，，，所以，函數(shù)的零點所在的區(qū)間是.故選：B.4．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系進行求解即可.【詳解】設(shè)，則要使在區(qū)間上單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得：滿足，即，得a，即實數(shù)a的取值范圍是.故選：D5．已知，則（

）A． B． C．0 D．4【答案】A【分析】根據(jù)題意先求的值，然后再求的值.【詳解】因為，，所以..故選：A.6．若冪函數(shù)的圖象過點，則的值域為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由求出的值，再令，將用含的二次函數(shù)表示，結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)的值域.【詳解】由題意可得，可得，則，令，可得，則，令，其中，則，當且僅當時，等號成立，故函數(shù)的值域為.故選：A.7．已知函數(shù)是定義在區(qū)間上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由偶函數(shù)，得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，得，得，即可求解.【詳解】解：因為函數(shù)是定義在區(qū)間上的偶函數(shù)，所以，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，得函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，得，得，得，得，則則不等式的解集是：.故選：B.8．已知函數(shù)為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且滿足.若對任意的，均有不等式恒成立，則實數(shù)的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意得出、的解析式，不等式恒成立，采用分離參數(shù)法，可得轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，求出函數(shù)的最大值即可.【詳解】因為為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且①，所以，②，①②兩式聯(lián)立可得，.由可得，可得，令，其中，任取、且，則，所以，，當時，則，則，則，當時，則，則，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，又因為，，則，令，則，則，因為函數(shù)、在上均為增函數(shù)，則，故，即，故的最大值為.故選：C.二、多選題9．若函數(shù)與的值域相同，但定義域不同，則稱與是“同象函數(shù)”，已知函數(shù)，，則下列函數(shù)中與是“同象函數(shù)”的有（

）A．， B．，C．， D．，【答案】AD【分析】求出的值域，根據(jù)“同象函數(shù)”的定義逐項判斷可得答案.【詳解】函數(shù)的值域為，對于A，函數(shù)，，所以，與的值域一樣，所以與是“同象函數(shù)”，故A正確；對于B，函數(shù)，，所以函數(shù)，與的值域不一樣，所以與不是“同象函數(shù)”，故B錯誤；對于C，函數(shù)，，所以，與的值域不一樣，所以與不是“同象函數(shù)”，故C錯誤；對于D，函數(shù)，，所以，與的值域一樣，所以與是“同象函數(shù)”，故D正確.故選：AD.10．一般認為，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但窗戶面積與地板面積的比應(yīng)不小于10%，而且這個比值越大，采光效果越好.則（

）A．當一所公寓窗戶面積與地板面積的總和為時，這所公寓的窗戶面積至少應(yīng)該為B．若同時增加相同的窗戶面積和地板面積，公寓的采光效果會變好C．若同時增加窗戶面積和地板面積，且增加的地板面積是增加的窗戶面積的3倍，公寓采光效果一定會變差D．若窗戶面積和地板面積都增加原來的，其中公寓采光效果不變【答案】ABD【分析】設(shè)該公寓窗戶面積為x，依題意列出不等式組求解可判斷A；記窗戶面積為a和地板面積為b，同時根據(jù)B，C，D設(shè)增加的面積，表示出增加面積前后的比值作差比較即可判斷B，C，D.【詳解】對于A，該公寓窗戶面積為x，則地板面積為，所以，解得，所以這所公寓的窗戶面積至少應(yīng)該為，A正確；對于B，若窗戶面積a和地板面積b,同時增加相同面積c，由題知，增加前后窗戶面積與地板面積之比分別為，則，所以同時增加相同的窗戶面積和地板面積，公寓的采光效果會變好，B正確；對于C，設(shè)窗戶面積a和地板面積b,增加的地板面積，增加窗戶面積，由題知，增加前后窗戶面積與地板面積之比分別為，則，其中的值是否大于0無法判斷，所以的大小無法判斷，即無法判斷公寓采光效果是否會變差，C錯誤；對于D，設(shè)窗戶面積a和地板面積b,若窗戶面積和地板面積都增加原來的，其中則窗戶增加，地板增加，所以增加前后窗戶面積與地板面積之比分別為，所以公寓采光效果不變，故D正確；故選：ABD11．設(shè)正實數(shù)，滿足，則（

）A．的最大值為 B．的最小值為9C．的最小值為1 D．的最大值是【答案】ABD【分析】利用基本不等式，結(jié)合選項即可逐一求解.【詳解】對于A，因為，所以，則，當且僅當，即，時等號成立，即的最大值為，故A正確；對于B，因為，所以，當且僅當，即時等號成立，故B正確；對于C，因為，當且僅當，即，時等號成立，所以C錯誤；對于D，，∴的最大值為，當且僅當，即，時等號成立，D正確.故選：ABD.12．已知函數(shù)，函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．存在，使得沒有零點B．若，則有個零點C．若，則有個零點D．若有個零點，則的取值范圍為【答案】BCD【分析】畫出的簡圖，令，則，令，則，然后結(jié)合圖象，分，，，，和六種情況討論函數(shù)的零點即可.【詳解】令，解得或；令，解得或或．根據(jù)函數(shù)圖象的平移變換，可畫出的簡圖，如圖所示．

令，則，令，則．當時，只有1解，且，此時只有解，所以只有個零點．當時，有解，即或．有解；有解．所以有個零點．當時，有3解．當時，只有1解；當時，有解；當時，有解．所以有個零點．當時，有3解，即或1或3．只有1解；有2解；有3解．所以有6個零點．當時，有2解．當時，有2解；當時，有3解．所以有5個零點．當時，只有1解有2解，所以有2個零點．當時，只有1解，且，此時只有1解，所以只有個零點．綜上所述，對任意的，都有零點，A錯，若，則有個零點，B對，若，則有個零點，C對，若有個零點，則的取值范圍為，D對，故選：BCD.【點睛】思路點睛：對于復(fù)合函數(shù)的零點個數(shù)問題，求解思路如下：（1）確定內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)；（2）確定外層函數(shù)的零點；（3）確定直線與內(nèi)層函數(shù)圖象的交點個數(shù)分別為、、、、，則函數(shù)的零點個數(shù)為.三、填空題13．函數(shù)的定義域為．【答案】【分析】根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于0、分母不為0可得答案.【詳解】要使函數(shù)有意義，只需，解得且，所以函數(shù)的定義域為.故答案為：.14．已知為上的偶函數(shù)，當時，，則．【答案】【分析】利用偶函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的值.【詳解】因為為上的偶函數(shù)，當時，，則.故答案為：.15．已知函數(shù)滿足，函數(shù)．且與的圖象交點為，，…，，則．【答案】48【分析】求函數(shù)圖像的對稱中心，由函數(shù)的對稱性求值.【詳解】函數(shù)滿足，則函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱，函數(shù)，函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，則函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱，與的圖象的8個交點，也兩兩關(guān)于點對稱，則.故答案為：4816．已知函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)題意確定，考慮、兩種情況，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于實數(shù)的不等式，即可得解.【詳解】因為當時，，要使得函數(shù)的值域為，必須滿足當時，函數(shù)單調(diào)遞增，故.當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時，，而當時，，所以，，可得，解得或，此時，；當時，函數(shù)在上為增函數(shù)，則，所以，，解得，此時，.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.四、解答題17．已知全集，集合，集合．(1)求集合；(2)若集合，且，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）解出集合，利用交集的定義可求得集合；（2）由題意可知，，根據(jù)集合的包含關(guān)系可得出關(guān)于實數(shù)的不等式組，解之即可.【詳解】（1）解不等式可得，解得或，故，又因為，故.（2）顯然，因為，則，解得，所以，實數(shù)的取值范圍是.18．已知函數(shù)，．(1)若不等式的解集為，求實數(shù)的值：(2)當時，解關(guān)于的不等式．【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）分析可知，方程的兩根分別為、，利用韋達定理可求得實數(shù)的值；（2）將所求不等式變形為，分、、三種情況討論，結(jié)合二次不等式的解法可出原不等式的解集.【詳解】（1）解：因為不等式的解集為，所以，方程的兩根分別為、，且，可得，所以，，解得.（2）解：因為，不等式即為方程兩根為，，①當，即時，原不等式為，該不等式的解集為；②當時，即時，解原不等式可得或；③當時，即時，解原不等式可得或.綜上可知：當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為.19．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最大值；(2)若關(guān)于的不等式對于任意的恒成立，求正實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)1(2)【分析】（1）利用對數(shù)的運算性質(zhì)化簡，令，結(jié)合二次函數(shù)即可求出函數(shù)的最大值；（2）將恒成立問題轉(zhuǎn)化成，借助（1）的結(jié)論，解不等式即可.【詳解】（1）因為，令，可得，所以當且僅當，即時，函數(shù)取到最大值1．（2）由（1）可得：當且僅當，即時，函數(shù)取到最大值6，所以，即，且，解得，即，故實數(shù)的取值范圍為．20．已知函數(shù)，(1)解不等式；(2)對任意，總存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解；（2）求出的值域，由題意轉(zhuǎn)化為的值域包含的值域，根據(jù)二次函數(shù)分類討論求解即可.【詳解】（1）由題意，，即，整理得，又函數(shù)是R上的增函數(shù)，解得，所以不等式的解集為．（2）因為為R上的增函數(shù)，當時，函數(shù)的值域為．由已知，任意，總存在，使得成立，所以的值域是值域的子集．即在上的最小值．對，對稱軸為，當時，在單調(diào)遞增，，令，解得當，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，成立．綜上可知：的取值范圍是.21．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)．(1)求實數(shù)，的值：(2)試判斷函數(shù)的單調(diào)性并用單調(diào)性的定義證明；(3)若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，(2)在上單調(diào)遞減，證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義，列等式求解參數(shù)即可；（2）根據(jù)函數(shù)的解析式判定函數(shù)的單調(diào)性，再運用單調(diào)性的定義證明；（3）先運用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性化簡不等式，再運用分離變量法轉(zhuǎn)化不等式恒成立問題，結(jié)合函數(shù)的最值求解出參數(shù)的取值范圍.【詳解】解：（1）由，解得．由，得經(jīng)檢驗可知符合題意，所以，（2）在上單調(diào)遞減．由（1）得：證明：任取，且∵，∴，，∴∴在上單調(diào)遞減（3）因為為奇函數(shù)且為減函數(shù)，所以不等式等價于，令，，下面求的最小值令，則，當時取到的最小值為∴，∴．即的取值范圍是22．若函數(shù)與區(qū)間同時滿足：①區(qū)間為的定義域的子集，②對任意，存在常數(shù)，使得成立，則稱是區(qū)間上的有界函數(shù)，其中稱為函數(shù)的一個上界．（注：涉及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求最值可直接使用單調(diào)性，不需要證明）(1)試判斷函數(shù)，是否是上的有界函數(shù)；（直接寫結(jié)論）(2)已知函數(shù)是區(qū)間上的有界函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的所有上界構(gòu)成的集合；(3)對實數(shù)進行討論，探究函數(shù)在區(qū)間上是否存在上界？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．【答案】(1)不是上的有界函數(shù)，是上的有界函數(shù)(2)(3)當時，存在上界M，;當或時，存在上界M，；當時，存在上界M，;當時，不存在上界M．【分析】（1）根據(jù)有界函數(shù)的定義判斷即可；（2）先求解函數(shù)的值域，進而求解的取值范圍，再根據(jù)有界函數(shù)的定義確定上界M的取值范圍；（3）先求解函數(shù)及，再根據(jù)有界函數(shù)的定義，討論m取不同數(shù)值時，函數(shù)是否存在上界，并求