投資學(xué)因子模型和套利定價(jià)理論

投資學(xué)第八講因子模型和套利定價(jià)實(shí)際組合選擇實(shí)際的一個(gè)缺陷馬科維茨的PortfolioSelection實(shí)際闡明了如何在給定風(fēng)險(xiǎn)程度下獲得最大的資產(chǎn)組合收益。但是在有效邊境確實(shí)立上，需求做大量的變量估計(jì)，對(duì)計(jì)算才干的要求非常高。

假定分析人員需求分析n種股票，那么按照均值－方差模型的要求需求估計(jì)：n個(gè)期望收益n個(gè)方差(n2-n)/2個(gè)協(xié)方差假設(shè)n＝50，總共為1325個(gè)假設(shè)n＝100，總共為5150個(gè)假設(shè)n＝3000，總共要估計(jì)超越450萬(wàn)個(gè)變量8.1因子模型〔Factormodel〕定義：因子模型是假設(shè)資產(chǎn)的收益是由某個(gè)收益生成過(guò)程所決議的〔而不是根據(jù)Markowitz方法〕，而這個(gè)生成過(guò)程那么可以經(jīng)過(guò)某個(gè)收益率統(tǒng)計(jì)公式線性地表述出來(lái)。根據(jù)因子的數(shù)量，可以分為單因子模型和多因子模型。8.1.1單因子模型假設(shè)把經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中的一切相關(guān)要素作為一個(gè)總的宏觀經(jīng)濟(jì)指數(shù)。假設(shè)：〔1〕證券的報(bào)答率主要取決于該指數(shù)的變化；〔2〕除此以外的要素是公司特有風(fēng)險(xiǎn)：剩余風(fēng)險(xiǎn)例如，GDP增長(zhǎng)率是影響證券報(bào)答率的主要要素。因子模型回歸年份IGDPt（%）股票A收益率（%）15.7

14.326.4

19.23

8.9 23.44

8.0 15.65

5.1

9.2 6

2.9 13.04%圖中，橫軸表示GDP的增長(zhǎng)率，縱軸表示股票A的報(bào)答率。圖上的每一點(diǎn)表示：在給定的年份，股票A的報(bào)答率與GDP增長(zhǎng)率。經(jīng)過(guò)線性回歸，我們得到一條符合這些點(diǎn)的直線為經(jīng)過(guò)分析上面這個(gè)例子，可歸納出單因子模型的普通方式：對(duì)時(shí)間t的任何證券i有時(shí)間序列其中：rit在時(shí)期t證券i的報(bào)答ai零因子ft是t時(shí)期公共因子的取值bi證券i對(duì)公共因子f的敏感度(sensitivity),或因子載荷〔factorloading〕eit在時(shí)期t證券i的特有報(bào)答

〔8.1〕假設(shè)只思索在某個(gè)特定的時(shí)間的因子模型，可以省掉角標(biāo)t，從而〔8.1〕式變?yōu)椴⑶壹僭O(shè)〔8.2〕假設(shè)(1)：因子f詳細(xì)取什么值對(duì)e沒(méi)有影響，即因子f與e是獨(dú)立的，這樣保證了因子f是報(bào)答率的獨(dú)一要素。假設(shè)(2)：一種證券的e對(duì)其他任何證券的e沒(méi)有影響，兩種證券之所以相關(guān)，僅是由于它們具有共同因子f所致。假設(shè)上述假設(shè)不成立，那么單因子模型不準(zhǔn)確，應(yīng)該思索添加因子或者其他措施。對(duì)于證券i，由〔8.2〕其報(bào)答率的均值〔期望值〕為其報(bào)答率的方差因子風(fēng)險(xiǎn)非因子風(fēng)險(xiǎn)對(duì)于證券i和j而言，它們之間的協(xié)方差為〔8.3〕用因子模型簡(jiǎn)化組合選擇過(guò)程單因子模型：n個(gè)期望收益，n個(gè)bi，n個(gè)殘差，一個(gè)因子f方差，共3n＋1個(gè)估計(jì)值假設(shè)n＝50，之前1325個(gè)，如今151假設(shè)n＝100，之前5150個(gè)，如今301假設(shè)n＝3000，之前450萬(wàn)＋，如今9001一個(gè)特殊的因子模型證券收益可以用預(yù)期到的收益和未預(yù)期到的收益兩個(gè)部分來(lái)解釋，構(gòu)成了未預(yù)期到的因子變化包含知信息的預(yù)期報(bào)答f是證券i的因子變化，它是不可預(yù)測(cè)的。假設(shè)市場(chǎng)有效，那么t-1時(shí)辰的信息集預(yù)測(cè)t時(shí)辰的價(jià)錢無(wú)效，這等價(jià)于t-1時(shí)辰信息無(wú)法預(yù)測(cè)t時(shí)辰的因子，即對(duì)于因子的變化沒(méi)有任何傾向——公平賭局〔Fairgame〕價(jià)錢〔收益〕的不可預(yù)測(cè)，本質(zhì)上是信息的不可預(yù)測(cè)。單要素模型的簡(jiǎn)化是有本錢的，它僅僅將資產(chǎn)收益簡(jiǎn)單地以為僅與一個(gè)因子相關(guān)。因此難以把握公司對(duì)不同的宏觀經(jīng)濟(jì)要素的反響。例：公用事業(yè)公司與航空公司，前者對(duì)GDP不敏感，后者對(duì)利率不敏感。8.1.2多因子模型雙要素、三要素與五要素模型雙要素模型：經(jīng)濟(jì)周期[GDP]和利率[IR]是兩個(gè)最重要的系統(tǒng)要素.三要素模型：FamaandFrench除市場(chǎng)收益外,調(diào)查了公司規(guī)模大小[SIZE]、托賓Q值比[HML]這兩個(gè)要素.五要素模型：把宏觀經(jīng)濟(jì)要素分解為：行業(yè)消費(fèi)變動(dòng)百分比[IP]、預(yù)期通脹變動(dòng)百分比[EI]、非預(yù)期通脹變動(dòng)百分比[UI]、長(zhǎng)期公司債券對(duì)長(zhǎng)期政府債券的超額收益[CG]、長(zhǎng)期政府債券對(duì)短期國(guó)庫(kù)券的超額收益[GB].兩因子模型假設(shè)只思索一期的模型，那么可以省略表示時(shí)間的下標(biāo)，從而兩因子模型方程為在兩因子模型下，對(duì)于證券i，其收益率的均值其收益率的方差對(duì)于證券i和j，其協(xié)方差為證券i對(duì)因子1的敏感度多因子模型對(duì)于n種證券相關(guān)的m〔m<n)個(gè)因子，證券i的收益可以表示為

CAPM：市場(chǎng)平衡條件下的最優(yōu)投資組合實(shí)際

APT：無(wú)套利平衡下因子模型8.2套利定價(jià)實(shí)際〔APT〕套利〔Arbitrage〕是利用證券定價(jià)之間的不一致，同時(shí)持有一種或者多種資產(chǎn)的多頭或空頭，從而在不承當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)的情況下鎖定一個(gè)正收益。三要點(diǎn)：-零投入-無(wú)風(fēng)險(xiǎn)-正收益.套利時(shí)機(jī)套利時(shí)機(jī)-假設(shè)可以持有自融資的投資組合并獲得確定的正收益arisesifaninvestorcanconstructazeroinvestmentportfoliowithasureprofit.假設(shè)市場(chǎng)是有效的,套利時(shí)機(jī)將立刻消逝.由于任何投資者,不思索風(fēng)險(xiǎn)厭惡與財(cái)富情況,均情愿盡能夠多地?fù)碛刑桌M合的頭寸,大量頭寸的存在將導(dǎo)致價(jià)錢上漲或下跌直至套利時(shí)機(jī)完全消除.

兩種套利方法：當(dāng)前時(shí)辰凈支出為0，未來(lái)獲得正收入〔收入凈現(xiàn)值為正〕當(dāng)前時(shí)辰一系列能帶來(lái)正收入的投資，未來(lái)的凈支出為零〔支出的凈現(xiàn)值為0〕。假設(shè)如今6個(gè)月即期年利率為10%〔延續(xù)復(fù)利，下同〕，1年期的即期利率是12%。假設(shè)有人把今后6個(gè)月到1年期的遠(yuǎn)期利率定為11%，那么有套利時(shí)機(jī)。套利過(guò)程是：買賣者按10%的利率借入一筆6個(gè)月資金〔假設(shè)1000萬(wàn)元〕簽署一份協(xié)議〔遠(yuǎn)期利率協(xié)議〕，該協(xié)議規(guī)定該買賣者可以按11%的價(jià)錢6個(gè)月后從市場(chǎng)借入資金1051萬(wàn)元〔等于1000e0.10×0.5〕。按12%的利率貸出一筆1年期的款項(xiàng)金額為1000萬(wàn)元。1年后收回1年期貸款，得本息1127萬(wàn)元〔等于1000e0.12×1〕，并用1110萬(wàn)元〔等于1051e0.11×0.5〕歸還半年期的債務(wù)后，買賣者凈賺17萬(wàn)元〔1127萬(wàn)元-1110萬(wàn)元〕。這是哪一種套利？套利不僅僅局限于同一種資產(chǎn)〔組合〕，對(duì)于整個(gè)資本市場(chǎng)，還應(yīng)該包括那些“類似〞資產(chǎn)〔組合〕構(gòu)成的近似套利時(shí)機(jī)。無(wú)套利原那么〔Non-arbitrageprinciple)：根據(jù)一價(jià)定律，兩種具有一樣風(fēng)險(xiǎn)的資產(chǎn)〔組合〕不能以不同的期望收益率出賣。8.2.1APT的根本假設(shè)1、市場(chǎng)是充分競(jìng)爭(zhēng)的、無(wú)摩擦的〔Perfectlycompetitiveandfrictionlesscapitalmarkets〕；2、投資者是非滿足的：只需有套利時(shí)機(jī)就會(huì)不斷套利，直到無(wú)利可圖為止。－不用對(duì)投資者風(fēng)險(xiǎn)偏好作假設(shè)3、資產(chǎn)的報(bào)答可以用因子模型表示。

APT的根本原理：由無(wú)套利原那么，在因子模型下，具有一樣因子敏感性〔b〕的資產(chǎn)〔或組合〕應(yīng)提供一樣的期望收益率。

8.2.2構(gòu)建套利組合

Arbitrageportfolio1、零投資：套利組合中購(gòu)買證券的資金由賣出別的證券來(lái)提供，即自融資〔Self-financing〕。2、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)：在因子模型條件下，因子動(dòng)搖導(dǎo)致風(fēng)險(xiǎn)，因此，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)就是套利組合對(duì)任何因子的敏感度為0。3、正收益：套利組合的期望收益大于零。用數(shù)學(xué)表示就是WellDiversifiedPortfolioRecallthereturnonaportfolioremainscanapproach0withdiversificationRiskassociatedwithfissystematicornon-diversifiableRiskassociatedwiththeei’sisdiversifiable.WesaythataportfolioiswelldiversifiedifTheEffectofDiversificationAssume(i.e.allerrorshavethesamevar)LetTheerrorisreducedbyafactorofn.AsLet’stakealookattheerrorterm8.2.3套利定價(jià)模型假設(shè)投資者構(gòu)造這樣的資產(chǎn)組合：〔1〕無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率借入1元錢；〔2〕1元錢投資在兩種資產(chǎn)，這樣構(gòu)造一個(gè)自融資組合。假設(shè)不存在套利時(shí)機(jī)，那么該套利組合的收益為0根據(jù)條件〔2〕，普通方式的證明見附錄APT的意義假設(shè)bi＝0，那么上式退化為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，那么意味著假設(shè)bi≠0，那么期望報(bào)答隨著的添加而增大風(fēng)險(xiǎn)因子載荷APT的意義假設(shè)給定等投資額的證券h多頭和證券l空頭，那么構(gòu)成套利組合。投資者為獲利必定盡能夠地購(gòu)入證券h，從而使其價(jià)錢上升，預(yù)期收益率下降，最終到達(dá)APT定價(jià)線。在平衡時(shí)，一切的證券都落在套利定價(jià)線上，只需證券偏離APT定價(jià)線就會(huì)有套利時(shí)機(jī)。APT定價(jià)線8.2.4APT的另一種表達(dá)那么稱該組合p為純因子組合(類似于CAPM的市場(chǎng)組合)在兩因子模型下，我們有即第1因子的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)錢第2因子的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)錢這樣可將APT的表達(dá)式可以改寫為8.3APT與CAPM的比較APT與CAPM的一致性假設(shè)只需一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)因子，且純因子組合是市場(chǎng)組合，那么當(dāng)APT與CAPM均成立時(shí)有1、CAPM是一種實(shí)際上非常完美的模型，但假設(shè)條件太多、太嚴(yán)厲。其中關(guān)鍵的假設(shè)是同質(zhì)性假設(shè)和普通平衡。APT假設(shè)少得多。根本假設(shè)是：個(gè)體是非滿足，不需求風(fēng)險(xiǎn)躲避的假設(shè)！只需一個(gè)人套利，市場(chǎng)就會(huì)出現(xiàn)平衡CAPM與APT的區(qū)別2、在CAPM中，市場(chǎng)組合居于不可或缺的位置〔假設(shè)無(wú)此，那么其實(shí)際瓦解〕。APT并不要求組合一定是市場(chǎng)組合，可以是任何風(fēng)險(xiǎn)分散良好的組合：純因子組合3、假設(shè)純因子組合不是市場(chǎng)組合，那么APT與CAPM不一定一致，CAPM僅僅是APT的特例。當(dāng)且僅當(dāng)純因子組合是市場(chǎng)組合時(shí)，CAPM與APT等價(jià)。CAPM與APT的區(qū)別留意二者并不一致由于市場(chǎng)組合在實(shí)踐中不是總能得到，因此，在實(shí)踐運(yùn)用中，只需投資基金等組合，即可滿足APT。所以APT的適用性更強(qiáng)！4、APT的推導(dǎo)以無(wú)套利平衡為中心，CAPM那么以普通平衡GeneralEqulibrium中心。5、CAPM屬于單一時(shí)期模型，但APT并不遭到單一時(shí)期的限制。6、在CAPM中，證券的風(fēng)險(xiǎn)只與市場(chǎng)組合相關(guān)。APT成認(rèn)有多種要素影響證券價(jià)錢，為識(shí)別證券風(fēng)險(xiǎn)的來(lái)源提供了分析工具。1976年羅斯(Stephen.A.Ross,1944～)的套利定價(jià)實(shí)際(APT,ArbitragePricingTheory)。命題：假設(shè)n種資產(chǎn)其收益率m個(gè)因子決議〔m<n〕，即其中，i=1,2,…,n，j=1,2,…,m，那么附錄：APT的嚴(yán)厲證明證明：假設(shè)在資產(chǎn)i上投資wi，構(gòu)造零投資且無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的組合，即wi滿足以下條件零投資無(wú)風(fēng)險(xiǎn)〔2〕〔1〕即，1、bj〔j=1,2,…,m)線性無(wú)關(guān)。假設(shè)市場(chǎng)有效，那么不會(huì)有套利平衡，即零投資、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的組合必然是無(wú)收益的，從而只需〔1