陜西省漢中市2024屆高三上學(xué)期第三次校際聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（文）（解析版）

PAGEPAGE1陜西省漢中市2024屆高三上學(xué)期第三次校際聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（文）第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題1.已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則z的虛部為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)椋?，故z的虛部為故選：2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】命題“，”的否定是：.故選：.3.已知全集，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，，所以，故錯(cuò)誤；，故錯(cuò)誤；或，故錯(cuò)誤；，故正確，故選：.4.雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意可知雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在軸上，，故焦點(diǎn)為，故選：D.5.若，則函數(shù)的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)椋瘮?shù)滿(mǎn)足，解答或，即函數(shù)的定義域?yàn)?，排除A、B，又由，所以函數(shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)是函數(shù)的圖像向右平移一個(gè)單位得到的，可排除C.故選：D.6.已知等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和滿(mǎn)足，則（）A.4 B. C. D.3【答案】A【解析】是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)為，，，.故選：A.7.等比數(shù)列為遞減數(shù)列，若，，則（）A. B. C. D.6【答案】A【解析】由為等比數(shù)列，得，又，∴為方程的兩個(gè)根，解得，或，，由為遞減數(shù)列得，∴，，∴，則，故選：A.8.設(shè)m，n是不同的直線(xiàn)，是不同的平面，則下列命題正確的是（）A.，則 B.，則C.，則 D.，則【答案】D【解析】對(duì)于A，在長(zhǎng)方體中，平面平面，分別為直線(xiàn)，顯然滿(mǎn)足，而，此時(shí)不成立，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，在長(zhǎng)方體中，平面，平面分別為平面，為直線(xiàn)，顯然滿(mǎn)足，而，此時(shí)不成立，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，在長(zhǎng)方體中，平面，平面分別為平面，為直線(xiàn)，顯然滿(mǎn)足，而，此時(shí)不成立，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)椋删€(xiàn)面垂直的性質(zhì)知，，D正確.故選：D.9.在某校高中籃球聯(lián)賽中，某班甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員在8場(chǎng)比賽中的單場(chǎng)得分用莖葉圖表示（如圖一），莖葉圖中甲的得分有部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，但甲得分的折線(xiàn)圖（如圖二）完好，則下列結(jié)論正確的是（）A.甲得分的極差是18 B.乙得分的中位數(shù)是16.5C.甲得分更穩(wěn)定 D.甲的單場(chǎng)平均得分比乙低【答案】B【解析】對(duì)于甲，其得分的極差大于或等于，故A錯(cuò)誤；從折線(xiàn)圖看，甲的得分中最低分小于10，最高分大于或等于28，且大于或等于20的分?jǐn)?shù)有3個(gè)，故其得分不穩(wěn)定，故C錯(cuò)誤；乙的數(shù)據(jù)由小到大依次為：乙得分的中位數(shù)為，故B正確.乙得分的平均數(shù)為，從折線(xiàn)圖上，莖葉圖中甲的得分中丟失的數(shù)據(jù)為一個(gè)為，另一個(gè)可設(shè)為，其中，故其平均數(shù)為，故D錯(cuò)誤.故選：B.10.如圖所示程序框圖的算法思路源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”.執(zhí)行該程序框圖，若輸入的a，b分別為63，49，則輸出的（）A.9 B.7 C.5 D.3【答案】B【解析】按照程序框圖運(yùn)行程序，輸入滿(mǎn)足，且，所以，繼續(xù)運(yùn)行；滿(mǎn)足，不滿(mǎn)足，所以，繼續(xù)運(yùn)行；滿(mǎn)足，不滿(mǎn)足，所以，繼續(xù)運(yùn)行；滿(mǎn)足，不滿(mǎn)足，，繼續(xù)運(yùn)行；滿(mǎn)足，且，所以，繼續(xù)運(yùn)行；不滿(mǎn)足，輸出故選：11.在正三棱柱中，，為棱中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】記的中點(diǎn)為，連接，如圖，因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，所以為異面直線(xiàn)與的所成角（或補(bǔ)角），因?yàn)樵谡庵?，，所以，，，所以在中，，所以異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為.故選：A.12.已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】方程化為：，表示以為圓心，1為半徑的圓，設(shè)，，即，因此，其中銳角由確定，顯然，于是當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，所以的最小值是.故選：C第Ⅱ卷（非選擇題）二、填空題13.已知函數(shù)，則____________.【答案】【解析】因?yàn)?，所以故解得，故答案為?4.在中，，，則____________.【答案】【解析】根據(jù)題意易得為等腰直角三角形，,則，故答案為：15.已知是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若為等邊三角形，則橢圓的離心率為_(kāi)_________．【答案】【解析】根據(jù)題意，取點(diǎn)為第一象限的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)，垂足為，如下所示：因?yàn)椤鳛榈冗吶切危?，故可得則點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入橢圓方程可得：，又，整理得：，即，解得（舍）或.故答案為：.16.拉格朗日中值定理是微分學(xué)中的基本定理之一，定理內(nèi)容是：如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，那么在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)c，使得成立，其中c叫做在上“拉格朗日中值點(diǎn)”，根據(jù)這個(gè)定理，判斷函數(shù)在區(qū)間上的“拉格朗日中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為_(kāi)___________.【答案】2【解析】，，令，解得：或，在上的“拉格朗日中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為.故答案為：.三、解答題（一）必考題：17.已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.（1）求角B；（2）若，，求的面積.解：（1）在中，由正弦定理及，得，而，則，即，又，所以.（2）由（1）知，，，由余弦定理得，即，解得，，所以的面積.18.某企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品按質(zhì)量分為一等品和二等品，該企業(yè)計(jì)劃對(duì)現(xiàn)有生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行改造，為了分析設(shè)備改造前后的效果，現(xiàn)從設(shè)備改造前后生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取200件產(chǎn)品作為樣本，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如表：一等品二等品合計(jì)設(shè)備改造前12080200設(shè)備改造后15050200合計(jì)270130400（1）判斷是否有99%的把握，認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量與設(shè)備改造有關(guān)；（2）按照分層抽樣的方法，從設(shè)備改造前的產(chǎn)品中取得了5件產(chǎn)品，其中有3件一等品和2件二等品.現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任選2件，求選出的這2件全是一等品的概率.附：，其中0.0500.0100.0013.8416.63510.828解：（1）∵，∴有99%的把握認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量與設(shè)備改造有關(guān).（2）在取出的5件產(chǎn)品中，3件一等品記為a，b，c，2件二等品記為D，E，從這5件產(chǎn)品中任選2件的所有情況為ab，ac，aD，aE，bc，bD，bE，cD，cE，DE，共10種，其中2件全是一等品的情況為ab，ac，bc，共3種，∴選出的2件全是一等品的概率為.19.如圖，在三棱錐中，是等邊三角形，是等腰直角三角形，平面平面，，，點(diǎn)O，E分別為的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求三棱錐的體積.（1）證明：∵是等邊三角形，點(diǎn)O為BD中點(diǎn)，∴.又∵，∴.又∵，平面，平面，∴平面.又∵平面，∴.（2）解：由題意知，，因?yàn)槠矫嫫矫妫制矫嫫矫?，，面，所以平面，又平面，所以，?由（1）知平面，又點(diǎn)E為AD中點(diǎn)，∴點(diǎn)E到平面AOC的距離為.∴.故三棱錐的體積.20.已知函數(shù).（1）若在處的切線(xiàn)與x軸平行，求實(shí)數(shù)a的值；（2）是否存在極值點(diǎn)，若存在，求出極值點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）由，得，∵在處的切線(xiàn)與x軸平行，∴，解得.（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，都，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令，可得，由，可得，由，可得.此時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴函數(shù)在處取得極小值，無(wú)極大值.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極小值點(diǎn)為，無(wú)極大值點(diǎn).21.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)方程為，其頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為.（1）求拋物線(xiàn)的方程；（2）若點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于A、B兩點(diǎn)，且直線(xiàn)、的斜率之和為0，證明：直線(xiàn)必過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)．（1）解：，且拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，則該拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，解得，因此，該拋物線(xiàn)的方程為；（2）證明：設(shè)點(diǎn)、，將直線(xiàn)的方程與拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立，消去并整理得，由韋達(dá)定理得，.直線(xiàn)的斜率為，同理直線(xiàn)的斜率為，由題意得，上式對(duì)任意的非零實(shí)數(shù)都成立，則，解得，所以，直線(xiàn)的方程為，該直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).（二）選考題【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】22.在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.在以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，圓的方程為.（1）寫(xiě)出直線(xiàn)的普通方程和圓的直角坐標(biāo)方程；（2）若點(diǎn)坐標(biāo)為，圓與直線(xiàn)交于、兩點(diǎn)，求的值.解：（1）在直線(xiàn)的參數(shù)方程中消去參數(shù)，可得直線(xiàn)的普通方程為，在圓的極坐標(biāo)方程兩邊同時(shí)乘以，可得，由可得圓的直角坐標(biāo)方程為，即；（2）設(shè)點(diǎn)、對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為、，將直線(xiàn)的參數(shù)方程代入圓的直角坐標(biāo)方