高考數(shù)學(xué)專題算法初步、統(tǒng)計(jì)、統(tǒng)計(jì)案例

PAGEPAGE4第十章算法初步、統(tǒng)計(jì)、統(tǒng)計(jì)案例第一節(jié)算法與程序框圖1．算法與程序框圖(1)算法的定義：算法是指按照一定規(guī)則解決某一類問題的明確和有限的步驟．(2)程序框圖：①程序框圖又稱流程圖，是一種用程序框、流程線及文字說明來表示算法的圖形．②程序框圖通常由程序框和流程線組成．③基本的程序框有終端框(起止框)、輸入、輸出框、處理框(執(zhí)行框)、判斷框．(3)三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：名稱內(nèi)容順序結(jié)構(gòu)條件結(jié)構(gòu)循環(huán)結(jié)構(gòu)定義由若干個(gè)依次執(zhí)行的步驟組成的，這是任何一個(gè)算法都離不開的基本結(jié)構(gòu)算法的流程根據(jù)條件是否成立有不同的流向，條件結(jié)構(gòu)就是處理這種過程的結(jié)構(gòu)從某處開始，按照一定的條件反復(fù)執(zhí)行某些步驟的情況，反復(fù)執(zhí)行的步驟稱為循環(huán)體程序框圖2．基本算法語句(1)輸入、輸出、賦值語句的格式與功能：語句一般格式功能輸入語句INPUT“提示內(nèi)容”；變量輸入信息輸出語句PRINT“提示內(nèi)容”；表達(dá)式輸出常量、變量的值和系統(tǒng)信息賦值語句變量＝表達(dá)式將表達(dá)式所代表的值賦給變量(2)條件語句的格式及框圖：①IF－THEN格式：②IF－THEN－ELSE格式：(3)循環(huán)語句的格式及框圖：①UNTIL語句：②WHILE語句：1．易混淆處理框與輸入框，處理框主要是賦值、計(jì)算，而輸入框只是表示一個(gè)算法輸入的信息．2．易忽視循環(huán)結(jié)構(gòu)中必有條件結(jié)構(gòu)，其作用是控制循環(huán)進(jìn)程，避免進(jìn)入“死循環(huán)”，是循環(huán)結(jié)構(gòu)必不可少的一部分．3．易混淆當(dāng)型循環(huán)與直到型循環(huán)．解析：選A由程序框圖得分段函數(shù)s＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3t，t＜1，,4t－t2，t≥1.))所以當(dāng)－1≤t＜1時(shí)，s＝3t∈[－3,3)；當(dāng)1≤t≤3時(shí)，s＝4t－t2＝－(t－2)2＋4，所以此時(shí)3≤s≤4.綜上函數(shù)的值域?yàn)閇－3,4]，即輸出的s屬于[－3,4]，選擇A.2．(2013·安徽高考)如圖所示，程序框圖(算法流程圖)的輸出結(jié)果為()A.eq\f(3,4) B.eq\f(1,6)C.eq\f(11,12) D.eq\f(25,24)解析：選C第一次循環(huán)后：s＝0＋eq\f(1,2)，n＝4；第二次循環(huán)后：s＝0＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)，n＝6；第三次循環(huán)后：s＝0＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)，n＝8，跳出循環(huán)，輸出s＝0＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＝eq\f(11,12).3．(2013·南昌模擬)若如下框圖所給的程序運(yùn)行結(jié)果為S＝20，那么判斷框中應(yīng)填入的關(guān)于k的條件是()A．k＝9? B．k≤8?C．k<8? D．k>8?解析：選D據(jù)程序框圖可得當(dāng)k＝9時(shí)，S＝11；k＝8時(shí)，S＝11＋9＝20.∴應(yīng)填入“k>8？”．[類題通法]1．解決程序框圖問題要注意幾個(gè)常用變量：(1)計(jì)數(shù)變量：用來記錄某個(gè)事件發(fā)生的次數(shù)，如i＝i＋1.(2)累加變量：用來計(jì)算數(shù)據(jù)之和，如S＝S＋i.(3)累乘變量：用來計(jì)算數(shù)據(jù)之積，如p＝p×i.2．處理循環(huán)結(jié)構(gòu)的框圖問題，關(guān)鍵是理解并認(rèn)清終止循環(huán)結(jié)構(gòu)的條件及循環(huán)次數(shù)．考點(diǎn)二算法的交匯性問題算法是高考熱點(diǎn)內(nèi)容之一，算法的交匯性問題是新課標(biāo)高考的一大亮點(diǎn)，歸納起來常見的命題角度有：1與統(tǒng)計(jì)的交匯問題；2與函數(shù)的交匯問題；3與概率的交匯問題.角度一與統(tǒng)計(jì)的交匯問題1．(2013·荊州模擬)圖(1)是某高三學(xué)生進(jìn)入高中三年來的數(shù)學(xué)考試成績(jī)莖葉圖，第1次到第14次的考試成績(jī)依次記為A1，A2，…，A14.圖(2)是統(tǒng)計(jì)莖葉圖中成績(jī)?cè)谝欢ǚ秶鷥?nèi)考試次數(shù)的一個(gè)算法流程圖．那么算法流程圖輸出的結(jié)果是()A．7 B．8C．9 D．10解析：選D從算法流程圖可知，該圖是統(tǒng)計(jì)成績(jī)大于或等于90分的考試次數(shù)．從莖葉圖可知輸出的結(jié)果為10.角度二與函數(shù)的交匯問題2．(2014·北京海淀模擬)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的k值是()A．4 B．5C．6 D．7解析：選B開始將n＝5代進(jìn)框圖，5為奇數(shù)，∴n＝3×5＋1＝16，此時(shí)k＝1.此后n為偶數(shù)，則代入n＝eq\f(n,2)中，因此，當(dāng)k＝1時(shí)，n＝16；當(dāng)k＝2時(shí)，n＝8；當(dāng)k＝3時(shí)，n＝4；當(dāng)k＝4時(shí)，n＝2；當(dāng)k＝5時(shí)，n＝1，輸出k＝5.故選B.角度三與概率的交匯問題3．(2013·洛陽統(tǒng)考)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，任意輸入一次x(0≤x≤1)與y(0≤y≤1)，則能輸出數(shù)對(duì)(x，y)的概率為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)解析：選B依題意，不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤1，,0≤y≤1))表示的平面區(qū)域的面積等于12＝1；不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤1，,0≤y≤1，,y≤x2))表示的平面區(qū)域的面積等于eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(1,0)x2dx＝eq\f(1,3)x3eq\a\vs4\al(|)eq\o\al(1,0)＝eq\f(1,3)，因此所求的概率等于eq\f(1,3)，選B.[類題通法]解決算法的交匯性問題的方法(1)讀懂程序框圖、明確交匯知識(shí)；(2)根據(jù)給出問題與程序框圖處理問題；(3)注意框圖中結(jié)構(gòu)的判斷．考點(diǎn)三基本算法語句[典例](2014·東北三校模擬)下面程序運(yùn)行的結(jié)果為()eq\x(\a\al(n＝10,S＝100,DO,S＝S－n,n＝n－1,LOOPUNTILS<＝70,PRINTn,END))A．4 B．5C．6 D．7[解析]第一次執(zhí)行后，S＝100－10＝90，n＝10－1＝9；第二次執(zhí)行后，S＝90－9＝81，n＝9－1＝8；第三次執(zhí)行后，S＝81－8＝73，n＝8－1＝7；第四次執(zhí)行后，S＝73－7＝66，n＝7－1＝6.此時(shí)S＝66≤70，結(jié)束循環(huán)，輸出n＝6.[答案]C[類題通法]1．輸入語句、輸出語句和賦值語句基本對(duì)應(yīng)于算法的順序結(jié)構(gòu)．2．在循環(huán)語句中也可以嵌套條件語句，甚至是循環(huán)語句，此時(shí)需要注意嵌套格式，這些語句需要保證算法的完整性，否則就會(huì)造成程序無法執(zhí)行．[針對(duì)訓(xùn)練]運(yùn)行下面的程序時(shí)，WHILE循環(huán)語句的執(zhí)行次數(shù)是()eq\x(\a\al(N＝0,WHILEN<20,N＝N＋1,N＝N*N,WEND,PRINTN,END))A．3 B．4C．15 D．19解析：選A0<20,1<20,2×2<20,5×5>20，程序結(jié)束，故WHILE循環(huán)語句共執(zhí)行了3次

．第二節(jié)隨機(jī)抽樣1．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣(1)抽取方式：逐個(gè)不放回抽??；(2)每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等；(3)常用方法：抽簽法和隨機(jī)數(shù)法．2．系統(tǒng)抽樣的步驟假設(shè)要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本．(1)先將總體的N個(gè)個(gè)體編號(hào)；(2)確定分段間隔k，對(duì)編號(hào)進(jìn)行分段．當(dāng)eq\f(N,n)(n是樣本容量)是整數(shù)時(shí)，取k＝eq\f(N,n)；(3)在第1段用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣確定第一個(gè)個(gè)體編號(hào)l(l≤k)；(4)按照一定的規(guī)則抽取樣本．通常是將l加上間隔k得到第2個(gè)個(gè)體編號(hào)l＋k，再加k得到第3個(gè)個(gè)體編號(hào)l＋2k，依次進(jìn)行下去，直到獲取整個(gè)樣本．3．分層抽樣(1)定義：在抽樣時(shí)，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的個(gè)體，將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣本，這種抽樣方法是一種分層抽樣．(2)分層抽樣的應(yīng)用范圍：當(dāng)總體是由差異明顯的幾個(gè)部分組成時(shí)，往往選用分層抽樣．1．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中易忽視樣本是從總體中逐個(gè)抽取，是不放回抽樣，且每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等．2．系統(tǒng)抽樣中，易忽視抽取的樣本數(shù)也就是分段的段數(shù)，當(dāng)eq\f(N,n)不是整數(shù)時(shí)，注意剔除，剔除的個(gè)體是隨機(jī)的，各段入樣的個(gè)體編號(hào)成等差數(shù)列．3．分層抽樣中，易忽視每層抽取的個(gè)體的比例是相同的，即eq\f(樣本容量n,總體個(gè)數(shù)N).[試一試]1．下列抽取樣本的方式是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的有()①?gòu)臒o限多個(gè)個(gè)體中抽取50個(gè)個(gè)體作為樣本；②箱子里有100支鉛筆，今從中選取10支進(jìn)行檢驗(yàn)．在抽樣操作時(shí)，從中任意拿出一支檢測(cè)后再放回箱子里；③從50個(gè)個(gè)體中一次性抽取5個(gè)個(gè)體作為樣本．A．0個(gè) B．1個(gè)C．2個(gè) D．3個(gè)解析：選A①不滿足樣本的總體數(shù)較少的特點(diǎn)；②不滿足不放回抽取的特點(diǎn)；③不滿足逐個(gè)抽取的特點(diǎn)．2．用系統(tǒng)抽樣法(按等距離的規(guī)則)要從160名學(xué)生中抽取容量為20的樣本，將160名學(xué)生從1～160編號(hào)．按編號(hào)順序平均分成20組(1～8號(hào)，9～16號(hào)，…，153～160號(hào))，若第16組應(yīng)抽出的號(hào)碼為125，則第一組中按此抽簽方法確定的號(hào)碼是()A．7 B．5C．4 D．3解析：選B由系統(tǒng)抽樣知第一組確定的號(hào)碼是5.3．某社區(qū)有500個(gè)家庭，其中高收入家庭125戶，中等收入家庭280戶，低收入家庭95戶．為了調(diào)查社會(huì)購(gòu)買力的某項(xiàng)指標(biāo)，采用分層抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為若干戶的樣本，若從高收入家庭中抽取了25戶，則低收入家庭被抽取的戶數(shù)為________．解析：設(shè)低收入家庭被抽取的戶數(shù)為x，則有eq\f(25,125)＝eq\f(x,95)，解得x＝19.答案：191．系統(tǒng)抽樣的步驟(1)先將總體的N個(gè)個(gè)體編號(hào)；(2)確定分段間隔k(k∈N*)，對(duì)編號(hào)進(jìn)行分段．當(dāng)eq\f(N,n)(n是樣本容量)是整數(shù)時(shí)，取k＝eq\f(N,n)；(3)在第1段用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣確定第1個(gè)個(gè)體編號(hào)l(l≤k)；(4)按照一定的規(guī)則抽取樣本．通常是將l加上間隔k得到第2個(gè)個(gè)體編號(hào)(l＋k)，再加上k得到第3個(gè)個(gè)體編號(hào)(l＋2k)，依次進(jìn)行下去，直到獲取整個(gè)樣本．2．分層抽樣的步驟(1)分層：按某種特征將總體分成若干部分；(2)按比例確定每層抽取個(gè)體的個(gè)數(shù)；(3)各層分別按簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣的方法抽取個(gè)體；(4)綜合每層抽樣，組成樣本．[練一練]1．(2014·中山模擬)為了檢查某超市貨架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要從編號(hào)依次為1到50的袋裝奶粉中抽取5袋進(jìn)行檢驗(yàn)，用每部分選取的號(hào)碼間隔一樣的系統(tǒng)抽樣方法確定所選取的5袋奶粉的編號(hào)可能是()A．5,10,15,20,25 B．2,4,8,16,32C．1,2,3,4,5 D．7,17,27,37,47解析：選D利用系統(tǒng)抽樣，把編號(hào)分為5段，每段10個(gè)，每段抽取一個(gè)，號(hào)碼間隔為10，故選D.2．(2013·廣州調(diào)研)某市A，B，C，D四所中學(xué)報(bào)名參加某高校今年自主招生的學(xué)生人數(shù)如下表所示：中學(xué)ABCD人數(shù)30402010為了了解參加考試的學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，該高校采用分層抽樣的方法從報(bào)名參加考試的四所中學(xué)的學(xué)生當(dāng)中隨機(jī)抽取50名參加問卷調(diào)查，則A，B，C，D四所中學(xué)，抽取學(xué)生數(shù)分別是多少名()A．10,20,15,5 B．15,20,10,5C．10,15,20,5 D．3,4,2,1解析：選B由題意知，四所中學(xué)報(bào)名參加該高校今年自主招生的學(xué)生總?cè)藬?shù)為100，抽取的樣本容量與總體個(gè)數(shù)的比值為eq\f(50,100)＝eq\f(1,2).所以應(yīng)從A，B，C，D四所中學(xué)抽取的學(xué)生人數(shù)分別為15,20,10,5.考點(diǎn)一簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣1．(2014·河北省冀州中學(xué)期末)某公司在甲、乙、丙、丁四個(gè)地區(qū)分別有150,120,180,150個(gè)銷售點(diǎn)．公司為了調(diào)查產(chǎn)品銷售情況，需從這600個(gè)銷售點(diǎn)中抽取一個(gè)容量為100的樣本，記這項(xiàng)調(diào)查為①；在丙地區(qū)有20個(gè)大型銷售點(diǎn)，要從中抽取7個(gè)調(diào)查其銷售收入和售后服務(wù)等情況，記這項(xiàng)調(diào)查為②，則完成①，②這兩項(xiàng)調(diào)查宜采用的抽樣方法依次是()A．分層抽樣法，系統(tǒng)抽樣法B．分層抽樣法，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法C．系統(tǒng)抽樣法，分層抽樣法D．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法，分層抽樣法解析：選B一般甲、乙、丙、丁四個(gè)地區(qū)會(huì)存在差異，采用分層抽樣法較好．在丙地區(qū)中抽取的樣本個(gè)數(shù)較少，易采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法．2．(2013·江西高考)總體由編號(hào)為01,02，…，19,20的20個(gè)個(gè)體組成．利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取5個(gè)個(gè)體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為()7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A．08 B．07C．02 D．01解析：選D從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出的數(shù)字為08,02,14,07,01，…，故選出的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為01.[類題通法]抽簽法適用于總體中個(gè)體數(shù)較少的情況，隨機(jī)數(shù)法適用于總體中個(gè)體數(shù)較多的情況．考點(diǎn)二系統(tǒng)抽樣[典例](2013·陜西高考)某單位有840名職工，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法抽取42人做問卷調(diào)查，將840人按1,2，…，840隨機(jī)編號(hào)，則抽取的42人中，編號(hào)落入?yún)^(qū)間[481,720]的人數(shù)為()A．11 B．12C．13 D．14[解析]依據(jù)系統(tǒng)抽樣為等距抽樣的特點(diǎn)，分42組，每組20人，區(qū)間[481,720]包含25組到36組，每組抽1人，則抽到的人數(shù)為12.[答案]B在本例條件下，若第三組抽得的號(hào)碼為44，則在第八組中抽得號(hào)碼為多少？解：在第八組中抽得的號(hào)碼為(8－3)×20＋44＝144.[類題通法]1．當(dāng)總體容量較大，樣本容量也較大時(shí)，可用系統(tǒng)抽樣法．2．在利用系統(tǒng)抽樣時(shí)，經(jīng)常遇到總體容量不能被樣本容量整除的情況，這時(shí)可以先從總體中隨機(jī)地剔除幾個(gè)個(gè)體，使得總體中剩余的個(gè)體數(shù)能被樣本容量整除．[針對(duì)訓(xùn)練]從2007名學(xué)生中選取50名學(xué)生參加全國(guó)數(shù)學(xué)聯(lián)賽，若采用下面的方法選?。合扔煤?jiǎn)單隨機(jī)抽樣從2007人中剔除7人，剩下的2000人再按系統(tǒng)抽樣的方法抽取，則每人入選的概率()A．不全相等 B．均不相等C．都相等，且為eq\f(50,2007) D．都相等，且為eq\f(1,40)解析：選C從N個(gè)個(gè)體中抽取M個(gè)個(gè)體則每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都等于eq\f(M,N).考點(diǎn)三分層抽樣[典例](1)(2013·湖南高考)某學(xué)校有男、女學(xué)生各500名．為了解男、女學(xué)生在學(xué)習(xí)興趣與業(yè)余愛好方面是否存在顯著差異，擬從全體學(xué)生中抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則宜采用的抽樣方法是()A．抽簽法 B．隨機(jī)數(shù)法C．系統(tǒng)抽樣法 D．分層抽樣法[解析]由于被抽取的個(gè)體的屬性具有明顯差異，因此宜采用分層抽樣法．[答案]D(2)(2014·撫順模擬)某商場(chǎng)有四類食品，其中糧食類、植物油類、動(dòng)物性食品類及果蔬類分別有40種、10種、30種、20種，現(xiàn)從中抽取一個(gè)容量為20的樣本進(jìn)行食品安全檢測(cè)．若采用分層抽樣的方法抽取樣本，則抽取的植物油類與果蔬類食品種數(shù)之和是()A．4 B．5C．6 D．7解析：選C四類食品的每一種被抽到的概率為eq\f(20,40＋10＋30＋20)＝eq\f(1,5)，∴植物油類和果蔬類食品被抽到的種數(shù)之和為(10＋20)×eq\f(1,5)＝6.[類題通法]進(jìn)行分層抽樣時(shí)的注意事項(xiàng)(1)分層抽樣中分多少層，如何分層要視具體情況而定，總的原則是：層內(nèi)樣本的差異要小，兩層之間的樣本差異要大，且互不重疊．(2)為了保證每個(gè)個(gè)體等可能入樣，所有層中每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相同．(3)在每層抽樣時(shí)，應(yīng)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣的方法進(jìn)行抽樣．[針對(duì)訓(xùn)練]某報(bào)社做了一次關(guān)于“什么是新時(shí)代的雷鋒精神”的調(diào)查，在A，B，C，D四個(gè)單位回收的問卷數(shù)依次成等差數(shù)列，且共回收1000份，因報(bào)道需要，再?gòu)幕厥盏膯柧碇邪磫挝环謱映槿∪萘繛?50的樣本，若在B單位抽取30份，則在D單位抽取的問卷是________份．解析：由題意依次設(shè)在A，B，C，D，四個(gè)單位回收的問卷數(shù)分別為a1，a2，a3，a4，在D單位抽取的問卷數(shù)為n，則有eq\f(30,a2)＝eq\f(150,1000)，解得a2＝200，又a1＋a2＋a3＋a4＝1000，即3a2＋a4＝1000，∴a4＝400，∴eq\f(n,400)＝eq\f(150,1000)，解得n＝60.答案：60第三節(jié)用樣本估計(jì)總體1．頻率分布直方圖(1)作頻率分布直方圖的步驟:①求極差(即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差)；②決定組距與組數(shù)；③將數(shù)據(jù)分組；④列頻率分布表；⑤畫頻率分布直方圖．(2)頻率分布折線圖和總體密度曲線:①頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形上端的中點(diǎn)，就得頻率分布折線圖．②總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時(shí)所分組數(shù)增加，組距減小，相應(yīng)的頻率折線圖會(huì)越來越接近于一條光滑曲線，即總體密度曲線．2．莖葉圖用莖葉圖表示數(shù)據(jù)有兩個(gè)突出的優(yōu)點(diǎn)：一是統(tǒng)計(jì)圖上沒有原始信息的損失，所有的數(shù)據(jù)信息都可以從莖葉圖中得到；二是莖葉圖可以隨時(shí)記錄，方便記錄與表示．3．樣本的數(shù)字特征數(shù)字特征定義眾數(shù)在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)中位數(shù)將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等平均數(shù)樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)．即eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)方差s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]其中s為標(biāo)準(zhǔn)差1．易把直方圖與條形圖混淆：兩者的區(qū)別在于條形圖是離散隨機(jī)變量，縱坐標(biāo)刻度為頻數(shù)或頻率，直方圖是連續(xù)隨機(jī)變量，連續(xù)隨機(jī)變量在某一點(diǎn)上是沒有頻率的．2．易忽視頻率分布直方圖中縱軸表示的應(yīng)為eq\f(頻率,組距).3．在繪制莖葉圖時(shí)，易遺漏重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)，重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復(fù)記錄，同時(shí)不要混淆莖葉圖中莖與葉的含義．[試一試]1．為了解一片大約一萬株樹木的生長(zhǎng)情況，隨機(jī)測(cè)量了其中100株樹木的底部周長(zhǎng)(單位：cm)．根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出的樣本頻率分布直方圖如圖所示，那么在這片樹木中，底部周長(zhǎng)小于110cmA．3000 B．6000C．7000 D．8000解析：選C底部周長(zhǎng)小于110cm的頻率為：(0.01＋0.02＋0.04)×10＝0.7，所以底部周長(zhǎng)小于110cm的株數(shù)大約是10000×0.7114s12681322.某同學(xué)進(jìn)入高三后，4次月考的數(shù)學(xué)成績(jī)的莖葉圖如圖．則該同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)的方差是 () A．125 B．5eq\r(5)C．45 D．3eq\r(5)解析：選C由莖葉圖知平均值為eq\f(114＋126＋128＋132,4)＝125，∴s2＝eq\f(1,4)[(125－114)2＋(125－126)2＋(125－128)2＋(125－132)2]＝45.利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)時(shí)，易出錯(cuò)，應(yīng)注意區(qū)分這三者．在頻率分布直方圖中：(1)最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)；(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和是相等的；(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和．[練一練]15557816133517121.如圖是根據(jù)某校10位高一同學(xué)的身高(單位：cm)畫出的莖葉圖，其中左邊的數(shù)字從左到右分別表示學(xué)生身高的百位數(shù)字和十位數(shù)字，右邊的數(shù)字表示學(xué)生身高的個(gè)位數(shù)字，從圖中可以得到這10位同學(xué)身高的中位數(shù)是()A．161 B．162C．163 D．164解析：選B由給定的莖葉圖可知，這10位同學(xué)身高的中位數(shù)為eq\f(161＋163,2)＝162.2．為了了解某校今年準(zhǔn)備報(bào)考飛行員的學(xué)生的體重情況，將所得的數(shù)據(jù)整理后，畫出了頻率分布直方圖(如圖)，已知圖中從左到右的前3個(gè)小組的頻率之比為1∶2∶3，第2小組的頻數(shù)為12，則報(bào)考飛行員的學(xué)生人數(shù)是________．解析：據(jù)圖可得第四組及第五組的頻率之和為5×(0.013＋0.037)＝0.25，故前3個(gè)小組的頻率之和為1－0.25＝0.75，即第2小組的頻率為0.75×eq\f(2,6)＝0.25，又其頻數(shù)為12，故樣本容量為eq\f(12,0.25)＝48.答案：48考點(diǎn)一頻率分布直方圖1．(2014·濱州模擬)在樣本的頻率分布直方圖中，共有11個(gè)小長(zhǎng)方形，若中間一個(gè)小長(zhǎng)方形的面積等于其他10個(gè)小長(zhǎng)方形的面積和的eq\f(1,4)，且樣本容量為160，則中間一組的頻數(shù)為 ()A．32 B．0.2C．40 D．0.25解析：選A中間一個(gè)占總面積的eq\f(1,5)，即eq\f(1,5)＝eq\f(x,160)，∴x＝32.2．(2013·遼寧高考)某班的全體學(xué)生參加英語測(cè)試，成績(jī)的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組依次為：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人數(shù)是15，則該班的學(xué)生人數(shù)是()A．45 B．50C．55 D．60解析：選B成績(jī)?cè)赱20,40)和[40,60)的頻率分別是0.1,0.2，則低于60分的頻率是0.3.設(shè)該班學(xué)生總?cè)藬?shù)為m，則eq\f(15,m)＝0.3，m＝50.3．(2013·湖北高考)從某小區(qū)抽取100戶居民進(jìn)行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)其用電量都在50至350度之間，頻率分布直方圖如圖所示．(1)直方圖中x的值為________；(2)在這些用戶中，用電量落在區(qū)間[100,250)內(nèi)的戶數(shù)為________．解析：(1)根據(jù)頻率和為1，得(0.0024＋0.0036＋0.0060＋x＋0.0024＋0.0012)×50＝1，解得x＝0.0044；(2)(0.0036＋0.0060＋0.0044)×50×100＝70.答案：(1)0.0044(2)70[類題通法]在頻率分布直方圖中，小矩形的高等于每一組的頻率/組距，每個(gè)小矩形的面積等于這一組的頻率，所有小矩形的面積之和為1.考點(diǎn)二莖葉圖[典例](2013·重慶高考)以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各五名學(xué)生在一次英語聽力測(cè)試中的成績(jī)(單位：分)．已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為15，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16.8，則x，y的值分別為()甲組乙組909X215y87424A．2,5 B．5,5C．5,8 D．8,8[解析]由于甲組的中位數(shù)是15，可得x＝5，由于乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16.8，得y＝8.[答案]C在本例條件下：(1)求乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)；(2)求乙組數(shù)據(jù)的方差.解：(1)由莖葉圖知，乙組中五名學(xué)生的成績(jī)?yōu)?9,15,18,18,24.故中位數(shù)為18，眾數(shù)為18.(2)s2＝eq\f(1,5)[(9－16.8)2＋(15－16.8)2＋(18－16.8)2×2＋(24－16.8)2]＝23.76.[類題通法]莖葉圖的優(yōu)缺點(diǎn)由莖葉圖可以清晰地看到數(shù)據(jù)的分布情況，這一點(diǎn)同頻率分布直方圖類似．它優(yōu)于頻率分布直方圖的第一點(diǎn)是從莖葉圖中能看到原始數(shù)據(jù)，沒有任何信息損失，第二點(diǎn)是莖葉圖便于記錄和表示．其缺點(diǎn)是當(dāng)樣本容量較大時(shí)，作圖較繁瑣．[針對(duì)訓(xùn)練](2013·合肥模擬)一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)后，從甲、乙兩班各抽取9名同學(xué)的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，繪成莖葉圖如圖所示．據(jù)此估計(jì)兩個(gè)班成績(jī)的中位數(shù)的差的絕對(duì)值為()甲乙86372577281393295687109A．8 B．5C．4 D．2解析：選D甲、乙兩班成績(jī)按大小順序排列，處在最中間的數(shù)分別為87、89，故它們之差的絕對(duì)值是2.考點(diǎn)三樣本數(shù)字特征[典例](2013·江蘇高考)抽樣統(tǒng)計(jì)甲、乙兩位射擊運(yùn)動(dòng)員的5次訓(xùn)練成績(jī)(單位：環(huán))，結(jié)果如下：運(yùn)動(dòng)員第一次第二次第三次第四次第五次甲8791908993乙8990918892則成績(jī)較為穩(wěn)定(方差較小)的那位運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的方差為________．[解析]對(duì)于甲，平均成績(jī)?yōu)閑q\o(x,\s\up6(－))＝90，所以方差為s2＝eq\f(1,5)×[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4；對(duì)于乙，平均成績(jī)?yōu)閑q\o(x,\s\up6(－))＝90，方差為s2＝eq\f(1,5)×[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2.由于2<4，所以乙的平均成績(jī)較為穩(wěn)定．[答案]2[類題通法]1．用樣本估計(jì)總體時(shí)，樣本的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差只是總體的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差的近似．實(shí)際應(yīng)用中，需先計(jì)算數(shù)據(jù)的平均數(shù)，分析平均水平，再計(jì)算方差(標(biāo)準(zhǔn)差)分析穩(wěn)定情況．2．若給出圖形，一方面可以由圖形得到相應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)，再計(jì)算平均數(shù)、方差(標(biāo)準(zhǔn)差)；另一方面，可以從圖形直觀分析樣本數(shù)據(jù)的分布情況，大致判斷平均數(shù)的范圍，并利用數(shù)據(jù)的波動(dòng)性大小比較方差(標(biāo)準(zhǔn)差)的大?。甗針對(duì)訓(xùn)練](2014·濟(jì)南模擬)某苗圃基地為了解基地內(nèi)甲、乙兩塊地種植的同一種樹苗的長(zhǎng)勢(shì)情況，從兩塊地各隨機(jī)抽取了10株樹苗，用莖葉圖表示上述兩組數(shù)據(jù)，對(duì)兩塊地抽取樹苗的高度的平均數(shù)eq\x\to(x)甲、eq\x\to(x)乙和中位數(shù)y甲、y乙進(jìn)行比較，下面結(jié)論正確的是（）甲乙910953102673230047144667A.eq\x\to(x)甲>eq\x\to(x)乙，y甲>y乙 B.eq\x\to(x)甲<eq\x\to(x)乙，y甲<y乙C.eq\x\to(x)甲<eq\x\to(x)乙，y甲>y乙 D.eq\x\to(x)甲>eq\x\to(x)乙，y甲<y乙解析：選B從莖葉圖看出乙地樹苗高度的平均數(shù)大于甲地樹苗高度的平均數(shù)，乙地樹苗高度的中位數(shù)是35.5，甲地樹苗高度的中位數(shù)是27.

第四節(jié)變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計(jì)案例1．變量間的相關(guān)關(guān)系(1)常見的兩變量之間的關(guān)系有兩類：一類是函數(shù)關(guān)系，另一類是相關(guān)關(guān)系；與函數(shù)關(guān)系不同，相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系．(2)從散點(diǎn)圖上看，點(diǎn)分布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為正相關(guān)，點(diǎn)分布在左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系為負(fù)相關(guān)．2．兩個(gè)變量的線性相關(guān)(1)從散點(diǎn)圖上看，如果這些點(diǎn)從整體上看大致分布在通過散點(diǎn)圖中心的一條直線附近，稱兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫回歸直線．(2)回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i=1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i=1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).(3)通過求eq\a\vs4\al(Q＝\i\su(i=1,n,)yi－bxi－a2)的最小值而得出回歸直線的方法，即求回歸直線，使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到它的距離的平方和最小，這一方法叫做最小二乘法．(4)相關(guān)系數(shù)：當(dāng)r＞0時(shí)，表明兩個(gè)變量正相關(guān)；當(dāng)r＜0時(shí)，表明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)．r的絕對(duì)值越接近于1，表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)．r的絕對(duì)值越接近于0時(shí)，表明兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系．通常|r|大于0.75時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性．3．獨(dú)立性檢驗(yàn)假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2×2列聯(lián)表)為：y1y2總計(jì)x1aba＋bx2cdc＋d總計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋dK2＝eq\f(nad－bc2,a＋ba＋cb＋dc＋d)(其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量)．1．易混淆相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系，兩者的區(qū)別是函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系，函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系．2．回歸分析中易誤認(rèn)為樣本數(shù)據(jù)必在回歸直線上，實(shí)質(zhì)上回歸直線必過(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))點(diǎn)，可能所有的樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)都不在直線上．3．利用回歸方程分析問題時(shí)，所得的數(shù)據(jù)易誤認(rèn)為準(zhǔn)確值，而實(shí)質(zhì)上是預(yù)測(cè)值(期望值)．[試一試]1．(2013·石家莊調(diào)研)下列結(jié)論正確的是()①函數(shù)關(guān)系是一種確定性關(guān)系；②相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系；③回歸分析是對(duì)具有函數(shù)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種方法；④回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法．A．①② B．①②③C．①②④ D．①②③④解析：選C由回歸分析的方法及概念判斷．2．已知x，y之間的數(shù)據(jù)如表所示，則回歸直線過點(diǎn)()x12345y1.21.82.53.23.8A．(0,0) B．(2,1.8)C．(3,2.5) D．(4,3.2)解析：選C回歸直線恒過定點(diǎn)(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，故eq\x\to(x)＝3，eq\x\to(y)＝2.5.1．求回歸直線方程的步驟(1)依據(jù)樣本數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，確定兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系；(2)計(jì)算出eq\x\to(x)，eq\x\to(y)，eq\i\su(i=1,n,x)eq\o\al(2,i)，eq\i\su(i=1,n,x)iyi的值；(3)計(jì)算回歸系數(shù)eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))；(4)寫出回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^)).2．獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表；(2)根據(jù)公式K2＝eq\f(nad－bc2,a＋ba＋da＋cb＋d)計(jì)算K2的值；(3)查表比較K2與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計(jì)判斷．[練一練]1．在研究吸煙與患肺癌的關(guān)系中，通過收集數(shù)據(jù)、整理分析數(shù)據(jù)得“吸煙與患肺癌有關(guān)”的結(jié)論，并且在犯錯(cuò)誤概率不超過0.01的前提下認(rèn)為這個(gè)結(jié)論是成立的，則下列說法中正確的是()A．100個(gè)吸煙者中至少有99人患有肺癌B．1個(gè)人吸煙，那么這人有99%的概率患有肺癌C．在100個(gè)吸煙者中一定有患肺癌的人D．在100個(gè)吸煙者中可能一個(gè)患肺癌的人也沒有解析：選D統(tǒng)計(jì)的結(jié)果只是說明事件發(fā)生可能性的大小，具體到一個(gè)個(gè)體不一定發(fā)生．2．在2012倫敦奧運(yùn)會(huì)期間，某網(wǎng)站針對(duì)性別是否與看奧運(yùn)會(huì)直播有關(guān)進(jìn)行了一項(xiàng)問卷調(diào)查，得出如下表格：性別是否看奧運(yùn)會(huì)直播男女看奧運(yùn)會(huì)直播60002000不看奧運(yùn)會(huì)直播20002000(附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d))，則K2＝()A．700 B．750C．800 D．850解析：選B由題意知，K2＝eq\f(120006000×2000－2000×20002,8000×4000×8000×4000)＝750.考點(diǎn)一相關(guān)關(guān)系的判斷1．對(duì)變量x，y有觀測(cè)數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散點(diǎn)圖①；對(duì)變量u，v有觀測(cè)數(shù)據(jù)(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散點(diǎn)圖②.由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷()A．變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān)B．變量x與y正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)C．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)D．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)解析：選C由題知夾在帶狀區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)，總體呈上升趨勢(shì)的屬于正相關(guān)；反之，總體呈下降趨勢(shì)的屬于負(fù)相關(guān)．由圖可知，選C.2．已知變量x，y呈線性相關(guān)關(guān)系，線性回歸方程為y＝0.5＋2x，則變量x，y是()A．線性正相關(guān)關(guān)系B．由回歸方程無法判斷其正負(fù)相關(guān)C．線性負(fù)相關(guān)關(guān)系D．不存在線性相關(guān)關(guān)系解析：選A隨著變量x增大，變量y有增大的趨勢(shì)，則x，y稱為正相關(guān)．3．(2014·鎮(zhèn)江模擬)如圖所示，有A，B，C，D，E,5組數(shù)據(jù)，去掉________組數(shù)據(jù)后，剩下的4組數(shù)據(jù)具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系．解析：由散點(diǎn)圖知呈帶狀區(qū)域時(shí)有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，故去掉D.答案：D[類題通法]相關(guān)關(guān)系的直觀判斷方法就是作出散點(diǎn)圖，若散點(diǎn)圖呈帶狀且區(qū)域較窄，說明兩個(gè)變量有一定的線性相關(guān)性，若呈曲線型也是有相關(guān)性，若呈圖形區(qū)域且分布較亂則不具備相關(guān)性．考點(diǎn)二回歸方程的求法及回歸分析[典例]某興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)多少之間的關(guān)系，他們分別到氣象局與某醫(yī)院抄錄了1到6月份每月10號(hào)的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù)，得到如下資料：日期1月10日2月10日3月10日4月10日5月10日6月10日晝夜溫差x(℃)1011131286就診人數(shù)y(個(gè))222529261612該興趣小組確定的研究方案是：先從這6組數(shù)據(jù)中選取2組，用剩下的4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再用選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)．(1)若選取的是1月與6月的2組數(shù)據(jù)，請(qǐng)根據(jù)2至5月份的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；(2)若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過2，則認(rèn)為得到的線性回歸方程是理想的，試求該小組所得的線性回歸方程是否理想？[解](1)由數(shù)據(jù)得eq\x\to(x)＝eq\f(11＋13＋12＋8,4)＝11，eq\x\to(y)＝eq\f(25＋29＋26＋16,4)＝24，由公式得eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(18,7)，再由eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)得eq\o(a,\s\up6(^))＝－eq\f(30,7)，所以y關(guān)于x的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(18,7)x－eq\f(30,7).(2)當(dāng)x＝10時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(150,7)，|eq\f(150,7)－22|<2，同理，當(dāng)x＝6時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(78,7)，|eq\f(78,7)－12|<2，所以該小組所得線性回歸方程是理想的．在本例(1)條件下，試預(yù)測(cè)晝夜溫差為5℃解：由(1)知，eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(18,7)x－eq\f(30,7)，當(dāng)x＝5時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(90,7)－eq\f(30,7)＝eq\f(60,7)≈8.6，∴當(dāng)溫差為5℃時(shí)，就診的人數(shù)約為9人[類題通法]利用線性回歸方程可以對(duì)總體進(jìn)行預(yù)測(cè)估計(jì)，線性回歸方程將部分觀測(cè)值所反映的規(guī)律進(jìn)行延伸，是我們對(duì)有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行分析和控制的依據(jù)，依據(jù)自變量的取值估計(jì)和預(yù)測(cè)因變量的值，在現(xiàn)實(shí)生活中有廣泛的應(yīng)用．[針對(duì)訓(xùn)練](2013·大連模擬)已知下列表格所示數(shù)據(jù)的回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝3.8x＋a，則a的值為________．x23456y251254257262266解析：由已知得，eq\x\to(x)＝4，eq\x\to(y)＝258，因?yàn)辄c(diǎn)(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))在回歸直線上，所以a＝242.8.答案：242.8考點(diǎn)三獨(dú)立性檢驗(yàn)[典例](2013·福建高考)某工廠有25周歲以上(含25周歲)工人300名，25周歲以下工人200名．為研究工人的日平均生產(chǎn)量是否與年齡有關(guān)，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名工人，先統(tǒng)計(jì)了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù)，然后按工人