北師大版數(shù)學必修二課件：垂直關(guān)系的判定

2023/12/28北師大版數(shù)學必修二課件：垂直關(guān)系的判定6.1

垂直關(guān)系的判定1.直線與平面垂直(1)直線與平面垂直的定義如果一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線都垂直,那么稱這條直線和這個平面垂直.(2)畫法:當直線與平面垂直時,通常把表示直線的線段畫成和表示平面的平行四邊形的橫邊垂直.如圖所示.(3)直線與平面垂直的判定定理①文字敘述:如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么該直線與此平面垂直.②符號表示:若直線a?α,直線b?α,直線l⊥a,l⊥b,a∩b=A,則l⊥α.③圖形表示:④作用:線線垂直?線面垂直.做一做1

垂直于梯形兩腰的直線與梯形所在平面的位置關(guān)系是(

)

A.垂直 B.斜交C.平行 D.不能確定解析:梯形的兩腰所在的直線相交,根據(jù)線面垂直的判定定理可知選項A正確.答案:A名師點撥理解線面垂直的判定定理注意以下幾點:(1)定理可表述為“線線垂直,則線面垂直”.(2)“兩條相交直線”是關(guān)鍵詞,一定不要忽視這個條件,否則將導(dǎo)致結(jié)論錯誤,即“線不在多,相交就行”.(3)要證明一條直線與一個平面垂直,只需在平面內(nèi)找到兩條相交直線和該直線垂直即可,至于這兩條相交直線是否和已知直線有公共點無關(guān)緊要.(4)線面垂直的判定定理與線面垂直的定義往往在證題過程中要反復(fù)交替使用.2.二面角及其平面角(1)半平面的定義:一個平面內(nèi)的一條直線,把這個平面分成兩部分,其中的每一部分都叫作半平面.(2)二面角的定義:從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫作二面角,這條直線叫作二面角的棱,這兩個半平面叫作二面角的面.(3)二面角的記法:以直線AB為棱,半平面α,β為面的二面角,記作二面角α-AB-β.(4)二面角的平面角:以二面角的棱上任一點為端點,在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線,這兩條射線所成的角叫作二面角的平面角.(5)直二面角:平面角是直角的二面角叫作直二面角.【做一做2】

給出下列命題:①兩個相交平面組成的圖形叫作二面角;②異面直線a,b分別和一個二面角的兩個面垂直,則a,b所成的角與這個二面角的平面角相等或互補;③二面角的平面角是從棱上一點出發(fā),分別在兩個面內(nèi)作射線所成的角;④二面角的大小與其平面角的頂點在棱上的位置沒有關(guān)系.其中正確的是(

)A.①③ B.②④ C.③④ D.①②解析:由二面角的定義:從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫作二面角,可知①不對.畫出圖形,可知②正確.③中所作的射線不一定垂直于二面角的棱,故③不對.由定義知④正確.故選B.答案:B3.平面與平面垂直(1)兩個平面互相垂直的定義:兩個平面相交,如果所成的二面角是直二面角,就說這兩個平面互相垂直.(2)畫法:在畫兩個垂直的平面時,通常把表示直立平面的平行四邊形的豎邊畫成和表示水平平面的平行四邊形的橫邊垂直.如圖①②所示.(3)平面與平面垂直的判定定理①文字敘述:如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線,那么這兩個平面互相垂直.②符號表示:③圖形表示:④作用:線面垂直?面面垂直.做一做3

已知直線m,n與平面α,β,γ,下列可能使α⊥β成立的條件是(

)

A.α⊥γ,β⊥γ B.α∩β=m,m⊥n,n?βC.m∥α,m∥β D.m∥α,m⊥β解析:選擇適合條件的幾何圖形觀察可得,A中α∥β或α與β相交,B中α,β相交,但不一定垂直,C中α∥β或α與β相交.答案:D名師點撥理解面面垂直的判定定理注意以下幾點:(1)定理可簡記為“線面垂直,則面面垂直”,因此要證明平面與平面垂直,只需在其中一個平面內(nèi)找另一個平面的垂線,即證“線面垂直”.(2)兩個平面垂直的判定定理,不僅僅是判定兩個平面垂直的依據(jù),而且是找出垂直于一個平面的另一個平面的依據(jù).(3)要證α⊥β,可證α經(jīng)過β的某一條垂線,也可證明β經(jīng)過α的某一條垂線.思考辨析判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“√”,錯誤的打“×”.(1)若直線l垂直于平面α內(nèi)無數(shù)條直線,則有l(wèi)⊥α.(

)(2)若直線l垂直于平面α內(nèi)任意直線,則有l(wèi)⊥α.(

)(3)若直線l垂直于α內(nèi)的一個凸五邊形的兩條邊,則有l(wèi)⊥α.(

)(4)一個二面角的平面角有且只有一個.(

)(5)若直線l與平面α交于點O,且l與α不垂直,l?β,則α與β一定不垂直.(

)答案:(1)×

(2)√

(3)√

(4)×

(5)×探究一探究二易錯辨析探究一線面垂直及其判定

【例1】如圖所示,在三棱錐A-BCD中,BC=AC,AD=BD,作BE⊥CD,E為垂足,作AH⊥BE于點H.求證:AH⊥平面BCD.探究一探究二易錯辨析證明:取AB的中點F,連接CF,DF,因為AC=BC,所以CF⊥AB.同理可得,DF⊥AB.又CF∩DF=F,所以AB⊥平面CDF.因為CD?平面CDF,所以AB⊥CD.又BE⊥CD,且BE∩AB=B,所以CD⊥平面ABE.因為AH?平面ABE,所以CD⊥AH.又AH⊥BE,BE∩CD=E,所以AH⊥平面BCD.探究一探究二易錯辨析反思感悟證明線面垂直的關(guān)鍵是分析幾何圖形,尋找隱含的和題目中推導(dǎo)出的線線垂直關(guān)系,進而證明線面垂直.三角形全等、等腰三角形底邊上的中線、梯形的高、菱形和正方形的對角線、三角形中的勾股定理等都是找線線垂直的方法.變式訓(xùn)練1

如圖所示,AB是圓O的直徑,PA垂直于圓O所在的平面,C是圓O上的點.求證:BC⊥平面PAC.

分析:由AB是圓O的直徑可知AC⊥BC,再結(jié)合PA⊥平面ABC,即可證明BC⊥平面PAC.探究一探究二易錯辨析探究一探究二易錯辨析證明:由AB是圓O的直徑,得AC⊥BC.由PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,得PA⊥BC.又PA∩AC=A,PA?平面PAC,AC?平面PAC,所以BC⊥平面PAC.探究一探究二易錯辨析探究二面面垂直的判定

【例2】

如圖所示,PA垂直于矩形ABCD所在的平面,AD=PA=2,CD=2,E,F分別是AB,PD的中點.求證:(1)AF∥平面PCE;(2)平面PCE⊥平面PCD.探究一探究二易錯辨析分析:(1)要證AF∥平面PCE,只需證明AF平行于平面PCE內(nèi)的一條直線即可,取PC的中點G,則該直線為GE.(2)要證明平面PCE⊥平面PCD,只需證明GE⊥平面PCD,而由(1)知GE∥AF,故只需證明AF⊥平面PCD即可.探究一探究二易錯辨析證明:(1)取PC的中點G,連接FG,EG,∵F為PD的中點,E為AB的中點,∴FG=CD,且FG∥CD,AE=CD,且AE∥CD,∴FG=AE,且FG∥AE,∴四邊形AEGF為平行四邊形,∴AF∥GE.∵GE?平面PEC,AF?平面PCE,∴AF∥平面PCE.(2)∵PA=AD=2,∴AF⊥PD.∵PA⊥平面ABCD,CD?平面ABCD,∴PA⊥CD.又∵AD⊥CD,PA∩AD=A,∴CD⊥平面PAD.∵AF?平面PAD,∴AF⊥CD.∵PD∩CD=D,∴AF⊥平面PCD,∴GE⊥平面PCD.∵GE?平面PEC,∴平面PCE⊥平面PCD.探究一探究二易錯辨析反思感悟怎樣證明平面與平面垂直1.證明面面垂直的方法:(1)證明兩個半平面構(gòu)成的二面角的平面角為90°;(2)證明一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線,將證明面面垂直的問題轉(zhuǎn)化為證明線面垂直的問題.2.利用判定定理證明兩個平面垂直時,一般方法是先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線,若圖形中不存在這樣的垂線,則可通過作輔助線來解決,而作輔助線則應(yīng)有理論根據(jù)并且要有利于證明.探究一探究二易錯辨析變式訓(xùn)練2

已知正方形ABCD的邊長為1,分別取邊BC,CD的中點E,F,連接AE,EF,AF,以AE,EF,FA為折痕,折疊使點B,C,D重合于一點P.求證:

(1)AP⊥EF;(2)平面APE⊥平面APF.探究一探究二易錯辨析證明:(1)∵∠APE=∠APF=90°,∴AP⊥PE,AP⊥PF.又PE∩PF=P,∴PA⊥平面PEF.∵EF?平面PEF,∴PA⊥EF.(2)∵∠APE=∠EPF=90°,∴PE⊥AP,PE⊥PF.又AP∩PF=P,∴PE⊥平面APF.又PE?平面APE,∴平面APE⊥平面APF.探究一探究二易錯辨析對空間中線面關(guān)系理解不透徹而致誤

典例如圖所示,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD為正方形,則截面ACB1與對角面BB1D1D垂直嗎?探究一探究二易錯辨析錯解:如圖所示,設(shè)AC與BD的交點為O,連接B1O,則B1O是截面ACB1與對角面BB1D1D的交線.∵B1O不與底面垂直,∴截面ACB1不可能與對角面BB1D1D垂直.正解:∵四邊形ABCD是正方形,∴AC⊥BD.∵BB1⊥底面ABCD,∴AC⊥B1B.∵B1B∩BD=B,∴AC⊥對角面BB1D1D.又∵AC?截面ACB1,∴截面ACB1⊥對角面BB1D1D.糾錯心得1.因為B1O與底面不垂直,就斷定截面ACB1不可能與對角面BB1D1D垂直,這是毫無根據(jù)的.2.要克服上述錯誤,一定要將有關(guān)定理或性質(zhì)的適用條件及內(nèi)涵把握清楚,不能憑想當然進行毫無邏輯的論證.123451.下列各種情況中,一條直線垂直于一個平面內(nèi)的:①三角形的兩條邊;②梯形的兩條邊;③圓的兩條直徑;④正六邊形的兩條邊.不能保證該直線與平面垂直的是(

)A.①③ B.②C.②④ D.①②④解析:三角形的任何兩邊都相交;圓的任何兩條直徑都相交;但梯形中任意兩邊不一定相交,也可能平行;正六邊形中也存在平行的兩條邊,因此不能保證該直線與平面垂直的是②④.故選C.答案:C123452.在空間四邊形ABCD中,若AD⊥BC,BD⊥AD,則(

)A.平面ABC⊥平面ADC B.平面ABC⊥平面ADBC.平面ABC⊥平面DBC D.平面ADC⊥平面DBC解析:如圖所示,∵AD⊥BC,AD⊥BD,BC∩BD=B,∴AD⊥平面BDC.又AD?平面ADC,∴平面ADC⊥平面DBC.答案:D123453.如圖所示,∠BCA=90°,PC⊥平面ABC,則在△ABC,△PAC的邊所在的直線中,(1)與PC垂直的直線有

;

(2)與AP垂直的直線有

.

解析:(1)因為PC⊥平面ABC,AB,AC,BC?平面ABC,所以與PC垂直的直線有直線AB,AC,BC.(2)∠BCA=90°,即BC⊥AC.又BC⊥PC,AC∩PC=C,所以BC⊥平面PAC,PA?平面PAC.所以B