2024屆成都市樹(shù)德實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

2024屆成都市樹(shù)德實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)分別是雙線的左、右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為直徑的圓與該雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)（位于軸右側(cè)），且四邊形為菱形，則該雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．2．公元前世紀(jì)，古希臘哲學(xué)家芝諾發(fā)表了著名的阿基里斯悖論：他提出讓烏龜在跑步英雄阿基里斯前面米處開(kāi)始與阿基里斯賽跑，并且假定阿基里斯的速度是烏龜?shù)谋?當(dāng)比賽開(kāi)始后，若阿基里斯跑了米，此時(shí)烏龜便領(lǐng)先他米，當(dāng)阿基里斯跑完下一個(gè)米時(shí)，烏龜先他米，當(dāng)阿基里斯跑完下-個(gè)米時(shí)，烏龜先他米....所以，阿基里斯永遠(yuǎn)追不上烏龜.按照這樣的規(guī)律，若阿基里斯和烏龜?shù)木嚯x恰好為米時(shí)，烏龜爬行的總距離為（）A．米 B．米C．米 D．米3．已知正方體的體積為，點(diǎn)，分別在棱，上，滿足最小，則四面體的體積為A． B． C． D．4．已知三棱錐的體積為2，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，且三棱錐的外接球的球心恰好是中點(diǎn)，則球的表面積為（）A． B． C． D．5．設(shè)，為非零向量，則“存在正數(shù)，使得”是“”的（）A．既不充分也不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．充分不必要條件6．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，當(dāng)輸出的時(shí)，則輸入的的值為()A．-2 B．-1 C． D．7．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，過(guò)右頂點(diǎn)A且與x軸垂直的直線交雙曲線的一條漸近線于M點(diǎn)，MF的中點(diǎn)恰好在雙曲線C上，則C的離心率為（）A． B． C． D．8．若函數(shù)f(x)＝x3＋x2－在區(qū)間(a，a＋5)上存在最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A．[－5，0) B．(－5，0) C．[－3，0) D．(－3，0)9．黨的十九大報(bào)告明確提出：在共享經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域培育增長(zhǎng)點(diǎn)、形成新動(dòng)能.共享經(jīng)濟(jì)是公眾將閑置資源通過(guò)社會(huì)化平臺(tái)與他人共享，進(jìn)而獲得收入的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象.為考察共享經(jīng)濟(jì)對(duì)企業(yè)經(jīng)濟(jì)活躍度的影響，在四個(gè)不同的企業(yè)各取兩個(gè)部門進(jìn)行共享經(jīng)濟(jì)對(duì)比試驗(yàn)，根據(jù)四個(gè)企業(yè)得到的試驗(yàn)數(shù)據(jù)畫出如下四個(gè)等高條形圖，最能體現(xiàn)共享經(jīng)濟(jì)對(duì)該部門的發(fā)展有顯著效果的圖形是（）A． B．C． D．10．在的展開(kāi)式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是（）A．74 B．121 C． D．11．已知函數(shù)若關(guān)于的方程有六個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．12．?dāng)?shù)列{an}是等差數(shù)列，a1＝1，公差d∈[1，2]，且a4+λa10+a16＝15，則實(shí)數(shù)λ的最大值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則數(shù)列的公比是．14．已知實(shí)數(shù)x,y滿足(2x-y)2+4y15．已知函數(shù)，若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．16．若，則=____，=___.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在全面抗擊新冠肺炎疫情這一特殊時(shí)期，我市教育局提出“停課不停學(xué)”的口號(hào)，鼓勵(lì)學(xué)生線上學(xué)習(xí).某校數(shù)學(xué)教師為了調(diào)查高三學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)與線上學(xué)習(xí)時(shí)間之間的相關(guān)關(guān)系，對(duì)高三年級(jí)隨機(jī)選取45名學(xué)生進(jìn)行跟蹤問(wèn)卷，其中每周線上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)間不少于5小時(shí)的有19人，余下的人中，在檢測(cè)考試中數(shù)學(xué)平均成績(jī)不足120分的占，統(tǒng)計(jì)成績(jī)后得到如下列聯(lián)表：分?jǐn)?shù)不少于120分分?jǐn)?shù)不足120分合計(jì)線上學(xué)習(xí)時(shí)間不少于5小時(shí)419線上學(xué)習(xí)時(shí)間不足5小時(shí)合計(jì)45（1）請(qǐng)完成上面列聯(lián)表；并判斷是否有99%的把握認(rèn)為“高三學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)與學(xué)生線上學(xué)習(xí)時(shí)間有關(guān)”；（2）①按照分層抽樣的方法，在上述樣本中從分?jǐn)?shù)不少于120分和分?jǐn)?shù)不足120分的兩組學(xué)生中抽取9名學(xué)生，設(shè)抽到不足120分且每周線上學(xué)習(xí)時(shí)間不足5小時(shí)的人數(shù)是，求的分布列（概率用組合數(shù)算式表示）；②若將頻率視為概率，從全校高三該次檢測(cè)數(shù)學(xué)成績(jī)不少于120分的學(xué)生中隨機(jī)抽取20人，求這些人中每周線上學(xué)習(xí)時(shí)間不少于5小時(shí)的人數(shù)的期望和方差.（下面的臨界值表供參考）0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828（參考公式其中）18．（12分）已知數(shù)列滿足：對(duì)一切成立.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．（12分）已知，，，，證明：（1）；（2）.20．（12分）正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn滿足：(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，證明：對(duì)于任意的n∈N*，都有Tn＜.21．（12分）已知數(shù)列滿足，，，且.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.22．（10分）如圖，在三棱錐中，，，，平面平面，、分別為、中點(diǎn)．（1）求證：；（2）求二面角的大?。?/p>

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

由于四邊形為菱形，且，所以為等邊三角形，從而可得漸近線的傾斜角，求出其斜率.【詳解】如圖，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，，所以為等邊三角形，，兩漸近線的斜率分別為和.故選：B【點(diǎn)睛】此題考查的是求雙曲線的漸近線方程，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

根據(jù)題意，是一個(gè)等比數(shù)列模型，設(shè)，由，解得，再求和.【詳解】根據(jù)題意，這是一個(gè)等比數(shù)列模型，設(shè)，所以，解得，所以.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用，還考查了建模解模的能力，屬于中檔題.3、D【解析】

由題意畫出圖形，將所在的面延它們的交線展開(kāi)到與所在的面共面，可得當(dāng)時(shí)最小，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，得，進(jìn)一步求出四面體的體積即可．【詳解】解：如圖，

∵點(diǎn)M，N分別在棱上，要最小，將所在的面延它們的交線展開(kāi)到與所在的面共面，三線共線時(shí)，最小，

∴

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，∴．

取，連接，則共面，在中，設(shè)到的距離為，

設(shè)到平面的距離為，

.

故選D．【點(diǎn)睛】本題考查多面體體積的求法，考查了多面體表面上的最短距離問(wèn)題，考查計(jì)算能力，是中檔題．4、A【解析】

根據(jù)是中點(diǎn)這一條件，將棱錐的高轉(zhuǎn)化為球心到平面的距離，即可用勾股定理求解.【詳解】解：設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以到平面的距離為，三棱錐的體積，解得，作平面，垂足為的外心，所以，且，所以在中，，此為球的半徑，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查球的表面積，考查點(diǎn)到平面的距離，屬于中檔題．5、D【解析】

充分性中，由向量數(shù)乘的幾何意義得，再由數(shù)量積運(yùn)算即可說(shuō)明成立；必要性中，由數(shù)量積運(yùn)算可得，不一定有正數(shù)，使得，所以不成立，即可得答案.【詳解】充分性：若存在正數(shù)，使得，則，，得證；必要性：若，則，不一定有正數(shù)，使得，故不成立；所以是充分不必要條件故選：D【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，向量數(shù)乘的幾何意義，還考查了充分必要條件的判定，屬于簡(jiǎn)單題.6、B【解析】若輸入，則執(zhí)行循環(huán)得結(jié)束循環(huán)，輸出，與題意輸出的矛盾；若輸入，則執(zhí)行循環(huán)得結(jié)束循環(huán)，輸出，符合題意；若輸入，則執(zhí)行循環(huán)得結(jié)束循環(huán)，輸出，與題意輸出的矛盾；若輸入，則執(zhí)行循環(huán)得結(jié)束循環(huán)，輸出，與題意輸出的矛盾；綜上選B.7、A【解析】

設(shè)，則MF的中點(diǎn)坐標(biāo)為，代入雙曲線的方程可得的關(guān)系，再轉(zhuǎn)化成關(guān)于的齊次方程，求出的值，即可得答案.【詳解】雙曲線的右頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，M所在直線為，不妨設(shè)，∴MF的中點(diǎn)坐標(biāo)為.代入方程可得，∴，∴，∴（負(fù)值舍去）.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意構(gòu)造的齊次方程.8、C【解析】

求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，分析函數(shù)單調(diào)性得到函數(shù)的簡(jiǎn)圖，得到a滿足的不等式組，從而得解.【詳解】由題意，f′(x)＝x2＋2x＝x(x＋2)，故f(x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函數(shù)，在(－2，0)上是減函數(shù)，作出其圖象如圖所示．令x3＋x2－＝－，得x＝0或x＝－3，則結(jié)合圖象可知，解得a∈[－3，0)，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而研究函數(shù)的最值，屬于?？碱}型.9、D【解析】根據(jù)四個(gè)列聯(lián)表中的等高條形圖可知，圖中D中共享與不共享的企業(yè)經(jīng)濟(jì)活躍度的差異最大，它最能體現(xiàn)共享經(jīng)濟(jì)對(duì)該部門的發(fā)展有顯著效果，故選D．10、D【解析】

根據(jù)，利用通項(xiàng)公式得到含的項(xiàng)為：，進(jìn)而得到其系數(shù)，【詳解】因?yàn)樵?，所以含的?xiàng)為：，所以含的項(xiàng)的系數(shù)是的系數(shù)是，，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)展開(kāi)式及通項(xiàng)公式和項(xiàng)的系數(shù)，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題，11、B【解析】

令，則，由圖象分析可知在上有兩個(gè)不同的根，再利用一元二次方程根的分布即可解決.【詳解】令，則，如圖與頂多只有3個(gè)不同交點(diǎn)，要使關(guān)于的方程有六個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則有兩個(gè)不同的根，設(shè)由根的分布可知，，解得.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題，涉及到一元二次方程根的分布，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸和數(shù)形結(jié)合的思想，是一道中檔題.12、D【解析】

利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式推導(dǎo)出λ，由d∈[1，2]，能求出實(shí)數(shù)λ取最大值．【詳解】∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1＝1，公差d∈[1，2]，且a4+λa10+a16＝15，∴1+3d+λ（1+9d）+1+15d＝15，解得λ，∵d∈[1，2]，λ2是減函數(shù)，∴d＝1時(shí)，實(shí)數(shù)λ取最大值為λ．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)值的最大值的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解析】

當(dāng)q=1時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，所以.14、2【解析】

直接利用柯西不等式得到答案.【詳解】根據(jù)柯西不等式：2x-y2+4y當(dāng)2x-y=2y，即x=328故答案為：2.【點(diǎn)睛】本題考查了柯西不等式求最值，也可以利用均值不等式，三角換元求得答案.15、【解析】

函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)的圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn)，畫出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解即可.【詳解】函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)的圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn)，畫出函數(shù)圖象如下圖所示：由圖象可知：實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)取值范圍問(wèn)題，考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想.16、12821【解析】

令，求得的值.利用展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求得的值.【詳解】令，得.展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，當(dāng)時(shí)，為，即.【點(diǎn)睛】本小題主要考查二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，考查賦值法求解二項(xiàng)式系數(shù)有關(guān)問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）填表見(jiàn)解析；有99%的把握認(rèn)為“高三學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)與學(xué)生線上學(xué)習(xí)時(shí)間有關(guān)”（2）①詳見(jiàn)解析②期望；方差【解析】

（1）完成列聯(lián)表，代入數(shù)據(jù)即可判斷；（2）利用分層抽樣可得的取值，進(jìn)而得到概率，列出分布列；根據(jù)分析知，計(jì)算出期望與方差.【詳解】（1）分?jǐn)?shù)不少于120分分?jǐn)?shù)不足120分合計(jì)線上學(xué)習(xí)時(shí)間不少于5小時(shí)15419線上學(xué)習(xí)時(shí)間不足5小時(shí)101626合計(jì)252045有99%的把握認(rèn)為“高三學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)與學(xué)生線上學(xué)習(xí)時(shí)間有關(guān)”.（2）①由分層抽樣知，需要從不足120分的學(xué)生中抽取人，的可能取值為0，1，2，3，4，，，，，所以，的分布列：②從全校不少于120分的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，此人每周上線時(shí)間不少于5小時(shí)的概率為，設(shè)從全校不少于120分的學(xué)生中隨機(jī)抽取20人，這些人中每周線上學(xué)習(xí)時(shí)間不少于5小時(shí)的人數(shù)為，則，故，.【點(diǎn)睛】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)與離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望與方差的計(jì)算問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.18、（1）；（2）【解析】

（1）先通過(guò)求得，再由得，和條件中的式子作差可得答案；（2）變形可得，通過(guò)裂項(xiàng)求和法可得答案.【詳解】（1）①，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，②，①②得：，，適合，故；（2），.【點(diǎn)睛】本題考查法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查裂項(xiàng)求和，是基礎(chǔ)題.19、（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】

（1）先由基本不等式可得，而，即得證；（2）首先推導(dǎo)出，再利用，展開(kāi)即可得證.【詳解】證明：（1），，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.（2），，，，，，，.【點(diǎn)睛】本題考查不等式的證明，考查基本不等式的運(yùn)用，考查邏輯推理能力，屬于中檔題．20、（1）（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和滿足：，所以當(dāng)時(shí)，，即解得或，因?yàn)閿?shù)列都是正項(xiàng)，所以，因?yàn)椋?，解得或，因?yàn)閿?shù)列都是正項(xiàng)，所以，當(dāng)時(shí)，有，所以，解得，當(dāng)時(shí)，，符合所以數(shù)列的通項(xiàng)公式，;（2）因?yàn)?，所以，所以?shù)列的前項(xiàng)和為：，當(dāng)時(shí)，有，所以，所以對(duì)于任意，數(shù)列的前項(xiàng)和.21、（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】

（1）根據(jù)題目所給遞推關(guān)系式得到，由此證得數(shù)列為等比數(shù)列，并求得其通項(xiàng)公式.然后利用累加法求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）利用錯(cuò)位相減求和法求得數(shù)列的前項(xiàng)和【