同濟(jì)版多元積分總結(jié)(經(jīng)典)

PAGEPAGE1小結(jié)在過(guò)往的日子中很多同學(xué)說(shuō)過(guò)他們最怕多元積分那一部分，今天我就此發(fā)表一下我的看法：如果用高洪波的話來(lái)說(shuō)很多人一直都是自己嚇自己。其實(shí)這一部分的內(nèi)容就總體而言還是很好理解的，不難（相比于一元積分證明），但是很多人拿分拿不全，說(shuō)明思路大家都知道，但是由于計(jì)算復(fù)雜不熟練，得分因而不理想，復(fù)習(xí)全書上的排版很亂，現(xiàn)在我就說(shuō)一下我對(duì)這部分內(nèi)容的理解。

這部分內(nèi)容一共有3大板塊：重積分，面積分，線積分。下面分開來(lái)說(shuō)：

1：重積分又包括二重積分與三重積分。對(duì)于二重的重點(diǎn)在于積分上下限的選取以及坐標(biāo)換元（只有一種換原方法）的靈活運(yùn)用，同時(shí)他的兩個(gè)重要性質(zhì)：包括奇偶性與輪換對(duì)稱性，這兩個(gè)性質(zhì)的思路理解對(duì)于后面的深入完全是以此類推的（三重，線，面都有這個(gè)性質(zhì)，思路上只是換湯不換藥），二重積分的考查形式就是計(jì)算。對(duì)于三重個(gè)人認(rèn)為重中之重在于要明白柱坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的概念與使用條件，與此同時(shí)運(yùn)用三重的奇偶性與輪換對(duì)稱性來(lái)簡(jiǎn)化，不過(guò)要注意坐標(biāo)面的不同性質(zhì)也會(huì)有相應(yīng)的不同。

2，線積分：又分為對(duì)平面線積分與對(duì)坐標(biāo)線積分，前者是一個(gè)記憶問(wèn)題，只要記清公式，總體上說(shuō)沒有大的難度，對(duì)于后者一定要注意條件使用格林公式的條件，如果不滿足可以用加一弧段減一弧段或者挖洞法。如果牽扯到原函數(shù)的問(wèn)題，時(shí)刻謹(jǐn)記格林公式的條件加以湊微分。值得一提的是兩種線都有奇偶性與輪換對(duì)稱性，但是由于定義的不同兩者是有差異的不能混為一談。最后問(wèn)題的終結(jié)都要化為二重積分來(lái)解決。

3.面積分：又分為對(duì)平面面的面積分與對(duì)坐標(biāo)的面積分，前者是一個(gè)記憶問(wèn)題如果把握清所在的是哪個(gè)平面就沒有問(wèn)題了（三個(gè)面：x面,y面,z面），后者一般都是用高斯，注意公式的使用條件，如果不滿足可以加一平面減一平面或者挖洞法。值得一提的是兩種面都有奇偶性與輪換對(duì)稱性，但是由于定義的不同兩者是有差異的不能混為一談。坐標(biāo)的面積分經(jīng)高斯公式后化為三重積分。最后問(wèn)題的終結(jié)都化為二重來(lái)解決。

補(bǔ)充：斯托克托在實(shí)際的應(yīng)用中是聯(lián)系空間線積分與空間面積分的問(wèn)題，用得比較少，內(nèi)容是比較直觀的。其他通流量與散度也就可以迎刃而解了。那么如果實(shí)際應(yīng)用的話怎么辦呢？無(wú)非是重力。壓力等與定積分、重積分類似，曲線積分及曲面積分也都是某種和式的極限,并且有類似的性質(zhì)，他們都是從實(shí)際問(wèn)題中抽象出來(lái)而產(chǎn)生的數(shù)學(xué)概念.由于他們的實(shí)際背景有差異，故曲線積分及曲面積分各分成兩類：曲線積分分為對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分（第一類曲線積分）和對(duì)坐標(biāo)的曲線積分（第二類曲線積分）；曲面積分分為對(duì)面積的曲面積分（第一類曲面積分）和對(duì)坐標(biāo)的曲面積分（第二類曲面積分）.需要特別指出的是，對(duì)于定積分、二重積分、三重積分、第一類曲線積分、第一類曲面積分，這五種類型的積分的定義、性質(zhì)、中值定理及物理應(yīng)用都是類似的，可以把它們的定義、性質(zhì)、中值定理及物理應(yīng)用統(tǒng)一起來(lái).首先約定，集合的測(cè)度的含義是：如果集合是實(shí)軸上的區(qū)間，則的測(cè)度即為該區(qū)間的長(zhǎng)度；如果集合是平面上的區(qū)域，則的測(cè)度即為該區(qū)域的面積；如果集合是空間立體，則的測(cè)度即為該立體的體積；…；等等.1.定義：設(shè)函數(shù)在集合上有定義，以任意方式把集合分成部分，它們的測(cè)度分別記為.在上任取一點(diǎn)，作和式，記.如果不論集合如何分法，也不論在上如何取法，極限都存在并且是唯一的，則稱函數(shù)在集合上可積分，并稱該極限值為函數(shù)在集合上的積分，記為，即.例如，如果是實(shí)軸上的區(qū)間，為一元函數(shù)，則上述積分即是定積分；如果是平面上的區(qū)域，為二元函數(shù)，則上述積分即是二重積分；……；如果是空間曲面，為三元函數(shù)，則上述積分即是第一類曲面積分；等等.2.性質(zhì)：上述五種類型的積分的性質(zhì)是相通的，只要在定積分的各條性質(zhì)中把換成，則定積分的各條性質(zhì)就成為二重積分、三重積分、第一類曲線積分、第一類曲面積分的共性.例如，（1）為常數(shù)，則；（2）；（3）集合的測(cè)度；（4）如果，且，則；3.中值定理：設(shè)函數(shù)在集合上連續(xù)，則在上至少存在一點(diǎn)，使得集合的測(cè)度.例如，如果是實(shí)軸上的區(qū)間，為一元函數(shù)，則，；如果是平面上的區(qū)域，為二元函數(shù)，則區(qū)域的面積，；…；等等.由于考研大綱規(guī)定中值定理的考試范圍只有定積分和二重積分，所以三重積分、第一類曲線積分、第一類曲面積分的中值定理不需要掌握.4.物理應(yīng)用：第二類曲線積分的物理意義是變力沿曲線所做的功，第二類曲面積分的物理意義是流體沿曲面指定側(cè)的流量.除此之外，二重積分，三重積分、第一類曲線積分、第一類曲面積分在物理上的應(yīng)用主要分為三個(gè)方面，分別是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（慣性矩）、質(zhì)心和引力.因?yàn)檫@些物理應(yīng)用都是類似的，所以我們對(duì)每個(gè)物理應(yīng)用僅對(duì)上述四個(gè)積分中的部分積分作介紹.（1）轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：設(shè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為，質(zhì)點(diǎn)繞直線轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)半徑為，則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（此處不考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的方向）為.設(shè)集合的密度為，在上任取微元，則的質(zhì)量為.如果繞直線轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑為，則繞直線轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，從而繞直線轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為.如果是平面區(qū)域，密度為，相應(yīng)的，，繞軸、軸和原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為，.如果是空間區(qū)域，密度為，相應(yīng)的，，繞軸、軸，軸和原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為.如果是平面曲線，密度為，相應(yīng)的，，繞軸、軸和原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為，.當(dāng)是空間曲線時(shí)，繞軸、軸，軸和原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與上述類似.如果是空間曲面，密度為，相應(yīng)的，，繞軸、軸，軸和原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為.（2）質(zhì)心：設(shè)質(zhì)點(diǎn)系位于某坐標(biāo)系中相應(yīng)于軸的坐標(biāo)分別為，質(zhì)量分別為則該質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心相應(yīng)于軸的坐標(biāo)為.設(shè)集合的密度為，在上任取微元，相應(yīng)的坐標(biāo)為，的質(zhì)量為，集合的總質(zhì)量為，則集合的質(zhì)心相應(yīng)于軸的坐標(biāo)為.如果是平面區(qū)域，密度為，相應(yīng)的，則的質(zhì)心相應(yīng)于軸和軸的坐標(biāo)分別為.特別地，當(dāng)常數(shù)時(shí)，上式成為，此即平面區(qū)域的形心坐標(biāo).如果是空間區(qū)域，密度為，相應(yīng)的，則的質(zhì)心相應(yīng)于軸，軸和軸的坐標(biāo)分別為如果是平面曲線，密度為，相應(yīng)的，則的質(zhì)心相應(yīng)于軸和軸的坐標(biāo)分別為.當(dāng)是空間曲線時(shí)時(shí)，的質(zhì)心相應(yīng)于軸、軸，軸的坐標(biāo)與上述類似.如果是空間曲面，密度為，相應(yīng)的，則的質(zhì)心相應(yīng)于軸，軸和軸的坐標(biāo)分別為（3）引力：萬(wàn)有引力定律—設(shè)有兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)，其質(zhì)量分別為，與的距離為，則與之間的引力大小為其中是引力常數(shù).設(shè)質(zhì)點(diǎn)位于某坐標(biāo)系中軸的坐標(biāo)為，其質(zhì)量為.設(shè)集合的密度為，在上任取微元，相應(yīng)的坐標(biāo)為，的質(zhì)量為，與的距離為，