2023人教版新教材高中數(shù)學(xué)必修第一冊同步練習(xí)-第四章　指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)綜合拔高練

2023人教版新教材高中數(shù)學(xué)必修第一冊

綜合拔高練

五年高考練

考點1指數(shù)式與對數(shù)式的恒等變形

1.（2021全國甲理,4）青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表

測量.通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)

記錄法的數(shù)據(jù)V滿足L=5+lgV.已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9,則其

視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為259）（

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

2.（2021天津,7）若2"=5b=10,貝壯+9（）

ab

A.-1B.1g7C.1D.log710

3.（2020全國I文,8）設(shè)alog34=2,則4-a=（）

.11?1

A.-nB.-C.-D.-

1698

4.（2018課標(biāo)全國HI,12）設(shè)a=logo,20.3,b=log20.3,則（）

A.a+b<ab<0B,ab<a+b<0

C.a+b<0<abD.ab<0<a+b

考點2指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的綜合運用

5.（2021全國甲文,4）下列函數(shù)中是增函數(shù)的為（）

A.f（x）=-xB.f（x）=（|）

C.f（x）=X2D.f（x）=y/x

6.（2021天津,3）函數(shù)丫=黑的圖象大致為（）

7.(2021天津,5)設(shè)a=log20.3,b=logi0.4,c=0.4*則a,b,c的大小關(guān)系為()

2

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.a<c<b

8.(2021新高考II,7)若a=log52,b=log83,c=1,則()

A.c<b<aB.b<c<aC.a<c<bD.a<b<c

9.(2020北京,6)已知函數(shù)f(x)=2>-xT,則不等式f(x)>0的解集是()

A.(-1,1)B.u(l,+8)

C.(0,1)D.(-8,0)u(l,+8)

10.(2020全國H理，11)若2,-2'(3*-3、則()

A.ln(y-x+l)>0B.In(y-x+1)<0

C.In|x-y|>0D.ln|x-y|<0

11.(2020全國I理，⑵若2〃log2a=4'+21密出則()

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a<b2

55

12.(2020全國III理,12)已知5<8',13'<8.設(shè)a=log53,b=log85,c=log138,則()

A.a<b<cB.b<a<c

C.b<c<aD.c<a<b

13.(2021新高考1,13)已知函數(shù)f(x)=x"a?2'-2、)是偶函數(shù),則a=.

考點3函數(shù)零點及其應(yīng)用

14.（2020浙江,9）已知a,b￡R且abWO,對于任意xNO均有

(x-a)(x-b)(x-2a-b)NO,則()

A.a<0B.a>0C.b<0D.b>0

15.(2。2°天津,9)已知函數(shù)f(x)上:若函數(shù)g(x)=f(xHkx『2x1(k￡R)

恰有4個零點,則k的取值范圍是()

A.(-8,-g)u(2V2,+8)

B.(-8，-g)u(0,2V2)

C.(-8,0)U(0,2V2)

D.(-8,o)U(2V2,+8)

2y/x,0<X<1,

16.(2019天津,8)已知函數(shù)f(x)=1]若關(guān)于x的方程

\xx>1.

f(x)=$+a(a￡R)恰有兩個互異的實數(shù)解,則a的取值范圍為()

A?[泊

嗚汕⑴嗚汕⑴

17.(2021北京，15)已知f(x)=|lgx|-kx-2,給出下列四個結(jié)論：

⑴若k=0,則f(x)有兩個零點；

(2)mk<0,使得f(x)有一個零點；

⑶mk〈0,使得f(x)有三個零點；

(4)亦>0,使得f(x)有三個零點.

以上正確結(jié)論的序號是.

考點4函數(shù)模型的綜合運用

18.(2020全國I,5改編)某校一個課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和

溫度x(單位：℃)的關(guān)系,在20個不同的溫度條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實驗，由實驗數(shù)

據(jù)(x“yj(i=l,2,…,20)得到下面的散點圖：

100%

搟80%

森60%

笑40%

20%

01020304。溫度/七

由此散點圖，在10C至40℃之間，下面四個函數(shù)模型中最適宜作為發(fā)芽率y和

溫度x的函數(shù)模型的是()

A.y=a+bxB.y=a+bx2C.y=a+bexD.y=a+blnx

19.(2018上海，19)某群體的人均通勤時間，是指單日內(nèi)該群體中成員從居住地到

工作地的平均用時二某地上班族S中的成員僅以自駕或公交方式通勤.分析顯示：

當(dāng)S中x%(0〈x<100)的成員自駕時一，自駕群體的人均通勤時間為

f(x)=卜一門。。QC-“inn(單位:分鐘)，而公交群體的人均通勤時間不

LxH------9Q0n,30<x<100

IX

受X影響，恒為40分鐘.試根據(jù)上述分析結(jié)果回答下列問題：

⑴當(dāng)x在什么范圍內(nèi)時，公交群體的人均通勤時間少于自駕群體的人均通勤時

間？

⑵求該地上班族S的人均通勤時間g(x)的表達(dá)式;討論g(x)的單調(diào)性,并說明其

實際意義.

三年模擬練

應(yīng)用實踐

1.(2022廣東佛山期末)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D,若存在x°￡D,使得f(x°)=x。成

立,則稱X。是函數(shù)f(x)的一個不動點.下列函數(shù)存在不動點的是()

A.f(x)=2x+xB.f(X)=X2-X+3

C.f(x)=~|x-2|D.f(x)=lgx+3x-6

2.（2021山東德州、煙臺期中聯(lián)考）衡量病毒傳播能力的一個重要指標(biāo)叫做傳播指

數(shù)R。.它指的是在自然情況下（沒有外力介入，同時所有人都沒有免疫），一個感染

者傳染的平均人數(shù).它的簡單計算公式:R°=l+確診病例增長率X系列間隔,其中系

列間隔是指在一個傳播鏈中兩例連續(xù)病例的間隔時間（單位:天）.根據(jù)統(tǒng)計,某種

傳染病確診病例的平均增長率為25%,兩例連續(xù)病例的間隔時間的平均天數(shù)為4,

根據(jù)以上數(shù)據(jù)計算,若甲感染了這種傳染病,則經(jīng)過6輪傳播后由甲引起的得病的

總?cè)藬?shù)約為（）

A.30B.62C.64D.126

3.（2022廣東中山期末）設(shè)a=Log23,b=log34,c=Log58,貝！|（）

A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a

4.（2022山西大同期末）已知函數(shù)f（x）=|lg乂|-0'有兩個零點刈鵬2,則（）

A.0<XiX2<lB.xix2=l

C.1<XIX2<2D.X1X2N2

5.（多選）如圖所示的是某受污染的湖泊在自然凈化的過程中某種有害物質(zhì)的剩

余量y與凈化時間t（月）之間滿足的函數(shù)關(guān)系:y=a（tNO,a>0,aW1）的圖象.若有

害物質(zhì)的初始量為1,則以下說法中正確的是（）

A.第4個月時,剩余量就會低于2

B.每月減少的有害物質(zhì)的量都相等

C.有害物質(zhì)每月的衰減率為暫

D.當(dāng)剩余量為iI時,所經(jīng)過的時間分別是3t2,t3,則tI+t2=t3

Z4o

6.(多選)(2022福建龍巖期末)已知函數(shù)f(x)上￥t°,若關(guān)于x的方程

(.2x-l,x>0,

4[f(x)F-4af(x)+2a+3=0有5個不同的實根,則實數(shù)a的值可以為()

34

A.B.

23

C二D--

L45

7.(2022北京東城期末)設(shè)函數(shù)f(x)=loga(|x|+1)(a>l),則f(x)是(填

“奇函數(shù)”或“偶函數(shù)”)；若f.(x)=，￡)；Y：，；(T>0),則當(dāng)T二時，函數(shù)

fT(X)的值域為.

8.(2020山東聊城期末)設(shè)區(qū)間[a,b]是函數(shù)f(x)的定義域D的子集,定義在[a,b]

上的函數(shù)g(x)=|f(x)-f(x0)|上e[a,b]),記為g[a,b](x,x0)=|f(x)-f(x0)|.若

2yfx,0<x<1,

f(X)=1.則f(X)的值域為，若關(guān)于X的方程g04](X,2)-t=0

恰有3個不同的解,則實數(shù)t的取值范圍為.

9.(2020山東煙臺期末)科技創(chuàng)新在經(jīng)濟(jì)發(fā)展中的作用日益凸顯.某科技公司為實

現(xiàn)9000萬元的投資收益目標(biāo),準(zhǔn)備制訂一個激勵研發(fā)人員的獎勵方案：當(dāng)投資收

益達(dá)到3000萬元時,按投資收益進(jìn)行獎勵,要求獎金f(x)(單位:萬元)隨投資收

益x(單位:萬元)的增加而增加，獎金總數(shù)不低于100萬元,且獎金總數(shù)不超過投

資收益的20%.

(1)現(xiàn)有三個獎勵函數(shù)模

x

型:①f(x)=0.03x+8,②f(x)=0.8+200,③f(x)=1001og20x+50,x￡①000,9000].

試分析這三個函數(shù)模型是否符合公司要求；

(2)根據(jù)⑴中符合公司要求的函數(shù)模型,要使獎金達(dá)到350萬元,公司的投資收益

至少要達(dá)到多少萬元？

10.(2021山西太原期中)已知函數(shù)f(X)=l-1[(a>0且aWl)為定義在R上的奇

2ax4-a

函數(shù).

(1)利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增；

⑵求不等式f(X2+2X)+f(x-4)>0的解集.

綜合拔高練

五年高考練

1.C將L=4.9代入L=5+lgV,得4.9=5+lgV,

1_1

即lgV=-O.1=--=lg10io,

111

V=1010=—----心0.8,

10(V/101.259

...其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為0.8.故選C.

2.CV2=5=10,.,.a=log210,b=log510,

—+-^—=lg2+lg5=1.

ablog210log510

-!,,0321010

3.BValog34=2,Aa=21ogt3=log23,4=4-^=2-^3=2^=1,故選B.

4.BVa=log0.20.3,b=log20.3,

1111

??一二Iogo.30.2,—=10go.32,?=1ogo.30.4,

abab

.,.0<i+-<l,即0<—<1.

abab

又b<0,.*.ab<0,.,.ab<a+b<0.

故選B.

5.D對于f(x)=-x,由正比例函數(shù)的性質(zhì)可知，f(x)是減函數(shù)，故A不符合題意;

對于f(x)=G『，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，f(x)是減函數(shù)，故B不符合題意；

對于f(x)=x2,由二次函數(shù)的圖象可知，￡&)在(-8,0)上單調(diào)遞減,在(0,+8)上

單調(diào)遞增，故C不符合題意；

1

對于f(x)=V^=E由嘉函數(shù)的性質(zhì)可知，f(X)在(-8,+8)上單調(diào)遞增，故選D.

6.B設(shè)fa)=鳴,易知f(x)的定義域為(-8,0)U(0,+8),關(guān)于原點對稱,且

f(x),故f(x)是偶函數(shù),其圖象關(guān)于y軸對稱,排除A、C.當(dāng)

(-X)+2X2+2

X>1時，Inx>0,X2+2>0,則f(x)>0,排除D.故選B.

7.DVa=log.O,3<0,b=logiO.4>logi0.5=1,c=0.4°-3<0.4=1,且c>0,.\a<c<b.

22

1

111,

8.CVlog52<log552=|,log83>log882=|,..a<c<b.故選C.

9.D不等式f(x)>0等價于不等式2,x+l,作出函數(shù)y=2、和函數(shù)y=x+l的圖象，

如圖所示，易知兩個函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)為(1,2)和(0,1),觀察函數(shù)圖象可知，當(dāng)

x>l或x<0時,函數(shù)y=2*的圖象在函數(shù)y=x+l圖象的上方,此時2*>x+l,故不等式

f(x)>0的解集為(一8,o)u(1,+8),故選D.

10.A因為2x-2y<3--3-y,所以2'-3f

設(shè)f(x)=2，-31

因為函數(shù)匕=2、和t2=3”分別是R上的增函數(shù)與減函數(shù),

所以f(x)在R上為增函數(shù).

由2'-3飛2丫-3r'得x<y,

所以y-x+l>l,所以ln(y-x+l)>0.故選A.

11.B易知2fl+log2a=2"+log2b<2%+log2(2b),

x

令f(x)=2+log2x,則f(a)<f(2b),

又易知f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以a〈2b,故選B.

12.Aa=log53G(0,l),b=log85e(0,1),則

log53log5822

￡=12g|=lOg53Xlog58<(^)=(^)<l,.-.a<b.

5555

,.-13'<8,.,.13<13X8,兩邊同取以13為底的對數(shù)得log1313Mlog13(13X8),6P

logi38>|,?'?cA

545555

V5<8,8X5<8,兩邊同取以8為底的對數(shù)得log8(8X5)<log88,即

log85<|,

綜上所述,c>b>a,故選A.

13.答案1

解析???f(x)=x3(a-2X-2f)為偶函數(shù)，

.,.2a-1=-Qa-2),

??a=1.

當(dāng)a=l時,f(乃:/吃，2")，其定義域為R,且滿足f(-x)=f(x),故f(x)為偶函數(shù).

14.C解法一:令f(x)=(x-a)(x-b)(x-2a-b),則方程f(x)=0存在三個根

xi=a,x2=b,x3=2a+b.當(dāng)三個根都小于0時，如圖①所示,對于任意xe0,f(x)>0恒

成立,符合題意.

當(dāng)存在實數(shù)根大于0時,要使得對于任意x20,f(x)20恒成立,則三個根一定是

兩個相等的正根和一個負(fù)根,如圖②所示.當(dāng)a=b>0時,2a+b>0,不符合題意,舍去;

當(dāng)a=2a+b>0時，a=-b>0,b<0,符合題意;當(dāng)b=2a+b時,a=0,不符合題意，舍去.綜上

所述，當(dāng)滿足條件時,b<0.故選C.

解法二：令f(x)=(x-a)(x-b)(x-2a-b),則

f(0)=(-a)?(-b)?(-2a-b)=-ab(2a+b)20,則ab,(2a+b)WO.若b>0,則當(dāng)a>0

時，ab(2a+b)>0,與ab(2a+b)WO矛盾，舍去;當(dāng)a<0時,由ab(2a+b)WO,得2a+b20,

故a+b>0,f(a+b)=(a+b-a),(a+b-b)(a+b-2a-b)=ab(-a)=-a2b<0,與已知矛盾，舍

去.故b<0.故選C.

15.D令h(x)令kx,-2x|,函數(shù)g(x)=f(x)-|kx"2x|(k￡R)恰有4個零點,即y=f(x)

與y=h(x)的圖象恰有4個交點.

當(dāng)k冶時,h(x)=-|X2-2X=".|_2x|,在同一直角坐標(biāo)系中作出y=f(x),y=h(x)

的圖象,如圖.

由圖可知y=f(x)與y=h(x)的圖象恰有4個交點,即函數(shù)g(x)=f(x)-1kxz-2x1恰有

4個零點，排除A,B.

當(dāng)k=l時,h(x)=|x?-2x|,作出y=h(x)與y=f(x)的圖象,如圖所示.

此時，函數(shù)y=f(x)與y=h(x)的圖象僅有2個交點,不合題意,排除C.故選D.

8y/x+x,0<x<1,

16.D由f(x)=--x+a,得4a=

4-+x,x>1,

(Vx+4)2-16,0<x<1,

即4a='4

-+X,X>1.

\x

(V%+4)2-16,0<x<1,

令g(X)='4,y

-+X,X>1,

\x

則方程f(x)=-；x+a(a￡R)的解的個數(shù)即為函數(shù)y=g(x)的圖象與直線y=4a的交點

4

的個數(shù).

當(dāng)0<xWl時,y=(V%+4)2-16單調(diào)遞增，此時ye[0,9];

當(dāng)x>l時,y=3+x在(1,2]上單調(diào)遞減，此時ye[4,5),在(2,+8)上單調(diào)遞增,此時

X

y￡(4,+°°),故當(dāng)x>l時，y=-+x[4,+°°).

X

作出函數(shù)丫=晨噌的圖象，如圖所示，

由圖可知，當(dāng)直線y=4a與函數(shù)y=g(x)的圖象有兩個交點時,5W4aW9或4a=4,即

[WaW：或a=l.故選D.

17.答案(1)(2)(4)

解析令f(x)=|lgx|-kx-2=0,得1lgx|=kx+2,

令g(x)=11gx|,h(x)=kx+2,

所以f(x)的零點個數(shù)即函數(shù)g(x)與h(x)圖象的交點個數(shù).

當(dāng)k=0時，如圖a,g(x)與h(x)的圖象有兩個交點，則f(x)有兩個零點，故(1)正確;

當(dāng)k>0時,如圖b,存在h(x)=k°x+2的圖象與函數(shù)g(x)=|lgx|(x>l)的圖象相切的

情況,此時h(x)與g(x)的圖象有兩個交點，當(dāng)O〈k<k。時,g(x)與h(x)的圖象有三

個交點，則f(x)有三個零點，故(4)正確；

當(dāng)k<0時,如圖c,g(x)與h(x)的圖象最多有兩個交點,g(x)與h(x)的圖象相切時

有一個交點，如圖d,故⑵正確，(3)不正確.

綜上,正確結(jié)論的序號為⑴為)(4).

18.D把題圖中散點用光滑曲線連接起來比較接近對數(shù)型函數(shù)的圖象,故選D.

19.解析⑴由題意知，當(dāng)30<x<100時，f(x)=2x+L&-90,令2x+3絲-90>40,

XX

即X2-65X+900>0,解得x<20或x>45,

故(45,100)時,公交群體的人均通勤時間少于自駕群體的人均通勤時間.

⑵當(dāng)(KxW30時，g(x)=30?x%+40(l-x%)=40-^;

當(dāng)30<x〈100時，+90)?x%+40(l-x%)=,x+58.

/40--x,0<x<30,

故g(x)=<213

---x+58,30<x<100.

當(dāng)0<x<32.5時,g(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)32.5<x<100時,g(x)單調(diào)遞增.

說明該地上班族S有小于32.5%的人自駕時一，人均通勤時間是遞減的；

有大于32.5%的人自駕時，人均通勤時間是遞增的；

當(dāng)有32.5%的人自駕時，人均通勤時間最少.

三年模擬練

1.D對于A,f(x)=x，即2>x=x，可得2M),方程無解，不存在不動點;對于B,

f(x)=x,即x2-x+3=x,可得x2-2x+3=o,方程無解，不存在不動點；對于C,f(x)=x,

則x+|x-21=0,即｛:=°，或｛:+；一2=0,無解,不存在不動點;對于口，

f(x)=x,即1gx+2x-6=o,設(shè)g(x)=lgx+2x-6,則g(l)=-4<0,g(3)=lg3>0,又g(x)

在區(qū)間(1,3)上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(1,3)上存在

零點，即方程f(x)=x有解,存在不動點.

故選D.

2.D由題意知，Ro=l+25%X4=2.

...經(jīng)過6輪傳播后由甲引起的得病的總?cè)藬?shù)約為2+22+23+2,+25+26=126.故選D.

3.D???b=log34=g=^,c=]og58=J1|二魯，

.b「21g231g2_21g2xlg5-31g2xlg3」g2⑵g5-31g3)」g2(lg25Tg27)<0

,?Clg3lg5Ig3xlg5Ig3xlg5Ig3xlg5'

.,.b<c.

1og55<1og58<log5V125=log552=|,/.Kc<|.

a=log23>log2V8=log222=|,a>|.

...b〈c<a,故選D.

4.Af(x)=|1g有兩個零點xi,X2,即y=|1gx|與y=3*的圖象有兩個交點,

在同一直角坐標(biāo)系中畫出y=3'和y=|lgx|的圖象(圖略)，

易得兩函數(shù)圖象在(0,1)和(1,+8)上各有一個交點，

不妨設(shè)xi￡(0,l),x2e(L+8),

則3一久i=—lgXi,3r2=lgx2,

.??3F一3-=ig(xiX2),

?.?X2>X1,...3一%2〈3-右，gp3-x2-3-X1<0,

lg(xix2)<0,.*.0<XiX2<l.故選A.

5.ACD根據(jù)圖象過點(2,J可知,露：

解得a=|或a=](舍去)，y=Q)f.

令t=4,得丫=普",故A正確；

815

當(dāng)t=l時,y4,減少了當(dāng)t=2時,減少了今所以每月減少的有害物質(zhì)的量不

3399

相等，故B不正確；

因為產(chǎn)?'=(1一3：所以有害物質(zhì)每月的衰減率為故C正確；

分別令y=；,解得t!=log2t2=log2t3=log2^,貝I]ti+t2=t3,故D正確.故選ACD.

6.BCD作出函數(shù)f(x)=j沃”"x：0,的圖象如下，

(2x-l,x>0

令t=f(x),若關(guān)于x的方程4[f(x)]2-4af(x)+2a+3=o有5個不同的實根，

則關(guān)于t的方程4t2-4at+2a+3=0有兩個不同的實根,且兩根分別在(-1,0)和

(-2,T]上，

令g(t)=4t2-4at+2a+3,

%(-2)>0,H0a+19>0,

而g(-1)<0,an)6a+7<0,&7,zS3/々i

則</小、八即<yQ、n解得

g{0}>0,2a+3>0,26

、/=(-4a)2-16(2a+3)>0,va2-2a-3>0,

故選BCD.

易錯警示用圖象法解決函數(shù)零點的個數(shù)、函數(shù)零點的范圍等問題時，準(zhǔn)確畫圖

是解題的關(guān)鍵,要防止因畫圖不準(zhǔn)或憑空想象導(dǎo)致解題錯誤.

7.答案偶函數(shù);(-8,二]u[0,工)

解析因為IX|+121>0恒成立,所以f(X)的定義域為R,關(guān)于原點對稱，

又f(-X)=loga(I-XI+1)=loga(IXI+1)=f(x),所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù).

因為|x|+121,a>l,所以f(x)=loga(|x|+1)20,

若T=-,則由題意可得當(dāng)f(x)T時，f(x)=f(x)<-,故0WfT(x)<\

aaTaa

當(dāng)f(X)2工時，fr(x)=-f(X)W-工.

aa

綜上,函數(shù)fT(x)的值域為(-8,二]U[o,

\ala/

8.答案[0,2);Q,1]

解析當(dāng)OWx〈l時，f(x)=2V^￡[0,2);當(dāng)xNl時,f(x)=-G(0,1].