中考初中數(shù)學(xué)：相似三角形必考知識(shí)點(diǎn)+經(jīng)典例題解析

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中考初中數(shù)學(xué)：相似三角形必考知識(shí)點(diǎn)+經(jīng)典例題解析

知識(shí)點(diǎn)1有關(guān)相似形的概念

（D形狀相同的圖形叫相似圖形，在相似多邊形中，最簡(jiǎn)單的是相似三角形.

（2）如果兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例,這兩個(gè)多邊形叫做相似多

邊形.相似多邊形對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)度的比叫做相似比（相似系數(shù)）.

知識(shí)點(diǎn)2比例線段的相關(guān)概念

（1）如果選用同一單位量得兩條線段的長(zhǎng)度分別為機(jī),那么就說這兩條線段的比是@=或?qū)?/p>

bn

成。：6=〃?：〃,注：在求線段比時(shí)，線段單位要統(tǒng)一。

（2）在四條線段中，如果。和6的比等于c和d的比，那么這四條線段a,6,c,d叫做成比例線段，

簡(jiǎn)稱比例線段.注:①比例線段是有順序的，如果說a是仇c,d的第四比例項(xiàng)，那么應(yīng)得比例式為：自=4.②

ca

在比例式3=￡（a：b=ctd）中，a、d叫比例外項(xiàng)，b、c叫比例內(nèi)項(xiàng)，a、c叫比例前項(xiàng)，b、d叫比例后

bd

項(xiàng),d叫第四比例項(xiàng)，如果b=c,即a：b=b：4那么b叫做a、d的比例中項(xiàng)，此時(shí)有

（3）黃金分割：把線段.45分成兩條線段.4C,8c（z!C>8C）,且使XC是.45和BC的比例中項(xiàng)，即

AC'ABBC,叫做把線段48黃金分割，點(diǎn)C叫做線段.48的黃金分割點(diǎn)，其中

2

nmACBC75-1長(zhǎng)一短一在-1

0.618AB.即=---=------間1己力：-T-—―--------

ABAC2全長(zhǎng)2

注：黃金三角形：頂角是36的等腰三角形。黃金矩形：寬與長(zhǎng)的比等于黃金數(shù)的矩形

知識(shí)點(diǎn)3比例的性質(zhì)（注意性質(zhì)立的條件：分母不能為0）

（1）基本性質(zhì)：

①a-b-c.dad-be；②a：b=b：Cb~=Q”.

注：由一個(gè)比例式只可化成一個(gè)等積式，而一個(gè)等積式共可化成八個(gè)比例式，如a〃=6c,除

了可化為。：6=c:d.還可化為a:c=b:d,c:d=a:b,b:d=a:c?b:a=d:c,c:a=d:b,

d:c=b:a,d:b=c:a.

巴=2,（交換內(nèi)項(xiàng)）

ca

（2）更比性質(zhì)（交換比例的內(nèi)項(xiàng)或外項(xiàng)）：，=￡,（交換外項(xiàng)）

bdba

4=上（同時(shí)交換內(nèi)外項(xiàng)）

ca

（3）反比性質(zhì)（把比的前項(xiàng)、后項(xiàng)交換）：-=￡<?-=-.

bdac

，、人/vacatbc±d

（4）合、分比性質(zhì)：一=—。----=-----.

bdhd

注：實(shí)際上，比例的合比性質(zhì)可擴(kuò)展為：比例式中等號(hào)左右兩個(gè)比的前項(xiàng)，后項(xiàng)之間

-b--a-=-d----c-

發(fā)生同樣和差變化比例仍成立.如：-=-=>ac等等.

bda-b_c-d

a+bc+4

f?cem,,「八、e,a+c+e+…+/wa

（5）等比性質(zhì)：如果m一=一=—=■?-=—（z6+d+/n---那么-------------------------=—.

bdfnb+d+fH----knb

注：

①此性質(zhì)的證明運(yùn)用了“設(shè)A法”（即引入新的參數(shù)k）這樣可以減少未知數(shù)的個(gè)數(shù)，這種方法是有關(guān)比例

計(jì)算變形中一種常用方法.②應(yīng)用等比性質(zhì)時(shí)，要考慮到分母是否為零.

③可利用分式性質(zhì)將連等式的每一個(gè)比的前項(xiàng)與后項(xiàng)同時(shí)乘以一個(gè)數(shù),再利用等比性質(zhì)也成立.如：

acea-2c3ea-2c+3ea

,—SZ------------------其中b-2d+3/*0.

bdfb-2d3fb-2d+3fb

知識(shí)點(diǎn)4比例線段的有關(guān)定理

1.三角形中平行線分線段成比例定理:平行于三角形一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成

比例.

汨AD4E_BDECADAE

由DE〃BC可得：===

DBECADEAABAC

注：

①重要結(jié)論：平行于三角形的一邊，并且和其它兩邊相交的直線，所截的三角形的三邊與原三角形三邊對(duì)應(yīng)成比

例.

②三角形中平行線分線段成比例定理的逆定理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段

成比例.那么這條直線平行于三角形的第三邊.

此定理給出了一種證明兩直線平行方法，即：利用比例式證平行線.

③平行線的應(yīng)用：在證明有關(guān)比例線段時(shí)，輔助線往往做平行線，但應(yīng)遵循的原則是不要破壞條件中的兩條線段

的比及所求的兩條線段的比.

2.平行線分線段成比例定理:三條平行線或兩條直線,所截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.

已知AD〃BE〃CF,

一ABDE—ABDE^BCEF—BCEFABBC

可得一=一■或一=—或一=一或一=——或——=一等.

BCEF.4CDF.IBDEACDFDEEF

注：平行線分線段成比例定理的推論：

平行線等分線段定理：兩條直線被三條平行線所截.如果在其中一條上截得的線段相等.那么在另一條上截得的

線段也相等。

知識(shí)點(diǎn)5相似三角形的概念

對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形，叫做相似三角形.相似用符號(hào)“S”表示，讀作“相似于”.相似三角

形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比（或相似系數(shù)）.相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例.

注：

①對(duì)應(yīng)性：即兩個(gè)三角形相似時(shí)，一定要把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)位置匕這樣寫比較容易找到相似三角

形的對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊.②順序性：相似三角形的相似比是有順序的.

③兩個(gè)三角形形狀一樣，但大小不一定一樣.④全等三角形是相似比為1的相似三角形.二者的區(qū)別在于全等要

求對(duì)應(yīng)邊相等，而相似要求對(duì)應(yīng)邊成比例.

知識(shí)點(diǎn)6三角形相似的等價(jià)關(guān)系與三角形相似的判定定理的預(yù)備定理

(1)相似三角形的等價(jià)關(guān)系：

①反身性：對(duì)于任一A48C有AJBCsA48c.

②對(duì)稱性：若MBCsAfs，。，則AfS'C'sA48c.

③傳遞性：若AdBCsAfB'C',且A4'8'C'SA4"3"C?,則A48CSAV8"C"

(2)三角形相似的判定定理的預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊延長(zhǎng)線)相交，所構(gòu)成的三

角形與原三角形相似.

定理的基本圖形：A

用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述是：?.?OE〃8C,AlDEsA48c.

知識(shí)點(diǎn)7三角形相似的判定方法

1、定義法：三個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，三條對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相似.

2、平行法：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交，所構(gòu)成的三角

形與原三角形相似.

3、判定定理1：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩

個(gè)三角形相似.簡(jiǎn)述為：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似.

4、判定定理2：如果一個(gè)三角形的兩條邊與另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例,并且夾

角相等，那么這兩個(gè)三角形相似.簡(jiǎn)述為：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似.

5、判定定理3：如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這

兩個(gè)三角形相似.簡(jiǎn)述為：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似.

6、判定直角三角形相似的方法：

⑴以上各種判定均適用.

(2)如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么

兩個(gè)直角三角形相似.

(3)直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形相似.

注：

射影定理：在直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)。每一條直角邊是這

條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)。幺

如圖，RtZXABC中，ZBAC=90°,AD是斜邊BC上的高，

則AD2=BD?DC,AB2=BD?BC,AC2=CD?BC./|

BDC

知識(shí)點(diǎn)8相似三角形常見的圖形

r-AA

1、下面我們來看一看相似三角形的幾種基本圖形:

(1)如圖：稱為“平行線型”的相似三角形(有“A型”與“X型”圖)

(3)如圖：稱為“垂直型”(有“雙垂直共角型”、“雙垂直共角共邊型(也稱“射影定理型")”“三垂直型”)

(4)如圖：Z1=Z2,ZB=ZD.則△ADESZ\ABC,稱為“旋轉(zhuǎn)型”的相似三角形,

2、幾種基本圖形的具體應(yīng)用：

(1)若DE〃BC(A型和X型)則△ADES^ABC

(2)射影定理若CD為RtZkABC斜邊上的高(雙直角圖形)

則RtAABC<-RtAACD^RtACBD且AC^AD?AB,CD、AD?BD,BC^BD?AB：

(3)滿足1、AC2=AD?AB.2、ZACD=ZB,3、ZACB=ZADC,都可判定△ADCs/\ACB.

JT)

(4)當(dāng)^—=—或AD?AB=AC-AE時(shí)，/XADEs/XACB.

ACAB

知識(shí)點(diǎn)9：全等與相似的比較:

三角形全等三角形相似

相似判定的預(yù)備定理

兩角夾一邊對(duì)應(yīng)相等(ASA)

兩角一對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等(AAS)兩角對(duì)應(yīng)相等

兩邊及夾角對(duì)應(yīng)相等(SAS)兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且夾角相等

三邊對(duì)應(yīng)相等(SSS)三邊對(duì)應(yīng)成比例

直角三角形中一直角邊與斜邊對(duì)應(yīng)相等(HL)直角三角形中斜邊與一直角邊對(duì)應(yīng)成比例

知識(shí)點(diǎn)10相似三角形的性質(zhì)

(1)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例.

(2)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比.對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比.

(3)相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比.

(4)相似三角形面積的比等于相似比的平方.

注：相似三角形性質(zhì)可用來證明線段成比例、角相等，也可用來計(jì)算周長(zhǎng)、邊長(zhǎng)等.

知識(shí)點(diǎn)II相似三角形中有關(guān)證(解)題規(guī)律與輔助線作法

1、證明四條線段成比例的常用方法：

(1)線段成比例的定義

(2)三角形相似的預(yù)備定理

(3)利用相似三角形的性質(zhì)

(4)利用中間比等量代換

(5)利用面積關(guān)系

2、證明題常用方法歸納：

(1)總體思路："等積”變"比例”，“比例”找“相似”

(2)找相似：通過“橫找”“豎看”尋找三角形，即橫向看或縱向?qū)ふ业臅r(shí)候一共各有三個(gè)不

同的字母，并且這幾個(gè)字母不在同一條直線上，能夠組成三角形，并且有可能是相似的，

則可證明這兩個(gè)三角形相似，然后由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可證的所需的結(jié)論.

(3)找中間比：若沒有三角形(即橫向看或縱向?qū)ふ业臅r(shí)候一共有四個(gè)字母或者三個(gè)字母，但這

幾個(gè)字母在同一條直線上)，則需要進(jìn)行“轉(zhuǎn)移”(或“替換”)，常用的''替換”方法有這樣的三種：等線段代

換、等比代換、等積代換.

即：找相似找不到，找中間比。方法：將等式左右兩邊的比表示出來.

①-=—,—=—(一為中間比)②=—,—=~r=n

bndnnbndn

mem,?m'

③一=一,一=—(ni=m,n="或一=—；-)

bndnnn

(4)添加輔助線：若上述方法還不能奏效的話，可以考慮添加輔助線(通常是添加平行線)構(gòu)成

比例.以上步驟可以不斷的重復(fù)使用，直到被證結(jié)論證出為止.

注：添加輔助平行線是獲得成比例線段和相似三角形的重要途徑。平面直角坐標(biāo)系中通常是作垂線(即得平行線)

構(gòu)造相似三角形或比例線段.

(5)比例問題：常用處理方法是將“一份”看著k:對(duì)于等比問題，常用處理辦法是設(shè)“公比”為鼠

(6).對(duì)于復(fù)雜的幾何圖形，通常采用將部分需要的圖形(或基本圖形)“分離”出來的辦法處理。

知識(shí)點(diǎn)12相似多邊形的性質(zhì)

(1)相似多邊形周長(zhǎng)比，對(duì)應(yīng)對(duì)角線的比都等于相似比.

(2)相似多邊形中對(duì)應(yīng)三角形相似，相似比等于相似多邊形的相似比.

(3)相似多邊形面積比等于相似比的平方.

注意：相似多邊形問題往往要轉(zhuǎn)化成相似三角形問題去解決，因此，熟練掌握相似三角形知識(shí)是基礎(chǔ)和關(guān)

鍵.

知識(shí)點(diǎn)13位似圖形有關(guān)的概念與性質(zhì)及作法

1.如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線都交于一點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形.

2.這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)的相似比又稱為位似比.

注：

(1)位似圖形是相似圖形的特例，位似圖形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn).

(2)位似圖形一定是相似圖形，但相似圖形不一定是位似圖形.

(3)位似圖形的對(duì)應(yīng)邊互相平行或共線.

3.位似圖形的性質(zhì)：位似圖形上任意對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距肉之比等于相似比.

注：位似圖形具有相似圖形的所有性質(zhì).

4.畫位似圖形的一般步驟：

(1)確定位似中心(位似中心可以是平面中任意一點(diǎn))

(2)分別連接原圖形中的關(guān)鍵點(diǎn)和位似中心，并延長(zhǎng)(或截取).

(3)根據(jù)已知的位似比,確定所畫位似圖形中關(guān)鍵點(diǎn)的位置.

(4)順次連結(jié)上述得到的關(guān)鍵點(diǎn)，即可得到一個(gè)放大或縮小的圖形.①②?④@

注：①位似中心可以是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，該點(diǎn)可在圖形內(nèi)，或在圖形外，

或在圖形上(圖形邊上或頂點(diǎn)上)。

②外位似：位似中心在連接兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段之外，稱為“外位似”(即同向位似圖形)

③內(nèi)位似：位似中心在連接兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段上，稱為“內(nèi)位似”(即反向位似圖形)

(5)在平面直角坐標(biāo)系中,如果位似變換是以原點(diǎn)0為位似中心，相似比為k(k>0),原圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),

那么同向位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(kx,ky),反向位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(-kx,-ky).

A'

類型一、相似三角形的概念

1.判斷對(duì)錯(cuò)：

(1)兩個(gè)直角三角形一定相似嗎？為什么？

(2)兩個(gè)等腰三角形一定相似嗎？為什么？

(3)兩個(gè)等腰直角三角形一定相似嗎？為什么？

(4)兩個(gè)等邊三角形一定相似嗎？為什么？

(5)兩個(gè)全等三角形一定相似嗎？為什么？

思路點(diǎn)撥：要說明兩個(gè)三角形相似，要同時(shí)滿足對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例.要說明不相似，則只要否定其

中的一個(gè)條件.

解：(1)不一定相似.反例

直角三角形只確定一個(gè)直角，其他的兩對(duì)角可能相等，也可能不相等.所以直角三角形不一定相似.

(2)不一定相似.反例

等腰三角形中只有兩邊相等，而底邊不固定.因此兩個(gè)等腰三角形中有兩邊對(duì)應(yīng)成比例，兩底邊的比不一定

等于對(duì)應(yīng)腰的比，所以等腰三角形不一定相似.

(3)一定相似.

乙4=4=45°N8=N8'=90°NC=NC'=45°

設(shè)AB=a,A'B';b,則BC=a,B'C=b,AC=&a,A'Cz=&b

AB_BC_AC_a

...AABCSAA'B'C

(4)一定相似.

因?yàn)榈冗吶切胃鬟叾枷嗟?，各角都等?0度，所以兩個(gè)等邊三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，因此兩

個(gè)等邊三角形一定相似.

(5)一定相似.

全等三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等，所以對(duì)應(yīng)邊比為1,所以全等三角形一定相似，且相似比為1.

舉一反三

【變式1】?jī)蓚€(gè)相似比為1的相似三角形全等嗎？

解析：全等.因?yàn)檫@兩個(gè)三角形相似，所以對(duì)應(yīng)角相等.又相似比為1,所以對(duì)應(yīng)邊相等.

因此這兩個(gè)三角形全等.

總結(jié)升華：由上可知，在特殊的三角形中，有的相似，有的不一定相似.

(1)兩個(gè)直角三角形，兩個(gè)等腰三角形不一定相似.

(2)兩個(gè)等腰直角三角形，兩個(gè)等邊三角形一定相似.

(3)兩個(gè)全等三角形一定相似，且相似比為1；相似比為1的兩個(gè)相似三角形全等.

【變式2】下列能夠相似的一組三角形為()

A所有的直角三角形B.所有的等腰三角形

C.所有的等腰直角三角形D.所有的一邊和這邊上的高相等的三角形

解析：根據(jù)相似三角形的概念，判定三角形是否相似，一定要滿足三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，三條對(duì)應(yīng)邊的比相等.

而A中只有一組直角相等，其他的角是否對(duì)應(yīng)相等不可知；B中什么條件都不滿足：D中只有一條對(duì)應(yīng)邊的比

相等：C中所有三角形都是由9(T、45°、45°角組成的三角形，且說應(yīng)邊的比也相等.答案選C.

類型二、相似三角形的判定

2.如圖所示，已知￡7力88中，E為AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，AB=3BE.DE與BC相交于F,請(qǐng)找出圖中各對(duì)相

似三角形，并求出相應(yīng)的相似比.

思路點(diǎn)撥：由0月88可知AB〃CD,AD〃BC,再根據(jù)平行線找相似三角形.

解：???四邊形ABCD是平行四邊形，

...AB〃CD,AD//BC.

:.△BEFs/XCDF,△BEFS/XAED.

二△BEF^ACDF^AAED.

BE1BE1

Lr----=—

AE4

:.當(dāng)aBEFsacDF時(shí)，相似比CD3.當(dāng)△B￡FSZ\AED時(shí)，相似比：

LCD3

左3—=—

當(dāng)△CDF's/\AED時(shí)，相似比AE4

總結(jié)升華：本題中△BEF、△CDF、Z\AED都相似,共構(gòu)成三對(duì)相似三角形.求相似比不僅要找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)邊,

還需注意兩個(gè)三角形的先后次序，若次序顛倒，則相似比成為原來的倒數(shù).

3.已知在RtZXABC中，NO90°.AB=10,BC=6.在RtZXEDF中，ZF=90°,DF=3,EF=4,則和4

EDF相似嗎？為什么？

思路點(diǎn)撥：已知AABC和4EDF都是直角三角形,且已知兩邊長(zhǎng)，所以可利用勾股定理分別求出第三邊AC

和DE,再看三邊是否對(duì)應(yīng)成比例.

解：在RtZ\ABC中，AB=10,BC=6,ZC=90°.

由勾股定理得=J四'-BC*=J10?-6、=8_

在Rt/YDEF中，DF=3,EF=4.ZF=90°.

由勾股定理，得即=+即*=J3a+4?=5.

8c6.4C8、4810

在△川（?和AEDF中，DF3,EF4,ED5

BCAC_AB

~DF=~EF=~ED,

：.△ABCs/XEDF(三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似).

總結(jié)升華：

(1)本題易錯(cuò)為只看3,6,4,10四條線段不成比例就判定兩三角形不相似.利用三邊判定兩三角形相

似，應(yīng)看三角形的三邊是否對(duì)應(yīng)成比例，而不是兩邊.

(2)本題也可以只求出AC的長(zhǎng)，利用兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，且夾角相等，判定兩三角形相似.

4.如圖所示，點(diǎn)D在△ABC的邊AB上，滿足怎樣的條件時(shí)，△ACD與△3(?相似？試分別加以列舉.

思路點(diǎn)撥：此題屬于探索問題，由相似三角形的識(shí)別方法可知，4ACD與aABC已有公共角NA,要使此

兩個(gè)三角形相似，可根據(jù)相似三角形的識(shí)別方法尋找一個(gè)條件即可.

解：當(dāng)滿足以下三個(gè)條件之一時(shí)，△ACDS/IABC

條件一：Z1=ZB

條件二：Z2=ZACB.

ADAC

條件三：ACAB,即=/DAB

總結(jié)升華：本題的探索鑰匙是相似三角形的識(shí)別方法.在探索兩個(gè)三角形相似時(shí)，用分析法，可先假設(shè)4ACD

ADACCD

“△ABC,然后尋找兩個(gè)三角形中邊的關(guān)系或角的關(guān)系即可.本題易錯(cuò)為出現(xiàn)條件四：4cAD8c.不符合

條件“最小化”原則，因?yàn)闂l件三能使問題成立，所以出現(xiàn)條件四是錯(cuò)誤的.

舉一反三

【變式】】已知：如圖正方形ABCD中，P是BC上的點(diǎn)，且BP3PC,Q是CD的中點(diǎn).

思路點(diǎn)撥：因4ADQ與AOCP是直角三角形，雖有相等的直角，但不知AQ與PQ是否垂直，所以不能用兩個(gè)

角對(duì)應(yīng)相等判定.而四邊形ABCD是正方形，Q是CD中點(diǎn)，而BP=3PC,所以可用對(duì)應(yīng)邊成比例夾角相等的方

法來判定.具體證明過程如下：

AD

證明：在正方形ABCD中,YQ是CD的中點(diǎn)，二℃=2

BPBC

記=3,.?.正=4

DQ

XVBC=2DQ,:.PC=2

ADDQ

在AADQ和△QCP中，8=PC,NC=NI>90°,

/.△ADQ^AQCP.

【變式2】如圖，弦4B和弦8相交于內(nèi)一點(diǎn)尸，求證：PAPB-PCPD

思路點(diǎn)撥：題目中求證的是等積式，我們可以轉(zhuǎn)化為比例式，從而找到應(yīng)證哪兩

個(gè)三角形相似.同時(shí)圓當(dāng)中同弧或等瓠所對(duì)的圓周角相等要會(huì)靈活應(yīng)用.

證明：連接AC<BD.

在

,/ZX-ZD

ZC-ZB

:.bPACshPDB

PA「PC

：.~PD=~PBPAPB=PCPD

【變式3】已知：如圖，AD是△回（?的高，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn).

求證：ADFE^AABC.

22

思路點(diǎn)撥：EF為△回(?的中位線，EF2BC.又DE和DF都是直角三角形斜邊上的中線，DE?2AB,

DF=2AC.因此考慮用三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似.

證明：在RtZ\ABD中，DE為斜邊AB上的中線，

2

DE=2AB.

DE

即AB=2.

DF\

同理AC^2.

?：EF為△ABC的中位線，

2

:.EF=2BC.

EF\

即BC=2.

DEEFFD

：.'AB=BC=CA,

：.ADFE^AABC.

總結(jié)升華：本題證明方法較多，可先證NEDF=NEDA+NADF=NEAEHNFAIANBAC,再證夾這個(gè)角的兩邊成

DEDF

比例，即48—4C,也可證明/FEA/EDB-NB,同理/EFD=/FDC=NC,都可以證出△DEFs/XABC.

類型三、相似三角形的性質(zhì)

5.AABC^ADEF,若aABC的邊長(zhǎng)分別為5cm、6cm、7cm,而4cm是4DEF中一邊的長(zhǎng)度，你能求出4DEF

的另外兩邊的長(zhǎng)度嗎？試說明理由.

思路點(diǎn)撥：因沒有說明長(zhǎng)4cm的線段是4DEF的最大邊或最小邊，因此需分三種情況進(jìn)行討論.

解：設(shè)另兩邊長(zhǎng)是xcm,ycm,且x<y.

4_x_y

(1)當(dāng)4DEF中長(zhǎng)4cm線段與AABC中長(zhǎng)5cm線段是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，有567,

2428

從而x=5cm.y=5cm.

E，J

(2)當(dāng)4DEF中長(zhǎng)4cm線段與△ABC中長(zhǎng)6cm線段是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，有567,

1014

從而x=3cm,y=3cm.

x_?_4

(3)當(dāng)ADEF中長(zhǎng)4cm線段與AABC中長(zhǎng)7cm線段是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，有567,

2024

從而x=7cm,y=7

242810142024

綜上所述，ZkDEF的另外兩邊的長(zhǎng)度應(yīng)是5cm.5cm或3cm,3cm或7cm,7cm三種可能.

總結(jié)升華：一定要深刻理解“對(duì)應(yīng)”，若題中沒有給出圖形，要特別注意是否有圖形的分類.

6.如圖所示，已知aABC中.AD是高，矩形EFGH內(nèi)接于△ABC中，且長(zhǎng)邊FG在BC上，矩形相鄰兩邊的

比為1：2,若BC=30cm,AIAlOcm.求矩形EFGH的面積一

思路點(diǎn)撥：利用己知條件及相似三角形的判定方法及性質(zhì)求出矩形的長(zhǎng)和寬，從而求出矩形的面積

解：,:四邊形EFGH是矩形，:.EH//BC,

???AAEH^AABC.

VAD_LBC,:.AD±EH.MD=EF.

V矩形兩鄰邊之比為1：2,設(shè)EF=xcm,則EH-2xcm.

AMEH

由相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比，得HDBC,

10-x_2x

-10=30-20x=300-30x,x=6

:.EF=6cm.EH=12cm.

.Mg尼環(huán)函=6xl2=72(cw?)

總結(jié)升華：解決有關(guān)三角形的內(nèi)接矩形、內(nèi)接正方形的計(jì)算問題，經(jīng)常利用相似三角形”對(duì)應(yīng)高的比等于相似比”

和“面積比等于相似比的平方”的性質(zhì)，若圖中沒有高可以先作出高.

舉一反三

【變式1】ZkABC中，DEZ/BC,M為DE中點(diǎn)，CM交AB于N,若力。AB=23t求M)BD

解：VDE/7BC,AAADE^AABC

DE_AD_2

工瓦一而一m

DM1

???M為DE中點(diǎn)，:,BC3

B

VDM/7BC,AANDM^ANBC

NDDM

A?_5C_-3

:.NDBDi：2.

總結(jié)升華：圖中有兩個(gè)“A”字形，已知線段AD與AB的比和要求的線段ND與NB的比分別在這兩個(gè)“A

字形，利用M為DE中點(diǎn)的條件將條件由一個(gè)“A”字形轉(zhuǎn)化到另一個(gè)"A"字形，從而解決問題.

類型四、相似三角形的應(yīng)用

7.如圖，我們想要測(cè)量河兩岸相對(duì)應(yīng)兩點(diǎn)A、B之間的距離（即河寬），你有什么方法？

方案1：如上左圖，構(gòu)造全等三角形，測(cè)量CD.得到AB=CD.得到河寬.

方案2：

思路點(diǎn)撥：這是一道測(cè)量河寬的實(shí)際問題，還可以借用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，比例式中四條線段，

測(cè)出了三條線段的長(zhǎng)，必能求出第四條.

如上右圖，先從B點(diǎn)出發(fā)與AB成90°角方向走50m到O處立一標(biāo)桿，然后方向不變，繼續(xù)向前走10m到

C處，在C處轉(zhuǎn)90°,沿CD方向再走17m到達(dá)D處，使得A、O、D在同一條直線上.那么A、B之間的距

離是多少？

解：VAB1BC,CD1BC

AZAB0=ZDCO900

又VZAOB=ZDOC

/.△AOB^ADOC

AB_BO

DC_CO

VBO-50m,CO=10tn.CD17m

；.AB=85m

答：河寬為85m.

總結(jié)升華：方案2利用了“X”型基本圖形，實(shí)際上測(cè)量河寬有很多方法，可以用“A”型基本圖形，借

助相似；也可用等腰三角形等等.

舉一反三

【變式1】如圖：小明欲測(cè)量一座古塔的高度，他站在該塔的影子上前后移動(dòng)，直到他本身影子的頂端正好與塔

的影子的頂端重疊，此時(shí)他距離該塔18m.已知小明的身高是1.6m.他的影長(zhǎng)是2m.

(1)圖中△ABC與4ADE是否相似?為什么？

(2)求古塔的高度.

解:(1)AABC^>AADE.

VBC1AE.DE1AE

NAC'B=NAED=90°

VZA=ZA

...△ABCsaADE

(2)由。)得△ABCSAADE

AC_BC

：.^AE~~DE

VAC=2m.AEI2+18=20m,BOL6m

2_16

/.20~

，DE=16m

答：古塔的高度為16m.

【變式2】已知：如圖，陽(yáng)光通過窗口照射到室內(nèi)，在地面上留下1.5m寬的亮區(qū)DE.亮區(qū)一邊到窗下的墻腳距離

CE=L2m,窗口高AB=L8m,求窗口底邊離地面的高BC?

思路點(diǎn)撥：光線AD//BE,作EF1.DC交AD于F.則AQEFSAfiCB,利用邊的比例關(guān)系求出BC.

解：作EF_LDC交AD于F.因?yàn)锳D〃BE,所以"DE=NBEC又因?yàn)?EF=NECB=90°,

DE_EF

所以ADEFSAECB，所以ECCB.

因?yàn)锳B〃EF,AD//BE,所以四邊形ABEF是平行四邊形，所以EF=AB=L8m.

…EFXEC18X1.2

QB=-------------=------------

所以DE1.5

類型五、相似三角形的周長(zhǎng)與面積

8.已知：如圖，在與ACAD中，DA〃BC,CD與AB相交于E點(diǎn)，且AE：EB=1：2,EF〃BC交AC

于F點(diǎn)，ZXADE的面積為1,求4BCE和△AEF的面積.

思路點(diǎn)撥：利用△ADEs^BCE,以及其他有關(guān)的已知條件，可以求出4BCE的面積.4ABC的邊AB上

的高也是4BCE的高，根據(jù)AB：BE=3：2,可求出△回（2的面積.最后利用△AEFS/\ABC,可求出aAEF

的面積.

解：VDA〃BC,

???AADE^ABCE.

22

:.S^ADE:SABCE-AE:BE.

VAE:BE=1:2,

=

**?SAADE:SABCE1-4.

■:SAADE-1?

?*-S"CE=4.

VSw：SABCE-AB:BE=3：2,

：?SaABC=6.

VEF〃BC,

:.AAEF^AABC.

VAE:AB=1:3,

2

???SAAEF:SAABC=AE:AB-1：9.

62

??SAAEF=9=3.

總結(jié)升華：注意，同底（或等底）三角形的面積比等于這底上的高的比；同高（或等高）三角形的面積比等于對(duì)

應(yīng)底邊的比.當(dāng)兩個(gè)三角形相似時(shí)，它們的面積比等于對(duì)應(yīng)線段比的平方，即相似比的平方.

舉一反三

【變式1】有同一三角形地塊的甲、乙兩地圖，比例尺分別為1：200和1：500,求：甲地圖與乙地圖的相似比

和面積比.

解：設(shè)原地塊為△ABC,地塊在甲圖上為△AiBCi，在乙圖上為△AiBKY

△ABC^AAiBiCi^AAiBzCi

4^1_142_1

且方"一礪，AB^500,

4^1_AB\AB_5005

,——~ABA2B2-200"2

“”也=(2)225

也gT

【變式2］如圖，已知：△回（7中，AB-5,BL3,AC4.PQ〃AB,P點(diǎn)在AC上（與點(diǎn)A、C不重合）.Q點(diǎn)在

BC上.

(1)當(dāng)aPCJC的面積與四邊形PABQ的面積相等時(shí)，求CP的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)APCJC的周長(zhǎng)與四邊形PABQ的周長(zhǎng)相等時(shí)，求CP的長(zhǎng)：

解：⑴：SAPQC=S瞰J#,PABQ

?'?SzsPQC：S^ABCT：2

,:PQ〃AB,???APQCs△