2024屆河北省宣化市第一中學(xué)數(shù)學(xué)高三上期末經(jīng)典試題含解析_第1頁
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文檔簡介

2024屆河北省宣化市第一中學(xué)數(shù)學(xué)高三上期末經(jīng)典試題注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.關(guān)于圓周率,數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法,如著名的蒲豐實(shí)驗(yàn)和查理斯實(shí)驗(yàn).受其啟發(fā),某同學(xué)通過下面的隨機(jī)模擬方法來估計的值:先用計算機(jī)產(chǎn)生個數(shù)對,其中,都是區(qū)間上的均勻隨機(jī)數(shù),再統(tǒng)計,能與構(gòu)成銳角三角形三邊長的數(shù)對的個數(shù)﹔最后根據(jù)統(tǒng)計數(shù)來估計的值.若,則的估計值為()A. B. C. D.2.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為,,點(diǎn)P是C的右支上一點(diǎn),連接與y軸交于點(diǎn)M,若(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),,則雙曲線C的漸近線方程為()A. B. C. D.3.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,記,,…,N.若,則()A. B. C. D.4.若的展開式中的系數(shù)為150,則()A.20 B.15 C.10 D.255.關(guān)于圓周率π,數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法,如著名的浦豐實(shí)驗(yàn)和查理斯實(shí)驗(yàn).受其啟發(fā),我們也可以通過設(shè)計下面的實(shí)驗(yàn)來估計的值:先請全校名同學(xué)每人隨機(jī)寫下一個都小于的正實(shí)數(shù)對;再統(tǒng)計兩數(shù)能與構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對的個數(shù);最后再根據(jù)統(tǒng)計數(shù)估計的值,那么可以估計的值約為()A. B. C. D.6.若某幾何體的三視圖(單位:cm)如圖所示,則此幾何體的體積是()A.36cm3 B.48cm3 C.60cm3 D.72cm37.波羅尼斯(古希臘數(shù)學(xué)家,的公元前262-190年)的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果,它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡,幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個命題:平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)k(k>0,且k≠1)的點(diǎn)的軌跡是圓,后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有橢圓=1(a>b>0),A,B為橢圓的長軸端點(diǎn),C,D為橢圓的短軸端點(diǎn),動點(diǎn)M滿足=2,△MAB面積的最大值為8,△MCD面積的最小值為1,則橢圓的離心率為()A. B. C. D.8.某圓柱的高為2,底面周長為16,其三視圖如圖所示,圓柱表面上的點(diǎn)在正視圖上的對應(yīng)點(diǎn)為,圓柱表面上的點(diǎn)在左視圖上的對應(yīng)點(diǎn)為,則在此圓柱側(cè)面上,從到的路徑中,最短路徑的長度為()A. B. C. D.29.函數(shù)的圖象大致為A. B. C. D.10.定義在R上的偶函數(shù)滿足,且在區(qū)間上單調(diào)遞減,已知是銳角三角形的兩個內(nèi)角,則的大小關(guān)系是()A. B.C. D.以上情況均有可能11.已知雙曲線的一條漸近線方程是,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.12.已知復(fù)數(shù),其中,,是虛數(shù)單位,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù),若恒成立,則的取值范圍是___________.14.在中,角,,的對邊分別是,,,若,,則的面積的最大值為______.15.在中,角,,的對邊分別為,,,若,且,則面積的最大值為________.16.已知點(diǎn)M是曲線y=2lnx+x2﹣3x上一動點(diǎn),當(dāng)曲線在M處的切線斜率取得最小值時,該切線的方程為_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)若函數(shù)的定義域?yàn)?求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.(12分)已知,,分別為內(nèi)角,,的對邊,且.(1)證明:;(2)若的面積,,求角.19.(12分)如圖,兩座建筑物AB,CD的底部都在同一個水平面上,且均與水平面垂直,它們的高度分別是10m和20m,從建筑物AB的頂部A看建筑物CD的視角∠CAD=60°.(1)求BC的長度;(2)在線段BC上取一點(diǎn)P(點(diǎn)P與點(diǎn)B,C不重合),從點(diǎn)P看這兩座建筑物的視角分別為∠APB=α,∠DPC=β,問點(diǎn)P在何處時,α+β最???20.(12分)在多面體中,四邊形是正方形,平面,,,為的中點(diǎn).(1)求證:;(2)求平面與平面所成角的正弦值.21.(12分)如圖,四棱錐中,底面ABCD為菱形,平面ABCD,BD交AC于點(diǎn)E,F(xiàn)是線段PC中點(diǎn),G為線段EC中點(diǎn).Ⅰ求證:平面PBD;Ⅱ求證:.22.(10分)已知數(shù)列滿足:對一切成立.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)求數(shù)列的前項和.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

先利用幾何概型的概率計算公式算出,能與構(gòu)成銳角三角形三邊長的概率,然后再利用隨機(jī)模擬方法得到,能與構(gòu)成銳角三角形三邊長的概率,二者概率相等即可估計出.【詳解】因?yàn)?,都是區(qū)間上的均勻隨機(jī)數(shù),所以有,,若,能與構(gòu)成銳角三角形三邊長,則,由幾何概型的概率計算公式知,所以.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型的概率計算公式及運(yùn)用隨機(jī)數(shù)模擬法估計概率,考查學(xué)生的基本計算能力,是一個中檔題.2、C【解析】

利用三角形與相似得,結(jié)合雙曲線的定義求得的關(guān)系,從而求得雙曲線的漸近線方程?!驹斀狻吭O(shè),,由,與相似,所以,即,又因?yàn)?,所以,,所以,即,,所以雙曲線C的漸近線方程為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線幾何性質(zhì)、漸近線方程求解,考查數(shù)形結(jié)合思想,考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力。3、D【解析】

通過計算,可得,最后計算可得結(jié)果.【詳解】由題可知:所以所以猜想可知:由所以所以故選:D【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的計算以及不完全歸納法的應(yīng)用,選擇題、填空題可以使用取特殊值,歸納猜想等方法的使用,屬中檔題.4、C【解析】

通過二項式展開式的通項分析得到,即得解.【詳解】由已知得,故當(dāng)時,,于是有,則.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查二項式展開式的通項和系數(shù)問題,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.5、D【解析】

由試驗(yàn)結(jié)果知對0~1之間的均勻隨機(jī)數(shù),滿足,面積為1,再計算構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對,滿足條件的面積,由幾何概型概率計算公式,得出所取的點(diǎn)在圓內(nèi)的概率是圓的面積比正方形的面積,即可估計的值.【詳解】解:根據(jù)題意知,名同學(xué)取對都小于的正實(shí)數(shù)對,即,對應(yīng)區(qū)域?yàn)檫呴L為的正方形,其面積為,若兩個正實(shí)數(shù)能與構(gòu)成鈍角三角形三邊,則有,其面積;則有,解得故選:.【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃可行域問題及隨機(jī)模擬法求圓周率的幾何概型應(yīng)用問題.線性規(guī)劃可行域是一個封閉的圖形,可以直接解出可行域的面積;求解與面積有關(guān)的幾何概型時,關(guān)鍵是弄清某事件對應(yīng)的面積,必要時可根據(jù)題意構(gòu)造兩個變量,把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo),找到試驗(yàn)全部結(jié)果構(gòu)成的平面圖形,以便求解.6、B【解析】試題分析:該幾何體上面是長方體,下面是四棱柱;長方體的體積,四棱柱的底面是梯形,體積為,因此總的體積.考點(diǎn):三視圖和幾何體的體積.7、D【解析】

求得定點(diǎn)M的軌跡方程可得,解得a,b即可.【詳解】設(shè)A(-a,0),B(a,0),M(x,y).∵動點(diǎn)M滿足=2,則=2,化簡得.∵△MAB面積的最大值為8,△MCD面積的最小值為1,∴,解得,∴橢圓的離心率為.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓離心率,動點(diǎn)軌跡,屬于中檔題.8、B【解析】

首先根據(jù)題中所給的三視圖,得到點(diǎn)M和點(diǎn)N在圓柱上所處的位置,將圓柱的側(cè)面展開圖平鋪,點(diǎn)M、N在其四分之一的矩形的對角線的端點(diǎn)處,根據(jù)平面上兩點(diǎn)間直線段最短,利用勾股定理,求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)圓柱的三視圖以及其本身的特征,將圓柱的側(cè)面展開圖平鋪,可以確定點(diǎn)M和點(diǎn)N分別在以圓柱的高為長方形的寬,圓柱底面圓周長的四分之一為長的長方形的對角線的端點(diǎn)處,所以所求的最短路徑的長度為,故選B.點(diǎn)睛:該題考查的是有關(guān)幾何體的表面上兩點(diǎn)之間的最短距離的求解問題,在解題的過程中,需要明確兩個點(diǎn)在幾何體上所處的位置,再利用平面上兩點(diǎn)間直線段最短,所以處理方法就是將面切開平鋪,利用平面圖形的相關(guān)特征求得結(jié)果.9、D【解析】

由題可得函數(shù)的定義域?yàn)?,因?yàn)?,所以函?shù)為奇函數(shù),排除選項B;又,,所以排除選項A、C,故選D.10、B【解析】

由已知可求得函數(shù)的周期,根據(jù)周期及偶函數(shù)的對稱性可求在上的單調(diào)性,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可比較.【詳解】由可得,即函數(shù)的周期,因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減,故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知,在上單調(diào)遞增,因?yàn)椋卿J角三角形的兩個內(nèi)角,所以且即,所以即,.故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)值的大小比較,根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.11、D【解析】雙曲線的漸近線方程是,所以,即,,即,,故選D.12、D【解析】試題分析:由,得,則,故選D.考點(diǎn):1、復(fù)數(shù)的運(yùn)算;2、復(fù)數(shù)的模.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

求導(dǎo)得到,討論和兩種情況,計算時,函數(shù)在上單調(diào)遞減,故,不符合,排除,得到答案?!驹斀狻恳?yàn)?,所以,因?yàn)?,所?當(dāng),即時,,則在上單調(diào)遞增,從而,故符合題意;當(dāng),即時,因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,且,所以存在唯一的,使得.令,得,則在上單調(diào)遞減,從而,故不符合題意.綜上,的取值范圍是.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式恒成立問題,轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題是解題的關(guān)鍵.14、【解析】

化簡得到,,根據(jù)余弦定理和均值不等式得到,根據(jù)面積公式計算得到答案.【詳解】,即,,故.根據(jù)余弦定理:,即.當(dāng)時等號成立,故.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換,余弦定理,均值不等式,面積公式,意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力和計算能力.15、【解析】

利用正弦定理將角化邊得到,再由余弦定理得到,根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系表示出,最后利用面積公式得到,由基本不等式求出的取值范圍,即可得到面積的最值;【詳解】解:∵在中,,∴,∴,∴,∴.∵,即,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,∴,∴面積的最大值為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理解三角形,三角形面積公式的應(yīng)用,以及基本不等式的應(yīng)用,屬于中檔題.16、【解析】

先求導(dǎo)數(shù)可得切線斜率,利用基本不等式可得切點(diǎn)橫坐標(biāo),從而可得切線方程.【詳解】,,=1時有最小值1,此時M(1,﹣2),故切線方程為:,即.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于切線的斜率是求解的關(guān)鍵,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】

(1)分類討論,去掉絕對值,化為與之等價的三個不等式組,求得每個不等式組的解集,再取并集即可.(2)要使函數(shù)的定義域?yàn)镽,只要的最小值大于0即可,根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)求得最小值即可得到答案.【詳解】(1)不等式或或,解得或,即x>0,所以原不等式的解集為.(2)要使函數(shù)的定義域?yàn)镽,只要的最小值大于0即可,又,當(dāng)且僅當(dāng)時取等,只需最小值,即.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查絕對值不等式的解法,考查利用絕對值三角不等式求最值,屬基礎(chǔ)題.18、(1)見解析;(2)【解析】

(1)利用余弦定理化簡已知條件,由此證得(2)利用正弦定理化簡(1)的結(jié)論,得到,利用三角形的面積公式列方程,由此求得,進(jìn)而求得的值,從而求得角.【詳解】(1)由已知得,由余弦定理得,∴.(2)由(1)及正弦定理得,即,∴,∴,∴.,∴,,.【點(diǎn)睛】本小題主要考查余弦定理、正弦定理解三角形,考查三角形的面積公式,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.19、(1);(2)當(dāng)BP為cm時,α+β取得最小值.【解析】

(1)作AE⊥CD,垂足為E,則CE=10,DE=10,設(shè)BC=x,根據(jù)得到,解得答案.(2)設(shè)BP=t,則,故,設(shè),求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性,得到最值.【詳解】(1)作AE⊥CD,垂足為E,則CE=10,DE=10,設(shè)BC=x,則,化簡得,解之得,或(舍),(2)設(shè)BP=t,則,,設(shè),,令f'(t)=0,因?yàn)椋?,?dāng)時,f'(t)<0,f(t)是減函數(shù);當(dāng)時,f'(t)>0,f(t)是增函數(shù),所以,當(dāng)時,f(t)取得最小值,即tan(α+β)取得最小值,因?yàn)楹愠闪ⅲ詅(t)<0,所以tan(α+β)<0,,因?yàn)閥=tanx在上是增函數(shù),所以當(dāng)時,α+β取得最小值.【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換,利用導(dǎo)數(shù)求最值,意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.20、(1)證明見解析(2)【解析】

(1)首先證明,,,∴平面.即可得到平面,.(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn),,,所在的直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面和平面的法向量,帶入公式求解即可.【詳解】(1)∵平面,平面,∴.又∵四邊形是正方形,∴.∵,∴平面.∵平面,∴.又∵,為的中點(diǎn),∴.∵,∴平面.∵平面,∴.(2)∵平面,,∴平面.以為坐標(biāo)原點(diǎn),,,所在的直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系.如圖所示:則,,,.∴,,.設(shè)為平面的法向量,則,得,令,則.由題意知為平面的一個法向量,∴,∴平面與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題第一問考查線線垂直,先證線面垂直時解題關(guān)鍵,第二問考查二面角,建立空間直角坐標(biāo)系是解題關(guān)鍵,屬于中檔題.21、(1)見解析;(2)見解析.【解析】分析:(1)先證明,再證明FG//平面PBD.(2)先證明平面,再證明BD⊥FG.詳解:證明:(1)連結(jié)PE,因?yàn)镚.、F為

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