巧用構造函數(shù)法證明不等式

PAGEPAGE1巧用構造函數(shù)法證明不等式鶴峰縣第一高級中學陳荷香鄭光耀445800不等式的證明，除了教材上的比較法、分析法、綜合法、反證法外，還可以用其他方法，例如構造函數(shù)法。函數(shù)、方程、不等式作為一條主線貫穿于高中數(shù)學的始終，因此，讓學生用構造函數(shù)法證明不等式作一些嘗試，既培養(yǎng)了學生的創(chuàng)新能力又解決了不等式的證明。構造分式函數(shù)，利用分式函數(shù)的單調性證明不等式【例1】證明不等式：≥(人教版教材P23T4)證明：構造函數(shù)f(x)=(x≥0)則f(x)==1-在上單調遞增∵f(|a|+|b|)=f(|a+b|)=且|a|+|b|≥|a+b|∴f(|a|+|b|)≥f(|a+b|)即所證不等式正確。點評：本題還可以繼續(xù)推廣。如：求證：≥。利用分式函數(shù)的單調性可以證明的教材中的習題還有很多，如：P14第14題：已知c＞a＞b＞0,求證:P19第9題:已知三角形三邊的長是a，b，c，且m是正數(shù)，求證：P12例題2:已知a，b，m，都是正數(shù)，且a＜b，求證：二、利用分式函數(shù)的奇偶性證明不等式【例2】證明不等式：（x≠0）證明：構造函數(shù)f(x)=∵f(-x)==f(x)∴f(x)是偶函數(shù)，其圖像關于y軸對稱。當x＞0時，＜0，f(x)＜0；當x＜0時，-x＞0,故f(x)=f(-x)＜0∴＜0，即三、構造一次函數(shù)，利用一次函數(shù)的單調性證明不等式【例3】已知|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，求證：a+b+c＜abc+2。證明：構造函數(shù)f(c)=(1-ab)c+a+b-2∵|a|＜1，|b|＜1∴-1＜ab＜1，1-ab＞0∴f(c)的（-1，1）上是增函數(shù)∵f(1)=1-ab+a+b-2=a+b–ab-1=a(1-b)-(1-b)=(1-b)(a-1)＜0∴f(1)＜0，即(1-ab)c+a+b-2＜0∴a+b+c＜abc+2四、構造二次函數(shù)⒈利用判別式法證明不等式【例4】已知a，b，c∈R，(a+c)(a+b+c)＜0，求證：(b-c)2＞4a(a+b+c)。證明：構造函數(shù)f(x)=ax2+(-b+c)x+(a+b+c)(a≠0)則f(0)=a+b+c，f(1)=2(a+c)由(a+c)(a+b+c)＜0知：f(0)?f(1)＜0∴f(x)=0有兩個不等的實數(shù)根。∴△＞0，即(b-c)2＞4a(a+b+c)當a=0時，顯然成立?！?b-c)2＞4a(a+b+c)【例5】已知實數(shù)a，b，c滿足a+b+c=5，a2+b2+c2=9，求證a，b，c的值都不小于1，又都不大于。證明：構造函數(shù)f(x)=2x2+2(a+b)x+a2+b2=(x+a)2+(x+b)2≥0∵2＞0∴△=[2(a+b)]2-4×2×(a2+b2)≤0∴△=4(5-c)2-8(9-c2)≤0∴(c-1)(3c-7)≤0∴1≤c≤同理可證：1≤a≤，1≤b≤?！纠?】已知a，b，c∈R，證明：a2+ac+c2+3b(a+b+c)≥0，并指出等號何時成立？證明：令f(a)=a2+(c+3b)a+c2+3b2+3bc則f(a)=0時有△=(c+3b)2-4(c2+3b2+3bc)=-3(b+c)2≤0恒成立∵二次項系數(shù)1＞0∴f(a)≥0，即a2+ac+c2+3b(a+b+c)≥0又當△=0，即b+c=0時f(a)=(a+b)2=0∴當且僅當a=-b=c時才能取等號。⒉利用一元二次方程根的分布證明不等式【例7】設a+b+c=1，a2+b2+c2=1，且a＞b＞c，求證：-＜c＜0證明：∵a+b+c=1∴a+b=1-c有a2+b2+2ab=1-2c+c2∵a2+b2+c2=1∴ab=c2-c∴a，b是方程x2-(1-c)x+c2-c=0的兩個實數(shù)根∵a＞b＞c，故方程有大于c的兩個不等的實數(shù)根構造函數(shù)f(x)=x2-(1-c)x+c2-c，則有：∴-＜c＜0⒊綜合運用判別式法、一元二次方程根的分布證明不等式【例8】設a，b是兩個不等于0的實數(shù)，求證：下列不等式中至少有一個成立。，證明：設f(x)=(b≠0)∵△=(-a)2-2b(-b)=a2+2b2＞0∴拋物線與x軸必有兩個交點，其橫坐標為x=∴f(-1)=f(0)=f(1)=⑴當b＞0時，f(0)＜0若a＞0,則f(-1)＞0∴點A（-1，f(-1)）在x軸上方，點B（0，f(0)）在x軸下方∴拋物線與x軸在（-1，0）內必有一個交點，此時有若a＜0，則f(1)＞0∴點C(1，f(1))在x軸上方∴拋物線與x軸在（0，1）內必有一個交點，此時有⑵當