第八課期權(quán)定價模型

第八課期權(quán)定價模型?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002期權(quán)定價中的難點債券和股票的估價：貼現(xiàn)現(xiàn)金流期權(quán)的估價-

DCF不適用-給定到期日標的資產(chǎn)價錢的分布，可以很

容易地計算期權(quán)在到期日的收益-難于估計折現(xiàn)率?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002二項式期權(quán)定價模型要對期權(quán)進展定價，我們需求知道標的資產(chǎn)價錢如何變動簡單但非常有力的一個模型是二項式模型-

在每個〔很短〕的時間間隔期末，股票價錢只能

有兩個能夠的取值-

當(dāng)時間間隔足夠短，這是很好的近似-

有利于解釋期權(quán)定價模型背后所包含的原理-

可以用于對象美式期權(quán)這樣的衍生證券進展定價?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002單期二項式模型收益率被定義為價錢的相對數(shù)期望收益率=1.1期望方差=0.09$140$80$100今日1年概率?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002經(jīng)過復(fù)制來給期權(quán)定價為了給衍生證券定價，可以構(gòu)造一個股票和無風(fēng)險投資的組合來復(fù)制該衍生證券在到期日的收益這個組合稱為合成的衍生證券要使無套利成立，這個組合的價值必需等于買賣的衍生證券的價錢組合的合成等同于對沖?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002無套利原那么與

對衍生證券的定價今日到期日買賣的

衍生證券合成的

衍生證券收益一樣買賣的衍生證券的價值=合成的衍生證券〔組合〕的價值?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002單期：給歐式看漲期權(quán)定價歐式看漲期權(quán)：

$40今日1年概率?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002組合(合成看漲期權(quán))=股票+無風(fēng)險資產(chǎn)組合復(fù)制了該期權(quán)在到期日的收益1.10=今天的$1投資在1年后的財富解方程組得到的負號意味者借入?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002

無套利要求 含義：p的值從未運用過期望收益率無關(guān)緊要!?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002單期二項式期權(quán)定價的普通化

今日1年概率?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002該組合復(fù)制了該看漲期權(quán)在到期日的收益解方程組得到： ，和無套利要求：?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002風(fēng)險中性定價很自然可以被解釋為是股票價錢上漲的概率(風(fēng)險中性概率或等價鞅測度)可以被解釋為是該看漲期權(quán)在到期日的收益該期權(quán)的價值是它在到期日的期望收益按無風(fēng)險利率折成的現(xiàn)值在下,?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002Delta對沖組合

的符號為正，意味著投資由股股票和一個看漲期權(quán)空頭構(gòu)成的組合等價于無風(fēng)險投資該組合經(jīng)常被稱為無風(fēng)險對沖組合，(delta)被稱為套頭比〔hedgeratio〕?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002Black-Scholes期權(quán)定價模型期權(quán)價錢和股票價錢依賴于同一種不確定性來源無風(fēng)險的對沖組合可以用股票和期權(quán)來構(gòu)造無風(fēng)險組合必然獲得無風(fēng)險利率這導(dǎo)致了Black-Scholes偏微分方程(PDE)?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002Black-Scholes模型的假設(shè)完美的資本市場，沒有套利時機價錢的瞬間變動服從動搖率為常數(shù)的幾何布朗運動短期利率知，并且不隨時間發(fā)生變化在期權(quán)的有效期內(nèi)，標的股票不發(fā)放股利?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002股票價錢的動態(tài)過程延續(xù)時間模型假設(shè)股票價錢服從幾何布朗運動〔GBM〕其中：：期望收益率：動搖率(假設(shè)為常數(shù))：規(guī)范Wiener過程?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002離散時間近似Z為Wiener過程，那么－其中是n(0,1)分布的一個隨機實現(xiàn)－恣意互不重疊的兩期的的取值相互獨

立?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002Wiener過程的特征的均值為0的方差為T-t的規(guī)范差為

?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002股票收益率的特征從時間t到T收益率的均值為從時間t到T收益率的方差為從時間t到T收益率的規(guī)范差為收益率的分布：，其中?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002股票收益率的分布股票價錢服從對數(shù)正態(tài)分布，即：?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002Black-Scholes偏微分方程

的導(dǎo)出

構(gòu)造一個組合，該組合的構(gòu)成如下：－1單位衍生證券的空頭－股股票多頭?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002組合的價值為：在跨度為的短期內(nèi)，它的價值的變動為：?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002由于該組合的收益率沒有不確定性，一切它必需等于無風(fēng)險利率。因此從上述兩個方程，就可以得到Black-Scholes偏微分方程：?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002該偏微分方程不包括！投資者的偏好不起作用！任何其價錢依賴于標的股票價錢的衍生證券都滿足上述偏微分方程不同的衍生證券，其價值取決于上述微分方程的邊境條件對于歐式看漲期權(quán)，邊境條件為對歐式期權(quán)解上述偏微分方程，就得到Black-Scholes期權(quán)定價模型?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002Black-Scholes公式

式中，

是規(guī)范正態(tài)分布的累積概率分布函數(shù)?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002Black-Scholes模型

在風(fēng)險中性定價下的導(dǎo)出利用風(fēng)險中性概率算出期權(quán)在到期日的期望收益用無風(fēng)險利率對期望收益進展折現(xiàn)?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002歐式看漲期權(quán)的價值由下式給出：由下式給出進展一些簡單的代數(shù)運算就可以得到Black-Scholes公式?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002期權(quán)價錢的決議要素正的變化看漲期權(quán)看跌期權(quán)股票價錢,S

執(zhí)行價錢,X

動搖率,

間隔到期日的時間,

無風(fēng)險利率,r

現(xiàn)金股利,d

?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002Black-Scholes公式的運用,,年,〔按延續(xù)復(fù)利計息〕

以及 ?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002那么?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002Delta對沖Delta()：期權(quán)價錢對標的資產(chǎn)價錢的變化比率對于歐式看漲期權(quán) ,對于歐式看跌期權(quán) ,?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002估計歷史動搖率在間隔為年的期間觀測到計算延續(xù)復(fù)利估計動搖率(規(guī)范差)每年的動搖率：?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002隱含動搖率期權(quán)的隱含動搖率是指讓根據(jù)公式計算得到的期權(quán)價錢與市場價錢相等的動搖率，即期權(quán)價錢與隱含動搖率之間存在著一一對應(yīng)在柜臺市場〔OTC〕，買賣者和經(jīng)紀商經(jīng)常不是報貨幣價錢而是報隱含的收益率隱含動搖率給出了市場總體對未來標的股票在期權(quán)有效期內(nèi)的平價動搖率的一致估計〔預(yù)期〕隱含動搖率是前瞻性的?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002公司負債與股東權(quán)益股東權(quán)益相當(dāng)于擁有一個以D為執(zhí)行價錢的對于公司價值V的看漲期權(quán)EVD?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002公司負債與股東權(quán)益公司債務(wù)人相當(dāng)于擁有一個面值為D的無風(fēng)險債券和同時出賣一個執(zhí)行價錢為D的看跌期權(quán)VDVD?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002實物期權(quán)投資：有權(quán)選擇投資時機，獲得投資報答，但是沒有必需投資的義務(wù)。初始投資額就是執(zhí)行價錢，投資在未來產(chǎn)生的現(xiàn)金流就是資產(chǎn)價錢與傳統(tǒng)NPV分析的關(guān)鍵區(qū)別：-不確定性〔風(fēng)險〕是有價值的！-管理彈性〔Managerialflexibility〕 戰(zhàn)略工具，但是大多數(shù)情況下難以準確估價?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002實物期權(quán)的主要類型等待以在未來投資〔看漲期權(quán)〕放棄〔看跌期權(quán)〕彈性〔看漲期權(quán)〕后續(xù)投資〔看漲期權(quán)〕?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002等待期權(quán)(1)傳統(tǒng)的NPV：要么如今投資，要么永不投資但第三種選擇是等待以在未來投資期權(quán)價值內(nèi)在價值(IV)+時間價值(TV)TV=可以等待的價值?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002等待期權(quán)(2)決策法那么傳統(tǒng)的NPV接受工程，假設(shè)NPV>0，即IV>0實物期權(quán)接受工程，假設(shè)NPV>期權(quán)價值風(fēng)險更大的工程期權(quán)價值更高?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002等待期權(quán)(3)：例子石油公司獲得某區(qū)塊的5年期開采權(quán)NPV<0回絕但是假設(shè)石油價錢上漲，或者隨著技術(shù)的提高可以提高石油產(chǎn)量，那么應(yīng)該推遲到未來再投資?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002撤資期權(quán)撤資：封鎖企業(yè)的權(quán)益，即以出賣價錢為執(zhí)行價錢的看跌期權(quán)公司情愿接受暫時的損失來謀求在未來可以抓住盈利的時機決策法那么：NPV(撤資)>期權(quán)價值?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002彈性期權(quán)汽車制造商在數(shù)個國家都有消費設(shè)備雙燃料鍋爐，可以選擇燒油還是燒煤比較一家大型電廠與兩家或更多的小型電廠?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002后續(xù)期權(quán)初始投資產(chǎn)生了后續(xù)工程的投資時機例子：R&D,在新興市場特別是開展中國家的投資決策法那么:NPV+后續(xù)期權(quán)的價值>0?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002實物期權(quán)與金融期權(quán)

之間的對應(yīng)實物期權(quán)

金融期權(quán)

期望現(xiàn)金流的現(xiàn)值

股票價錢獲得工程資產(chǎn)所需的投資

執(zhí)行價錢決策可以延遲的時間長度

距到期日的時間長度貨幣的時間價值

無風(fēng)險利率現(xiàn)金流的不確定性

收益率的動搖率?北京大學(xué)光華管理學(xué)院金融系徐信忠2002關(guān)于實物期權(quán)的進一步閱讀資料MarthaAmramandNalinKulatilaka,RealOptions:ManagingStrategicInvestmentsinanUncertainWorld,HarvardB