水動力學基礎

水動力學基礎第二章水動力學基礎一、拉格朗日法.運動要素(水力要素)指表示液體運動的各種物理量。運動要素不僅是空間坐標的函數，還是時間的函數，即拉格朗日(Lagrange)法就是把液體運動看作是無數質點運動的總和，以研究個別液體質點的運動為基礎，通過研究足夠多的液體質點的運動來掌握整個液流的運動情況。所以，這種方法又稱為質點系法。取某一瞬時質點的位置坐標來代表該質點，則質點的運動坐標既與質點的初始坐標有關，又與時間有關，即認為運動坐標是初始坐標與時間的函數，可以表示為：拉格朗日法在概念上并無新鮮之處，和以往所習慣使用的方法一樣，因此，易于掌握。但由于液體的運動軌跡非常復雜，要尋求為數眾多的單個質點的運動規(guī)律，除了較簡單的情況外，將會在數學上導致難以克服的困難。況且從實用的觀點來看，實際工程中并無必要了解液體質點運動的詳盡過程，因此，這種方法在水力學上很少采用，僅在個別情況下，例如研究波浪運動和射流軌跡等問題時，才考慮應用該方法。在水力學中普遍采用的是歐拉法。二、歐拉法歐拉法就是把液體的運動看作是各個空間點上不同液體質點運動情況的總和。也就是說，在液體運動的空間里取許多空間點，研究某一瞬時經過這些空間點的不同質點的運動情況（如流速、壓強的變化等），所有這些質點的運動情況的總和就使我們掌握了這一瞬時整個液流的運動情況；如果研究很多瞬時，就能了解某一時段液流的運動情況。顯然，這種研究方法并不注意液體質點的運動歷程，即這些質點在來到該空間點以前和經過該空間點以后是如何運動的，而集中注意當質點流經該空間點時的運動情況。根據歐拉法的思想，在不同時刻有不同的液體質點經過同一空間點,它們的運動速度一般來講是不同的，即對固定空間點而言，速度隨時間t而變；在同一時刻t，處于不同空間點上的液體質點其速度一般來講也是不同的，即對固定瞬時而言，速度是隨著空間位置坐標而變的。綜上所述，速度應該是空間位置坐標和時間的函數，即，這是一個矢性函數，在應用上常寫成投影式，其中的坐標變量稱為歐拉變數由復合函數求導數的方法，可得到流速液體質點的加速度由二部分組成，，稱為.二是同一時刻由于空間位置的不同而引起的加速度，稱為遷移加速度或位變加速度。最后必須說明，兩種描述流動的方法只是看問題的角度不同，著眼點不同，并沒有本質上或原則上的區(qū)別，拉格朗日表達法和歐拉表達法是可以相互轉化的。究其原因，從物理概念上講，流場是運動的液體質點占據整個流動區(qū)域構成的，因而流場空間點上反映出來的運動要素值及其隨時間的變化當然是質點運動的結果。換言之，流場中的流動情況自然也可反映或轉化成質點的運動情況。這些就是上述兩種方法可以轉化的依據。不過，歐拉法的著眼點是流場，便于直接運用場論分析液流問題；而且對加速度來講，在歐拉法中是速度場的一階偏導數，但在拉格朗日法中是位移的二階偏導數。因此，數學處理上歐拉法也較為方便，故今后除特別說明外，都采用歐拉法的觀點研究問題。液體運動的基本概念一、恒定流與非恒定流恒定流與非恒定流是根據運動要素是否隨時間變化來劃分的。恒定流是指流場中任一點處所有的運動要素不隨時間而變化的流動，也稱為穩(wěn)定流、定常流。即非恒定流是指流場中任一點處有任何一個運動要素隨時間而變化的流動，也稱為非穩(wěn)定流、非定常流。在非恒定流條件下，其運動要素表達式為，，。二、跡線與流線跡線 液體質點在運動的過程中不同時刻所占據的空間位置的連線，。 某一瞬時在流場中繪出的一條空間曲線，流線的性質：①流線上任一點的切線方向代表該點的流速矢量方向。同一瞬時的流線不能相交，也不能轉折，只能是一條光滑的曲線。恒定流時流線的形狀不隨時間改變，非恒定流時的流線隨時間改變，即非恒定流的流線具有瞬時性，不同瞬時流線各不相同。恒定流時流線與跡線相重合。流線分布的疏密程度反映流速的大小，密則大，疏則小。流線的形狀總是盡可能接近邊界的形狀。從上述流線的性質可以理解到，流線是空間流速分布情況的形象化，它類似于電力線和磁力線。如果獲得了某一瞬時許多流線，就了解了該瞬時整個液流的運動圖景。在水流中任意取一微分面積，通過該面積周界上的每一點均可作出一條流線，這無數條流線組成的封閉的管狀曲面就稱為流管。根據流線的性質，不難得到流管的性質：①恒定流時流管的形狀不隨時間改變，非恒定流時流管的形狀隨時間而變。②由于流管的側壁是由流線構成的，由流線不能相交的性質可得出液體只能在流管以內或以外運動，不能穿越流管側壁由里向外或有外向里流動。四、元流（微小流束）充滿以流管為邊界的一束液流就稱為微小流束或元流。流管的性質也就是微小流束的性質，但還需要補充一點，由于微小流束的橫斷面面積是微分量，故在一般的水力學分析中均認為該斷面上的水力要素是均勻分布的，即以某一點的流速和壓強代表該面上的平均流速和平均壓強。有一定大小尺寸的實際水流都稱為總流?？偭骺梢钥醋魇怯蔁o數多個元流所組成。一切實際水流均可視為總流。與微小流束或總流流線呈正交的橫斷面稱為過水斷面，其面積以dA或A表示，單位為m2。過水斷面可能是平面，也可能是曲面，其形狀主要與流線分布情況有關。單位時間內通過某一過水斷面的液體體積稱為流量，以Q表示，單位為m3/s。微小流束流量：?？偭髁髁匡@然，要利用該式計算流量，必須知道過水斷面上的流速分布u的表達式，但由于流速分布u的表達式一般不易得到，故工程實際中常直接或間接來量測流量。對河渠或管道而言，流量的大小是它們輸運液體能力大小的體現。斷面平均流速是假想的在過水斷面上均勻分布的流速，以它通過的流量和真實流速分布通過的流量相等。斷面平均流速常用v表示，單位為m/s。由斷面平均流速的定義可知：。根據水力要素與空間自變量的關系,水流分為一元流、二元流、三元流。流場中任一點的液體運動要素僅與一個空間自變量（流程坐標）有關，這種水流稱為一元流，其一般的數學表達式為。這里流程坐標S既可以是直線，也可以是曲線，實際水流常有一主要的運動方向。流場中任一點的液體運動要素與二個空間自變量有關，這種水流稱為二元流，或稱平面運動。其一般的數學表達式為。實際工程中，當水流某一方向的幾何尺度遠遠大于其余兩個方向的尺度時，就可作為平面運動處理。流場中任一點的液體運動要素與三個空間自變量有關，這種水流稱為三元流，或稱空間運動。其一般的數學表達式為。1、當水流的流線為相互平行的直線時，該水流稱為均勻流。管徑不變的直線管道中的水流就是均勻流的典型例子。均勻流的特點:流線為相互平行的直線。流速沿程不變，即均勻流為等速直線運動。過水斷面為平面，且形狀尺寸沿程不變。任一過水斷面上的流速分布均相同，斷面平均流速均相等。均勻流同一過水斷面上的動水壓強按靜水壓強規(guī)律分布，即均勻流同一過水斷面上各點的測壓管水頭維持同一常數。2＞非均流若水流流線不是相互平行的直線，該水流稱為非均勻流。按流線不平行和彎曲的程度，又將非均勻流分為漸變流和急變流兩種類型。當水流的流線近乎于平行的直線時，這樣的水流稱為漸變流。流線近乎于平行的直線從數學上講，是指流線之間夾角很小或流線的曲率半徑很大。至于流線的夾角小到什么程度或流線的曲率半徑大到什么程度，一般并無定量的標準，要看對于一個具體問題所要求的精度由于漸變流的流線近乎于平行的直線，因此，可以近似地認為：過水斷面為平面，其上動水壓強也按靜水壓強規(guī)律分布。2＞急變流若水流的流線之間夾角很大或曲率半徑很小，這種水流稱為急變流。急變流條件下，動水壓強不按靜水壓強規(guī)律分布。至于急變流的動水壓強分布規(guī)律往往要通過實驗加以確定。但根據流線彎曲的方向，可以初步判定動水壓強與靜水壓強之間的大小關系。水流運動和其它物質運動一樣,在運動過程中遵循質量守恒定律。。式中，A1,v1,A2,v2分別為1—1斷面和2—2斷面的過水斷面面積和斷面平均流速。方程的意義：（1）不可壓縮實際液體一元恒定總流中，任意兩個過水斷面所通過的流量相等。（2）不可壓縮實際液體一元恒定總流中，任意兩個過水斷面的斷面平均流速與過水斷面面積成反比。連續(xù)方程是水力學的三大方程之一，是一個運動學方程，也是解決水力學問題的重要公式之一，它總結和反映了過水斷面面積與斷面平均流速沿流程的變化規(guī)律。當沿程有流量的分出和匯入時，連續(xù)方程可推廣應用。根據質量守恒原理，流入的流量必然等于流出的流量，即。元恒定總流的能量方程式中，z表示過水斷面上單位重量的液體具有的平均位能，稱為平均位置水頭；表示過水斷面上單位重量的液體具有的平均壓能，稱為平均壓強水頭；表示過水斷面上單位重量的液體的具有的平均動能，稱為平均流速水頭；表示過水斷面上單位重量的液體從1—1斷面流到2—2斷面過程中的平均能量損失，稱為平均水頭損失。表示過水斷面上單位重量的液體具有的平均勢能，稱為測壓管水頭；表示過水斷面上單位重量的液體具有的總機械能，稱為總水頭。能量方程的應用條件及注意事項：應用能量方程時應滿足下列條件：(1)水流必須是恒定流。(2)作用于液體上的質量力只有重力。(3)在所選取的兩個過水斷面上，水流符合漸變流條件，而兩斷面間可以有急變流。(4)流量保持不變，即無液體流出或流入。(5)液體是均質的，不可壓縮的。(6)液體運動的固體邊界靜止不動。在有流量分出和匯入的情況下，能量方程可以推廣應用。能量方程有7項，一個方程只能求解一個未知量，考慮連續(xù)方程可減少一個未知量，那還有5項必須是已知的。在實際問題中，能提供5項已知量的情況是不多的，因此，在應用能量方程時應設法減少未知量數目，這就使能量方程應用中的“三選”顯得更為重要，也更有技巧。所謂“三選”是指基準面選擇、漸變流過水斷面選擇、液流質點選擇，具體分述如下：基準面選擇：基準面可以任意選，但一定要是水平面，并且1-1與2-2斷面必須用同一基準面。一般將基準面選在某一過水斷面液流質點所在的水平面上，這樣z=0,相當于減少了一個未知量。漸變流過水斷面選擇：選擇的過水斷面必須符合漸變流條件?？梢赃x任意的漸變流斷面列方程，但漸變流斷面的序號卻不是任意編的，約定：上游斷面為1-1，下游斷面為2-2，即從上游向下游斷面序號遞增。一般水箱或水池的液面、收縮斷面C-C、自由出流壓力管道的出口斷面等都是較理想的漸變流斷面。液流質點選擇：過水斷面上充滿了液流質點，每個液流質點的單位勢能和單位動能都相等。因此，過水斷面上的值可以任選一方便的液流質點來計算。通常選管軸線上或液面上的液體質點建立能量方程。值得注意的是，漸變流斷面上中的兩個動水壓強值必須采用同一個壓強量度基準。在計算中，壓力表或真空表的讀數都是相對壓強，而且其讀數值常作為管軸線上或液面上的壓強值。具體解題時，“三選”應結合起來進行，并注明在圖上，以便驗算。除此而外，能量方程應用時還要注意以下兩點：⑷動能修正系數a1、a2,嚴格說并不相同，但可近似取1.0（特殊情況例外，如水躍的躍后斷面）。（5）水頭損失不得遺漏，并且能量方程常與連續(xù)方程配合應用。二、水頭線圖能量方程反映液流機械能守恒與轉化規(guī)律，能量方程中的每一項都具有長度量綱，因此，就可以用縱坐標表示水頭的大小，以橫坐標表示流程，按一定的比例尺把位置水頭、壓強水頭、流速水頭分別繪于圖上，這個圖稱為水頭線圖。水頭線圖（總水頭線和測壓管水頭線）形象地反映了液體運動過程中各項機械能沿程變化情況，具有直觀、清晰、明了的優(yōu)點，尤其在管道設計中，繪出水頭線圖更易于了解沿程各斷面壓強的變化，是否存在負壓等問題。借助水頭線圖可以判斷水流流向；可以確定任一流段上水頭損失的大小；可以了解任一斷面上位置水頭、壓強水頭、測壓管水頭、流速水頭、總水頭的大小及上述各項水頭沿流程的變化情況。三、有能量輸入或輸出的能量方程前面介紹的恒定總流能量方程是針對總流本身在斷面1—1和斷面2—2之間各項機械能的轉化和損耗，而沒有考慮到另外的能量輸入或輸出。當管路系統(tǒng)有水泵或水輪機等水力機械，而能量方程的1-1與2-2過水斷面之間又正好包括了這些水力機械時，就必須采用有能量輸入或輸出的能量方程，其形式為：式中：Hm為單位重量液體所獲得或失去（輸入或輸出）的機械能，對水泵取“+”，對水輪輪機取“-”，hw1-2為兩斷面間管路系統(tǒng)的水頭損失，不包括水流流經水泵或水輪機的損失。由于水流通過水泵時有漏損和水頭損失，水泵自身還有機械磨損，所以，水泵所做的功必須大于水流實際獲得的能量。常用水泵效率來反映損失的大小，其配套功率按下式計算。式中，HP為水泵揚程，，z為地形揚程或幾何揚程，等于出水池與進水池之間的水位差，為整個管路系統(tǒng)的全部水頭損失。對水輪機而言，水流通過水輪機時同樣有漏損和水頭損失，水輪機自身也有機械磨損，所以，水輪機的處處功率要小于水流給予水輪機的功率，其損失影響可用水輪機效率來表示，水輪機的實際出力可用下式計算。式中，Ht為水輪機的作用水頭，，z為靜水頭，等于進水池與尾水之間的水位差，為整個管路系統(tǒng)的全部水頭損失。廣泛應用于測量渠道、管道中水流點流速的儀器.利用能量轉化（動能轉化為勢能）原理可得：或??式中，為校正系數常取0.98~1.0。二、文丘里流量計用來測定管道中流量的儀器.由收縮段、收縮段、喉管、擴散段三部分組成。將文丘里流量計安裝在欲測量流量的管道上，在管道和喉管上分別設置測壓管或差壓計，以測得這兩個斷面上的測壓管水頭差值，然后，運用能量方程即可計算出通過管道的流量。管道斷面為圓形，設進口直徑為di,喉管斷面直徑為d2,通過管道的流量：其中，，顯然，系數K只是管徑di和d2的函數，當已知管徑di和d2時，K為定值，可以預先算出。故只要測出兩斷面測壓管水頭的差值h，就可方便地算出流量Q。實際流量為，其中U稱為文丘里流量計的流量系數，M直隨流動情況和管道收縮的幾何形狀而不同，使用文丘里流量計時應事先加以率定。通常是通過試驗直接測定Q?h關系，繪制曲線，以備查用。u的一般值約為0.95?0.98。如果文丘里流量計上直接安裝水銀差壓計，由差壓計原理不難推導出此時通過文丘里流量計的流量為，式中，h為水銀差壓計兩支水銀面的高差。三、孔口出流工程實際中常利用孔口和管嘴控制流量或量測流量，因此，其水力計算的主要任務就是確定其泄流量的大小。在貯水容器的底部或側壁開一小孔，液體經孔口流出的水力現象稱為孔口出流。水利工程中小型水庫的多級臥管放水孔、船閘閘室的充水或放水孔等都是孔口出流的例子。薄壁銳緣小孔口恒定自由出流的泄流量公式:式中，?，稱為流速系數；，稱為孔口的收縮系數，它與孔口的形狀、大小、位置以及水頭等因素有關，可由實驗測定；，稱為孔口出流的流量系數，其值可由實驗測定。根據實驗，薄壁銳緣小孔口完善收縮的局部水頭損失系數 Z二0.05?0.06,動能修正系數a二1,則流速系數申二0.97?0.98,收縮系數￡二0.63?0.64,流量系數|J二0.60?0.62。其它形狀孔口的有關系數可查閱水力計算手冊。當孔口為淹沒出流時，作用于孔口任一點的上下游水位差都相等，因此，對淹沒出流就無大孔口和小孔口之分，公式的推導仍然用能量方程，得到的計算公式與上式相同，即，式中，z為上下游水位差；|J為流量系數，實驗證實，自由出流與淹沒出流的流量系數幾乎相等，實際計算時就取自由出流的流量系數值進行計算。四、管嘴出流在孔口是接一段長為（3?4）d的短管，液體經短管流出的水流現象稱為管嘴出流。拱壩上的泄水孔、渠壁上的放水孔都屬于管嘴出流。液體經管嘴流出時，一般情況下是首先發(fā)生液流的收縮，然后擴大到充滿全管,收縮斷面將有負壓出現。式中，流速系數申、收縮系數￡及流量系數M與孔口出流的數值相同。由此可見，在孔口和管嘴面積相同、作用水頭相等的情況下，管嘴的泄流量要比孔口大，其原因是管嘴的有效水頭多了一項，這一項正好是收縮斷面的真空度值，實驗表明，收縮斷面的真空度。這樣一來，上式可改寫為，式中，|jn稱為管嘴的流量系數，其值為0.82。它與孔口出流具有相同表達式，只是將管嘴因負壓增大泄流量的部分反映在流量系數當中。在孔口上接管嘴之后，雖然增大了水頭損失，但因負壓存在而增加的作用水頭大大超過了加管嘴之后水頭損失的增加值，最終表現為管嘴的泄流量仍然比孔口的泄流量大。為了利用管嘴的負壓增大泄流能力，就必須維持管嘴中真空區(qū)的存在。真空度是具有一定限度的，如果管嘴中真空度過大，外面的空氣就會經過管嘴的出口斷面被吸入真空區(qū)，從而造成真空的破壞。一般管嘴中允許真空度不宜大于7米水柱,故由可知，圓柱形外伸管嘴的作用水頭不宜大于9米。此外，為形成管嘴出流，管嘴長度宜為（3?4）d,不能太短，也不能太長。管嘴長度太短，流出的水股尚未擴散到充滿全管就已流到出口，因而管嘴中不能形成并維持真空區(qū)。管嘴太長，其水頭損失將會隨管嘴長度的增加而增大，這是的流動應按管道恒定流處理。因此，保證圓柱形夕卜伸管嘴正常工作的條件是：①，②。第六節(jié)恒定流總流的動量方程元恒定總流動量方程的一般形式可表示為：動量方程是矢量方程，在應用時必須寫為投影式：顯然，上述投影式中忽略了動量修正系數在x、y、z三個方向上的差別。此夕，上述推證過程中，流量沿程不變，上游輸入動量，下游輸出動量。但實際工程中有的問題不至于此，常見的有分岔管，對此，可將動量方程推廣應用，仍然以輸出的動量減去輸入的動量來表示單位時間內動量的變化量，該變化量仍應等于作用在該脫離體上所有外力的代數和。應用動量方程時要注意以下幾點：（1）動量方程式是矢量式，須設投影軸，列投影方程求解。只有選定了投影軸的正方向，才能確定各外力及流速投影正負號。（2）控制體可任選，但一般取整個總流的邊界為控制體邊界。橫向邊界一般取過水斷面，而且要求為漸變流斷面。（3）動量變化一定是輸出動量減去輸入動量，不可顛倒。（4）當力為未知量時，可先假定力的方向。實際方向可從力的計算結果的正負號判斷。正號與假設方向相同，負號與假設方向相反。動量方程的應用步驟大致如下取脫離體。脫離體由下列諸控制面圍成：液流兩端的過水斷面，與流動方向相垂直；固體（或氣體）邊界與液流的接觸面，與流動方向相切。脫離體是任意取的，一般應使脫離體內包括盡可能多的已知條件和待求的量。分析脫離體上所受諸外力，即以外力代替控制面對脫離體內液流的作用。夕卜力包括質量力，只計脫離體內液流的重力G,不包括慣性力。如計及慣性力，則!F=0O表面力，有脫離體兩端過水斷面上的動水總壓力P1（順流向）和P2（逆流向）；脫離體側表面上所受固體（或氣體）對它的反作用力R（表現為壓力）；脫離體側表面上的水流阻力T;若脫離體內有被液流所環(huán)繞的不動的固體，其對液流的作用力N，也是—種表面力。選坐標平面xoy。坐標平面xoy的方位可以任意選，通過選坐標平面使動量方程中的未知項盡量減少。列動量方程式。動量和外力是矢量，它們被投影到坐標軸上時，應注意其正、負號。動量的方向由流速方向確定。待求量按先行假定的方向計算，若計算結果待求量是正值，則表明假定是正確的；若計算結果是負值，則表明當初假定的方向是錯誤的，應該相反。運用動量方程進行水力計算時，關于動水總壓力P有兩點需要注意：a）脫離體兩端的過水斷面應避免為急變流斷面，因為急變流斷面上的動水總壓力難以求解。b）動量方程多用于計算液流對管、渠等固體邊界的作用力。由于大氣壓強到處存在，真正起作用的是相對壓強值，為了求得該作用力，動水總壓力P1和P2應當以相對壓強計算。運用動量方程進行水力計算時，由于脫離體的流段較短，水流阻力較其他外力很微小，可忽略不計。因此，一般可認為：①脫離體內液流的能量損失hw=0:②水平射流與光滑壁面接觸后，射流只改變方向不改變大??；③光滑壁面對水平射流的反作用力R與壁面相垂直，表現為壓力。一、流線及其微分方程流線是某一瞬時在流場中繪出的曲線，曲線上所有質點的流速矢量均與該曲線相切。根據流線的定義，很容易建立流線的微分方程。在流線上取一微分段，因其無限小，故可近似看作直線。由流速與流線相切關系可知流速與具有相同的方向余弦，即聯立上式可得流線的微分方程式中，、、均是空間坐標、、及時間變量的函數。又因流線是某一指定時刻的一條曲線，故在流線微分方程中時間變量不能作為獨立變量，只能是參變量。即要求某一時刻的流線時，只需將時間變量作為常數代入流線微分方程，然后積分處理。實際上，上式就是空間直線的標準方程，不過這里是一段無限小的直線罷了。對平面流動，流線微分方程將簡化為二、跡線及其微分方程某一液體質點在不同時刻所流經的路線稱為跡線。設在微分時段內，液體質點運動的位移為，相應的流速為，相應的投影式為聯立上式可得跡線的微分方程（12—3）式中，是自變量，空間坐標、、都是時間變量的函數。在恒定流時，各運動要素與時間無關，流速只是位置坐標的函數，此時跡線與流線相重合，相應的微分方程表達式也是一樣的。液體微團的運動形式一、液體微團的運動形式在理論力學中，剛體有兩種基本運動形式，即平移和繞某瞬時固定軸的轉動。而液體能夠流動，發(fā)生變形，因此液體微團具有四種基本運動形式，即：（1）平移運動：平移的速度為ux,uy,uz（2）線變形運動：線變形速度為3）角變形運動：角變形速度為4）旋轉運動：旋轉角速度為式中：￡i-邊線變形速度,0i一角變形速度，小一旋轉角速度。在液體上述四種基本運動形式中，我們最關心的是旋轉運動，它對討論液體的運動和運動的求解十分重要。如果液體微團的旋轉角速度3X=3y=3Z=0,則液體是無旋流動或有勢流動；當3X、3y、3Z有一個不為0,則液體作有旋流動或有渦流動。液體微團沒有旋轉運動即旋轉角速度為零的運動稱為無旋運動，又稱無渦流、無渦運動；液體微團有旋轉運動即旋轉角速度不為零的運動稱為有旋運動，又稱有渦流、有渦運動。必須注意的是，這里所講的液體微團有無旋轉運動是指液體微團繞其自身的軸旋轉，它與通常的旋轉運動并不相同。習慣上，將液體微團繞其自身軸的旋轉運動稱為渦。液體運動是否為有旋運動，不能單純地從液體質點的運動軌跡來看，而應該看液體質點本身是否作旋轉運動。液體質點作圓周運動，質點本身可以無旋轉；反過來看，液體質點作直線運動，質點本身也可以有旋轉。所以，必須弄清楚圓周運動與有旋運決不是一回事對于無旋運動而言，由可得上式是無渦流必須滿足的條件。從高等數學可知，上式恰好是使為某一函數全微分的必要和充分條件，因此，對無渦流必然存在著下列關系。這個函數稱為流速勢函數，即無渦流的流速矢量是有勢的，故無渦流又稱有勢流動，簡稱勢流。在有勢流動中，存在著勢函數構成了標量場，如果為非恒定流動，這個標量場應為，其中，為代表時間的參數。需要說明的是，流速勢函數雖然采用了“勢”這一物理名稱，但卻沒有明確的物理意義，只是為了研究問題方便而引入的概念。因為對無渦流，引入流速勢函數之后，流速分量、、可以通過流速勢函數求得。因此無旋運動問題可歸結為求流速勢函數的問題，使未知量由三個減少為一個，從而使流動分析過程大大簡化。實際工程中的孔口出流、滲流、高壩溢流等問題都可按勢流求解，其正確性已為實驗所證實。只要中有一個不等于零，流動就是有旋運動，不存在流速勢函數，這是有渦流與無渦流之間的根本區(qū)別。有渦流的基本特征是：流場中有旋轉角速度存在，與流速一樣，旋轉角速度也是矢量，故可用描述流速矢量相類似的方法來描述旋轉角速度。各點旋轉角速度的方向可渦線來表示。渦線是某一瞬時有渦流場的一條曲線，曲線上各質點在同一瞬時的旋轉角速度矢量與渦線相切。據此可寫出渦線的微分方程如下：渦線的繪制方法與流線相同，渦線本身也不會相交，在恒定流時渦線的形狀也保持不變。與流管的概念類似，在有渦流場中任取一微分面積，通過該面積周界上的每一點作出一條渦線，無數條渦線組成的管狀曲面稱為渦管，渦管內的液流稱為元渦或微小渦束或渦帶。類似于流量，微小渦束的斷面面積與2倍旋轉角速度的乘積稱為渦通量或稱為旋渦強度。式中，，稱為旋度，也稱渦量?？梢杂檬噶勘硎緸楹陀袦u流有關的另一重要概念是速度環(huán)量。在流場中任取一封閉周線，流速矢量沿該曲線的積分稱為沿曲線的速度環(huán)量，以表示。規(guī)定積分的繞行方向逆時針為正，順時針為負。速度環(huán)量與渦通量之間的關系為式中，為以封閉周線為周界的曲面。上式表明：沿封閉周線的速度環(huán)量等于穿過以該曲線為周界的任一曲面的渦通量。這個關系式稱為斯托克斯定律。根據這個關系，可以通過分析速度環(huán)量來研究旋渦運動。如果封閉曲線包圍的是有勢流動區(qū)，引旋轉角速度為零，故沿該曲線的速度環(huán)量也一定為零。自然界和工程實際中出現的絕大多數流動屬于有渦流，如大氣中龍卷風、管道渠道中的流體運動、繞流物體表面的邊界層及其尾部的流動都是有旋運動。第十節(jié)恒定平面勢流的流函數和流速勢函數一、流函數及其性質平面流動中的流線方程uxdy-uydx二0能夠進行積分的條件是：它必須是某函數屮(x,y)的全微分，我們把屮稱為流函數。流函數屮存在的充分必要條件是滿足不可壓縮液體的連續(xù)方程(推到略)：?對于連續(xù)的平面運動，流函數屮總是存在的。流函數與流速之間的關系可以表示為：流函數具有如下四個重要的性質：在平面無旋運動中，流函數滿足拉普拉斯方程，即在數學上把滿足拉普拉斯方程的函數稱為調和函數