高考數(shù)學(xué)全國(guó)3卷文科試卷及高考數(shù)學(xué)壓軸題小題

第1頁(yè)（共1頁(yè)）普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(全國(guó)3卷)文科數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)，回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答案卡一并交回。一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合）1．已知集合，，則（）A． B． C． D．2．（）A． B． C． D．3．中國(guó)古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來(lái)，構(gòu)件的凸出部分叫棒頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是棒頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是（）4．若，則（）A． B． C． D．5．若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15，則不用現(xiàn)金支付的概率為（）A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.76．函數(shù) 的最小正周期為（）A． B． C． D．7．下列函數(shù)中，其圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱的是（）A． B． C． D．8．直線分別與軸，軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積的取值范圍是（）A． B． C． D．9．函數(shù)的圖像大致為（）10．已知雙曲線（）的離心率為，則點(diǎn)到的漸近線的距離為（）A． B． C． D．11．的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，．若的面積為，則（）A． B． C． D．12．設(shè)，，，是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為（）A． B． C． D．二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．已知向量，，．若，則________．14．某公司有大量客戶，且不同齡段客戶對(duì)其服務(wù)的評(píng)價(jià)有較大差異．為了解客戶的評(píng)價(jià)，該公司準(zhǔn)備進(jìn)行抽樣調(diào)查，可供選擇的抽樣方法有簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣，則最合適的抽樣方法是________．15．若變量滿足約束條件則的最大值是________．16．已知函數(shù)，，則________．三、解答題（共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟，第17~31題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．）（一）必考題：共60分。17．（12分）等比數(shù)列中，．⑴求的通項(xiàng)公式；⑵記為的前項(xiàng)和．若，求．18．（12分）某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式．為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20人，第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式．根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間（單位：min）繪制了如下莖葉圖：⑴根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說(shuō)明理由；⑵求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過(guò)和不超過(guò)的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表：超過(guò)不超過(guò)第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式⑶根據(jù)⑵中的列表，能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？附：，．19．（12分）如圖，矩形所在平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點(diǎn)．⑴證明：平面平面；⑵在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？說(shuō)明理由．20．（12分）已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)．線段的中點(diǎn)為．⑴證明：；⑵設(shè)為的右焦點(diǎn)，為上一點(diǎn),且．證明:．21．（12分）已知函數(shù)．⑴求由線在點(diǎn)處的切線方程；⑵證明：當(dāng)時(shí)，．（二）選考題：共10分，請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．22．[選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，的參數(shù)方程為（為參數(shù)），過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與交于兩點(diǎn)．⑴求的取值范圍；⑵求中點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程．23．[選修4—5：不等式選講]（10分）設(shè)函數(shù)．⑴畫出的圖像；⑵當(dāng)，，求的最小值．高考數(shù)學(xué)壓軸題小題一．選擇題（共6小題）1．（2018?新課標(biāo)Ⅱ）已知f（x）是定義域?yàn)椋ī仭蓿?∞）的奇函數(shù)，滿足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（）A．﹣50 B．0 C．2 D．502．（2018?新課標(biāo)Ⅱ）已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P在過(guò)A且斜率為的直線上，△PF1F2為等腰三角形，∠F1F2P=120°，則C的離心率為（）A． B． C． D．3．（2018?上海）設(shè)D是函數(shù)1的有限實(shí)數(shù)集，f（x）是定義在D上的函數(shù)，若f（x）的圖象繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與原圖象重合，則在以下各項(xiàng)中，f（1）的可能取值只能是（）A． B． C． D．04．（2018?浙江）已知，，是平面向量，是單位向量．若非零向量與的夾角為，向量滿足﹣4?+3=0，則|﹣|的最小值是（）A．﹣1 B．+1 C．2 D．2﹣5．（2018?浙江）已知四棱錐S﹣ABCD的底面是正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均相等，E是線段AB上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)）．設(shè)SE與BC所成的角為θ1，SE與平面ABCD所成的角為θ2，二面角S﹣AB﹣C的平面角為θ3，則（）A．θ1≤θ2≤θ3 B．θ3≤θ2≤θ1 C．θ1≤θ3≤θ2 D．θ2≤θ3≤θ16．（2018?浙江）函數(shù)y=2|x|sin2x的圖象可能是（）A． B． C． D．7．（2018?江蘇）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)F（c，0）到一條漸近線的距離為c，則其離心率的值為．8．（2018?江蘇）若函數(shù)f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則f（x）在[﹣1，1]上的最大值與最小值的和為．9．（2018?天津）已知a＞0，函數(shù)f（x）=．若關(guān)于x的方程f（x）=ax恰有2個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是．10．（2018?北京）已知橢圓M：+=1（a＞b＞0），雙曲線N：﹣=1．若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓M的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)，則橢圓M的離心率為；雙曲線N的離心率為．11．（2018?上海）已知實(shí)數(shù)x1、x2、y1、y2滿足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，則+的最大值為．12．（2018?上海）已知常數(shù)a＞0，函數(shù)f（x）=的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（p，），Q（q，）．若2p+q=36pq，則a=．13．（2018?浙江）已知λ∈R，函數(shù)f（x）=，當(dāng)λ=2時(shí)，不等式f（x）＜0的解集是．若函數(shù)f（x）恰有2個(gè)零點(diǎn)，則λ的取值范圍是．14．（2018?浙江）已知點(diǎn)P（0，1），橢圓+y2=m（m＞1）上兩點(diǎn)A，B滿足=2，則當(dāng)m=時(shí)，點(diǎn)B橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大．15．（2018?浙江）從1，3，5，7，9中任取2個(gè)數(shù)字，從0，2，4，6中任取2個(gè)數(shù)字，一共可以組成個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)．（用數(shù)字作答）三．解答題（共2小題）16．（2018?上海）設(shè)常數(shù)a∈R，函數(shù)f（x）=asin2x+2cos2x．（1）若f（x）為偶函數(shù)，求a的值；（2）若f（）=+1，求方程f（x）=1﹣在區(qū)間[﹣π，π]上的解．17．（2018?浙江）已知角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過(guò)點(diǎn)P（﹣，﹣）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β滿足sin（α+β）=，求cosβ的值．

2018年高考數(shù)學(xué)壓軸題小題參考答案與試題解析一．選擇題（共6小題）1．（2018?新課標(biāo)Ⅱ）已知f（x）是定義域?yàn)椋ī仭蓿?∞）的奇函數(shù)，滿足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（）A．﹣50 B．0 C．2 D．50【解答】解：∵f（x）是奇函數(shù)，且f（1﹣x）=f（1+x），∴f（1﹣x）=f（1+x）=﹣f（x﹣1），f（0）=0，則f（x+2）=﹣f（x），則f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即函數(shù)f（x）是周期為4的周期函數(shù)，∵f（1）=2，∴f（2）=f（0）=0，f（3）=f（1﹣2）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，f（4）=f（0）=0，則f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）=f（1）+f（2）=2+0=2，故選：C．2．（2018?新課標(biāo)Ⅱ）已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P在過(guò)A且斜率為的直線上，△PF1F2為等腰三角形，∠F1F2P=120°，則C的離心率為（）A． B． C． D．【解答】解：由題意可知：A（﹣a，0），F(xiàn)1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），直線AP的方程為：y=（x+a），由∠F1F2P=120°，|PF2|=|F1F2|=2c，則P（2c，c），代入直線AP：c=（2c+a），整理得：a=4c，∴題意的離心率e==．故選：D．3．（2018?上海）設(shè)D是函數(shù)1的有限實(shí)數(shù)集，f（x）是定義在D上的函數(shù)，若f（x）的圖象繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與原圖象重合，則在以下各項(xiàng)中，f（1）的可能取值只能是（）A． B． C． D．0【解答】解：由題意得到：?jiǎn)栴}相當(dāng)于圓上由12個(gè)點(diǎn)為一組，每次繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)個(gè)單位后與下一個(gè)點(diǎn)會(huì)重合．我們可以通過(guò)代入和賦值的方法當(dāng)f（1）=，，0時(shí)，此時(shí)得到的圓心角為，，0，然而此時(shí)x=0或者x=1時(shí)，都有2個(gè)y與之對(duì)應(yīng)，而我們知道函數(shù)的定義就是要求一個(gè)x只能對(duì)應(yīng)一個(gè)y，因此只有當(dāng)x=，此時(shí)旋轉(zhuǎn)，此時(shí)滿足一個(gè)x只會(huì)對(duì)應(yīng)一個(gè)y，因此答案就選：B．故選：B．4．（2018?浙江）已知，，是平面向量，是單位向量．若非零向量與的夾角為，向量滿足﹣4?+3=0，則|﹣|的最小值是（）A．﹣1 B．+1 C．2 D．2﹣【解答】解：由﹣4?+3=0，得，∴（）⊥（），如圖，不妨設(shè)，則的終點(diǎn)在以（2，0）為圓心，以1為半徑的圓周上，又非零向量與的夾角為，則的終點(diǎn)在不含端點(diǎn)O的兩條射線y=（x＞0）上．不妨以y=為例，則|﹣|的最小值是（2，0）到直線的距離減1．即．故選：A．5．（2018?浙江）已知四棱錐S﹣ABCD的底面是正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均相等，E是線段AB上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)）．設(shè)SE與BC所成的角為θ1，SE與平面ABCD所成的角為θ2，二面角S﹣AB﹣C的平面角為θ3，則（）A．θ1≤θ2≤θ3 B．θ3≤θ2≤θ1 C．θ1≤θ3≤θ2 D．θ2≤θ3≤θ1【解答】解：∵由題意可知S在底面ABCD的射影為正方形ABCD的中心．過(guò)E作EF∥BC，交CD于F，過(guò)底面ABCD的中心O作ON⊥EF交EF于N，連接SN，取AB中點(diǎn)M，連接SM，OM，OE，則EN=OM，則θ1=∠SEN，θ2=∠SEO，θ3=∠SMO．顯然，θ1，θ2，θ3均為銳角．∵tanθ1==，tanθ3=，SN≥SO，∴θ1≥θ3，又sinθ3=，sinθ2=，SE≥SM，∴θ3≥θ2．故選：D．6．（2018?浙江）函數(shù)y=2|x|sin2x的圖象可能是（）A． B． C． D．【解答】解：根據(jù)函數(shù)的解析式y(tǒng)=2|x|sin2x，得到：函數(shù)的圖象為奇函數(shù)，故排除A和B．當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)的值也為0，故排除C．故選：D．二．填空題（共9小題）7．（2018?江蘇）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)F（c，0）到一條漸近線的距離為c，則其離心率的值為2．【解答】解：雙曲線=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)F（c，0）到一條漸近線y=x的距離為c，可得：=b=，可得，即c=2a，所以雙曲線的離心率為：e=．故答案為：2．8．（2018?江蘇）若函數(shù)f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則f（x）在[﹣1，1]上的最大值與最小值的和為﹣3．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，∴f′（x）=2x（3x﹣a），x∈（0，+∞），①當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，f（0）=1，f（x）在（0，+∞）上沒有零點(diǎn)，舍去；②當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0的解為x＞，∴f（x）在（0，）上遞減，在（，+∞）遞增，又f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)，∴f（）=﹣+1=0，解得a=3，f（x）=2x3﹣3x2+1，f′（x）=6x（x﹣1），x∈[﹣1，1]，f′（x）＞0的解集為（﹣1，0），f（x）在（﹣1，0）上遞增，在（0，1）上遞減，f（﹣1）=﹣4，f（0）=1，f（1）=0，∴f（x）min=f（﹣1）=﹣4，f（x）max=f（0）=1，∴f（x）在[﹣1，1]上的最大值與最小值的和為：f（x）max+f（x）min=﹣4+1=﹣3．9．（2018?天津）已知a＞0，函數(shù)f（x）=．若關(guān)于x的方程f（x）=ax恰有2個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是（4，8）．【解答】解：當(dāng)x≤0時(shí)，由f（x）=ax得x2+2ax+a=ax，得x2+ax+a=0，得a（x+1）=﹣x2，得a=﹣，設(shè)g（x）=﹣，則g′（x）=﹣=﹣，由g′（x）＞0得﹣2＜x＜﹣1或﹣1＜x＜0，此時(shí)遞增，由g′（x）＜0得x＜﹣2，此時(shí)遞減，即當(dāng)x=﹣2時(shí)，g（x）取得極小值為g（﹣2）=4，當(dāng)x＞0時(shí)，由f（x）=ax得﹣x2+2ax﹣2a=ax，得x2﹣ax+2a=0，得a（x﹣2）=x2，當(dāng)x=2時(shí)，方程不成立，當(dāng)x≠2時(shí)，a=設(shè)h（x）=，則h′（x）==，由h′（x）＞0得x＞4，此時(shí)遞增，由h′（x）＜0得0＜x＜2或2＜x＜4，此時(shí)遞減，即當(dāng)x=4時(shí)，h（x）取得極小值為h（4）=8，要使f（x）=ax恰有2個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，則由圖象知4＜a＜8，故答案為：（4，8）10．（2018?北京）已知橢圓M：+=1（a＞b＞0），雙曲線N：﹣=1．若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓M的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)，則橢圓M的離心率為；雙曲線N的離心率為2．【解答】解：橢圓M：+=1（a＞b＞0），雙曲線N：﹣=1．若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓M的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)，可得橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)（c，0），正六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)（，），可得：，可得，可得e4﹣8e2+4=0，e∈（0，1），解得e=．同時(shí)，雙曲線的漸近線的斜率為，即，可得：，即，可得雙曲線的離心率為e==2．故答案為：；2．11．（2018?上海）已知實(shí)數(shù)x1、x2、y1、y2滿足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，則+的最大值為+．【解答】解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，可得A，B兩點(diǎn)在圓x2+y2=1上，且?=1×1×cos∠AOB=，即有∠AOB=60°，即三角形OAB為等邊三角形，AB=1，+的幾何意義為點(diǎn)A，B兩點(diǎn)到直線x+y﹣1=0的距離d1與d2之和，顯然A，B在第三象限，AB所在直線與直線x+y=1平行，可設(shè)AB：x+y+t=0，（t＞0），由圓心O到直線AB的距離d=，可得2=1，解得t=，即有兩平行線的距離為=，即+的最大值為+，故答案為：+．12．（2018?上海）已知常數(shù)a＞0，函數(shù)f（x）=的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（p，），Q（q，）．若2p+q=36pq，則a=6．【解答】解：函數(shù)f（x）=的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（p，），Q（q，）．則：，整理得：=1，解得：2p+q=a2pq，由于：2p+q=36pq，所以：a2=36，由于a＞0，故：a=6．故答案為：613．（2018?浙江）已知λ∈R，函數(shù)f（x）=，當(dāng)λ=2時(shí)，不等式f（x）＜0的解集是{x|1＜x＜4}．若函數(shù)f（x）恰有2個(gè)零點(diǎn)，則λ的取值范圍是（1，3]∪（4，+∞）．【解答】解：當(dāng)λ=2時(shí)函數(shù)f（x）=，顯然x≥2時(shí)，不等式x﹣4＜0的解集：{x|2≤x＜4}；x＜2時(shí)，不等式f（x）＜0化為：x2﹣4x+3＜0，解得1＜x＜2，綜上，不等式的解集為：{x|1＜x＜4}．函數(shù)f（x）恰有2個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)f（x）=的草圖如圖：函數(shù)f（x）恰有2個(gè)零點(diǎn)，則1＜λ≤3或λ＞4．故答案為：{x|1＜x＜4}；（1，3]∪（4，+∞）．14．（2018?浙江）已知點(diǎn)P（0，1），橢圓+y2=m（m＞1）上兩點(diǎn)A，B滿足=2，則當(dāng)m=5時(shí)，點(diǎn)B橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大．【解答】解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由P（0，1），=2，可得﹣x1=2x2，1﹣y1=2（y2﹣1），即有x1=﹣2x2，y1+2y2=3，又x12+4y12=4m，即為x22+y12=m，①x22+4y22=4m，②①﹣②得（y1﹣2y2）（y1+2y2）=﹣3m，可得y1﹣2y2=﹣m，解得y1=，y2=，則m=x22+（）2，即有x22=m﹣（）2==，即有m=5時(shí)，x22有最大值4，即點(diǎn)B橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大．故答案為：5．15．（2018?浙江）從1，3，5，7，9中任取2個(gè)數(shù)字，從0，2，4，6中任取2個(gè)數(shù)字，一共可以組成1260個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)．（用數(shù)字作答）【解答】解：從1，3，5，7，9中任取2個(gè)數(shù)字有種方法，從2，4，