初中數(shù)學(xué)二元一次方程組涉及的17個梳理

二元一次方程組涉及的17個必考點(diǎn)梳理

考點(diǎn)1二元一次方程的定義

二元一次方程定義：含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1,像這樣方程叫做二元一次方程.

二元一次方程需滿足三個條件：①首先是整式方程.②方程中共含有兩個未知數(shù).③所有未知項(xiàng)的次數(shù)都

是一次.不符合上述任何一個條件的都不叫二元一次方程.

例題1下列等式：①2x+y=4；②3孫=7；(3)7+2y=0；④!-2=y；⑤2x+)+z=l,二元一次方程的個

數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

【分析】利用二元一次方程的定義判斷即可.

【解析】①2x+y=4是二元一次方程；

②3孫=7是二元二次方程；

③/+2y=0是二元二次方程；

④4一2=)?是分式方程；

⑤2x+y+z=l是三元一次方程，

故選:A.

【小結(jié)】此題考查了二元一次方程的定義，熟練掌握二元一次方程的定義是解本題的關(guān)鍵.

變式1如果2尸"'+11=0是二元一次方程，則2"-〃=()

A.-2B.3C.4D.2

【分析】根據(jù)二次一次方程的定義得出關(guān)于方程組，求出方程組的解即可.

【解析】???5*2"-2y"』+n=0是二元一次方程，

.(3m-2n=1

**tn—m=1'

解得：m=3,〃=4,

/.2m-n=6-4=2,

故選：D.

【小結(jié)】本題考查了解二元一次方程組和二元一次方程的定義，能得出關(guān)于“、n的方程組是解此題的關(guān)鍵.

變式2若or+4），=3x-7是關(guān)于x,y的二元一次方程，則。的取值范圍是（）

A.aW-2B.aWOC.a#3D.nW-1

【分析】根據(jù)二元一次方程的定義即可求出答案.

【解析】由題意可知：Q-3）x+4y=-7,

."W3,

故選：C.

【小結(jié)】本題考查二元一次方程，解題的關(guān)鍵是正確理解二元一次方程的定義，本題屬于基礎(chǔ)題型.

變式3若（a-1），T+3y=1是關(guān)于x、y的二元一次方程，則a=（）

A.1B.2C.-2D2和-2

【分析】利用二元一次方程定義可得答案.

【解析】由題意得：=且4-1W0,解得：a—+2,

故選：D.

【小結(jié)】此題主要考查了二元一次方程定義，關(guān)鍵是掌握含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都

是1,像這樣的方程叫做二元一次方程.

考點(diǎn)2二元一次方程的解

一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解。

在二元一次方程中，任意給出一個未知數(shù)的值，總能求出另一個未知數(shù)的一個唯一確定的值，所以二元一

次方程有無數(shù)解。

例題2已知;；是關(guān)于x、y的方程以+如=3的一組解，則2a+46-1的值為（）

A.2B.-5C.5D.4

【分析】把C二；代入方程OT+外=3得出a+2%=3,再變形，最后代入求出即可.

【解析】Z；是關(guān)于x、y的方程6+勿=3的一組解，

.?.代入得:a+2b=3,

.?.24+4/7-1=2（a+2b）-1=2X3-1=5,

故選：C.

【小結(jié)】本題考查了二元一次方程的解和求代數(shù)式的值，能夠整體代入是解此題的關(guān)鍵.

變式4若1Z7是方程〃x+6y=4的一個解，則代數(shù)式3,“-n+1的值是()

A.3B.2C.1D.-1

【分析】把(J二二代入方程以+6)，=4得出-2〃+6雨=4,求出3m-n=2,再代入求出即可.

【解析】Z7是方程"x+6)=4的一個解，

???代入得：-2〃+6機(jī)=4,

...3m-〃=2,

3/?2-〃+1=2+1=3,

故選：A.

【小結(jié)】本題考查了二元一次方程的解和求代數(shù)式的值，能求出3加-〃=2是解此題的關(guān)鍵.

變式5已知｛；Z:是二元一次方程4x-7y=8的一個解，則代數(shù)式17-8a+14b的值是.

【分析】先把方程的解代入二元一次方程，得到關(guān)于人人的方程，變形17-8a+l4b后整體代入求值.

【解析】:￡是二元一次方程4x-7y=8的一個解，

；.4a-76=8,

...17-8a+l4b=17-2(4a-76)=17-2X8=1.

故答案為：L

【小結(jié)】本題考查了二元一次方程的解及代數(shù)式的求值，解決本題的關(guān)鍵是變形要求代數(shù)式，整體代入.

變式6已知關(guān)于x、y的二元一次方程(3a+2)x-(2a-3)y-11-10?=0?無論。取何值，方程都有一

個固定的解，則這個固定解為.

【分析】將原式進(jìn)行變換后即可求出這個固定解.

【解析】由題意可知：(3〃+2)x-(2a-3)y-11-10a=C3x-2y-10)a+2x+3y-11=0,

由于無論〃取任何實(shí)數(shù)，該二元一次方程都有一個固定的解，

二列出方程組鼠乳I：；，

解得弋二：.

【小結(jié)】本題考查二元一次方程組的解法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出方程組，本題屬于中等題型.

考點(diǎn)3二元一次方程的整數(shù)解

在求一個二元一次方程的整數(shù)解時，往往采用“給一個，求一個”的方法，即先給出其中一個未知數(shù)（一

般是系數(shù)絕對值較大的）的值，再依次求出另一個的對應(yīng)值.

例題3二元一次方程2x+3y=8有多少個正整數(shù)解？（）

A.0個B.1個C.2個D3個

【分析】要求二元一次方程2x+3y=8的正整數(shù)解，首先將方程做適當(dāng)變形，確定其中一個未知數(shù)的取值范

圍，分析解的情況.

【解析】由已知得），=學(xué)，

要使x,y都是正整數(shù)，

必須滿足：①8-2x大于0；②8-2x是3的倍數(shù).

根據(jù)以上兩個條件可知，合適的x值只能是x=l,相應(yīng)的y=2.

故選：B.

【小結(jié)】考查了二元一次方程的解，本題是求不定方程的整數(shù)解，先將方程做適當(dāng)變形，然后列舉出適合

條件的所有整數(shù)值，再求出另一個未知數(shù)的值.

變式7二元一次方程2x+y=7的非負(fù)整數(shù)解有（）組.

A.2B.3C.5D.4

【分析】根據(jù)二元一次方程的非負(fù)數(shù)解的意義，解決本題可用試驗(yàn)的辦法.

【解析】由題意知x、y均為非負(fù)整數(shù)，

.,.當(dāng)x=0時，y=7：

當(dāng)X—1時，y=5；

x=2時，y=3；

x=3時，y=l.

故滿足條件的非負(fù)整數(shù)有四組.

故選：D.

【小結(jié)】本題考查了二元一次方程的解，理解非負(fù)整數(shù)是解決本題的關(guān)鍵.非負(fù)整數(shù)就是正整數(shù)和0.

變式8我們探究得方程x+），=2的正整數(shù)解只有1組，方程尤+），=3的正整數(shù)解只有2組，方程x+y=4的

正整數(shù)解只有3組，……，那么方程x+y+z=9的正整數(shù)解得組數(shù)是（）

4.27B.28C.29D.30

【分析】先把》+），看作整體t,得到f+z=9的正整數(shù)解有7組；再分析x+y分別等于2、3、4、……9時對

應(yīng)的正整數(shù)解組數(shù)；把所有組數(shù)相加即為總的解組數(shù).

【解析】令x+y=f（f22）,則f+z=9的正整數(shù)解有7組（f=2,t—3,t—4,........r=7）

其中t=x+y=2的正整數(shù)解有1組，t=x+y=3的正整數(shù)解有2組，t=x+y=4的正整數(shù)解有3組，……t=x+y

=8的正整數(shù)解有7組，

總的正整數(shù)解組數(shù)為：1+2+3+……+7=28

故選：B.

【小結(jié)】本題考查了二元一次方程的解，可三元方程里的兩個未知數(shù)看作一個整體，再分層計算.

變式9關(guān)于x、y的方程2x+ay=7僅有一組正整數(shù)解，則滿足條件的正整數(shù)“的值為.

【分析】采用列舉法根據(jù)x的所有值代入求得〃的所有正整數(shù)解即可.

【解析】2x+ay—l,

ay=l-lx,

①當(dāng)x=l時，7-2x=5,

??ay=5,

；?Q=1,y=5（舍）或a=5,y=1,

②當(dāng)x=2時，7-2x=3,

??cty=3,

y=3（舍）或a=3,y=l,

③當(dāng)x=3時，7-2x=l,

??ay=1,

y—1（舍），

綜上，滿足條件的正整數(shù)。的值為5或3,

故答案為：5或3.

【小結(jié)】本題主要考查的是二元一次方程的解，應(yīng)用列舉法求解是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)4二元一次方程組的定義

二元一次方程組的定義：由兩個一次方程組成，并含有兩個未知數(shù)的方程組叫做二元一次方程組；二元一

次方程組也滿足三個條件：①方程組中的兩個方程都是整式方程.②方程組中共含有兩個未知數(shù).③每個

方程都是一次方程.

例題4下列方程組中，是二元一次方程組的是（）

5m2+3n=12X+-O

X4y-m+n53y

A+3-m2C1

2X3y-7-+nn=6=6

63-X-5y

【分析】根據(jù)二元一次方程組的定義逐個判斷即可.

【解析】A.是二元一次方程組，故本選項(xiàng)符合題意；

B.是二元二次方程組，不是二元一次方程組，故本選項(xiàng)不符合題意；

C.是二元二次方程組，不是二元一次方程組，故本選項(xiàng)不符合題意；

D.第二個方程不是整式方程，不是二元一次方程組，故本選項(xiàng)不符合題意；

故選：A.

【小結(jié)】本題考查了二元一次方程組的定義，能熟記二元一次方程組的定義的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵.

,11

變式】。在方程組作二二:，（3；-x=r=口廠;中，是二元一次方程

x-Vy—1

組的有（）

A.2個B.3個C.4個O.5個

【分析】組成二元一次方程組兩個方程應(yīng)共含有兩未知數(shù)，且未知數(shù)的項(xiàng)最高次數(shù)都應(yīng)是一次的整式方程.

【解析】匕”一有三個未知數(shù)，故不是二元一次方程組；

（y=4-1

=1符合二元一次方程組的定義；

q+y=°符合二元一次方程組的定義；

=3肛的次數(shù)是二次，不是二元一次方程組；

（1,1_

土十歹一1中有分式不是二元一次方程組，故選：A.

%4-y=1

【小結(jié)】一定要緊扣二元一次方程組的定義“由兩個二元一次方程組成的方程組”，觀察排除，得出答案.

變式U若方程組｛；：［+及:?孫二2是關(guān)于X,y的二元一次方程組，則，，=一

11^1=1

【分析】先根據(jù)二元一次方程組的概念得出2—n=0,據(jù)此求出“、”的值，代入計算可得.

m—10

\m\=1

【解析】根據(jù)題意知，2—?1=0,

m-10

解得m=-1,n=2,

則m—(-1)2=1,

故答案為：1.

【小結(jié)】本題考查的是一元二次方程組的定義，二元一次方程組也滿足三個條件:

①方程組中的兩個方程都是整式方程.

②方程組中共含有兩個未知數(shù).

③每個方程都是一次方程.

變式12方程組匕高?短：=3是關(guān)于羽V的二元一次方程組，則a的值是

【分析】利用二元一次方程組的定義確定出“與匕的值，代入原式計算即可得到結(jié)果.

【解析】由題意得：間=1,b-5=0,4-1W0,

磔?得：a=-1,b=5,

則原式=(-1)5=-1.

故答案為：-1.

【小結(jié)】此題考查了二元一次方程組的定義，熟練掌握二元一次方程組的定義是解本題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)5解二元一次方程組

解二元一次方程組的一般步驟：

①方程組中選一個系數(shù)比較簡單的方程，將這個方程組中的一個未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示

出來，將變形后的關(guān)系式代入另一個方程，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程（代入消元法）.或

者，如果同一個未知數(shù)的系數(shù)既不相等又不互為相反數(shù)，就用適當(dāng)?shù)臄?shù)去乘方程的兩邊，使某一個未知數(shù)

的系數(shù)相等或互為相反數(shù)，把兩個方程的兩邊分別相減或相加，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程

（加減消元法）.

②解這個一元一次方程，求出或y）的值.

③將求得的未知數(shù)的值代入變形后的關(guān)系式中，求出另一個未知數(shù)的值.④把求得的x、y的值用“{”聯(lián)立

起來，就是方程組的解.

例題5用規(guī)定的方法解方程組:

"藝；1（用代入法）;^-4y=15（用加減法）?

(1)(2)

【分析】（1）利用代入消元法求解可得;

（2）利用加減消元法求解可得.

2%—3y=1①

【解析】（1）

,y=x-4②‘

將②代入①，得：2x-3(x-4)=1,

解得x=ll，

將x=11代入②，得：＞,=11-4=7,

x=11

方程組的解為

?=7；

4%—2y=5①

(2)

3%-4y=15②'

①X2-②，得：5x=-5,

解得x=-1,

將-1代入①，得：-4-2y=5,

解得產(chǎn)-與

X=-1

.,?方程組的解為-y=~l'

【小結(jié)】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法.

變式13解下列方程組:

⑴產(chǎn)二廠二2+y+,%-y_6A

(2)—--

(2%+3y=7

3(尤+y)-2(x—y)=28

【分析】(1)利用加減消元法解方程組得出答案.

(2)方程組整理后，利用加減消元法解方程組得出答案.

【解析】⑴佇一冷二*

[2x+3y=7②

②-①得，8y=8,解得y=l,

把y=l代入①得：x=2,

.fx=2

,?(y=r

(2)方程組整理得產(chǎn)一'=36?,

(X+5y=28@

①義5+②得，26x=208,解得x=8,

把x=8代入①得，y—4,

.[X=8

"ly="

【小結(jié)】此題主要考查了解二元一次方程組的問題，正確掌握基本解題思路是解題關(guān)鍵.

變式14用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠探M:

(2x-l,3y-2_)

f3x-13y=-16-5-+^=2

+3y=2；13x+l3y+2=Q

【分析】各方程組整理后，利用加減消元法求出解即可.

【解析】⑴產(chǎn)T3y”16①,

1x+3y=2(2)

②X3-①得：22y=22,解得：y=l,

把y=l代入②點(diǎn)到：x=-1,則方程組的解為后二

8尤+15y=54①

(2)方程組整理得:

12x-15y=6②'

(J)+②得：20x=60,解得：x=3,

把x=3代入①得：)，=2,則方程組的解為

【小結(jié)】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法.

產(chǎn)-1+°.3y-°.2_2①

變式15解方程組：，nn?；%nn?

13x4-10.03y4-u.0Z八小

I-50^~二0②

【分析】變形后①+②求出x=3,把x=3代入①得出1+竿=2,求出y即可.

與1+容=2①

【解析】變形為:^i-空=。②

①+②得：x=3,

把x=3代入①得：1+容=2,解得：y=2,

所以方程組的解是仁二；

【小結(jié)】本題考查了解二元一次方程，能把二元一次方程組轉(zhuǎn)化成一元一次方程是解此題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)6二元一次方程組的解（同解方程組）

例題6已知關(guān)于x,y的方程組伊卡?=明九的解也滿足方程4x-3），=21,求k的值.

【分析】先求出方程組的解，代入4x-3），=21,即可求出k的值.

【解析】Px+2y=16/c@

（5x-4y=-10k（2）

①義2+②得：llx=22Z,解得：x=2k,

把x=2々代入①得：6A+2y=16A,解得：y=5k,

V4x-3y=21,：.Sk-\5k=2\,解得：k=-3.

【小結(jié)】本題考查了解二元一次方程組和解?一元二次方程，能得出關(guān)于火的一元一次方程是解此題的關(guān)鍵.

變式16已知關(guān)于x,y的方程組爆;為二1和名;1吃U的解相同，求（3^）2。2。的值.

【分析】因?yàn)閮蓚€方程組有相同解，只要將兩個方程組中不含有a,6兩個方程聯(lián)立，組成新方程組，求出

x和y值，再代入含“，匕兩個方程，解關(guān)于。，匕方程組即可得出。，人的值，代入（3a+b）2°2。計算即可.

【解析】由題意可得二:1，解得

X=3代入［a%+by=-1z,,r3a4-b=-1解得m(3a+&)2020=2020_

y=1'(2ax+3by=3母(6。+3b=3(-6+5)

【小結(jié)】本題考查了二元一次方程組的解，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)兩方程組有相同的解得到關(guān)于x、y的方

程組，求出x、y的值，再將x、y的值代入含。、匕的方程組即可求出。、6的值，即可求出代數(shù)式的值.

變式17關(guān)于X,y的兩個二元一次方程組偌鷺二了和｛:二,聯(lián)6=°解相同，求⑺+2")188的值.

【分析】先根據(jù)兩個方程組的解相同得解之求出x、y的值，繼而可得關(guān)于加、〃的方程

組，解之求出〃八〃的值后代入計算可得.

【解析】由兩個方程組的解相同，得｛窘篇渭

解噬匕

所以有：

解得｛;二21，

所以("Z+2")188=(I-2)188=1.

【小結(jié)】本題主要考查二元一次方程組的解，解題的關(guān)鍵是掌握二元一次方程組的解的概念及解二元一次

方程組的能力.

變式18已知關(guān)于x,y的二元一次方程組匕工的解滿足x-尸小求，的值.

I人I乙V乙IX。

【分析】運(yùn)用加減消元法解出關(guān)于x,y的二元一次方程組，把方程組的解代入x-y=a,求出a的值，代

入計算得到方程組的解.

［解析］!2X~3y1+%，

(x+2y=2Q—8②

②X2-①得，

322

y=ya-〒

把y=5Q一等代入②得無=5Q一學(xué)，

r力12322

則一Q_——(-a———)=a

7777

解得a—5.

x=4

故方程組的解為，

y=-1

x2-y2=16-1=15.

【小結(jié)】本題考查的是二元一次方程組的解，靈活運(yùn)用加減消元法解方程組是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)7二元一次方程組的解（看錯問題）

例題7在解關(guān)于x,y的方程組+=:時，老師告訴同學(xué)們正確的解是匕=3小明由于看錯了系

數(shù)c,因而得到的解為產(chǎn)=；2,試求a+b+c的值.

ly=2

【分析】將兩對X與），的值代入方程組中第一個方程，求出小。的值，將第一對尤與），的值代入方程組第

二個方程求出C的值即可.

【解析】將X=3,y=-2；x=-2,y=2分別代入方程組第一個方程得：二署，

①+②X2得：”=4,

將。=4代入②得：b—5,

將x=3,y=-2代入方程組第二個方程得：3c+14=8,即c=-2,

則a+b+c=l.

【小結(jié)】此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程成立的未知數(shù)的值.

變式19小紅和小風(fēng)兩人在解關(guān)于x,y的方程組篇:砥二，，小紅只因看錯了系數(shù)a,得到方程組的解

為二］1，小風(fēng)只因看錯了系數(shù)也得到方程組的解為后二:，求〃，匕的值和原方程組的解.

【分析】把兩組解分別代入正確的方程可求得a和6,可得出原方程組，再解原方程組即可.

【解析】根據(jù)題意，二I1不滿足方程以+3y=5,但應(yīng)滿足方程版+2y=8,

代入此方程，得-Z?+4=8,解得b--4.

同理，將以:：代入方程依+3y=5,得“+12=5,

解得a=-7.

所以原方程組應(yīng)為匕2Ml

解得｛；3?

【小結(jié)】本題主要考查方程組解的定義，掌握方程組的解滿足方程組中的每一個方程是解題的關(guān)鍵.

7

X=

L+'=5幺甲解題看錯了①中的m,2-

變式20甲、乙兩人同時解方程組解得=2乙解題時看錯

2x—ny=13(2)y-

②中的"，解得:：7'試求原方程組的解.

【分析】把甲的解代入②中求出n的值，把乙的解代入①中求出m的值；把與”的值代入方程組求出解

即可.

【解析】（1）把卜代入②得：7+2〃=13,解得：n=3,

0=-2

把｛；二：7代入①得：3加-7=5,解得：巾=4；

把加=4,〃=3代入方程組得：（4x+y=5①

-3y=13（2）

①X3+②得：14x=28,即x=2,

把x=2代入①得：y--3,

則方程組的解為旨二：3?

【小結(jié)】此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程成立的未知數(shù)的值.

變式21小明和小紅同解同一個方程組時，小紅不慎將一滴墨水滴在了題目上使得方程組的系數(shù)看不清了,

顯示如下?！购?I名同桌的小明詡“我正確的求出這個方程組的解需二2”，而小紅說:

“我求出的解是于是小紅檢查后發(fā)現(xiàn)，這是她看錯了方程組中第二個方程中尤的系數(shù)所致”，請

你根據(jù)他們的對話，把原方程組還原出來.

【分析】設(shè)原方程組為二g?,把3代入②，求出,，把后二5和/代入①，得出方

程組，求出心。的值，即可得出答案.

ax+by=2①

【解析】設(shè)原方程組為

ex—7y=8②'

把｛；二：2代入②得：3c+14=8,解得：c=-2,

把［二2和憂/代入①得：｛跣?方之2,解得："=%b=5,

即原方程組為

【小結(jié)】考查二元一次方程組的解和解二元一次方程組，能夠根據(jù)題意得出方程或方程組是解題關(guān)鍵。

考點(diǎn)8二元一次方程組的解(整體思想)

例題8已知關(guān)于x、y的二元一次方程組f3%一絲=5,的解是匕=1求關(guān)于聯(lián)b的二元一次方程組

f3(a+b)-m(a-h)=5,的解

(2(a+b)+n(a—b)=6

【分析】對比兩個方程組，可得“+6就是第一個方程組中的x,即a+6=l,同理：a-b=2,可得方程組解

出即可.

【解析】?..關(guān)于x、y的二元一次方程組仍一叩=5,的解是1=

3

a=

???關(guān)于〃.人的二元一次方程組籌岬*靠/滿足｛力解得2

b=

-2

故關(guān)于a.6的二元一次方程組［3(a+b)_m(a_b)=5,的解是2

(2(a+b)+n(a—b)=6=_1

【小結(jié)】考查解二元一次方程組，利用整體換元思想解決問題，注意第一個和第二個方程組中右邊要統(tǒng)一.

變式22若關(guān)于m.n的二元一次方程組｛黑;案］的解為｛［.匕，求關(guān)于x、y的方程組

網(wǎng)2%+y)-2(%+2y)=13

(2(2%+y)+b(x+2y)=14值腫.

【分析】將｛7「代入二元一次方程組，求出小h的值，再將所求〃、方的值代入所求方程組中，利用加

減消元法求解方程組即可.

11

a=T,

(b=-6

a(2x+y)-2(x+2y)=13可轉(zhuǎn)化為伴(2x+y)-2(x+2y)=13①，

...方程組］

2(2x+y)+b(x+2y)=14(2(2%+y)-6(%+2y)=14@，

①X3-②，得2x+y=4③，

將2x+y=4代入②中，得x+2y=-1(4),

(3)X2-(4),得x=3,

將x=3代入④，得y=-2,

.?.原方程組的解為

【小結(jié)】本題考查二元一次方程組的解；理解方程組的解與二元一次方程的關(guān)系，能夠熟練應(yīng)用加減消元

法求解二元一次方程組是解題的關(guān)鍵.

變式23如果關(guān)于x、y的二元一次方程組筮的解是不求a,b的值，你能否求關(guān)于x、

(N%-rDy—!□(y—1

y的二元一次方程組［汐產(chǎn)一整=；3的解？如果能，請求出方程組的解.

(z(x+y)+b［x—y)=15

【分析】第二個方程組中的x+y與x-y就是相當(dāng)于第一個方程組中的x、y,據(jù)此即可列方程組求解.

【解析】根據(jù)題意可得｛:?二;，解得：憂：.

【小結(jié)】本題考查了方程組的解，理解第二個方程組中的x+y與X-)，就是相當(dāng)于第一個方程組中的x、y,

理解整體思想是關(guān)鍵.

變式24閱讀下列文字，請仔細(xì)體會其中的數(shù)學(xué)思想.

(1)解方程組J、我們利用加減消元法，很快可以求得此方程組的解為；

⑵如何解方程組您血：打＞呢？我們可以把m+5,〃+3看成一個整體，設(shè)機(jī)+5=x,〃+3

(3(m+5)+2(n+3)=7

=y,很快可以求出原方程組的解為；

由此請你解決下列問題：

若關(guān)于小,〃的方程組《巾+2n=7的值與戶血+?=5有相同的解，求以〃的值.

【分析】(1)利用加減消元法，可以求得；

(2)利用換元法，把設(shè)機(jī)+5=x,〃+3=?則方程組化為(1)中的方程組，可求得x,y的值進(jìn)一步可求出

原方程組的解；對要解決的問題把和bn當(dāng)成一個整體利用已知條件可求出am和bn,再把bn代入2m

-bn=-2與3m+〃=5可求出”和〃的值，繼而可求出〃、b的值.

【解析】(1)方程組的解為：［二;；故應(yīng)填：I;1%

⑵設(shè)〃?+5=x,”+3=y,則原方程組可化為組朦；砥:1,由⑴可得：所以可解得｛［二二:

由方程組仁山+?n=7的值與+n=5有相同的解可得方程組-巾+=7解得］:僅

127n—bn=-2lam—bn=—1^am—bn=-1^bn=4

把bn=4代入方程2m-hn=-2得2m=2,解得m=L

再把ni=1代入3m+n=5得3+〃=5,解得〃=2,

把機(jī)=1代入c〃"=3得：a=3,

把幾=2代入尿=4得：b=2,

所以〃=3,b=2.

【小結(jié)】本題主要考查整體思想及換元法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解好整體思想.

考點(diǎn)9二元一次方程的應(yīng)用

例題9把一根長為7,”的鋼管截斷，從中得到兩種不同規(guī)格的鋼管，已知兩種規(guī)格的鋼管長分別為2皿和

\m,為了不造成浪費(fèi)，不同的截法有（）

A.1種B.2種1C.3種D.4利?

【分析】設(shè)可以截成x根2加長的鋼管和），根1機(jī)長的鋼管，根據(jù)截成的各段鋼管的長度之和為7加，即可得

出關(guān)于x,y的二元一次方程組，結(jié)合x,），均為正整數(shù)即可找出各種不同的截法.

【解析】設(shè)可以截成x根2機(jī)長的鋼管和y根所長的鋼管，依題意，得：2x+y=l,：,y=1-2x.

'：x,y均為正整數(shù)，...當(dāng)x=l時，y=5；當(dāng)x=2時;y=3；當(dāng)x=3時，y=\,

.?.共有3種不同的截法，截法1：截成1根2〃?長的鋼管和5根1〃?長的鋼管；截法2：截成2根2〃?長的鋼

管和3根1〃?長的鋼管；截法3：截成3根2加長的鋼管和1根1機(jī)長的鋼管，故選：C.

【小結(jié)】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程是解題的關(guān)鍵.

變式25在抗擊疫情網(wǎng)絡(luò)知識競賽中，為獎勵成績突出的學(xué)生，學(xué)校計劃用200元錢購買A、B、C三種獎

品，A種每個10元，B種每個20元，C種每個30元，在C種獎品不超過兩個且錢全部用完的情況下，有

多少種購買方案（）

A.12種艮15種C16種D.14種

【分析】有兩個等量關(guān)系：購買4種獎品錢數(shù)+購買B種獎品錢數(shù)+購買C種獎品錢數(shù)=200；C種獎品個

數(shù)為1或2個.設(shè)兩個未知數(shù)，得出二元一次方程，根據(jù)實(shí)際含義確定解.

【解析】設(shè)購買A種獎品m個，購買B種獎品〃個，

當(dāng)C種獎品個數(shù)為1個時，

根據(jù)題意得10w+20n+30=200,整理得加+2〃=17,

?.加、〃都是正整數(shù)，0<2〃<17,2,3,4,5,6,7,8；

當(dāng)C種獎品個數(shù)為2個時，

根據(jù)題意得10^+20/7+60=200,整理得帆+2〃=14,

?.,〃?、"都是正整數(shù)，0<2n<14>

.*.?=1,2,3,4,5,6；

...有8+6=14種購買方案.故選：D.

【小結(jié)】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合

適的等量關(guān)系列出方程，再求解.要注意題中未知數(shù)的取值必須符合實(shí)際意義.

變式26陳老師為學(xué)校購買運(yùn)動會的獎品后，回學(xué)校向后勤處王老師交賬說：“我買了兩種書共105本，

單價分別為8元和12元，買書前我領(lǐng)了1500元，現(xiàn)在還余418元.”王老師算了一下，說：“你肯定弄

錯了."陳老師連忙拿出購物發(fā)票，發(fā)現(xiàn)的確弄錯了，因?yàn)樗€買了一個筆記本，但筆記本的單價已模糊

不清，只能辨認(rèn)出應(yīng)為小于5元的整數(shù)，那么筆記本的單價可能是()元.

A.1%B.2元C.3元￡>.4元

【分析】設(shè)購買單價為8元的書x本，筆記本的單價為y元，則購買單價為12元的書(105-x)本，根據(jù)

105本書及筆記本共花了(1500-418)元，即可得出關(guān)于x,y的二元一次方程，結(jié)合尤，y均為正整數(shù)，

且y<5,即可求出結(jié)論.

【解析】設(shè)購買單價為8元的書x本，筆記本的單價為y元，則購買單價為12元的書(105-x)本，

依題意，得：8x+y+12(105-x)=1500-418,

，y=178-4x,

又,：x,y均為正整數(shù)，且y<5,

；.x=44,y—1.

故選：B.

【小結(jié)】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程是解題的關(guān)鍵.

變式27某商場計劃用56000元從廠家購進(jìn)60臺新型電子產(chǎn)品，已知該廠家生產(chǎn)甲、乙、丙三種不同型號

的電子產(chǎn)品，設(shè)甲、乙型設(shè)備應(yīng)各買入x,y臺，其中每臺的價格、銷售獲利如下表:

甲型乙型丙型

價格（元/臺）1000800500

銷售獲利（元/臺）260190120

（1）購買丙型設(shè)備臺（用含x,y的代數(shù)式表示）；

（2）若商場同時購進(jìn)三種不同型號的電子產(chǎn)品（每種型號至少有一臺），恰好用了56000元，則商場有哪

幾種購進(jìn)方案？

（3）在第（2）題的基礎(chǔ)上，為了使銷售時獲利最多，應(yīng)選擇哪種購進(jìn)方案？此時獲利為多少？

【分析】（1）根據(jù)購買丙型設(shè)備的數(shù)量=60-購買甲型設(shè)備的數(shù)量-購買乙型設(shè)備的數(shù)量，即可得出結(jié)論;

（2）根據(jù)總價=單價X數(shù)量，即可得出關(guān)于x,y的二元一次方程，結(jié)合x,y,（60-x-y）均為正整數(shù),

即可得出各購進(jìn)方案；

（3）總利潤=單臺利潤X銷售數(shù)量，可分別求出選擇3種購進(jìn)方案可獲得銷售利潤，比較后即可得出結(jié)論.

【解析】（1）購買丙型設(shè)備（60-x-y）臺.

（2）依題意，得：1000x+800y+500（60-x-y）=56000,

整理得：5x+3y=260,.*.x=52-|y.

又?.”，y,（60-x-y）均為正整數(shù)，為5的倍數(shù)，

當(dāng)y=5時，x=49,60-x->,=6；

當(dāng)y=10時，x=46,60-JC-y=4；

當(dāng)y=15時，x=43,60-%-y—2；

當(dāng)y=20時，x=40,60-x-y=0,不合題意，舍去.

???共有3種購進(jìn)方案，方案1：購進(jìn)甲型設(shè)備49臺，乙型設(shè)備5臺，丙型設(shè)備6臺；方案2：購進(jìn)甲型設(shè)

備46臺，乙型設(shè)備10臺，丙型設(shè)備4臺；方案3：購進(jìn)甲型設(shè)備43臺，乙型設(shè)備15臺，丙型設(shè)備2臺.

（3）選擇方案1的銷售利潤為260X49+190X5+120X6=14410（元）；

選擇方案2的銷售利潤為260X46+190X10+120X4=14340（元）；

選擇方案3的銷售利潤為260X43+190X15+120X2=14270（元）.

?.T4410>14340>14270,...購甲設(shè)備49臺，乙設(shè)備5臺，丙設(shè)備6臺，獲利最多，利潤為14410元.

【小結(jié)】本題考查了列代數(shù)式以及二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，用

含x,y的代數(shù)式表示出購進(jìn)丙型設(shè)備的數(shù)量；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程；（3）根據(jù)各

數(shù)量之間的關(guān)系，分別求出選擇3種購進(jìn)方案可獲得的銷售利潤.

考點(diǎn)10二元一次方程組的應(yīng)用(配套問題)

例題10某車間有工人56名，生產(chǎn)--種螺栓和螺母，每人每天平均能生產(chǎn)螺栓24個或螺母36個，應(yīng)怎樣

分配工人，才能使一個螺栓配2個螺母剛好配套？

【分析】設(shè)應(yīng)分配x人生產(chǎn)螺栓，y人生產(chǎn)螺母，才能使一個螺栓配2個螺母剛好配套，根據(jù)每人每天平均

能生產(chǎn)螺栓24個或螺母36個和一個螺栓配2個螺母剛好配套，列出方程組，再進(jìn)行求解即可.

【解析】設(shè)應(yīng)分配x人生產(chǎn)螺栓，y人生產(chǎn)螺母，才能使一個螺栓配2個螺母剛好配套，

根據(jù)題意,得｛募"匕/解得1：第，

答：應(yīng)分配24個人生產(chǎn)螺栓，32個人生產(chǎn)螺母.

【小結(jié)】解決此類題目需仔細(xì)分析題意，利用方程組即可解決問題，但應(yīng)注意配套問題中零件數(shù)目的關(guān)系.

變式28機(jī)械廠加工車間有85名工人，平均每人每天加工大齒輪16個或小齒輪10個，2個大齒輪和3個

小齒輪配成一套，問需分別安排多少名工人加工大、小齒輪，才能使每天加工的大小齒輪剛好配套？

【分析】設(shè)需安排x名工人加工大齒輪，安排y名工人加工小齒輪，根據(jù)平均每人每天加工大齒輪16個或

小齒輪10個，2個大齒輪和3個小齒輪配成一套，可列成方程組求解.

(

+y=85°解得：：X=京.

16%；10y=2：3(y=6U

答：需安排25名工人加工大齒輪，安排60名工人加工小齒輪.

【小結(jié)】考查理解題意能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解2個大齒輪和3個小齒輪配成一套，根據(jù)此正確列出方程。

變式29實(shí)驗(yàn)室需要一批無蓋的長方體模型，一張大紙板可以做成長方體的側(cè)面30個，或長方體的底面25

個，一個無蓋的長方體由4個側(cè)面和一個底面構(gòu)成.現(xiàn)有26張大紙板，則用多少張做側(cè)面，多少張做底面

才可以使得剛好配套，沒有剩余？

【分析】設(shè)用x張做側(cè)面，y張做底面才可以使得剛好配套，沒有剩余，根據(jù)一個無蓋的長方體由4個側(cè)面

和一個底面構(gòu)成.現(xiàn)有26張大紙板，列出方程組，求出x,y的值即可；

【解析】設(shè)用x張做側(cè)面，y張做底面才可以使得剛好配套，沒有剩余，仁；3?!—/，解得：

答：用20張做側(cè)面，6張做底面才可以使得剛好配套，沒有剩余.

【小結(jié)】此題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出

合適的等量關(guān)系，列出方程組，再求解.利用二元一次方程組求解的應(yīng)用題一般情況下題中要給出2個等

量關(guān)系，準(zhǔn)確的找到等量關(guān)系并用方程組表示出來是解題的關(guān)鍵.

變式30用正方形硬紙板做三棱柱盒子，每個盒子由3個長方形側(cè)面和2個正三角形底面組成.硬紙板以

如圖兩種方法裁剪(裁剪后邊角料不再利用).

A方法：剪6個側(cè)面；

B方法：剪4個側(cè)面和5個底面.

現(xiàn)有19張硬紙板，裁剪時x張用A方法，其余用8方法.

(1)分別求裁剪出的側(cè)面和底面的個數(shù)(用x的代數(shù)式表示)

(2)若裁剪出的側(cè)面和底面恰好全部用完，問能做多少個盒子？

【分析】(1)由x張用A方法，就有(19-x)張用8方法，就可以分別表示出側(cè)面?zhèn)€數(shù)和底面?zhèn)€數(shù)；

(2)由側(cè)面?zhèn)€數(shù)和底面?zhèn)€數(shù)比為3：2建立方程求出x的值，求出側(cè)面的總數(shù)就可以求出結(jié)論.

【解析】(1)???裁剪時x張用A方法，

，裁剪時(19-x)張用B方法.

，側(cè)面的個數(shù)為：6x+4(19-x)=(2x+76)個，

底面的個數(shù)為：5(19-x)=(95-5%)個；

(2)由題意，得(2x+76)：(95-5x)=3：2,

解得：x—1,

...盒子的個數(shù)為：2*；76=30

答：裁剪出的側(cè)面和底面恰好全部用完，能做30個盒子.

【小結(jié)】本題考查了列一元一次方程解實(shí)際問題的運(yùn)用，一元一次方程的解法的運(yùn)用，列代數(shù)式的運(yùn)用以

及分式方程的應(yīng)用，解答時根據(jù)裁剪出的側(cè)面和底面?zhèn)€數(shù)相等建立方程是關(guān)鍵.

考點(diǎn)11二元一次方程組的應(yīng)用（歷史文獻(xiàn)問題）

例題11我國是最早認(rèn)識方程組的國家.比歐洲早一千多年，在古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中就記載了利

IIIIII-Ill!

用算籌表示方程組和解方程組的問題，下面的［「,.

=1111表示的是方程組

III111=丁

3%+2y+z=39

nm-i所表示的方程組的解是()

2%+3y+z=34,

+2y+3z=26mT

x=1x=2%=4x=3

A.B.D.

.y=2,y=3.y=iy=3

【分析】找出給定的算籌所表示的方程組，解之即可得出結(jié)論.

【解析】依題意，得：

解得弋二

故選：c.

【小結(jié)】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及數(shù)學(xué)常識，找出算籌所表示的方程組是解題