全等三角、等邊三角形難題集錦

1.如圖，已知等邊△ABC，P在AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，以PA為邊作等邊△APE,EC延長(zhǎng)線交BP于M，連接AM,求證：（1）BP=CE；（2）試證明：EM-PM=AM.2.已知，如圖①所示，在和中，，，，且點(diǎn)在一條直線上，連接分別為的中點(diǎn)．（1）求證：①；②；CENDABM圖①CAEMCENDABM圖①CAEMBDN圖② 3.已知：如圖，是等邊三角形，過(guò)邊上的點(diǎn)作，交于點(diǎn)，在的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)，使，連接．（1）求證：；（2）過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，請(qǐng)你連接，并判斷是怎樣的三角形，試證明你的結(jié)論．4、在中，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角得交于點(diǎn)，分別交于兩點(diǎn)．如圖1，觀察并猜想，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；AADBECFADBECFABCABCDEF6已知中，為邊的中點(diǎn)，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交、（或它們的延長(zhǎng)線）于、當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到于時(shí)（如圖1），易證AECFBD圖1圖3ADFECBAECFBD圖1圖3ADFECBADBCE圖2F7、已知AC//BD,∠CAB和∠DBA的平分線EA、EB與CD相交于點(diǎn)E.求證:AB=AC+BD.8.等邊△ABC，D為△ABC外一點(diǎn)，∠BDC=120°，BD=DC．∠MDN=60°射線DM與直線AB相交于點(diǎn)M，射線DN與直線AC相交于點(diǎn)N，①當(dāng)點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且DM=DN時(shí)，直接寫(xiě)出BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系．②當(dāng)點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且DM≠DN時(shí)，猜想①中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明．③當(dāng)點(diǎn)M、N在邊AB、CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)畫(huà)出圖形，并寫(xiě)出BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系．9.如圖1，BD是等腰的角平分線，.ABCDFE圖2（1）求證ABCDFE圖2（2）如圖2，于F，交延長(zhǎng)線于E，求證：BD=2CE；10、如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB=2AE，則∠B與∠ADC互補(bǔ).為什么？DDBEAC11如圖，在△ABC中∠ABC,∠ACB的外角平分線交P.求證:AP是∠BAC的角平分線EBEBAC圖2D13如圖，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分線AD,CE相交于點(diǎn)O，求證：OE=OD14如圖所示，已知在△AEC中，∠E=90°，AD平分∠EAC，DF⊥AC，垂足為F，DB=DC，求證：BE=CF15如圖①，OP是∠MON的平分線，請(qǐng)你利用該圖形畫(huà)一對(duì)以O(shè)P所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形。請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問(wèn)題：（1）如圖②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F。請(qǐng)你判斷并寫(xiě)出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；OPAMNEOPAMNEBCDFACEFBD圖①圖②圖③16、已知：如圖，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，與CD相交于點(diǎn)F，H是BC邊的中點(diǎn)，連結(jié)DH與BE相交于點(diǎn)G。(!)求證：BF=AC；(2)求證：CE=BF；(3)CE與BC的大小關(guān)系如何？試證明你的結(jié)論。17、如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC，BF是∠ABC的平分線，AF∥DC，連接AC、CF，求證：CA是∠DCF的平分線。18如圖，在△ABC中，∠A=90°，D是AC上的一點(diǎn)，BD=DC，P是BC上的任一點(diǎn)，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F為垂足．求證：PE+PF=AB．19.如圖，已知△ABC中，AB=AC=6cm，∠B=∠C，BC=4cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．（1）如果點(diǎn)P在線段BC上以1cm/s的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由點(diǎn)C向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．①若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過(guò)1秒后，△BPD與△CQP是否全等，請(qǐng)說(shuō)明理由；②若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使△BPD與△CQP全等？（2）若點(diǎn)Q以②中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來(lái)的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿△ABC三邊運(yùn)動(dòng)，則經(jīng)過(guò)后，點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在△ABC的邊上相遇？（在橫線上直接寫(xiě)出答案，不必書(shū)寫(xiě)解題過(guò)程）20已知：在△ABC中，∠ACB為銳角，點(diǎn)D為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，以AD為一邊且在AD的左側(cè)作等腰直角△ADE，解答下列各題：如果AB=AC，∠BAC=90°．（i）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)（與點(diǎn)B不重合），如圖甲，線段BD，CE之間的位置關(guān)系為（ii）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖乙，i）中的結(jié)論是否還成立？為什么？21.如圖14-1，在△ABC中，BC邊在直線l上，AC⊥BC，且AC=BC．△EFP的邊FP也在直線l上，邊EF與邊AC重合，且EF=FP．（1）在圖14-1中，請(qǐng)你通過(guò)觀察、測(cè)量，P所；（2）將△EFP沿直線l向左平移到圖14-2的位置時(shí)，EP交AC于點(diǎn)Q，連結(jié)AP，BQ．猜想BQ與AP所，請(qǐng)證明你的猜想；（3）將△EFP沿直線l向左平移到圖14-3的位置時(shí)，EP的延長(zhǎng)線交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，連結(jié)AP，BQ．你認(rèn)為（2）中所猜想的BQ與AP請(qǐng)說(shuō)明理由．22.如圖1，A、E、F、C在同一條直線上，AE=CF，過(guò)E、F分別作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD，試說(shuō)明BD平分EF；若將△DEC的邊EC沿AC方向移動(dòng)變?yōu)閳D2時(shí)，其余條件不變，BD是否還平分EF，請(qǐng)說(shuō)明理由。23如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC邊上的中線，過(guò)C作CF⊥AE，垂足為F，過(guò)B作BD⊥BC交CF的延長(zhǎng)線于D．求證：（1）AE＝CD；（2）若AC＝12cm，求BD的長(zhǎng)．24如圖，兩個(gè)全等的含30°、60°角的三角板ADE和三角板ABC放置在一起，∠DEA=∠ACB=90°，∠DAE=∠ABC=30°，E、A、C三點(diǎn)在一條直線上，連接BD，取BD中點(diǎn)M，連接ME、MC，試判斷△EMC的形狀，并說(shuō)明理由．25已知BE，CF是△ABC的高，且BP=AC，CQ=AB，試確定AP與AQ的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系26.如圖：在△ABC中，BE、CF分別是AC、AB兩邊上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延長(zhǎng)線上截取CG=AB，連結(jié)AD、AG。求證：（1）AD=AG，（2）AD與AG的位置關(guān)系如何。27已知：BD，CE是△ABC的高，點(diǎn)F在BD上，BF=AC,點(diǎn)G在CE的延長(zhǎng)線上，CG=AB.求證:AG⊥AFBBCDAGEF28、在等邊的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N，D為外一點(diǎn)，且,,BD=DC.探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動(dòng)時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及的周長(zhǎng)Q與等邊的周長(zhǎng)L的關(guān)系．圖1圖2圖3（=1\*ROMANI）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且DM=DN時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是；此時(shí)；（=2\*ROMANII）如圖2，點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且當(dāng)DMDN時(shí)，猜想（=1\*ROMANI）問(wèn)的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫(xiě)出你的猜想并加以證明；（=3\*ROMANIII）如圖3，當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，若AN=，則Q=（用、L表示）．29、已知四邊形中，，，，，，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交（或它們的延長(zhǎng)線）于．當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)（如圖1），易證．當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段，又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，不需證明．（圖（圖1）（圖2）（圖3）30在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D是AC的中點(diǎn)，DG⊥AC交AB于點(diǎn)G.（1）如圖1，E為線段DC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)F在線段DG上，且DE=DF，連結(jié)EF與CF，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥FC，交直線AB于點(diǎn)H．①求證：DG=DC②判斷FH與FC的數(shù)量關(guān)系并加以證明．（2）若E為線段DC的延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)F在射線DG上，(1)中的其他條件不變，借助圖2畫(huà)出圖形。在你所畫(huà)圖形中找出一對(duì)全等三角形，并判斷你在(1)中得出的結(jié)論是否發(fā)生改變．（本小題直接寫(xiě)出結(jié)論，不必證明）31.直線CD經(jīng)過(guò)的頂點(diǎn)C，CA=CB．E、F分別是直線CD上兩點(diǎn)，且．（1）若直線CD經(jīng)過(guò)的內(nèi)部，且E、F在射線CD上，請(qǐng)解決下面兩個(gè)問(wèn)題：①如圖1，若，則（填“”，“”或“”號(hào)）；②如圖2，若，若使①中的結(jié)論仍然成立，則與應(yīng)滿足的關(guān)系是；（2）如圖3，若直線CD經(jīng)過(guò)的外部，，請(qǐng)?zhí)骄縀F、與BE、AF三條線段的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．AABCEFDDABCEFADFCEB圖1圖2圖332.已知：如圖，四邊形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于E，且B+D=180，求證：AE=AD+BE33.操作：如圖①，△ABC是正三角形，△BDC是頂角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，角的兩邊分別交AB、AC邊于M、N兩點(diǎn)，連接MN．探究：線段BM、MN、NC之間的關(guān)系，并加以證明．34．如圖所示，已知△ABC中，AB=AC，D是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠ADB=60°，E是AD上一點(diǎn)，且DE=DB，求證：AC=BE+BC35已知，如圖，三角形ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，分別過(guò)點(diǎn)A、B作l的垂線，即AD⊥CE，BE⊥CE，（1）如圖1，當(dāng)CE位于點(diǎn)F的右側(cè)時(shí)，求證：△ADC≌△CEB；（2）如圖2，當(dāng)CE位于點(diǎn)F的左側(cè)時(shí)，求證：ED=BE-AD；（3）如圖3，當(dāng)CE在△ABC的外部時(shí)，試猜想ED、AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．36.如圖1、圖2、圖3，△AOB，△COD均是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90o，（1）在圖1中，AC與BD相等嗎，有怎樣的位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由。（2）若△COD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后，到達(dá)圖2的位置，請(qǐng)問(wèn)AC與BD還相等嗎，還具有那種位置關(guān)系嗎？為什么？（3）若△COD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后，到達(dá)圖3的位置，請(qǐng)問(wèn)AC與BD還相等嗎？還具有上問(wèn)中的位置關(guān)系嗎？為什么？37復(fù)習(xí)“全等三角形”的知識(shí)時(shí)，老師布置了一道作業(yè)題：“如圖①，已知在△ABC中，AB=AC，P是△ABC內(nèi)部任意一點(diǎn)，將AP繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AQ，使∠QAP=∠BAC，連接BQ、CP，則BQ=CP．”小亮是個(gè)愛(ài)動(dòng)腦筋的同學(xué)，他通過(guò)對(duì)圖①的分析，證明了△ABQ≌△ACP，從而證得BQ=CP之后，將點(diǎn)P移到等腰三角形ABC之外，原題中的條件不變，發(fā)現(xiàn)“BQ=CP”仍然成立，請(qǐng)你就圖②給出證明．38D為等腰斜邊AB的中點(diǎn)，DM⊥DN,DM,DN分別交BC,CA于點(diǎn)E,F。當(dāng)繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求證DE=DF。若AB=2，求四邊形DECF的面積。