同濟版多元積分總結(jié)(經(jīng)典)

PAGEPAGE1小結(jié)在過往的日子中很多同學(xué)說過他們最怕多元積分那一部分，今天我就此發(fā)表一下我的看法：如果用高洪波的話來說很多人一直都是自己嚇自己。其實這一部分的內(nèi)容就總體而言還是很好理解的，不難（相比于一元積分證明），但是很多人拿分拿不全，說明思路大家都知道，但是由于計算復(fù)雜不熟練，得分因而不理想，復(fù)習(xí)全書上的排版很亂，現(xiàn)在我就說一下我對這部分內(nèi)容的理解。

這部分內(nèi)容一共有3大板塊：重積分，面積分，線積分。下面分開來說：

1：重積分又包括二重積分與三重積分。對于二重的重點在于積分上下限的選取以及坐標換元（只有一種換原方法）的靈活運用，同時他的兩個重要性質(zhì)：包括奇偶性與輪換對稱性，這兩個性質(zhì)的思路理解對于后面的深入完全是以此類推的（三重，線，面都有這個性質(zhì)，思路上只是換湯不換藥），二重積分的考查形式就是計算。對于三重個人認為重中之重在于要明白柱坐標與球面坐標的概念與使用條件，與此同時運用三重的奇偶性與輪換對稱性來簡化，不過要注意坐標面的不同性質(zhì)也會有相應(yīng)的不同。

2，線積分：又分為對平面線積分與對坐標線積分，前者是一個記憶問題，只要記清公式，總體上說沒有大的難度，對于后者一定要注意條件使用格林公式的條件，如果不滿足可以用加一弧段減一弧段或者挖洞法。如果牽扯到原函數(shù)的問題，時刻謹記格林公式的條件加以湊微分。值得一提的是兩種線都有奇偶性與輪換對稱性，但是由于定義的不同兩者是有差異的不能混為一談。最后問題的終結(jié)都要化為二重積分來解決。

3.面積分：又分為對平面面的面積分與對坐標的面積分，前者是一個記憶問題如果把握清所在的是哪個平面就沒有問題了（三個面：x面,y面,z面），后者一般都是用高斯，注意公式的使用條件，如果不滿足可以加一平面減一平面或者挖洞法。值得一提的是兩種面都有奇偶性與輪換對稱性，但是由于定義的不同兩者是有差異的不能混為一談。坐標的面積分經(jīng)高斯公式后化為三重積分。最后問題的終結(jié)都化為二重來解決。

補充：斯托克托在實際的應(yīng)用中是聯(lián)系空間線積分與空間面積分的問題，用得比較少，內(nèi)容是比較直觀的。其他通流量與散度也就可以迎刃而解了。那么如果實際應(yīng)用的話怎么辦呢？無非是重力。壓力等與定積分、重積分類似，曲線積分及曲面積分也都是某種和式的極限,并且有類似的性質(zhì)，他們都是從實際問題中抽象出來而產(chǎn)生的數(shù)學(xué)概念.由于他們的實際背景有差異，故曲線積分及曲面積分各分成兩類：曲線積分分為對弧長的曲線積分（第一類曲線積分）和對坐標的曲線積分（第二類曲線積分）；曲面積分分為對面積的曲面積分（第一類曲面積分）和對坐標的曲面積分（第二類曲面積分）.需要特別指出的是，對于定積分、二重積分、三重積分、第一類曲線積分、第一類曲面積分，這五種類型的積分的定義、性質(zhì)、中值定理及物理應(yīng)用都是類似的，可以把它們的定義、性質(zhì)、中值定理及物理應(yīng)用統(tǒng)一起來.首先約定，集合的測度的含義是：如果集合是實軸上的區(qū)間，則的測度即為該區(qū)間的長度；如果集合是平面上的區(qū)域，則的測度即為該區(qū)域的面積；如果集合是空間立體，則的測度即為該立體的體積；…；等等.1.定義：設(shè)函數(shù)在集合上有定義，以任意方式把集合分成部分，它們的測度分別記為.在上任取一點，作和式，記.如果不論集合如何分法，也不論在上如何取法，極限都存在并且是唯一的，則稱函數(shù)在集合上可積分，并稱該極限值為函數(shù)在集合上的積分，記為，即.例如，如果是實軸上的區(qū)間，為一元函數(shù)，則上述積分即是定積分；如果是平面上的區(qū)域，為二元函數(shù)，則上述積分即是二重積分；……；如果是空間曲面，為三元函數(shù)，則上述積分即是第一類曲面積分；等等.2.性質(zhì)：上述五種類型的積分的性質(zhì)是相通的，只要在定積分的各條性質(zhì)中把換成，則定積分的各條性質(zhì)就成為二重積分、三重積分、第一類曲線積分、第一類曲面積分的共性.例如，（1）為常數(shù)，則；（2）；（3）集合的測度；（4）如果，且，則；3.中值定理：設(shè)函數(shù)在集合上連續(xù)，則在上至少存在一點，使得集合的測度.例如，如果是實軸上的區(qū)間，為一元函數(shù)，則，；如果是平面上的區(qū)域，為二元函數(shù)，則區(qū)域的面積，；…；等等.由于考研大綱規(guī)定中值定理的考試范圍只有定積分和二重積分，所以三重積分、第一類曲線積分、第一類曲面積分的中值定理不需要掌握.4.物理應(yīng)用：第二類曲線積分的物理意義是變力沿曲線所做的功，第二類曲面積分的物理意義是流體沿曲面指定側(cè)的流量.除此之外，二重積分，三重積分、第一類曲線積分、第一類曲面積分在物理上的應(yīng)用主要分為三個方面，分別是轉(zhuǎn)動慣量（慣性矩）、質(zhì)心和引力.因為這些物理應(yīng)用都是類似的，所以我們對每個物理應(yīng)用僅對上述四個積分中的部分積分作介紹.（1）轉(zhuǎn)動慣量：設(shè)質(zhì)點的質(zhì)量為，質(zhì)點繞直線轉(zhuǎn)動時，轉(zhuǎn)動半徑為，則轉(zhuǎn)動慣量（此處不考慮轉(zhuǎn)動慣量的方向）為.設(shè)集合的密度為，在上任取微元，則的質(zhì)量為.如果繞直線轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動半徑為，則繞直線轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量為，從而繞直線轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量為.如果是平面區(qū)域，密度為，相應(yīng)的，，繞軸、軸和原點的轉(zhuǎn)動慣量分別為，.如果是空間區(qū)域，密度為，相應(yīng)的，，繞軸、軸，軸和原點的轉(zhuǎn)動慣量分別為.如果是平面曲線，密度為，相應(yīng)的，，繞軸、軸和原點的轉(zhuǎn)動慣量分別為，.當是空間曲線時，繞軸、軸，軸和原點的轉(zhuǎn)動慣量與上述類似.如果是空間曲面，密度為，相應(yīng)的，，繞軸、軸，軸和原點的轉(zhuǎn)動慣量分別為.（2）質(zhì)心：設(shè)質(zhì)點系位于某坐標系中相應(yīng)于軸的坐標分別為，質(zhì)量分別為則該質(zhì)點系的質(zhì)心相應(yīng)于軸的坐標為.設(shè)集合的密度為，在上任取微元，相應(yīng)的坐標為，的質(zhì)量為，集合的總質(zhì)量為，則集合的質(zhì)心相應(yīng)于軸的坐標為.如果是平面區(qū)域，密度為，相應(yīng)的，則的質(zhì)心相應(yīng)于軸和軸的坐標分別為.特別地，當常數(shù)時，上式成為，此即平面區(qū)域的形心坐標.如果是空間區(qū)域，密度為，相應(yīng)的，則的質(zhì)心相應(yīng)于軸，軸和軸的坐標分別為如果是平面曲線，密度為，相應(yīng)的，則的質(zhì)心相應(yīng)于軸和軸的坐標分別為.當是空間曲線時時，的質(zhì)心相應(yīng)于軸、軸，軸的坐標與上述類似.如果是空間曲面，密度為，相應(yīng)的，則的質(zhì)心相應(yīng)于軸，軸和軸的坐標分別為（3）引力：萬有引力定律—設(shè)有兩個質(zhì)點，其質(zhì)量分別為，與的距離為，則與之間的引力大小為其中是引力常數(shù).設(shè)質(zhì)點位于某坐標系中軸的坐標為，其質(zhì)量為.設(shè)集合的密度為，在上任取微元，相應(yīng)的坐標為，的質(zhì)量為，與的距離為，