學(xué)案22簡單的三角恒等變換(含答案)_第1頁
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學(xué)案22簡單的三角恒等變換導(dǎo)學(xué)目標(biāo):1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式,并熟練應(yīng)用.2.能運用兩角和與差的三角公式進行簡單的恒等變換.自主梳理1.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α=________________;(2)cos2α=______________=________________-1=1-________________;(3)tan2α=________________________(α≠eq\f(kπ,2)+eq\f(π,4)且α≠kπ+eq\f(π,2)).2.公式的逆向變換及有關(guān)變形(1)sinαcosα=____________________?cosα=eq\f(sin2α,2sinα);(2)降冪公式:sin2α=________________,cos2α=________________;升冪公式:1+cosα=________________,1-cosα=_____________;變形:1±sin2α=sin2α+cos2α±2sinαcosα=________________________.自我檢測1.(2023·陜西)函數(shù)f(x)=2sinxcosx是()A.最小正周期為2π的奇函數(shù)B.最小正周期為2π的偶函數(shù)C.最小正周期為π的奇函數(shù)D.最小正周期為π的偶函數(shù)2.函數(shù)f(x)=cos2x-2sinx的最小值和最大值分別為()A.-3,1B.-2,2C.-3,eq\f(3,2)D.-2,eq\f(3,2)3.函數(shù)f(x)=sinxcosx的最小值是()A.-1B.-eq\f(1,2)C.eq\f(1,2)D.14.(2023·清遠(yuǎn)月考)A、B為直角三角形的兩個銳角,那么sinA·sinB()A.有最大值eq\f(1,2),最小值0B.有最小值eq\f(1,2),無最大值C.既無最大值也無最小值D.有最大值eq\f(1,2),無最小值探究點一三角函數(shù)式的化簡例1求函數(shù)y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x的最大值和最小值.變式遷移1(2023·泰安模擬)函數(shù)f(x)=eq\f(4cos4x-2cos2x-1,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)+x))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)-x))).(1)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(11π,12)))的值;(2)當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,4)))時,求g(x)=eq\f(1,2)f(x)+sin2x的最大值和最小值.探究點二三角函數(shù)式的求值例2sin(eq\f(π,4)+2α)·sin(eq\f(π,4)-2α)=eq\f(1,4),α∈(eq\f(π,4),eq\f(π,2)),求2sin2α+tanα-eq\f(1,tanα)-1的值.變式遷移2(1)α是第一象限角,且cosα=eq\f(5,13),求eq\f(sinα+\f(π,4),cos2α+4π)的值.(2)cos(α+eq\f(π,4))=eq\f(3,5),eq\f(π,2)≤α<eq\f(3π,2),求cos(2α+eq\f(π,4))的值.探究點三三角恒等式的證明例3(2023·蘇北四市模擬)sin(2α+β)=3sinβ,設(shè)tanα=x,tanβ=y(tǒng),記y=f(x).(1)求證:tan(α+β)=2tanα;(2)求f(x)的解析表達式;(3)假設(shè)角α是一個三角形的最小內(nèi)角,試求函數(shù)f(x)的值域.變式遷移3求證:eq\f(sin2x,sinx+cosx-1sinx-cosx+1)=eq\f(1+cosx,sinx).轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用例(12分)(2023·江西)函數(shù)f(x)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\f(1,tanx)))sin2x+msineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(π,4)))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(π,4))).(1)當(dāng)m=0時,求f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,8),\f(3π,4)))上的取值范圍;(2)當(dāng)tanα=2時,f(α)=eq\f(3,5),求m的值.【答題模板】解(1)當(dāng)m=0時,f(x)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\f(cosx,sinx)))sin2x=sin2x+sinxcosx=eq\f(1-cos2x+sin2x,2)=eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x-\f(π,4)))+1)),[3分]由x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,8),\f(3π,4))),得2x-eq\f(π,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(5π,4))),[4分]所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x-\f(π,4)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(\r(2),2),1)),[5分]從而得f(x)的值域為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(1+\r(2),2))).[6分](2)f(x)=sin2x+sinxcosx-eq\f(m,2)cos2x=eq\f(1-cos2x,2)+eq\f(1,2)sin2x-eq\f(m,2)cos2x=eq\f(1,2)[sin2x-(1+m)cos2x]+eq\f(1,2),[8分]由tanα=2,得sin2α=eq\f(2sinαcosα,sin2α+cos2α)=eq\f(2tanα,1+tan2α)=eq\f(4,5),cos2α=eq\f(cos2α-sin2α,cos2α+sin2α)=eq\f(1-tan2α,1+tan2α)=-eq\f(3,5).[10分]所以eq\f(3,5)=eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,5)+\f(3,5)1+m))+eq\f(1,2),[11分]解得m=-2.[12分]【突破思維障礙】三角函數(shù)式的化簡是指利用誘導(dǎo)公式、同角根本關(guān)系式、和與差的三角函數(shù)公式、二倍角公式等,將較復(fù)雜的三角函數(shù)式化得更簡潔、更清楚地顯示出式子的結(jié)果.化簡三角函數(shù)式的根本要求是:(1)能求出數(shù)值的要求出數(shù)值;(2)使三角函數(shù)式的項數(shù)最少、次數(shù)最低、角與函數(shù)的種類最少;(3)分式中的分母盡量不含根式等.1.求值中主要有三類求值問題:(1)“給角求值〞:一般所給出的角都是非特殊角,從外表來看是很難的,但仔細(xì)觀察非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系,解題時,要利用觀察得到的關(guān)系,結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除非特殊角的三角函數(shù)而得解.(2)“給值求值〞:給出某些角的三角函數(shù)式的值,求另外一些角的三角函數(shù)值,解題關(guān)鍵在于“變角〞,使其角相同或具有某種關(guān)系.(3)“給值求角〞:實質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值〞,關(guān)鍵也是變角,把所求角用含角的式子表示,由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角.2.三角恒等變換的常用方法、技巧和原那么:(1)在化簡求值和證明時常用如下方法:切割化弦法,升冪降冪法,和積互化法,輔助元素法,“1”的代換法等.(2)常用的拆角、拼角技巧如:2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β,α=(α-β)+β,eq\f(α+β,2)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α-\f(β,2)))+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β-\f(α,2))),eq\f(α,2)是eq\f(α,4)的二倍角等.(3)化繁為簡:變復(fù)角為單角,變不同角為同角,化非同名函數(shù)為同名函數(shù),化高次為低次,化多項式為單項式,化無理式為有理式.消除差異:消除與未知、條件與結(jié)論、左端與右端以及各項的次數(shù)、角、函數(shù)名稱、結(jié)構(gòu)等方面的差異.(總分值:75分)一、選擇題(每題5分,共25分)1.(2023·平頂山月考)0<α<π,3sin2α=sinα,那么cos(α-π)等于()A.eq\f(1,3)B.-eq\f(1,3)C.eq\f(1,6)D.-eq\f(1,6)2.tan(α+β)=eq\f(2,5),taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β-\f(π,4)))=eq\f(1,4),那么taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α+\f(π,4)))等于()A.eq\f(13,18)B.eq\f(13,22)C.eq\f(3,22)D.eq\f(1,6)3.(2023·石家莊模擬)cos2α=eq\f(1,2)(其中α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(π,4),0))),那么sinα的值為()A.eq\f(1,2)B.-eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2)D.-eq\f(\r(3),2)4.假設(shè)f(x)=2tanx-eq\f(2sin2\f(x,2)-1,sin\f(x,2)cos\f(x,2)),那么feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)))的值為()A.-eq\f(4\r(3),3)B.8C.4eq\r(3)D.-4eq\r(3)5.(2023·福建廈門外國語學(xué)校高三第二次月考)在△ABC中,假設(shè)cos2B+3cos(A+C)+2=0,那么sinB的值是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2)D.1題號12345答案二、填空題(每題4分,共12分)6.(2023·全國Ⅰ)α為第二象限的角,且sinα=eq\f(3,5),那么tan2α=________.7.函數(shù)y=2cos2x+sin2x的最小值是________.8.假設(shè)eq\f(cos2α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α-\f(π,4))))=-eq\f(\r(2),2),那么cosα+sinα的值為________.三、解答題(共38分)9.(12分)化簡:(1)cos20°cos40°cos60°cos80°;(2)eq\f(3-4cos2α+cos4α,3+4cos2α+cos4α).10.(12分)(2023·南京模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=eq\r(3)sinxcosx-cosxsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)+x))-eq\f(1,2).(1)求f(x)的最小正周期;(2)當(dāng)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2)))時,求函數(shù)f(x)的最大值和最小值.11.(14分)(2023·北京)函數(shù)f(x)=2cos2x+sin2x-4cosx.(1)求f(eq\f(π,3))的值;(2)求f(x)的最大值和最小值.答案自主梳理1.(1)2sinαcosα(2)cos2α-sin2α2cos2α2sin2α(3)eq\f(2tanα,1-tan2α)2.(1)eq\f(1,2)sin2α(2)eq\f(1-cos2α,2)eq\f(1+cos2α,2)2cos2eq\f(α,2)2sin2eq\f(α,2)(sinα±cosα)2自我檢測1.C2.C3.B4.D課堂活動區(qū)例1解題導(dǎo)引化簡的原那么是形式簡單,三角函數(shù)名稱盡量少,次數(shù)盡量低,最好不含分母,能求值的盡量求值.此題要充分利用倍角公式進行降冪,利用配方變?yōu)閺?fù)合函數(shù),重視復(fù)合函數(shù)中間變量的范圍是關(guān)鍵.解y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x=7-2sin2x+4cos2x(1-cos2x)=7-2sin2x+4cos2xsin2x=7-2sin2x+sin22x=(1-sin2x)2+6,由于函數(shù)z=(u-1)2+6在[-1,1]中的最大值為zmax=(-1-1)2+6=10,最小值為zmin=(1-1)2+6=6,故當(dāng)sin2x=-1時,y取得最大值10,當(dāng)sin2x=1時,y取得最小值6.變式遷移1解(1)f(x)=eq\f(1+cos2x2-2cos2x-1,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)+x))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)-x)))=eq\f(cos22x,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)+x))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)+x)))=eq\f(2cos22x,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)+2x)))=eq\f(2cos22x,cos2x)=2cos2x,∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(11π,12)))=2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(11π,6)))=2coseq\f(π,6)=eq\r(3).(2)g(x)=cos2x+sin2x=eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,4))).∵x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,4))),∴2x+eq\f(π,4)∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4),\f(3π,4))),∴當(dāng)x=eq\f(π,8)時,g(x)max=eq\r(2),當(dāng)x=0時,g(x)min=1.例2解題導(dǎo)引(1)這類問題一般是先化簡再求值;化簡后目標(biāo)更明確;(2)如果能從條件中求出特殊值,應(yīng)轉(zhuǎn)化為特殊角,可簡化運算,對切函數(shù)通?;癁橄液瘮?shù).解由sin(eq\f(π,4)+2α)·sin(eq\f(π,4)-2α)=sin(eq\f(π,4)+2α)·cos(eq\f(π,4)+2α)=eq\f(1,2)sin(eq\f(π,2)+4α)=eq\f(1,2)cos4α=eq\f(1,4),∴cos4α=eq\f(1,2),又α∈(eq\f(π,4),eq\f(π,2)),故α=eq\f(5π,12),∴2sin2α+tanα-eq\f(1,tanα)-1=-cos2α+eq\f(sin2α-cos2α,sinαcosα)=-cos2α+eq\f(-2cos2α,sin2α)=-coseq\f(5π,6)-eq\f(2cos\f(5π,6),sin\f(5π,6))=eq\f(5\r(3),2).變式遷移2解(1)∵α是第一象限角,cosα=eq\f(5,13),∴sinα=eq\f(12,13).∴eq\f(sinα+\f(π,4),cos2α+4π)=eq\f(\f(\r(2),2)sinα+cosα,cos2α)=eq\f(\f(\r(2),2)sinα+cosα,cos2α-sin2α)=eq\f(\f(\r(2),2),cosα-sinα)=eq\f(\f(\r(2),2),\f(5,13)-\f(12,13))=-eq\f(13\r(2),14).(2)cos(2α+eq\f(π,4))=cos2αcoseq\f(π,4)-sin2αsineq\f(π,4)=eq\f(\r(2),2)(cos2α-sin2α),∵eq\f(π,2)≤α<eq\f(3,2)π,∴eq\f(3π,4)≤α+eq\f(π,4)<eq\f(7,4)π.又cos(α+eq\f(π,4))=eq\f(3,5)>0,故可知eq\f(3,2)π<α+eq\f(π,4)<eq\f(7,4)π,∴sin(α+eq\f(π,4))=-eq\f(4,5),從而cos2α=sin(2α+eq\f(π,2))=2sin(α+eq\f(π,4))cos(α+eq\f(π,4))=2×(-eq\f(4,5))×eq\f(3,5)=-eq\f(24,25).sin2α=-cos(2α+eq\f(π,2))=1-2cos2(α+eq\f(π,4))=1-2×(eq\f(3,5))2=eq\f(7,25).∴cos(2α+eq\f(π,4))=eq\f(\r(2),2)(cos2α-sin2α)=eq\f(\r(2),2)×(-eq\f(24,25)-eq\f(7,25))=-eq\f(31\r(2),50).例3解題導(dǎo)引此題的關(guān)鍵是第(1)小題的恒等式證明,對于三角恒等式的證明,我們要注意觀察、分析條件恒等式與目標(biāo)恒等式的異同,特別是分析和要求的角之間的關(guān)系,再分析函數(shù)名之間的關(guān)系,那么容易找到思路.證明三角恒等式的實質(zhì)就是消除等式兩邊的差異,有目的地化繁為簡,左右歸一或變更論證.對于第(2)小題同樣要從角的關(guān)系入手,利用兩角和的正切公式可得關(guān)系.第(3)小題那么利用根本不等式求解即可.(1)證明由sin(2α+β)=3sinβ,得sin[(α+β)+α]=3sin[(α+β)-α],即sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα=3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα,∴sin(α+β)cosα=2cos(α+β)sinα,∴tan(α+β)=2tanα.(2)解由(1)得eq\f(tanα+tanβ,1-tanαtanβ)=2tanα,即eq\f(x+y,1-xy)=2x,∴y=eq\f(x,1+2x2),即f(x)=eq\f(x,1+2x2).(3)解∵角α是一個三角形的最小內(nèi)角,∴0<α≤eq\f(π,3),0<x≤eq\r(3),設(shè)g(x)=2x+eq\f(1,x),那么g(x)=2x+eq\f(1,x)≥2eq\r(2)(當(dāng)且僅當(dāng)x=eq\f(\r(2),2)時取“=〞).故函數(shù)f(x)的值域為(0,eq\f(\r(2),4)].變式遷移3證明因為左邊=eq\f(2sinxcosx,[sinx+cosx-1][sinx-cosx-1])=eq\f(2sinxcosx,sin2x-cosx-12)=eq\f(2sinxcosx,sin2x-cos2x+2cosx-1)=eq\f(2sinxcosx,-2cos2x+2cosx)=eq\f(sinx,1-cosx)=eq\f(sinx1+cosx,1-cosx1+cosx)=eq\f(sinx1+cosx,sin2x)=eq\f(1+cosx,sinx)=右邊.所以原等式成立.課后練習(xí)區(qū)1.D[∵0<α<π,3sin2α=sinα,∴6sinαcosα=sinα,又∵sinα≠0,∴cosα=eq\f(1,6),cos(α-π)=cos(π-α)=-cosα=-eq\f(1,6).]2.C[因為α+eq\f(π,4)+β-eq\f(π,4)=α+β,所以α+eq\f(π,4)=(α+β)-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β-\f(π,4))).所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α+\f(π,4)))=taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(α+β-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β-\f(π,4)))))=eq\f(tanα+β-tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β-\f(π,4))),1+tanα+βtan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β-\f(π,4))))=eq\f(3,22).]3.B[∵eq\f(1,2)=cos2α=1-2sin2α,∴sin2α=eq\f(1,4).又∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(π,4),0)),∴sinα=-eq\f(1,2).]4.B[f(x)=2tanx+eq\f(1-2sin2\f(x,2),\f(1,2)sinx)=2tanx+eq\f(2cosx,sinx)=eq\f(2,sinxcosx)=eq\f(4,sin2x)∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)))=eq\f(4,sin\f(π,6))=8.]5.C[由cos2B+3cos(A+C)+2=0化簡變形,得2cos2B-3cosB+1=0,∴cosB=eq\f(1,2)或cosB=1(舍).∴sinB=eq\f(\r(3),2).]6.-eq\f(24,7)解析因為α為第二象限的角,又sinα=eq\f(3,5),所以cosα=-eq\f(4,5),tanα=eq\f(sinα,cosα)=-eq\f(3,4),所以tan2α=eq\f(2tanα,1-tan2α)=-eq\f(24,7).7.1-eq\r(2)解析∵y=2cos2x+sin2x=sin2x+1+cos2x=sin2x+cos2x+1=eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,4)))+1,∴當(dāng)sin(2x+eq\f(π,4))=-1時,函數(shù)取得最小值1-eq\r(2).8.eq\f(1,2)解析∵eq\f(cos2α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α-\f(π,4))))=eq\f(cos2α-sin2α,\f(\r(2),2)sinα-cosα)=-eq\r(2)(sinα+cosα)=-eq\f(\r(2),2),∴cosα+sinα=eq\f(1,2).9.解(1)∵sin2α=2sinαcosα,∴cosα=eq\f(sin2α,2sinα),…………(2分)∴原式=eq\f(sin40°,2sin20°)·eq\f(sin80°,2sin40°)·eq\f(1,2)·eq\f(sin160°,2sin80°)=eq\f(sin

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