湖北省黃岡市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)模擬試題（含答案）

湖北省黃岡市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)模擬試題一?單選題（本大題共8小題，共40.0分.在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1．容量為8的樣本：3.5，3.8，4.2，4.8，5，5，5.5，6.3，其第75百分?jǐn)?shù)是（

）A．6 B．5.25 C．5 D．5.52．在拋擲硬幣試驗(yàn)中，記事件A為“正面朝上”，則下列說法正確的（

）A．拋擲兩枚硬幣，事件“一枚正面，一枚反面”發(fā)生的概率為B．拋擲十枚硬幣，事件B為“拋擲十枚硬幣，正面都朝上”沒有發(fā)生，說明C．拋擲100次硬幣，事件A發(fā)生的頻率比拋擲50次硬幣發(fā)生的頻率更接近于0.5D．當(dāng)拋擲次數(shù)足夠大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率接近于0.53．已知點(diǎn)在平面內(nèi)，是平面的一個(gè)法向量，則下列點(diǎn)中，在平面內(nèi)的是（

）A． B． C． D．4．已知點(diǎn)P（a，b）與點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱，則直線l的方程是（

）A． B． C． D．5．在三棱柱中，E是棱的三等分點(diǎn)，且，F(xiàn)是棱的中點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．6．一條光線從點(diǎn)（－2，－3）射出，經(jīng)y軸反射后與圓相切，則反射光線所在直線的斜率為（

）A．或 B．或 C．或 D．或7．已知橢圓與軸交于點(diǎn)A，B，把線段AB分成6等份，過每個(gè)分點(diǎn)作軸的垂線交橢圓的上半部分于點(diǎn)，，，，，是橢圓C的右焦點(diǎn)，則（

）A．20 B． C．36 D．308．曲線與直線y＝k(x－2)＋4有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．二?多選題（本大題共4小題，共20.0分.在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9．有一道數(shù)學(xué)難題，學(xué)生甲解出的概率為，學(xué)生乙解出的概率為，學(xué)生丙解出的概率為.若甲，乙，丙三人獨(dú)立去解答此題，則（

）A．恰有一人解出的概率為B．沒有人能解出的概率為C．至多一人解出的概率為D．至少兩個(gè)人解出的概率為10．給出下列命題，其中正確的是（）A．若是空間的一個(gè)基底，則也是空間的一個(gè)基底B．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面yOz的對(duì)稱點(diǎn)是C．若空間四個(gè)點(diǎn)P，A，B，C滿足，則A，B，C三點(diǎn)共線D．平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為.若，則11．下列說法正確的是（）A．直線的傾斜角的取值范圍為B．“”是“點(diǎn)到直線距離為3”的充要條件C．直線恒過定點(diǎn)D．直線與直線平行，且與圓相切12．在正三棱柱中，，，與交于點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．存在點(diǎn)，使得C．三棱錐的體積為D．直線與平面所成角的余弦值為三?填空題（本大題共4小題，共20.0分）13．已知基底，，，若，則.14．如圖，電路中A、B、C三個(gè)電子元件正常工作的概率分別為，，則該電路正常工作的概率.

15．橢圓的一焦點(diǎn)與兩頂點(diǎn)為等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則橢圓的離心率等于．16．若直線上存在點(diǎn)可作圓的兩條切線，切點(diǎn)為，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．四?解答題（本大題共6小題，共70.0分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．已知，.(1)若，求的值；(2)若，求實(shí)數(shù)的值.18．已知直線和的交點(diǎn)為．(1)若直線經(jīng)過點(diǎn)且與直線平行，求直線的方程；(2)若直線經(jīng)過點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求直線的方程．19．已知圓經(jīng)過點(diǎn)．(1)求圓的方程；(2)設(shè)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求的最大值與最小值．20．為慶祝建校115周年，某校舉行了校史知識(shí)競賽．在必答題環(huán)節(jié)，甲、乙兩位選手分別從3道選擇題、2道填空題中隨機(jī)抽取2道題作答．已知甲每道題答對(duì)的概率為，乙每道題答對(duì)的概率為，且甲乙答對(duì)與否互不影響，各題的結(jié)果也互不影響.(1)求甲恰好抽到1道填空題的概率；(2)求甲比乙恰好多答對(duì)1道題的概率.21．如圖，在四棱錐中，，底面ABCD為菱形，邊長為2，，且，異面直線PB與CD所成的角為，(1)求證：(2)若E是線段OC的中點(diǎn)，求點(diǎn)E到直線BP的距離.(3)求平面APB與平面PBC夾角的余弦值．22．已知橢圓的離心率為，上頂點(diǎn)為．(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，且，求的值．.1．B【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，所以?5百分?jǐn)?shù)是第6位數(shù)和第7位數(shù)的平均數(shù)，即為.故選：B.2．D【分析】根據(jù)古典概型判斷AB，利用概率與頻率的關(guān)系判斷CD.【詳解】拋擲兩枚硬幣，出現(xiàn)的基本事件為（正，反），（正，正），（反，正），（反，反），所以事件“一枚正面，一枚反面”發(fā)生的概率為，故A錯(cuò)誤；“拋擲十枚硬幣，正面都朝上”沒有發(fā)生，不能說明，應(yīng)有，故B錯(cuò)誤；拋擲100次硬幣，事件A發(fā)生的頻率與拋擲50次硬幣A發(fā)生的頻率不能判斷誰更接近于0.5，故C錯(cuò)誤；根據(jù)頻率與概率的關(guān)系知，當(dāng)拋擲次數(shù)足夠大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率接近于0.5，故D正確.故選：D3．A【分析】根據(jù)每個(gè)選項(xiàng)中P點(diǎn)的坐標(biāo)，求出的坐標(biāo)，計(jì)算，根據(jù)結(jié)果是否等于0，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)，即可判斷點(diǎn)是否在平面內(nèi).【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，，所以，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知,故在平面內(nèi)；對(duì)于選項(xiàng)B，，則，在平面內(nèi)，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知,故不在平面內(nèi)；對(duì)于選項(xiàng)C，，則，在平面內(nèi)，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知,故不在平面內(nèi)；對(duì)于選項(xiàng)D，，則，在平面內(nèi)，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知,故不在平面內(nèi)；故選：A4．A【分析】根據(jù)P（a，b）與點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱可求出直線l的斜率，再由中點(diǎn)驗(yàn)證即可求解.【詳解】點(diǎn)P（a，b）與點(diǎn)關(guān)于直l對(duì)稱，，又的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以直線l的方程為.故選：A5．D【分析】取的中點(diǎn)D，連接，進(jìn)而表示，再根據(jù)求解即可.【詳解】取的中點(diǎn)D，連接.所以.因?yàn)?，所?故選：D6．D【分析】求出點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，由對(duì)稱點(diǎn)作圓的切線，即為反射光線所在直線，求出切線斜率即得．【詳解】圓的圓心為，半徑為1，根據(jù)光的反射原理知，反射光線的反向延長線必過點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，易知反射光線所在直線的斜率存在，設(shè)為k，則反射光線所在直線的方程為，即，由反射光線與圓相切，可得，整理得，解得或．故選：D．7．D【分析】由題意知與，與分別關(guān)于y軸對(duì)稱，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，從而，，利用即可求解．【詳解】由題意，知與，與分別關(guān)于y軸對(duì)稱設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，由已知a=6,則，同時(shí)∴故選：D．8．D【分析】要求的實(shí)數(shù)的取值范圍即為直線斜率的取值范圍，主要求出斜率的取值范圍，方法為：曲線表示以為圓心，2為半徑的半圓，在坐標(biāo)系中畫出相應(yīng)的圖形，直線與半圓有不同的交點(diǎn)，故抓住兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，圓心到直線的距離等于圓的半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于的方程，求出方程的解得到的值；當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，由和的坐標(biāo)求出此時(shí)直線的斜率，根據(jù)兩種情況求出的斜率得出的取值范圍．【詳解】解：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：由題意可得：直線過，，又曲線圖象為以為圓心，2為半徑的半圓，當(dāng)直線與半圓相切，為切點(diǎn)時(shí)，圓心到直線的距離，即，解得：；當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，直線的斜率為，則直線與半圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)的范圍為．故選：．9．AC【分析】利用獨(dú)立事件的乘法公式、互斥事件的加法公式，求各選項(xiàng)對(duì)應(yīng)事件的概率即可.【詳解】A：恰有一人解出的概率為，正確；B：沒有人能解出的概率為，錯(cuò)誤；C：由A、B知：至多一人解出的概率為，正確；D：至少兩個(gè)人解出的概率為，錯(cuò)誤；故選：AC10．ACD【分析】根據(jù)三個(gè)向量是否共面判斷A，由點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)面的對(duì)稱判斷B，由向量的運(yùn)算確定三點(diǎn)共線可判斷C，根據(jù)向量共線求參數(shù)可判斷D?！驹斀狻繉?duì)于A,不共面，則不共面，所以也是空間的一個(gè)基底，故正確；對(duì)于B,點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面yOz的對(duì)稱點(diǎn)是，故錯(cuò)誤；對(duì)于C，由可得，即,所以A，B，C三點(diǎn)共線，故正確；對(duì)于D，由平面平行可得，所以，解得，故正確.故選：ACD11．ACD【分析】利用斜截式方程求解直線的傾斜角的范圍判斷；利用點(diǎn)到直線的距離判斷；直線系恒過的點(diǎn)的判斷；直線的平行與圓的位置關(guān)系判斷.【詳解】解：直線的傾斜角，可得，，所以的取值范圍為，，，所以正確；“點(diǎn)到直線距離為3”，可得．解得，，所以“”是“點(diǎn)到直線距離為3”的充分不必要條件，所以不正確；直線恒過定點(diǎn)，所以正確；直線即與直線平行，，所以直線與圓相切，所以正確；故選：ACD．12．AC【分析】A.利用空間向量運(yùn)算求解判斷；B.利用空間向量運(yùn)算求解判斷；C.利用等體積法求解判斷；D.利用線面角的求解判斷.【詳解】由題意，畫出正三棱柱如圖所示，向量，故A正確；假設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)，，所以.因?yàn)?，所?解得.故B錯(cuò)誤；因?yàn)檎庵?，所以，所以，所以，故C正確；設(shè)中點(diǎn)為，所以，三棱柱是正三棱柱，所以平面，所以即與平面所成的角，.故D錯(cuò)誤.故選：AC.13．【分析】根據(jù)向量平行的判定定理運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，且，則存在唯一實(shí)數(shù)，使得，即，可得，解得或，所以.故答案為.14．0.672##【分析】根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式和對(duì)立事件的概率計(jì)算公式即可得到答案.【詳解】由題意，電路能正常工作的條件是：必須正常工作，，至少有一個(gè)正常工作，所以電路能正常工作的概率為，故答案為.15．【分析】結(jié)合已知條件，利用橢圓的對(duì)稱性和等邊三角形的邊長相等即可求解.【詳解】不妨設(shè)橢圓的方程為：，，右焦點(diǎn)，若要橢圓的一焦點(diǎn)與兩頂點(diǎn)為等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則橢圓的另外兩個(gè)頂點(diǎn)為和，從而，即，又由，從而，故離心率.故答案為.16．【詳解】試題分析：若，則，直線上存在點(diǎn)可作和的兩條切線等價(jià)于直線與圓有公共點(diǎn)，由圓心到直線的距離公式可得,解之可得.考點(diǎn)：點(diǎn)到直線的距離公式及直線與圓的位置關(guān)系的運(yùn)用.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了點(diǎn)到直線的距離公式及直線與圓的位置關(guān)系的運(yùn)用，涉及到圓心到直線的距離公式和不等式的求解，屬于中檔試題，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力，以及學(xué)生的推理與運(yùn)算能力，本題的解答中直線上存在點(diǎn)可作和的兩條切線等價(jià)于直線與圓有公共點(diǎn)是解答的關(guān)鍵．17．(1)(2)【分析】(1)利用空間向量夾角公式的坐標(biāo)運(yùn)算直接求解；(2)根據(jù)兩向量的共線定理，利用坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】（1）由已知可得，，∴.（2），，∵，∴存在實(shí)數(shù)使得，∴，，，聯(lián)立解得.18．(1)(2)或【分析】（1）由已知可得交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)直線間的位置關(guān)系可得直線方程；（2）設(shè)直線方程，根據(jù)直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積，列出方程組，解方程.【詳解】（1）解：聯(lián)立的方程，解得，即設(shè)直線的方程為：，將帶入可得所以的方程為：；（2）解：法①：易知直線在兩坐標(biāo)軸上的截距均不為，設(shè)直線方程為：，則直線與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)為，由題意得，解得：或所以直線的方程為：或，即：或.法②：設(shè)直線的斜率為，則的方程為，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，解得：或所以m的方程為或即：或.19．(1)(2)最大值為64，最小值為4【分析】（1）設(shè)圓的方程為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，列出方程，即可求解.（2）將轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方，求得的值，結(jié)合圓的性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）解：由題意，圓經(jīng)過點(diǎn)，設(shè)圓的方程為，可得，解得，所以圓C的方程為，即，（2）解：由圓，可得圓心，半徑為又由的表示圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方，因?yàn)椋鶕?jù)圓的性質(zhì)，可得，所以的最大值為，最小值為.20．(1)(2)【分析】（1）列舉出事件空間中的所有基本事件，并得出甲至少抽到1道填空題的事件，結(jié)合古典概型運(yùn)算求解；（2）由相互獨(dú)立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式運(yùn)算求解．【詳解】（1）記3道選擇題的題號(hào)為1，2，3，2道填空題的題號(hào)為4，5，則試驗(yàn)的樣本空間，，，，，，，，，，共有10個(gè)樣本點(diǎn)，且每個(gè)樣本點(diǎn)是等可能發(fā)生的，所以這是一個(gè)古典概型，記事件“甲恰好抽到1道填空題”，則，故，因此甲恰好抽到1道填空題的概率為.（2）設(shè)事件，分別表示甲答對(duì)1道題，2道題，事件，分別表示乙答對(duì)0道題，1道題，根據(jù)事件的獨(dú)立性得，，，，記事件“甲比乙恰好多答對(duì)1道題”，則，且，兩兩互斥，與，與分別相互獨(dú)立，所以，，所以，故甲比乙恰好多答對(duì)1道題的概率為.21．(1)證明見解析；(2)；(3).【分析】（1）根據(jù)等腰三角形三線合一可得，由線面垂直的判定證得平面，從而得到，由線面垂直的判定可證得結(jié)論；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用長度關(guān)系可求得所需點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線距離的向量求法可得結(jié)果；（3）用二面角的向量求法可求得結(jié)果.【詳解】（1）四邊形為菱形，為中點(diǎn)，，，；，平面，，平面，又平面，，，平面，平面；（2）兩兩互相垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸建立如圖所示的空間