電子測(cè)量與智能儀器2-測(cè)量誤差分析與數(shù)據(jù)處理

電子測(cè)量與智能儀器2——測(cè)量誤差分析與數(shù)據(jù)處理2023/12/26電子測(cè)量與智能儀器2——測(cè)量誤差分析與數(shù)據(jù)處理第2章測(cè)量誤差分析與數(shù)據(jù)處理2.1測(cè)量誤差的基本原理2.1.1研究誤差的目的2.1.2測(cè)量誤差的表示方法2.1.3電子測(cè)量儀器誤差的表示方法2.1.4一次直接測(cè)量時(shí)最大誤差的估計(jì)2.2測(cè)量誤差的分類2.2.1誤差的來源2.2.2測(cè)量誤差的分類2.2.3測(cè)量結(jié)果的評(píng)比作業(yè)布置1電子測(cè)量與智能儀器2——測(cè)量誤差分析與數(shù)據(jù)處理2.3隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及其估算方法2.3.1測(cè)量值的數(shù)學(xué)期望與標(biāo)準(zhǔn)差2.3.2貝塞爾公式及其應(yīng)用2.3.3均勻頒布情況下的標(biāo)準(zhǔn)差2.3.4非等精密度測(cè)量2.4系統(tǒng)誤差的特征及其減小的方法2.4.1系統(tǒng)誤差的特征2.4.2判斷系統(tǒng)誤差的方法2.4.3減小系統(tǒng)誤差的方法電子測(cè)量與智能儀器2——測(cè)量誤差分析與數(shù)據(jù)處理2.5疏失誤差及判斷準(zhǔn)則2.5.1測(cè)量結(jié)果的置信問題2.5.2不確定度與壞值的剔除準(zhǔn)則2.6測(cè)量數(shù)據(jù)的處理2.6.1數(shù)據(jù)舍入規(guī)則2.6.2等精密度測(cè)量結(jié)果的處理步驟2.6.3曲線修勻2.6.4最小二乘法原理2.6.5測(cè)量不確定度電子測(cè)量與智能儀器2——測(cè)量誤差分析與數(shù)據(jù)處理2.7誤差的合成與分配2.7.1誤差傳遞公式2.7.2常用函數(shù)的合成誤差2.7.3系統(tǒng)誤差的合成2.7.4按系統(tǒng)誤差相同的原則分配誤差2.7.5按對(duì)總誤差影響相同的原則分配誤差2.7.6微小誤差準(zhǔn)則2.8最佳測(cè)量條件的確定與測(cè)量方案的設(shè)計(jì)2.8.1最佳測(cè)量條件的確定2.8.2測(cè)量方案設(shè)計(jì)電子測(cè)量與智能儀器2——測(cè)量誤差分析與數(shù)據(jù)處理2.1測(cè)量誤差的基本原理2.1.1研究誤差的目的研究誤差的目的，歸納起來可有以下幾個(gè)方面：正確認(rèn)識(shí)誤差的性質(zhì)和來源，以減小測(cè)量誤差。正確處理測(cè)量數(shù)據(jù)，以得到接近真值的結(jié)果。合理地制訂測(cè)量方案，組織科學(xué)實(shí)驗(yàn)，正確地選擇測(cè)量方法和測(cè)量儀器，以便在條件允許的情況下得到理想的測(cè)量結(jié)果。設(shè)計(jì)儀器時(shí)，需要用誤差理論進(jìn)行分析并適當(dāng)控制這些誤差因素，使儀器的測(cè)量準(zhǔn)確程度達(dá)到設(shè)計(jì)要求。電子測(cè)量與智能儀器2——測(cè)量誤差分析與數(shù)據(jù)處理2.1.2測(cè)量誤差的表示方法1、測(cè)量誤差的分類測(cè)量誤差按表示方法分，有絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差；當(dāng)用于表示測(cè)量儀器時(shí)還有“引用誤差”。按誤差的來源分，有器具誤差、人身誤差、影響誤差及方法誤差等。按誤差的性質(zhì)分，有系統(tǒng)誤差、隨機(jī)（偶然）誤差和疏失（粗大）誤差。電子測(cè)量與智能儀器2——測(cè)量誤差分析與數(shù)據(jù)處理2、絕對(duì)誤差（1）定義由測(cè)量所得到的被測(cè)量值x與其真值A(chǔ)0的差，稱為絕對(duì)誤差。

Δx=x-A0

Δx是具有大小、正負(fù)和量綱的數(shù)值。它的大小和符號(hào)分別表示測(cè)得值偏離真值的程度和方向。電子測(cè)量與智能儀器2——測(cè)量誤差分析與數(shù)據(jù)處理例：一個(gè)被測(cè)電壓，其真值U0為100V，用一只電壓表測(cè)量，其指示值U為101V，則絕對(duì)誤差ΔU=U-U0=101-100=1V為了區(qū)別起見，稱滿足規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)度的用來代替真值使用的量值為實(shí)際值，用A表示。這時(shí)絕對(duì)誤差寫成Δx=x-A

這是通常使用的表達(dá)式電子測(cè)量與智能儀器2——測(cè)量誤差分析與數(shù)據(jù)處理（2）修正值（校正值）與絕對(duì)誤差的絕對(duì)值大小相等，但符號(hào)相反的量值稱為修正值，用C表示

C=-Δx=A-x在測(cè)量時(shí)，利用測(cè)得值與已知的修正值相加，即可算出被測(cè)量的實(shí)際值。

A=x+C電子測(cè)量與智能儀器2——測(cè)量誤差分析與數(shù)據(jù)處理例2.1.2一臺(tái)晶體管毫伏表的10mV擋，當(dāng)用其進(jìn)行測(cè)量時(shí)，示值為8mV，在檢定時(shí)8mV處的修正值是-0.03mV，則被測(cè)電壓的實(shí)際值為U=8+（-0.03）=7.97(mV)

說明有誤差的測(cè)得值加上修正值后就可以減小誤差影響。電子測(cè)量與智能儀器2——測(cè)量誤差分析與數(shù)據(jù)處理注意：利用修正值，應(yīng)在儀器的檢定有效期內(nèi)，否則要重新檢定。必須指出：修正值本身也有誤差，修正后的數(shù)據(jù)只是比較接近實(shí)際值而已。一般規(guī)定：絕對(duì)誤差和修正值的量綱必須與測(cè)得值一致。

電子測(cè)量與智能儀器2——測(cè)量誤差分析與數(shù)據(jù)處理絕對(duì)誤差雖然可以說明測(cè)得值偏離實(shí)際值的程度，但不能說明測(cè)量的準(zhǔn)確程度。例2.1.3測(cè)量兩個(gè)電壓，其實(shí)際值為U1=100V，U2=5V；而測(cè)得值分別為101V和6V。則絕對(duì)誤差為

ΔU1=101-100=1VΔU2=6-5=1V電子測(cè)量與智能儀器2——測(cè)量誤差分析與數(shù)據(jù)處理3、相對(duì)誤差（1）定義測(cè)量的絕對(duì)誤差與被測(cè)量的真值之比（用百分?jǐn)?shù)表示），稱為相對(duì)誤差用γ0表示。

一般情況下，可用絕對(duì)誤差與實(shí)際值之比表示相對(duì)誤差（有必要區(qū)分時(shí)稱為實(shí)際相對(duì)誤差），用γA表示電子測(cè)量與智能儀器2——測(cè)量誤差分析與數(shù)據(jù)處理例：

用相對(duì)誤差可以恰當(dāng)?shù)乇碚鳒y(cè)量的準(zhǔn)確程度。相對(duì)誤差是一個(gè)只有大小和符號(hào)，而沒有量綱的數(shù)值。電子測(cè)量與智能儀器2——測(cè)量誤差分析與數(shù)據(jù)處理在誤差較小或要求不太嚴(yán)格的場合，也可以用儀器的測(cè)得值代替實(shí)際值。這時(shí)的相對(duì)誤差稱為示值相對(duì)誤差，用γx表示。

式中，Δx由所用儀器的準(zhǔn)確度等級(jí)定出。由于x中含有誤差，所以γx只適用于近似測(cè)量。電子測(cè)量與智能儀器2——測(cè)量誤差分析與數(shù)據(jù)處理（2）分貝誤差用對(duì)數(shù)形式表示的誤差稱為分貝誤差，常用于表示增益或聲強(qiáng)等傳輸函數(shù)的值。例：電壓增益的分貝值：又因?yàn)閯t所以令電子測(cè)量與智能儀器2——測(cè)量誤差分析與數(shù)據(jù)處理例2.1.4測(cè)量一個(gè)放大器，已知Ui=1.2mV，Uo=6000mV。設(shè)Ui的誤差忽略不計(jì)，而Uo的測(cè)量誤差γu為±3%時(shí)，求放大倍數(shù)的絕對(duì)誤差ΔA、相對(duì)誤差γx及分貝誤差γdB

測(cè)得值的相對(duì)誤差愈小，表示它的準(zhǔn)確度愈高。所以評(píng)價(jià)測(cè)量水平時(shí)應(yīng)當(dāng)用相對(duì)誤差來比較，它是誤差計(jì)算中最常用的一種表達(dá)形式。當(dāng)表示增益時(shí)γdB=10lg(1+γp)dB電子測(cè)量與智能儀器2——測(cè)量誤差分析與數(shù)據(jù)處理2.1.3電子測(cè)量儀器誤差的表示方法工作誤差

是在額定條件下測(cè)定的儀器誤差極限。即來自儀器外部的各種影響量（例如溫度、濕度、大氣壓力、供電電源等）和影響特性（儀器的一個(gè)工作特性的變化對(duì)另一個(gè)工作特性的影響，如低頻信號(hào)發(fā)生器的頻率變化對(duì)輸出電壓的影響）為任意可能的組合時(shí)，儀器的工作誤差可能達(dá)到的最大極限值。優(yōu)點(diǎn)：對(duì)使用者非常方便，可以利用工作誤差直接估計(jì)測(cè)量結(jié)果誤差的最大范圍。缺點(diǎn)：是在最不利的條件下給出的，而實(shí)際使用中構(gòu)成最不利組合的可能性很小。因此用儀器的工作誤差來估計(jì)測(cè)量結(jié)果的誤差會(huì)偏大。電子測(cè)量與智能儀器2——測(cè)量誤差分析與數(shù)據(jù)處理固有誤差是當(dāng)儀器的各種影響量與影響特性處于基準(zhǔn)條件時(shí)，儀器所具有的誤差。這種誤差指標(biāo)能夠更準(zhǔn)確地反映儀器所固有的性能，便于在相同條件下對(duì)同類儀器進(jìn)行比較的校準(zhǔn)。電子測(cè)量與智能儀器2——測(cè)量誤差分析與數(shù)據(jù)處理3、影響誤差是當(dāng)一個(gè)影響量在其額定使用范圍內(nèi)（或一個(gè)影響特性在其有效范圍內(nèi)）取任一值，而其他影響量和影響特性均處于基準(zhǔn)條件下所得的誤差。只有當(dāng)某一影響量在工作誤差中起重要作用時(shí)才給出，它是一種誤差極限。電子測(cè)量與智能儀器2——測(cè)量誤差分析與數(shù)據(jù)處理4、穩(wěn)定誤差穩(wěn)定誤差是儀器的標(biāo)稱值在其他影響量及影響特性保持恒定的情況下，于規(guī)定時(shí)間內(nèi)所產(chǎn)生的誤差極限。習(xí)慣上以相對(duì)誤差形式或者注明最長連續(xù)工作時(shí)間。電子測(cè)量與智能儀器2——測(cè)量誤差分析與數(shù)據(jù)處理例：DS-33型交流數(shù)字電壓表就是用這四種誤差標(biāo)注的。工作誤差：50Hz~1MHz，10mV~1V量程為（±1.5%讀數(shù)±滿量程的0.5%）；固有誤差：1kHz，1V時(shí)為讀數(shù)的±0.4%±1個(gè)字；溫度影響誤差：1kHz，1V時(shí)溫度系數(shù)為10-4/oC；頻率影響誤差：50Hz~1MHz為（±0.5%讀數(shù)±滿量程的0.1%）；穩(wěn)定誤差：在溫度-10~+40oC，相對(duì)濕度80%以下，大氣壓力86~106kPa的環(huán)境內(nèi)，連續(xù)工作7小時(shí)。電子測(cè)量與智能儀器2——測(cè)量誤差分析與數(shù)據(jù)處理目前還有一些電子測(cè)量儀器仍根據(jù)1965年制訂的《無線電測(cè)量儀器總技術(shù)條件（草案）》按使用條件基本誤差及附加誤差。（1）基本誤差指儀器在規(guī)定的正常工作條件下所具有的誤差。與前述固有誤差的意義基本相同，但這里所限定的測(cè)試條件較寬。滿度相對(duì)誤差是絕對(duì)誤差與測(cè)量范圍上限或量程滿度值xm的比值（用百分號(hào)表示），即式中，Δxm是儀器儀表整個(gè)刻度線上出現(xiàn)的最大誤差。電子測(cè)量與智能儀器2——測(cè)量誤差分析與數(shù)據(jù)處理γm是儀器在正常工作條件下不應(yīng)超過的最大相對(duì)誤差。對(duì)測(cè)量者來說，在沒有修正值的情況下，應(yīng)當(dāng)認(rèn)為指針在不同偏轉(zhuǎn)角時(shí)的示值誤差處處相等，即在一個(gè)量程內(nèi)各處示值的最大絕對(duì)誤差Δxm是個(gè)常數(shù)。一般稱此為誤差的整量化。這種誤差表示方法比較多地用在電工儀表中，其準(zhǔn)確度等級(jí)分為0.1，0.2，0.5，1.0，1.5，2.5，5.0共7級(jí)，分別表示它們滿度相對(duì)誤差百分?jǐn)?shù)的分子可能出現(xiàn)的最大數(shù)值（指絕對(duì)值）。對(duì)于電子測(cè)量儀器，引用誤差的優(yōu)先數(shù)列為1，2，3，5，7。上述等級(jí)值通常用S表示。例如，S=1說明儀器的滿度相對(duì)誤差不超過±1%。電子測(cè)量與智能儀器2——測(cè)量誤差分析與數(shù)據(jù)處理（2）附加誤差它是指由于儀器超出規(guī)定的正常工作條件時(shí)所增加的誤差在使用時(shí)，除考慮儀器本身的基本誤差外，還要加上附加誤差。采用基本誤差和附加誤差的形式，對(duì)使用者來說，掌握各項(xiàng)誤差的大小是有利的，但在估計(jì)儀器的總誤差時(shí)要進(jìn)行誤差合成計(jì)算。電子測(cè)量與智能儀器2——測(cè)量誤差分析與數(shù)據(jù)處理2.1.4一次直接測(cè)量時(shí)最大誤差的估計(jì)設(shè)在只有基本誤差的情況下，儀器儀表的最大絕對(duì)誤差為Δxm=±S%·xmΔxm與示值x的比值，即最大的示值相對(duì)誤差這個(gè)關(guān)系可以用下圖說明電子測(cè)量與智能儀器2——測(cè)量誤差分析與數(shù)據(jù)處理0255075100γx分度值S%xm+Δxm-Δxm校正曲線相對(duì)誤差與刻度線分度值的關(guān)系曲線圖所以，當(dāng)儀器儀表的準(zhǔn)確度給定時(shí)，示值愈接近滿度值，示值的準(zhǔn)確度愈高。電子測(cè)量與智能儀器2——測(cè)量誤差分析與數(shù)據(jù)處理例2.1.5用MF-20型晶體管萬用表交流電壓的30V擋，分別測(cè)量6V及20V電壓，求最大示值相對(duì)誤差。此表交流電壓擋的準(zhǔn)確度等級(jí)為4級(jí)。例2.1.6被測(cè)量的實(shí)際值U=10V?，F(xiàn)有：①150V，0.5級(jí)和②15V，2.5級(jí)兩只電壓表，問選擇哪只表測(cè)量誤差較小？

所以要合理選擇儀器儀表的量程及準(zhǔn)確度等級(jí)，不能單純追求儀器儀表的級(jí)別綜上所述，儀表準(zhǔn)確度的級(jí)別對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響很大。但一定不要把儀器儀表的準(zhǔn)確度等級(jí)和測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確度混為一談。電子測(cè)量與智能儀器2——測(cè)量誤差分析與數(shù)據(jù)處理2.2測(cè)量誤差的分類2.2.1誤差的來源1、儀器誤差儀器儀表本身及其附件所引入的誤差稱為儀器誤差。2、影響誤差由于各種環(huán)境因素與要求的條件不一致所造成的誤差稱為影響誤差。3、方法誤差和理論誤差由于測(cè)量方法不合理所造成的誤差稱為方法誤差。用近似公式或近似值計(jì)算測(cè)量結(jié)果時(shí)所引起的誤差稱為理論誤差。4、人身誤差由于測(cè)量者的分辨能力、視覺疲勞、固有習(xí)慣或缺乏責(zé)任心等因素引起的誤差稱為人身誤差。電子測(cè)量與智能儀器2——測(cè)量誤差分析與數(shù)據(jù)處理2.2.2測(cè)量誤差的分類1、系統(tǒng)誤差在相同條件下，多次測(cè)量同一個(gè)量值時(shí)，誤差的絕對(duì)值和符號(hào)保持不變，或在條件改變時(shí)，按一定規(guī)律變化的誤差稱為系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差的特點(diǎn)是，測(cè)量條件一經(jīng)確定，誤差就為一確切的數(shù)值。用多次測(cè)量取平均值的方法并不能改變誤差的大小。電子測(cè)量與智能儀器2——測(cè)量誤差分析與數(shù)據(jù)處理產(chǎn)生這種誤差的原因有：測(cè)量儀器設(shè)計(jì)原理及制作上的缺陷；測(cè)量時(shí)的實(shí)際溫度、濕度及電源電壓等環(huán)境條件與儀器要求的條件不一致等；采用近似的測(cè)量方法或近似的計(jì)算公式等。測(cè)量人員估計(jì)讀數(shù)時(shí)，習(xí)慣偏于某一方向或有滯后傾向等原因所引起的誤差。電子測(cè)量與智能儀器2——測(cè)量誤差分析與數(shù)據(jù)處理2、隨機(jī)誤差在相同條件下，多次測(cè)量同一個(gè)量值時(shí)，誤差的絕對(duì)值和符號(hào)均以不可預(yù)定方式變化的誤差稱為隨機(jī)誤差。這一類誤差的特點(diǎn)是，在多次測(cè)量中誤差絕對(duì)值的波動(dòng)有一定的界限，即具有有界性；正負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相同，即具有對(duì)稱性。根據(jù)上述特點(diǎn)，可以通過對(duì)多次測(cè)量值取算術(shù)平均值的方法來消弱隨機(jī)誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響。電子測(cè)量與智能儀器2——測(cè)量誤差分析與數(shù)據(jù)處理產(chǎn)生這種誤差的原因測(cè)量儀器中零部件配合的不穩(wěn)定或有摩擦，儀器內(nèi)部器件產(chǎn)生噪聲等；溫度及電源電壓的頻繁波動(dòng)，電磁場干擾，地基振動(dòng)等；測(cè)量人員感覺器官的無規(guī)則變化，讀數(shù)不穩(wěn)定等原因所引起的誤差均可造成隨機(jī)誤差，使測(cè)量值產(chǎn)生上下起伏的變化。電子測(cè)量與智能儀器2——測(cè)量誤差分析與數(shù)據(jù)處理3、疏失誤差（粗大誤差）在一定的測(cè)量條件下，測(cè)量值明顯地偏離實(shí)際值所形成的誤差稱為疏失誤差。凡確認(rèn)含有疏失誤差的測(cè)量數(shù)據(jù)稱為壞值，應(yīng)當(dāng)剔除不用。電子測(cè)量與智能儀器2——測(cè)量誤差分析與數(shù)據(jù)處理產(chǎn)生這種誤差的原因有：一般情況下，它不是儀器本身固有的，主要是測(cè)量過程中由于疏忽而造成的。這是產(chǎn)生疏失誤差的主觀原因。由于測(cè)量條件的突然變化引起儀器示值的改變。這是產(chǎn)生疏失誤差的客觀原因。電子測(cè)量與智能儀器2——測(cè)量誤差分析與數(shù)據(jù)處理2.2.3測(cè)量結(jié)果的評(píng)定為了正確地說明測(cè)量結(jié)果，通常用準(zhǔn)確度、精密度和精確度來評(píng)定測(cè)量結(jié)果，它們的意義如下：（1）準(zhǔn)確度是指測(cè)量值與真值的接近程度。反映系統(tǒng)誤差的影響，系統(tǒng)誤差小則準(zhǔn)確度高。（2）精密度是指測(cè)量值重復(fù)一致的程度。精密度用以表示測(cè)量值的重復(fù)性，反映隨機(jī)誤差的影響。（3）精確度反映系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差綜合的影響程度。精確度高，說明準(zhǔn)確度及精密度都高，意味著系統(tǒng)誤差及隨機(jī)誤差都小。電子測(cè)量與智能儀器2——測(cè)量誤差分析與數(shù)據(jù)處理誤差來源、分類及測(cè)量結(jié)果的關(guān)系流程圖如下測(cè)量誤差儀器人身方法影響疏失隨機(jī)系統(tǒng)準(zhǔn)確度可取性精密度精確度測(cè)量結(jié)果評(píng)定來源分類表征評(píng)定電子測(cè)量與智能儀器2——測(cè)量誤差分析與數(shù)據(jù)處理作業(yè)布置（P59，習(xí)題）2.1某電壓表的刻度為0~10V，在5V處的校準(zhǔn)值為4.95V，求其絕對(duì)誤差、修正值、實(shí)際相對(duì)誤差及示值相對(duì)誤差。若認(rèn)為此處的絕對(duì)誤差最大，問該電壓表應(yīng)定為幾級(jí)？2.2若測(cè)量10V左右的電壓，手頭上有現(xiàn)場電壓表，其中一塊量程為150V，0.5級(jí)；另一塊是15V，2.5級(jí)。問選用哪一塊電壓表測(cè)量更準(zhǔn)確？電子測(cè)量與智能儀器2——測(cè)量誤差分析與數(shù)據(jù)處理2.3隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及其估算方法2.3.1測(cè)量值的數(shù)學(xué)期望與標(biāo)準(zhǔn)差1、數(shù)學(xué)期望等精度測(cè)量：在相同條件下，用相同的儀器和方法，由同一測(cè)量者以同樣細(xì)心的程度進(jìn)行多次測(cè)量，稱為等精度測(cè)量。設(shè)對(duì)某一被測(cè)量x進(jìn)行測(cè)量次數(shù)為n的等精度測(cè)量，得到的測(cè)量值xi(i=1,2,…,n)為隨機(jī)變量。其算術(shù)平均值為式中，稱為樣本平均值。電子測(cè)量與智能儀器2——測(cè)量誤差分析與數(shù)據(jù)處理當(dāng)測(cè)量次數(shù)n→∞時(shí)，樣本平均值的極限稱為測(cè)量值的數(shù)學(xué)期望。這里的Ex也稱為總體平均值隨機(jī)誤差：系統(tǒng)誤差：所以絕對(duì)誤差：表明：絕對(duì)誤差等于隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差的代數(shù)和電子測(cè)量與智能儀器2——測(cè)量誤差分析與數(shù)據(jù)處理2、算術(shù)平均值原理（1）算術(shù)平均值的意義對(duì)于有限次測(cè)量，當(dāng)測(cè)量次數(shù)足夠多時(shí)則近似認(rèn)為即由此可知，當(dāng)ε=0（且無xk值）時(shí)，測(cè)量值的數(shù)學(xué)期望可以視為被測(cè)量的相對(duì)真值。因此通常把這里經(jīng)多次等精度測(cè)量的算術(shù)平均值稱為真值的最佳估計(jì)值，寫為電子測(cè)量與智能儀器2——測(cè)量誤差分析與數(shù)據(jù)處理（2）剩余誤差各次測(cè)量值與其算術(shù)平均值之差，稱為剩余誤差（又稱殘差）。對(duì)剩余誤差求和即當(dāng)n足夠大時(shí)剩余誤差的代數(shù)和為0。

利用這一性質(zhì)可以檢驗(yàn)所計(jì)算的算術(shù)平均值是否正確。電子測(cè)量與智能儀器2——測(cè)量誤差分析與數(shù)據(jù)處理例2.3.1用電壓表對(duì)某一被測(cè)電壓測(cè)量10次，設(shè)已消除系統(tǒng)誤差及疏失誤差，得到數(shù)據(jù)如表所示（單位：V）電子測(cè)量與智能儀器2——測(cè)量誤差分析與數(shù)據(jù)處理3、方差與標(biāo)準(zhǔn)差定義：當(dāng)n→∞時(shí)，測(cè)量值與期望值之差的平方的統(tǒng)計(jì)平均值。將此式開方，取正平方根，得上式中，σ2稱為測(cè)量值數(shù)列的樣本方差，σ稱為測(cè)量值數(shù)列的標(biāo)準(zhǔn)誤差或樣本標(biāo)準(zhǔn)差，簡稱標(biāo)準(zhǔn)差。電子測(cè)量與智能儀器2——測(cè)量誤差分析與數(shù)據(jù)處理δi取平方的目的是用來描述隨機(jī)誤差的分散程度。求和再平均后，使個(gè)別較大的誤差在式中占的比例也較大，即標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)較大的誤差反映靈敏，所以它是表征精密度的參數(shù)。電子測(cè)量與智能儀器2——測(cè)量誤差分析與數(shù)據(jù)處理2.3.2貝塞爾公式及其應(yīng)用1、隨機(jī)誤差的正態(tài)分布概率論中的中心極限定理說明，假設(shè)被研究的隨機(jī)變量可以表示為大量獨(dú)立的隨機(jī)變量之和，其中每一個(gè)隨機(jī)變量對(duì)于總和只起微小的作用，則可認(rèn)為這個(gè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，又稱高斯分布。電子測(cè)量與智能儀器2——測(cè)量誤差分析與數(shù)據(jù)處理在δi影響下，測(cè)量數(shù)據(jù)xi的分布大多服從正態(tài)分布，其分布密度可以寫成Φ（xi）與xi的曲線如圖所示：0ExxiΦ（xi）0uiΦ（ui）σ1<σ2<σ3123電子測(cè)量與智能儀器2——測(cè)量誤差分析與數(shù)據(jù)處理2、貝塞爾（Bessel）公式當(dāng)n為有限次測(cè)量時(shí)，可以用剩余誤差來表示標(biāo)準(zhǔn)差。因設(shè)則電子測(cè)量與智能儀器2——測(cè)量誤差分析與數(shù)據(jù)處理考慮到用剩余誤差表示有限次測(cè)量的結(jié)果，用標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值代替σ這就是貝塞爾公式。式中，