2023人教版新教材高中數(shù)學(xué)必修第一冊同步練習(xí)-全書綜合測評

2023人教版新教材高中數(shù)學(xué)必修第一冊

全書綜合測評

（滿分150分,考試用時120分鐘）

一、單項選擇題（本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項

中，只有一項是符合題目要求的）

1.設(shè)集合A={x10<x<4},B={2,3,4},則AGB=（）

A.{2,3}B.{1,2,3}

C.{2,3,4}D.{1,2,3,4}

2.命題“*￡R,x'Wl”的否定是（）

A.VxGR,x2=lB.Vx^R,x2=l

C.3xGR,x2=lD.3x^R,x2=l

3.將函數(shù)y=cos2x的圖象向左平移!個單位長度,再將各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/p>

6

X縱坐標(biāo)不變），則得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式是（）

A.y=cos（6%+三）B.y=-cos6x

C.y=cos（|x+9D.y=-cos|x

4,函數(shù)f（x）=log21x|+cosx的大致圖象是（）

f()

5.考古科學(xué)家在測定遺址年齡的過程中利用了“放射性物質(zhì)因衰變而減少”這

一規(guī)律.已知樣本中碳14的質(zhì)量N隨時間t(單位:年)的衰變規(guī)律滿足

N=No,2-5730(No表示碳14原有的質(zhì)量).經(jīng)過測定,某遺址文物樣本中碳14的質(zhì)

量是原來的;至|,據(jù)此推測該遺址存在的時期距今約年到5730年之間

(參考數(shù)據(jù)：logz3⑥1.6,log25^2.3)()

A.4011B.3438C.2865D.2292

6.設(shè)an),若sina=|,貝ij2cos(2a-%()

A31V2D17V2

A.------D.------

2525

7V2V2

rC-右Dn.一云

7.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在(-8,0］上單調(diào)遞減,設(shè)

a=f(log45),b=f(log20,c=f(0.2°'),則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.c<a<bB.b<a<c

C.b<c<aD.a<b<c

8.定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(l+x)=f(l-x)恒成立,若f(1)=2,則

f(20)+f(21)+f(22)的值為()

A.6B.4C.2D.0

二、多項選擇題(本題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有

多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分)

9.下列命題中正確的是()

A.若a>b,則ac2>bc2

B.若2<a<3,-2<b<-l,則3<a-b<5

C.若a>b>0,m>0,則竺叱&

a+ma

D.若c>a>b>0,則-->二

c-ac-b

10.下列各式的值為1的是（）

Atan20°4-tan25°

tan20°tan25°-1

1

C.sin72°cos18°-cos108°sin18°

D.2cos?22.5°-1

IL某校高一數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組的同學(xué)為研究課題“碳排放與氣候變化問題”，

觀察記錄了某天從6時到14時的溫度變化,其變化曲線近似滿足函數(shù)

y=f(x)=Asin(wx+4))+b(A>0,3>0,0<@<n),如圖，貝！|()

fy/T

~（y^68101214r/h

A..(.b=—3TE

4

B.函數(shù)f(x)的最小正周期T為16n

C.VxeR,f(x)+f(x+8)=40

D.若g(x)=f(x+m)是偶函數(shù),則|m|的最小值為2

12.定義f(x)={x}(其中{x}表示不小于x的最小整數(shù))為“取上整函數(shù)”.例如

{2.1}=3,{4}=4.以下關(guān)于“取上整函數(shù)”的結(jié)論正確的是()

A.f(2x)=2f(x)

B.若f(x)=f(y),則x-y<l

C.Vx,y￡R,f(x+y)Wf(x)+f(y)

D.f(x)+f(%+0=f(2x)

三、填空題(本題共4小題,每小題5分，共20分)

13.已知扇形A0B的圓心角NA0B號,弧長為2n,則扇形的面積為.

14.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)是增函數(shù),若f(a)+f(3aT)<0,則a的取值范圍

是.

15.若函數(shù)f(x)=lg[(a-l)x2+ax+l]的值域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)a的取值范圍

是.

fl

—丫2Q2乂j-2xV0

16.設(shè)函數(shù)f(x)=2%十?zx十Z,X_u,若關(guān)于x的方程f(x)初有四個不同的解

Jlog2x|,x>0,

X|,x2,x3,x4,且XI<X2<X3<X,|,則m的取值范圍是,正程+4X：3靖的取值范圍

是?

四、解答題(本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.(10分)設(shè)集合A={x|(x+1)(x-5)<0},集合B={x12-a?l+2a}，其中aWR.

⑴當(dāng)a=l時，求AUB;

(2)若“x￡A”是“x￡B”的必要不充分條件，求a的取值范圍.

//八\cos(n+e)?cos(y-e)

18.(12分)已知f(。)=——.()第"

sin(2n-0)

⑴若f(。)=3,求cos20的值；

(2)若f(0-^)4且江6濯,求sin9的值.

\6/363

19.(12分)已知函數(shù)f(x)=2sinxsin(%+f+cos2x.

⑴求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間和最值；

⑵若函數(shù)g(x)=f(x)-a在x￡［。，，上有且僅有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

20.(12分)某企業(yè)決定開發(fā)生產(chǎn)一款大型凈水設(shè)備,生產(chǎn)這款設(shè)備的年固定成本

為600萬元,每生產(chǎn)x(x￡N*)臺需要另投入成本c(x)萬元.當(dāng)年產(chǎn)量x不足100

臺時,c(x)=3?+40乂-650;當(dāng)年產(chǎn)量x不少于100臺時,c(x)=101x+10000-3600.

3x~2

若每臺設(shè)備的售價為100萬元,且該企業(yè)生產(chǎn)的凈水設(shè)備能全部售完.

⑴求年利潤y(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(臺)的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)年產(chǎn)量x為多少時，該企業(yè)在這一款凈水設(shè)備的生產(chǎn)中獲利最大?最大年利

潤是多少萬元？

21.(12分)已知函數(shù)f&)=掌&三0).

%+1

⑴證明：f(x)在區(qū)間［0,+8)上為增函數(shù)；

⑵若在［0,2］上存在實(shí)數(shù)X。,使得f&。)q+1成立,求正數(shù)m的取值范圍

22.(12分)已知函數(shù)f(x)=筌J是定義在R上的奇函數(shù).

⑴求實(shí)數(shù)a的值；

(2)解關(guān)于x的不等式f(X2+2X-3)+f(l-3x)<0;

⑶是否存在實(shí)數(shù)k,使得函數(shù)f(x)在區(qū)間［m,n］上的取值范圍是“封?若存在,

求出實(shí)數(shù)k的取值范圍;若不存在,請說明理由.

答案全解全析

1.A

2.A

3.A將函數(shù)y=cos2x的圖象向左平移於單位長度,得到y(tǒng)=cos(2%+以的圖象,

再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標(biāo)不變)，得到y(tǒng)=cos(6%+以的

圖象.故選A.

4.C因?yàn)閒(-x)=log2〔-x|+cos(-x)=log21x|+cosx=f(x),且f(x)的定義域?yàn)?/p>

{x|xW0},關(guān)于原點(diǎn)對稱，

所以f(x)為偶函數(shù),其圖象關(guān)于y軸對稱,排除B,D.

當(dāng)X趨近于0時,y=log21x|趨近于負(fù)無窮，y=cosx趨近于1,所以f(x)趨近于負(fù)

無窮，排除A.故選C.

5.A因?yàn)樘?4的質(zhì)量是原來的稱至|,所以］W2至為W|,兩邊同時取以2為底的對

數(shù)得-1忘-』忘1082|,所以-57301og2(WtW5730,

又-57301og2|=-5730(log23-log25)^4011,所以推測該遺址存在的時期距今約

4011年到5730年之間.故選A.

6.B因?yàn)閍￡管,n),且sina=|,

所以cosa=-Vl~sin2a=-Jl-

所以sin2a=2sinacosa=2x|x(-

cos2a=2cos'a-1=2X-1=^,

所以2cos(2a-；)=2(cos2acos:+sin2asin

=2(Zx直-上x匹)=-坨.故選B.

7.A因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),所以f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱,且

b=f^log21)=f(log23).因?yàn)閒(x)在(-8,0］上單調(diào)遞減,所以f(x)在(0,+8)上單

55

調(diào)遞增.因?yàn)閘og23>log2V5=log45>l,0<0.2°-<0,2°=1,所以log23>log.5>0.2°->0,

05

所以f(log23)>f(log45)>f(0.2,),即c<a<b.故選A.

8.C?.?定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(l+x)=f(bx)恒成立，

.*.f(0)=0,f(2+x)=f(-x)=-f(x),

f(4+x)=-f(x+2)=f(x),

是周期為4的函數(shù)，

，f(20)=f(5X4+0)=f(0)=0,f(21)=f(5X4+l)=f(l)=2,

f(22)=f(5X4+2)=f(2)=f(0)=0,

...f(20)+f(21)+f(22)=2.故選C.

9.BCD對于A選項，當(dāng)c=0時命題不成立，故A錯誤;

對于B選項,由-2<b〈T,得K-b<2,又2<a<3,所以3<a-b<5,故B正確;

對于C選項，由于a>b>0,m>0,因此也二基等"=半々>（）,故C正確；

對于D選項，由c>a>b>0得0<c-a<c-b,故」所以上〉S-,故D正確.

c-ac-bc-ac-b

故選BCD.

tan200+tan25°tai2025

10.BC?_-=-tan(20°+25°)

tan20°tan25°-11-tan20°tan25°

=-tan45°=T,A不符合題意;

sin72°cos18°-cos108°sin18°=sin72°cos18°+cos72°sin

18°=sin(72°+18°)=sin90°=1,C符合題意;

2COS222.5°-l=cos45°=?,D不符合題意.

故選BC.

n.ACD由題圖可知佇*T=3；o所以｛,效

所以f(x)=10sin(<ox+<i))+20.

由題圖可知|=14-6=8,所以T=16,故B選項錯誤.

3=午啜=/故f(x)=10sinQx+(p)+20,

又f(6)=10sin(手+<p)+20=10,所以sin(*+(p)=T,

由0<6<n,得*〈4+6年

所以于6=9,故。A選項正確.

424

由上述分析可得f(x)=10sin信x+乎)+20,

所以f(x+8)=10sin植(x+8)+斗卜20=10sin6x+斗+冗)+20

=-10sinQx+乎)+20,所以f(x)+f(x+8)=40,C選項正確.

若g(x)=f(x+m)=10sin(x+m)+乎+20=10sinQx++乎)+20是偶函數(shù),

貝lFm+^=kn+2,k￡Z,所以m=8k-2,keZ,所以ImI的最小值為2,D選項正確.

842

故選ACD.

12.BC作出函數(shù)f(x)的部分圖象如圖所示：

4----------<?——t

3Ti

2-H：：

-4\\\

~~~~Mi234

由圖可知,對任意的xbX2^R且X1<X2,f(X1)Wf(X2).

當(dāng)x=l.5時,f(2x)=3,2f(x)=4,f(2x)W2f(x),故A錯誤;

設(shè)x=m-a(m￡Z,0Wa<l),y=n-b(n￡Z,0Wb〈l),

若f(x)=f(y),貝ljm=n,因此x-y=b-aWbCl,故B正確；

f(x+y)=f(m+n-a-b)Wf(m+n)={m+n}=m+n,f(x)+f(y)=f(m-a)+f(n-b)=m+n,所以

f(x+y)Wf(x)+f(y),故C正確；

當(dāng)x=1.9時，f(1.9)+f(1.9+0.5)=2+3=5Wf(2X1.9)=4,故D錯誤.

故選BC.

13.答案3n

解析設(shè)扇形AOB的半徑為r,則廠票=3,

3

故扇形的面積為2JiX3=3Ji.

14.答案(-oo,1)

解析因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以f(a)+f(3a-l)<0等價于f(a)<-f(3a-l)=f(l-3a),

又f(x)在R上為增函數(shù),所以a<l-3a,即a《,故a的取值范圍是(-8,

15.答案[1,+8)

解析若f(x)的值域?yàn)镽,

則或a+。，解得心1.

16.答案0<mW2;(0,15]

解析若關(guān)于x的方程f(x)初有四個不同的解,則y=m與y=f(x)的圖象有四個交

點(diǎn).作出y=m和y=f(x)的圖象如圖所示，

由圖可知0<m<2,0&3<1奴￡4,甘紜-2,即X1+x2=-4.

因?yàn)?10g2X3|=|10g2X4|,所以-10g2X3=10g2X,i,IPx3x4=l,

所^^ii^+4x3x^=4x.--.

X4%4

設(shè)y=4t-^（Kt^4）,

易知y=4t9在（1,4]上單調(diào)遞增,所以y￡（0,15],

故?+4x3媛的取值范圍是（0,15].

17.解析（1）由題意得人=收|-l〈x<5}.（2分）

當(dāng)a=l時,B={x1WXW3},故AUB={x|T〈x<5}.(4分)

⑵由“x￡A”是“x￡B”的必要不充分條件，可得B是A.(5分)

當(dāng)B=0時，2-a>l+2a,解得a<1,滿足題意；(7分)

卜41

當(dāng)BW。時,則有,1+力<5,解得#a<2.(9分)

<2~a>-1,

綜上,a的取值范圍為(-8,2).(10分)

cos（TI+6）?cos切=3^=COS0.（4分）

18.解析(l)f(0)二sin（2ir-0）-sin。

因?yàn)閒（0）=cos9=1,所以cos29=2cos2。-1=-（（6分）

⑵由題意可得f(0-^=cos(0-^)=|.

因?yàn)?0§所以。<。-漢,

所以sin（6-]=平.（9分）

所以sin0=sin+B）=sin（e-￡）cos：+cos（eT）sin

12V6+1

義爭N26（12分）

19.解析（l）f（x）=2sinxQsinx+-^-cosx^+cos2x

=sin2x+—sin2x+cos2x=1cos2^+—sin2x+cos2x

222

=—sin2x+-cos2x+*=sin（2%+（2分）

222\6/2

令凸2kn<2x+XE+2k耳，k￡Z,

262

解得-E+knWxW^+kJi,kez,

36

故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[T+kn,^+k7r],kGZ.(4分)

易得f(x)的最大值為右最小值為彳.(6分)

(2)若函數(shù)g(x)=f(x)-a在x￡0,手上有且僅有兩個零點(diǎn)，

則函數(shù)y=f(x),xG0,1與y=a的圖象有2個交點(diǎn).(9分)

由⑴可得當(dāng)x￡[0,，時，f(x)在[0,手上單調(diào)遞增，在旨1上單調(diào)遞減,

/\3

f

(71-!--

又f(0)=1,\672fe)=0,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為1,I).(12分)

20.解析(1)由題意可得y=100x-[600+c(x)]

100X-600-Qx2+40x-650),x<100,x￡N*,

(3分)

、1。。％-6。。-(101x+巖-3600),x>100,xeN%

-x2+60x+50,x<100,x￡N*,

即y=?3(6分)

3

(x+3詈)+000-x>100,x￡N*.

(2)當(dāng)x<100時,y=-|x2+60x+50=-1(x-90)2+2750,

...當(dāng)x=90時，y*=2750;(8分)

當(dāng)xl100時，y=-(x+與羅)+3000=-(x-2+牛詈)+2998^-2710000+2998=2

798,當(dāng)且僅當(dāng)x-2)號,即x=102時，等號成立,故ymax=2798.

x-2

V2798>2750,.?.當(dāng)年產(chǎn)量為102臺時，該企業(yè)在這一款凈水設(shè)備的生產(chǎn)中獲利

最大,最大年利潤是2798萬元.(12分)

21.解析(1)證明：易得f(x)=分=2-三.

x+lX+1

任取xi,x2e[0,+8),且xi>x2,

則f(xAf(X2)TT\六：2,(3分)

x2+l%1+1(%1+1)(%2+1)

因?yàn)閤1>X220,所以x-x2>0,X1+l>0,x2+l>0,

所以f(xi)-f(x2)>0,即f(xi)>f(X2),

故f(x)在［0,+8)上是增函數(shù).(6分)

(2)由(1)可知，f(x)是［0,+8)上的增函數(shù),

故f(x)在［0,2］上的最大值為f(2)=|.(9分)

若在［0,2］上存在實(shí)數(shù)xo,使得f(x°)>￡+l成立,則(10分)