獎學金評定模型

獎學金評定模型摘要本文針對獎學金評定問題，通過構(gòu)造隸屬函數(shù)，采用層次分析法、模糊層次分析法等多種方法，綜合分析了學生各門課程成績以及不同課程的學時數(shù)和學分數(shù)據(jù)，運用四種不同的方法分別建立了加權(quán)平均值模型、標準化模型、層次分析模型、模糊層次分析模型。最后將模型結(jié)果與實際相結(jié)合，對如何評定獎學金提出了相關可行性方案。首先對數(shù)據(jù)進行了預處理。將除任選課以及人文課之外的科目有低于60分的同學淘汰，然后采用偏大型柯西分布和和對數(shù)函數(shù)構(gòu)造了一個隸屬函數(shù)將任選課與人文課的等級評價轉(zhuǎn)化為百分制。在用模型三和模型四的時候，為了簡化計算我們將每位同學已修的任選課和人文課的平均分作為這位同學未修課程的得分。模型一：運用學分比重作為權(quán)值來計算平均分，將根底課、專業(yè)課、必選課以及選修課的權(quán)重看作是一樣的，建立簡單加權(quán)平均值模型，然后借助EXCEL、VC++軟件排序得到前10%的學生的學號依次為51,70,30,86,75,51,60,2,80,64。模型二：運用標準化的方法將百分制的分值轉(zhuǎn)化為0—1，抵消課程的難易程度對課程權(quán)值的影響，使分數(shù)域相同。建立標準化模型，然后利用EXCEL軟件計算排序得到前10%的學生學號依次為70,86,30,75,33,2,51,72,80,84。模型三：將課程性質(zhì)、學時和學分都看做方案層，課程權(quán)值視為目標層，建立判斷矩陣，運用層次分析法將課程性質(zhì)、學時、學分這些因素對目標層的影響量化，建立層次分析模型，得到21門課程的權(quán)重，將經(jīng)數(shù)據(jù)篩選處理后的40位同學的各科成績構(gòu)成的矩陣與的轉(zhuǎn)置相乘，經(jīng)MATLAB計算得到40位同學的綜合成績。運用MATLAB分析計算出權(quán)值向量，進而得到前10%的學生學號為70,86,10，20,64,2,30,1,4,72。模型四：運用模糊層次分析法將課程性質(zhì)、學時、學分這些因素對目標層的影響量化，然后代入公式求得權(quán)值向量，建立模糊層次分析模型，得到模糊一致判斷矩陣,進一步得到五種科目的權(quán)重向量，將課程性質(zhì)比重與學分比重和學時比重三者的乘積作為21門課程的權(quán)重向量，再與40位同學的成績矩陣作運算，可計算出40位學生的綜合成績。運用MATLAB求得前10%的學生學號為：70,30,86,2,60,75,20,64,84,12。最后，本文對模型進行了模型的誤差分析、模型的推廣以及模型的優(yōu)缺點分析。關鍵詞：獎學金評定，權(quán)值，隸屬函數(shù)、簡單加權(quán)平均值，標準化模型，層次分析模型，模糊層次分析模型§1問題的提出一、背景知識幾乎學校的每個院系每年都會評定學生獎學金。設立獎學金的目的是鼓勵學生學習期間德智體全面開展。其中，年度的學習成績是獎學金評定的主要依據(jù)之一，因此，如何根據(jù)學生本年度的各門課成績來合理衡量學生很有必要。獎學金是對在校大學生學習、工作等方面情況的綜合獎勵，其目的是為了社會造就更多的人才。目前高校獎學金的評定方法主要是學校或?qū)W院結(jié)合自身情況進行設定的，其制度與方案都還可能存在不健全和不完善的地方。二、相關試驗數(shù)據(jù)1.某學院某年級105名學生全年的學習情況數(shù)據(jù)〔見附件1〕；三、要解決的問題根據(jù)附件信息，綜合考慮各門課程，至少用3到4種方法將成績最優(yōu)秀的10%的同學評選出來，作為進一步獎學金評定的候選人，并比擬這些方法的優(yōu)劣。明確說明是如何考慮課程性質(zhì)、學時、學分、成績等因素的，以及主要結(jié)果及對該問題的建議?！?問題的分析針對某年級105名學生全年各門課程的分數(shù)以及每門課程的學時、學分，我們采用四種不同的方法評選出成績最優(yōu)秀的10%的同學作為進一步獎學金評定的候選人?？紤]到任選課和人文課是以A、B、C、D四個等級評分的，我們采用偏大型柯西分布和和對數(shù)函數(shù)構(gòu)造了一個隸屬函數(shù)將任選課與人文課的等級評價轉(zhuǎn)化為百分制。然后分別建立簡單加權(quán)平均值模型、標準化模型、層次分析模型、模糊層次分析模型，運用MATLAB、EXCEL等軟件計算出前10%學生。程序流程圖為：§3模型的假設1.候選人評定僅以本年度課程成績?yōu)槲ㄒ灰罁?jù)進行評定，不考慮其他因素，如學生工作，獲獎等加分體系。2.學生所取得的成績均為自己合理方式所取得的實際成績。3.每位學生都參與到獎學金評定過程中。4.所有數(shù)據(jù)均為原始數(shù)據(jù)，來源真實可靠。5.假設參評人不會以任何手段來獲取評委的特殊照顧，僅以成績做為參考憑證。6.假設未修的任選課和人文課的成績?yōu)樵搶W生已修任選課和人文課的平均分?！?名詞解釋與符號說明一、名詞解釋1.獎學金：為資助世界各國學生、學者到中國高等學校進行學習和研究，增進中國人民與世界各國人民的相互理解和友誼，開展中國與世界各國在教育、科技、文化、經(jīng)貿(mào)等領域的交流與合作。二、符號說明符號符號說明、、a、b表示隸屬函數(shù)f(x)的參數(shù)x學生的某科成績n單科學分m總學分max代表每科的最高分min代表每科的最低分i、n代表科目數(shù)X標準化后的成績W代表權(quán)重向量比擬判斷矩陣的特征值max最大特征向量CI一致性指標CR一致性比率RI平均隨機一次性指標R模糊一致矩陣A模糊層次中的因素r模糊層次中的數(shù)量標度w模糊層次中的各因素的權(quán)重§5模型的建立與求解從所要解決的問題和對問題所做的假設出發(fā)，分別對四種模型進行詳細的分析與求解。一．模型=1\*ROMANI簡單加權(quán)平均值模型1.模型的分析對于綜合成績的評定，我們假設根底課、專業(yè)課、必選課以及選修課的權(quán)重是一樣的，獎學金評定的標準是學校培養(yǎng)目標的具體化，對學生全面開展具有導向作用。沒有一門課程是可以被無視的。為了更加直接的比擬出每位同學的綜合成績，我們沒有將分數(shù)向績點來轉(zhuǎn)化，而是直接用代入分數(shù)的方法來計算。這樣得到的結(jié)果一般不會出現(xiàn)相同成績的兩位同學，有利于我們很直觀的選出前10%的同學。綜合成績的計算取決于實際考試分數(shù)和學分2個因素。計算學分成績時，把學分在該學年所取得的實際總學分中的比重作為權(quán)重，對每門科目進行加權(quán)得出一個加權(quán)成績，我們認為學分在獎學金評定模型中的作用根本合理。2.模型的準備在初始數(shù)據(jù)中，任選課和人文課是使用等級表示的，我們用了隸屬函數(shù)法來將等級轉(zhuǎn)化為百分制。構(gòu)造偏大型柯西分布隸屬函數(shù):規(guī)定A，B，C，D四個等級相應的值為5，4，3，2。當?shù)燃墳锳時，隸屬度為1，即x=5，f(5)=1；等級為C時，隸屬度為0.8，即x=3，f(3)=0.8;等級為E(此處沒有該類型評價，出于考慮問題方便使用)時，隸屬度為0.01，即x=1，f(1)=0.01。計算可得。因而可得：畫出隸屬函數(shù)圖像如圖1所示：圖1隸屬函數(shù)圖像根據(jù)圖像可得A=96.74，B=87.14，C=61.53，D=47.44。3.模型的建立首先我們把各同學任選課和人文課成績轉(zhuǎn)化為百分制成績，利用公式：，故實際綜合成績=，運用Excel軟件計算出40位同學的實際綜合成績。4.模型的求解應用EXCEL軟件排序得到綜合成績前10%的同學，得到如下表的綜合成績排名：表1前10%學生序號以及成績學生序號綜合成績學生序號綜合成績5185.495378.317084.079378.083082.451078.018681.987477.847581.696277.816080.889177.77280.872777.448080.564477.366480.181877.023380.169676.978479.92176.952079.78476.80979.492976.727279.426976.267379.341776.179979.088174.905479.03874.139279.022273.411278.8310372.446378.511370.42根據(jù)表1，得到前十名學生序號為：51,70,30,86,75,51,60,2,80,64。二．模型Ⅱ標準化模型1.模型的分析獎學金評定的公平性在整個評定過程中必須放在首要位置。但是由于各科老師的給分習慣的差異以及任選課和人文課采取等級評分制，使得在獎學金評定時計算學生成績會出現(xiàn)諸多不便，如等級A，B，C，D怎么算才是相對公平的。所以如何減小這些影響評定公平性的因素是我們必須認真解決的問題。首先，考慮到每位老師給分習慣的不同，我們考慮極值標準化的方法，將百分制的分值轉(zhuǎn)化為0—1，使得分數(shù)域相同，這有效增強了其可比性。2.模型的準備利用Excel中的Min和Max函數(shù)將每門課程的最高分max和最低分min找出。3.模型的建立找出各門課程最高分和最低分后用極值標準化公式〔其中x為學生的某科的成績〕得出學生各門課程歸一化后的得分，在計算每位學生的平均成績。對最終計算得出的平均成績按降序進行排序得到表2所示數(shù)據(jù):表2歸一化后學生成績總和及平均值序號總和平均值序號總和平均值7013.800.667411.490.558613.540.645411.340.543013.500.64111.330.547513.010.621811.230.533312.840.611011.050.53212.750.619111.000.525112.210.586210.960.527212.200.589610.960.528012.150.584410.950.528412.150.581310.730.516012.140.581210.680.511712.130.58410.660.512012.110.582710.620.516412.060.572910.610.517311.920.576910.580.509911.750.56819.890.479211.720.5699.600.465311.710.56229.450.456311.700.561039.410.459311.580.5588.890.424.模型的求解根據(jù)上表得到前十名學生學號為：70,86,30,75,33,2,51,72,80,84。三．模型=3\*ROMANIII層次分析模型1.模型的分析考慮到光以學分為權(quán)重進行加權(quán)平均不能完全代表各個學生的真實成績，因為各門課之間的重要程度的因素是很多的，不能單一地以學分多少作為評價課程重要程度的依據(jù)。因此我們方案將課程性質(zhì)、學時與學分綜合作為考察一個課程重要程度的依據(jù)，并以此作為加權(quán)平均的權(quán)重，下面是先用層次分析法對課程性質(zhì)進行重要程度排序。然后根據(jù)公式：QUOTE求出綜合成績?！苍谶@里，將21門課的定義為權(quán)重向量W〕。2.模型的準備層次結(jié)構(gòu)反映了各因素之間的關系，首先建立層次結(jié)構(gòu)模型圖如圖2所示：圖2層次結(jié)構(gòu)模型圖準那么層中的各準那么在目標衡量中所占的比重并不一定相同。我們就通過各因素兩兩比擬來確定比擬判斷矩陣。表3標度的具體含義標度含義1表示兩個因素相比，具有相同重要性3表示兩個因素相比，前者比后者稍重要5表示兩個因素相比，前者比后者明顯重要7表示兩個因素相比，前者比后者強烈重要9表示兩個因素相比，前者比后者極端重要2、4、6、8表示上述相鄰判斷的中間值根據(jù)上述標準就可以構(gòu)造判斷矩陣：3.模型的建立用MATLAB軟件算出判斷矩陣A的最大特征值為max=5.0623，〔求解程序見附錄1〕查表得n=5相應的平均隨機一致性指標RI=1.12。一致性指標CI為：一致性比率CR為：≈0.0139<0.1所以CR<0.1，我們可以認為判斷矩陣的一致性是可以接受的。運用MATLAB軟件計算矩陣A的最大特征值所對應的特征向量為a1=〔0.7997，0.4861，0.3043，0.1573，0.0824〕〔求解程序見附錄2〕并做歸一化處理得：，得到的向量W就是根據(jù)層次分析法得到的五種課程的權(quán)重排序。再對各種課程性質(zhì)中不同課程學時的不同對各課程再排序。下表是各課程所對應的學時及學分數(shù)：表3課程對應學時表根底課課程名學時學分課程143.5課程2~課程533課程622專業(yè)課課程7~課程822課程933必選課課程10~課程1533任選課課程16~課程193課程163.5課程17~193人文課課程20~課程2123在這里，我們以學分數(shù)考慮相同課程性質(zhì)內(nèi)不同課程的重要程度，一般認為學分數(shù)越多的課程越重要，所以用〔各課程學分數(shù)/各性質(zhì)課程總分數(shù)〕作為權(quán)重進一步優(yōu)化權(quán)重向量。運用MATLAB軟件將成績矩陣A與權(quán)重向量W相乘，得到所有學生的綜合成績表并按照成績的升序排列如下〔求解程序見附錄3〕：表4綜合成績排序表綜合成績學生序號綜合成績學生序號84.34047077.62328082.15268677.61137580.74991077.2071780.4522076.84029280.43656476.76327980.1877276.71529979.80343076.6951979.5876176.57085179.42718476.48545379.2037276.27827379.18359376.11812979.05916075.22526278.86141374.90862778.86091874.81116978.77288174.29175478.76137474.27149178.75553373.82984478.74846373.4454877.91641272.384610377.8618472.359224.模型的求解從表4中，我們可以看到前十名的學生序號為：70、86、10、20、64、2、30、1、84、72。四、模型=4\*ROMANIV模糊層次分析模型1.模型的分析模糊層次分析的關鍵環(huán)節(jié)是建立判斷矩陣，判斷矩陣是否科學、合理直接影響到模糊層次分析的效果，而判斷矩陣的建立往往具有主觀性，并且判斷矩陣一致性的判斷標準：CR<0.1缺乏科學依據(jù)，而模糊層次分析法可以較好地躲避這些問題。下面是先用模糊層次分析法得到課程性質(zhì)的權(quán)重向量，再根據(jù)公式：求出綜合成績?！苍谶@里，將21門課的定義為權(quán)重向量W〕2.模型的準備建立模糊一致判斷矩陣，下表為模糊一致判斷矩陣的數(shù)量標度：表5數(shù)量標度標度說明0.5兩元素相比，同等重要0.6兩元素相比，一元素稍微重要0.7兩元素相比，一元素明顯重要0.8兩元素相比，一元素重要得多0.9兩元素相比，一元素極端重要0.1,0.2,0.3,0.4假設元素與元素相比擬得到判斷，那么元素與元素比擬得到的判斷為運用表5中的數(shù)量標度可得到如下模糊判斷矩陣,并根據(jù)模糊一致矩陣的充要條件進行調(diào)整，假設將第一行元素、----視為有把握的，用R的第一行元素減去第二行對應元素，假設所得的一個差數(shù)為常數(shù)，不需調(diào)整第二行元素。否那么，要對第二行元素進行調(diào)整，直到第一行元素減第二行的對應元素之差為常數(shù)為止。用R的第一行元素減去第三行的對應元素，假設所得的n個差數(shù)為常數(shù)，那么不需調(diào)整第三行的元素。否那么，要對第三行的元素進行調(diào)整，直到第一行元素減去第三行對應元素之差為常數(shù)為止。上面步驟如此繼續(xù)下去直到第一行元素減去第行對應元素之差為常數(shù)為止。由以上步驟可以得到如下模糊一致性判斷矩：3.模型的建立設R是n階模糊矩陣,那么R是模糊一致矩陣的充分條件是存在一n階非負歸一化的向量及一正數(shù)a,使得對于任意的i,j,有〔1〕假設R是模糊一致矩陣,那么其權(quán)重可由(2)式計算：，〔i=1,2,---n〕〔2〕其中,(i=1,2,3,4,5)在本模型中，根據(jù)一致判斷矩陣，求得的權(quán)重向量〔求解程序見附錄4〕，及五種課程性質(zhì)的比重再將學時比重和學分對權(quán)重向量的影響考慮進來得到權(quán)重向量〔求解程序見附錄5〕,利用MATLAB求得：W1=(0.0019,0.0013,0.0013,0.0013,0.0013,0.0007,0.0004,0.0004,0.0010,0.0008,0.0008,0.0008,0.0008,0.0008,0.0008,0.0006,0.0005,0.0005,0.0005,0.0002,0.0002);4.模型的求解在MATLAB中，建立一個41x21的成績矩陣A，用A與權(quán)重向量W相乘〔求解程序見附錄6〕，并將綜合成績按降序排列。得到所有學生的綜合成績表如下：表6學生綜合成績綜合成績學生序號綜合成績學生序號1.4173701.3202101.4021301.3181631.3822861.3179541.374421.317691.3606601.3171621.3604751.3149181.3602201.3142531.3562641.3116961.3548841.3101441.3528121.3044921.3478721.299541.3465171.2994271.3435801.294111.3423991.2921291.3379511.2862811.3292331.2802691.3261731.2778911.3248131.250381.3245741.2313221.3233931.2149103從表6中，我們可以看到前十名的學生序號為：70,30,86,2,60,75,20,64,84,12?！?模型的誤差分析用四種方法得出的前10%的同學的學號如表7所示：表7四種方法得出的前10%學生學號方法一方法二方法三方法四51707070708686303030108686752027533646051227560513020272164808048464847212由表7可以看出不同方法得出的前10%學生學號不同，說明在用不同種方法進行處理的時候存在誤差?！?模型的優(yōu)缺點1.優(yōu)點(1〕簡單加權(quán)平均值模型，簡潔易懂，有利于數(shù)據(jù)的篩選。(2〕標準化模型所有的成績都轉(zhuǎn)化為0—1之間的數(shù)，使課程分數(shù)域相同，這有效解決了各科老師給分習慣導致的評分標準不同的問題，使各科的成績可比性增強。(3〕層次分析模型、模糊層次分析模型將研究對象看做一個系統(tǒng)，充分考慮了各種權(quán)重影響因素，解決了課程難度不均帶來的不公平的問題。(4〕利用EXCEL軟件對數(shù)據(jù)進行處理并作出各種圖表，簡便，直觀，快捷；(5)運用多種數(shù)學軟件〔如MATLAB等〕，取長補短，使計算結(jié)果更加準確、明晰；(6)本文巧妙運用思路分解圖，將建模思路完整清晰的展現(xiàn)出來；2.缺點〔1〕簡單加權(quán)平均值模型可能會受到不同教師打分不同及標準差不同的問題、不同科目難度不同的問題的影響。〔2〕標準化模型的缺點是一些同學因為考取最低分而最終該科成績?yōu)?分，這種零分情況難以接受。〔3〕層次分析模型的判斷矩陣的建立有主觀性，不具有科學嚴謹性。〔4〕模糊層次分析模型直接采用分數(shù)的比擬，有可能會受到不同教師打分不同及標準差不同的問題、不同科目難度不同的問題。§7模型的推廣1.推行全面素質(zhì)教育，不局限于以學生考試成績作為評定的唯一標準，以競賽獲獎，宿舍衛(wèi)生情況等作為評定的輔助標準。2.根據(jù)聚類分析法依據(jù)學生每年的反映對課程學分進行動態(tài)調(diào)整，保證其先進性。3.此獎學金評定方案不僅適用于學校對學生的綜合評估，還可以推廣到教師、企業(yè)家等各類職員年度業(yè)績的評定。應用本評定方案，也可對于年終個人評優(yōu)和獎金發(fā)放起到一定指導作用?！?參考文獻[1]陳恩水，王峰，數(shù)學建模與實驗[M]，北京：科學出版社，2023年6月：1-9，162-169。[2]趙靜，但琦，數(shù)學建模與數(shù)學實驗，北京：高等教育出版社，2000.11。[3]楊桂元，黃己立，數(shù)學建模[M]，合肥：中國科技技術大學出版社，2007.[4]揚啟帆,康旭升,等.數(shù)學建模[M].北京:高等教育出版社.2006年5月。[5]吳禮斌.經(jīng)濟數(shù)學實驗與建模[M].天津大學出版社.2023.8.[6]胡守信,李柏年,基于MATLAB的數(shù)學實驗,北京:科學出版社,2004.6第一版。[7]姜啟源等.數(shù)學模型〔第三版〕[M].高等教育出版社.2003.8.附錄附錄1〔求A的所有特征值〕A=[12357;1/21236;1/31/2125;1/51/31/212;1/71/61/51/21];a=eig(A)附錄2〔求A的最大特征值所對應的特征向量〕A=[12357;1/21236;1/31/2125;1/51/31/212;1/71/61/51/21];a=eig(A);[X,D]=eig(A);a1=X(:,1)附錄3〔求所有學生的綜合成績〕w=[0.1799,0.0386,0.0386,0.0386,0.0386,0.1028,0.0532,0.0532,0.1594,0.0277,0.0277,0.0277,0.0277,0.0277,0.0277,0.0463,0.0132,0.0132,0.0132,0.0225,0.0225];A=[75707480658780808475937075638296.7447.4482.0282.0296.7487.1488927893696860848575777979758461.538596.7496.74858579707977766469828373728977658496.7482.0282.0247.4487.1496.7473728476636562697364788684606096.7461.5385.5487.1496.7485.54969010073746671676873676679729168.5768.5768.5761.5347.4496.7498737182667485738089838380626696.7473.2761.5373.2761.5373.27100917774886060737475728671689547.4496.7477.9287.1461.5396.7477878888838496707762786076636396.7461.5379.1496.7479.1461.53697361781006266857765848284977296.7496.7496.7496.7496.7496.7485788586807286807574728674706277.9261.5347.4487.1496.7496.7484797686917069788170947181707096.7487.9487.9461.5396.7496.7460628779747381807165728473666880.3147.4480.3196.7480.3196.7477758078836585816961766880997747.4480.3196.7480.3180.3196.7473707478846590797873697984796481.881.881.887.1461.5396.7462878887906385738875917783877496.7496.7496.7496.7496.7496.7460796777878580778682978477807596.7461.5380.3187.1480.3196.7473798388917661846267866079798247.4480.396.7480.396.7480.361857573976495757565797486898596.7461.5396.7496.7489.796.7460699078716471838678738676766896.7496.7496.7496.7496.7496.7460728284877490776371817382887796.7485.5496.7487.1485.5461.5381827275936182827466738876767696.7496.7496.7496.7496.7496.7470867683886261887576666590768296.7496.7461.5387.1461.5380.7476857880637082798288726880697696.7461.5396.7487.9496.7487.9481688873868569797771677495717693.5496.7487.1496.7493.5493.5460758381746781838272737875867496.7461.5376.7487.1476.7461.5394748682837899757576757877838096.7496.7496.7496.7496.7496.7477818481838587816776887465696293.5496.7493.5487.1493.5496.7468798883756672867269817683696996.7496.7487.1494.3496.7494.3479888184736677798670727176807681.887.1481.861.5381.896.7462849287736078798771818267809887.1496.7491.9496.7487.1491.9468609190728969736863737981869196.7496.7496.7496.7496.7496.7484757977849286728061698374797764.4164.4161.5347.4487.1461.5386848481818077787280688077818861.5361.5396.7480.7496.7487.1477748686757992858174817369759096.7496.7496.7496.7496.7496.7460766581746978827380698265836896.7487.1496.7496.7494.3494.3471666685706089827981738773737496.7496.7494.3496.7494.3487.1477797481868677827365747970787096.7461.5387.9487.9496.7496.7472688786897277777573827674766296.7481.861.5381.887.1481.866839383857364867972857762928296.7477.1177.1187.1477.1147.4471749280907692787773696764617447.4447.4447.4447.4447.4447.44];C=A*w'附錄4(一致判斷矩陣R的權(quán)重向量的求解程序)R=[0.5,0.6,0.7,0.8,0.9;0.4,0.5,0.6,0.7,0.8;0.3,0.4,0.5,0.6,0.7;0.2,0.3,0.4,0.5,0.6;0.1,0.2,0.3,0.4,0.5];b=ones(5,1);w=1/5*(R*b+b-2*b)附錄5(權(quán)重向量W的求解程序)A=[0.50.50.50.50.50.60.40.40.40.30.30.30.30.30.30.20.20.20.20.10.1];B=[4/593/593/593/593/592/592/592/593/593/593/593/593/593/593/593/593/593/593/592/592/59];C=[3.5/613/613/613/613/612/612/612/613/613/613/613/613/613/613/613.5/613/613/613/613/613/61];D=A.*B.*C附錄6(綜合成績的求解程序)W1=[0.0019,0.0013,0.0013,0.0013,0.0013,0.0007,0.0004,0.0004,0.0010,0.0008,0.0008,0.0008,0.0008,0.0008,0.0008,0.0006,0.0005,0.0005,0.0005,0.0002,0.0002];A=[75707480658780808475937075638296.7447.4482.0282.0296.7487.1488927893696860848575777979758461.538596.7496.74858579707977766469828373728977658496.7482.0282.0247.4487.1496.7473728476636562697364788684606096.7461.5385.5487.1496.7485.54969010073746671676873676679729168.5768.5768.5761.5347.4496.7498737182667485738089838380626696.7473.2761.5373.2761.5373.27100917774886060737475728671689547.4496.7477.9287.1461.5396.7477878888838496707762786076636396.7461.5379.1496.7479.1461.53697361781006266857765848284977296.7496.7496.7496.7496.7496.7485788586807286807574728674706277.9261.5347.4487.1496.7496.7484797686917069788170947181707096.7487.9487.9461.5396.7496.7460628779747381807165728473666880.3147.4480.3196.7480.3196.7477758078836585816961766880997747.4480.3196.7480.3180.3196.7473707478846590797873697984796481.881.881.887.1461.5396.7462878887906385738875917783877496.7496.7496.7496.7496.7496.7460796777878580778682978477807596.7461.5380.3187.1480.3196.7473798388917661846267866079798247.4480.396.7480.396.7480.361857573976495757565797486898596.7461.5396.7496.7489.796.7460699078716471838678738676766896.7496.7496.7496.7496.7496.7460728284877490776371817382887796.7485.5496.7487.1485.5461.5381827275936182827466738876767696.7496.7496.7496.7496.7496.7470867683886261887576666590768296.7496.7461.5387.1461.5380.7476857880637082798288726880697696.7461.5396.7487.9496.7487.948168887386