【高等代數(shù)知識在幾何學中的應用研究5300字（論文）】

PAGEPAGEI高等代數(shù)知識在幾何學中的應用研究目錄TOC\o"1-2"\h\u18982一、引言 13428二、相互滲透的知識 232247三、高等代數(shù)知識在幾何學中的應用途徑 315627（一）高等代數(shù)與解析幾何課程的整合應用 320059（二）整合教材的內(nèi)容取舍 327633四、高等代數(shù)在幾何位置關系中的應用及證明 49994（一）平面位置關系 424800（二）直線位置關系 715849（三）線面位置關系 825443五、高等代數(shù)在幾何向量關系中的應用 1026791例4.判斷下列向量組是否共面 1013681解： 1016453結語 1130565參考文獻 12一、引言解析幾何課程是在大一與高等代數(shù)課程一起開展的，我們知道在高等代數(shù)里，矩陣的應用貫穿在整本書中，并且在高等代數(shù)中有一章著重講解了線性關系以及矩陣的拓展增廣矩陣；而在解析幾何中，平面內(nèi)與空間中的關系是我們的主要研究對象，在解析幾何的學習中，很多情況下為了便于理解與方便計算，我們會轉換為用高等代數(shù)里面的矩陣，行列式的運算來解決問題。在解析幾何的應用中，高等代數(shù)中的線性關系是我們解決解析幾何應用的利器，例如判斷直線與直線的關系，直線與面的關系，面與面的關系的時候，我們可以利用已知的矩陣的秩與增廣矩陣的秩的大小進行比較[1]。幾何概念可以用代數(shù)方式展現(xiàn)，幾何中抽象的運算也可以通過代數(shù)中的方法來計算；相反，幾何對于代數(shù)的意義在于它使代數(shù)語言得到了形象的展現(xiàn)，使代數(shù)語言變得更加直觀，便于理解其中的聯(lián)系與得到新的啟示，推動數(shù)學世界的發(fā)展。只要高等代數(shù)與解析幾何不被聯(lián)系在一起學習與研究，必然會減緩它們發(fā)展的腳步，其應用范圍也會狹隘許多。但是當這兩門學科共同學習與探究時，它們就相輔相成，相互促進，共同讓數(shù)學世界變得更加圓滿[2]。空間中的直線及平面都是我們在解析幾何中常見的基礎內(nèi)容，自然來看，直線與平面的位置關系的判斷與分析也是解析幾何研究中的一項基本內(nèi)容。但是，我們發(fā)現(xiàn)通過閱讀每個大學的不同解析幾何的課本，發(fā)現(xiàn)很多課本對于直線與平面的位置關系重點放在了它們的對稱式方程與點法式方程上，并且利用高等代數(shù)知識去解決。而本文將通過運用矩陣及其秩來證明對平面和直線的位置關系、平面與平面位置關系、兩直線位置關系以及向量之間的關系[3-4]。二、相互滲透的知識高等代數(shù)是一門討論維度有限情況下的線性空間以及線性理論為主要內(nèi)容的課程，其內(nèi)容邏輯嚴謹，且相對抽象，是通過公理化來表述的，解析幾何是一門研究平面內(nèi)及空間中關系的一門課程，空間解析幾何對于空間想象能力以及向量相關的計算能力的要求較高。將高等代數(shù)知識運用到幾何學中去解決幾何學的問題，是本文重點探討的問題，具體思路為首先找到高等代數(shù)與解析幾何之間的聯(lián)系，通過大學數(shù)學課程的學習，我們不難發(fā)現(xiàn)，高等代數(shù)中的向量知識是一個非常好的切入點，幾何向量作為線性空間的一個極好的表現(xiàn)形式，它簡潔明了且直觀，是數(shù)形結合最合適的媒介，把高等代數(shù)知識與幾何學巧妙地連接起來。對于平面幾何與空間幾何知識的引入，我們可以借用高等代數(shù)中線性空間和線性變換內(nèi)容，對于抽象的幾何學內(nèi)容來說，將抽象內(nèi)容轉變成數(shù)量的計算形式，這樣，解析幾何就不再是抽象而又晦澀難懂的內(nèi)容，在理解甚至是教學這些內(nèi)容的時候，都簡單很多。例如：將二次曲面和二次型內(nèi)容聯(lián)系起來學習，不僅便于理解，更利于學習者理解數(shù)學中不同課程之間的聯(lián)系。解析幾何在高等代數(shù)中的映射如下：對向量代數(shù)知識來說，從2維和3維幾何空間引入后，在學習及教學相關運算性質(zhì)的同時，隨著空間維數(shù)的增加理所當然地推廣到n組向量；對線性空間知識部分來說，從向量之間的基本運算下手，再利用大量的例證闡述；對線性變換知識部分，通過實數(shù)軸的函數(shù)運算作為模型，同樣利用大量例證[5-9]。高等代數(shù)是研究幾何的一種科學技術，為研究解析幾何相關知識提供技術與方法支持。為了更好的學習幾何學的概念方法等相關知識，我們利用線性數(shù)學的知識來定義、形容和表述。由于高等代數(shù)與解析幾何有著密不可分的關系，在高等代數(shù)中，許多知識點的引入、陳說也用到了解析幾何中的相關知識，例如線性空間的定義描述，就是通過解析幾何中的二維幾何空間及三維幾何空間模型，據(jù)此延展開來，高等代數(shù)與解析幾何存在著密不可分的緊密聯(lián)系，對于解析幾何來說，它的一維、二維、三維空間知識是線性代數(shù)中n

維空間知識的特殊情況體現(xiàn)，而對于線性空間中的大部分理論來說，它又是一維、二維、三維幾何空間的延伸[10]。三、高等代數(shù)知識在幾何學中的應用途徑（一）高等代數(shù)與解析幾何課程的整合應用當前，教師專業(yè)化是師范教育發(fā)展的動力，其目標是培養(yǎng)優(yōu)秀的教師。高等代數(shù)和解析幾何是中學教師必備的基礎課。中學數(shù)學課程內(nèi)容的轉變是課程內(nèi)容的整合和課程內(nèi)容的現(xiàn)代化。前者要求高等代數(shù)與解析幾何的整合與發(fā)展，后者增加了現(xiàn)代數(shù)學思想的內(nèi)容，壓縮了傳統(tǒng)數(shù)學課程的時間。課堂時間的壓縮、高等代數(shù)與解析幾何課程的整合已成為基礎數(shù)學課程必須解決的問題。由此可見，改革高等代數(shù)與解析幾何課程設置是數(shù)學教師專業(yè)化發(fā)展的需要鄭立筍.應用型本科院校高等代數(shù)教學研究[J].高師理科學刊,2018,38(01):73-75.鄭立筍.應用型本科院校高等代數(shù)教學研究[J].高師理科學刊,2018,38(01):73-75.教育觀念在一定程度上制約了教學內(nèi)容，教育觀念的轉變將導致教育內(nèi)容的變革。傳統(tǒng)高等教育的主要功能是傳授知識。隨著教育事業(yè)的不斷發(fā)展，高等教育與社會經(jīng)濟的關系越來越密切，朝著多樣化、一體化、個性化的方向發(fā)展。高校也在適應高等教育理念的轉變。高師院校的課程結構必須適當調(diào)整，緊密聯(lián)系各學科，這也是教育改革的發(fā)展趨勢。在這些高等教育理念的影響下，高等代數(shù)與解析幾何課程改革是適應高等教育理念變化的需要李玉瑛,張海峰.“高等代數(shù)”教材教改探索[J].山西科技,2016,31(06):126-128.李玉瑛,張海峰.“高等代數(shù)”教材教改探索[J].山西科技,2016,31(06):126-128.高等代數(shù)與解析幾何的整合，有助于新舊知識的過渡。初學者如果對解析幾何的有了一定的理解，那么，高等代數(shù)的學習內(nèi)容就會變得相對容易很多。二者的整合既是數(shù)學學科內(nèi)容上的簡化，又是現(xiàn)代數(shù)學思想方法的反映。高等代數(shù)與解析幾何的整合，不是簡單的將兩書的結合，而是要遵循數(shù)學教學思想和方法，在保證教學質(zhì)量、保留基本知識點的基礎上，刪除課本上不必要內(nèi)容。高等代數(shù)與解析幾何的整合符合數(shù)學的特點和數(shù)學課程現(xiàn)代化的趨勢。線性代數(shù)是高等代數(shù)的主要內(nèi)容，具有深刻的幾何背景。而解析幾何則是用代數(shù)方法研究空間的幾何問題。因此把高等代數(shù)與解析幾何合成一門課具有內(nèi)在的合理性。從歷史上看，代數(shù)與幾何的發(fā)展從來就是相互聯(lián)系、相互促進的。他們的關系可以歸納為“代數(shù)為幾何提供研究方法，幾何為代數(shù)提供直觀背景”這兩句話。不少例子都說明一旦抽象的代數(shù)概念找到了正確的幾何直觀，就能對它的發(fā)展提供新的動力甚至誕生新的研究領域。（二）整合教材的內(nèi)容取舍行列式是線性代數(shù)的重要組成部分，但它離代數(shù)中心很遠。因此，當前教科書中存在探討行列式“舍去”的傾向。我們認為教材的整合只適合于講授行列式的性質(zhì)和簡單操作。在有限維空間和線性變換理論的研究中，矩陣是特別有效的工具，因此增加矩陣分析的內(nèi)容是有用的，其內(nèi)容可以包括矩陣分解、向量和矩陣范數(shù)和極限、特征值估計、廣義逆矩陣等。在類似變換矩陣理論中，規(guī)范形式是一個很好的結果，它可以使許多問題都很容易回答，它在其他數(shù)學分支如微分方程中也可以使用。因此，在傳統(tǒng)教材中進行了詳細的論述田潔.高等代數(shù)與解析幾何課程整合的思考[J].亞太教育,2015(17):23-24.田潔.高等代數(shù)與解析幾何課程整合的思考[J].亞太教育,2015(17):23-24.初等數(shù)學中的有關問題分析之后，得到了許多高等代數(shù)理論。它在初等數(shù)學教學中起著主導作用。了解他們之間的關系對高師學生是非常重要的。因此，在引入相關理論時，教材整合應適當引入這一背景。例如，當引入映射時，指出映射是函數(shù)概念的推廣。在引入線性空間時，指出線性空間是解析幾何中平面和空間概念的推廣。此外，有必要介紹一些初等數(shù)學中的高等代數(shù)實例，以突出高師課程內(nèi)容的特點劉朝霞.高等代數(shù)與解析幾何課程整合的思考[J].赤峰學院學報(自然科學版),2013,29(15):11-12.劉朝霞.高等代數(shù)與解析幾何課程整合的思考[J].赤峰學院學報(自然科學版),2013,29(15):11-12.最后，在教材內(nèi)容整合中必須加強幾何的地位和作用。事實上，代數(shù)和幾何上一門課，代數(shù)是比重大于幾何，代數(shù)幾何，雖然不是平分秋色，也加強了幾何的內(nèi)容，特別是加強相關的曲線和曲面在幾何圖形內(nèi)容，這些圖形通常使用相關的問題在數(shù)學分析中的弧長和面積程新珠,劉莉.探析高等代數(shù)與解析幾何之合并設課[J].數(shù)學學習與研究,2015(07):12+14.程新珠,劉莉.探析高等代數(shù)與解析幾何之合并設課[J].數(shù)學學習與研究,2015(07):12+14.四、高等代數(shù)在幾何位置關系中的應用及證明（一）平面位置關系我們都知道兩個平面之間只存在相交、平行、重合這三種位置關系。定理1：設兩個平面方程為當Ⅰ與Ⅱ平行時，當Ⅰ與Ⅱ相交時，不全相等當Ⅰ與Ⅱ重合時，而用矩陣的表示則為當Ⅰ與Ⅱ平行時，當Ⅰ與Ⅱ相交時，當Ⅰ與Ⅱ重合時，其中;證明：一般地，我們易建立線性方程組，下面我們Ⅰ與Ⅱ平行，則方程組無解，Ⅰ與Ⅱ無公共點，即由R(A)=1,可設，又，所以0，即，結論已成立。（2）Ⅰ與Ⅱ重合，即方程組有無窮個解而且只有一個方程，即當且僅當，，結論2成立。（3）Ⅰ與Ⅱ相交，即方程組有無窮個解而且有兩個不同的方程，即，，結論3成立。例1.求過一點（-1，2，4），并且這一點與平面和平面交線的平面方程。解：因為平面經(jīng)過點（-1，2，4），所以可設平面方程為,即所組成的方程組為由定理1我們可以得到，若兩平面相交則有，其中，，即則所求的平面方程為：4（x+1）-3(y-2)=0（二）直線位置關系我們都知道兩條直線只存在相交、平行、重合與異面四種位置關系。定理2：設兩條直線的方程為，1. 直線與直線相交的充分必要的條件為：2.直線與直線重合的充分必要的條件為：3. 直線與直線平行的充分必要的條件為：4.直線與直線異面的充分必要的條件為：其中，證明：建立線性方程組下面我們討論有關線性方程組解的情況，我們易知道或者當R(A)=2時（由非齊次線性方程組解的情況可知）=2,方程組有無窮解且直線與直線方向向量共線，則L1與L2重合，結論2成立。=3,線性方程組無解且直線與直線的方向向量共線,則L1與L2平行，結論3成立。當R（A）=3=3,線性方程組有唯一解,則直線與直線相交,結論1成立。=4,線性方程組無解且直線與直線的方向向量不共線,則與L2異面，結論4成立。例2.嘗試判斷直線與直線的位置關系：：解：因為A=,則R(A)=3,則R()=4即R(A)=3，R()=4，由定理2知直線與直線異面。（三）線面位置關系我們知道空間直線與平面一定有3種位置關系，分別為：相交、平行、直線在平面上。定理3：與平面：AX+BY+CZ+D=0的位置關系：直線與平面相交的充分必要條件為直線與平面平行的充分必要條件為直線在平面上的充分必要條件為其中，證明：顯然，我們可以建立線性方程組，且可以討論線性方程組解的情況，我們?nèi)菀椎玫剑?）當R（A）=2時①R（）=2,線性方程組有無窮多解,即直線L與平面Π有無窮多交點,直線L在平面Π上，結論3成立。②,線性方程組沒有解,即直線L與平面Π沒有交點,則有直線L與平面Π相互平行，結論2成立。（2）當R（A）=3時只有一種情況，線性方程組有唯一一個解，即直線與平面Π相交，結論1成立。例3.求過直線:與平面平行的平面方程。解：設我們所求的平面的方程為,因為該平面與平面平行，所以我們?nèi)菀椎贸鲈OA=3t,B=2t,C=t,則該平面方程為3tX+2tY+tZ+D=0，建立線性方程組直線在平面上，由定理3得，該方程有無窮多解，則有=即，所以D=，所以該平面方程為3X+2Y+Z+=0五、高等代數(shù)在幾何向量關系中的應用記向量；（不全為零，不全為零，不全為零），則有若，即，則，，共面若，即，則，，異面其中證明：向量定理涉及三個向量，，共面問題，注意到，，共面的充要條件是其中有一個向量可由其余兩個向量線性表示，于是若，即,于是，，線性相關，從而，，共面。若，即，于是，，線性相關，從而，，共面。一般地，向量共面的等價條件是該向量的極大無關組中至多只有兩個向量，從而共面的充要條件是。例4.判斷下列向量組是否共面，，，，，解：由，可知，故，，共面。2）由，可知，故不共面。結語隨著社會的不斷發(fā)展，需要越來越多的實用型人才。這就要求學生學習基本知識和相應的基本技能，提高自己在市場上的競爭力。因此，傳統(tǒng)的課程已經(jīng)不能適應社會發(fā)展的需要，必須進行課程改革。一些學者提出了高等代數(shù)與解析幾何的結合。將高等代數(shù)與解析幾何這兩門學科相互結合，可以使問題更加簡便化，同時更加的能激發(fā)同學們對數(shù)學的興趣，給數(shù)學注入活力。將高等代數(shù)知識運用到解析幾何中，有利于學生在已知的結構上進行進一步的完善，并且再次鞏固了高等代數(shù)知識[11-13]。利用已有的知識去學習新知識，相對而言是比較容易的。在判斷線線關系、線面關系、面面關系、向量間的關系等時，利用代數(shù)的知識去求解也是比較簡單的。對于老師來說將高等代數(shù)知識運用解析幾何中，能使解析幾何課程的教學效果提高，使計算簡便化，并且培養(yǎng)了學生的主動思維和創(chuàng)新思維具有促進作用。在文中通過用高等代數(shù)知識中的矩陣中的秩去解釋