動(dòng)態(tài)電路的復(fù)域分析

第十一章動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析§11-1拉普拉斯變換及其基本性質(zhì)

§11-2

拉普拉斯反變換§11-3動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域模型

§11-4動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析

§11-5網(wǎng)絡(luò)函數(shù)

§11-1拉普拉斯變換及其基本性質(zhì)

拉氏變換法是一種數(shù)學(xué)變化，可將高階微分方程變換為代數(shù)方程以便求解。例1:對(duì)數(shù)變換乘法運(yùn)算簡(jiǎn)化為加法運(yùn)算例2:相量法正弦運(yùn)算簡(jiǎn)化為復(fù)數(shù)運(yùn)算一、拉氏變換(Laplace

transformation)的定義1.拉氏變換的定義：s為復(fù)頻率f(t)與F(s)一一對(duì)應(yīng)

拉氏變換:將時(shí)域函數(shù)f(t)（原函數(shù)：originalfunction）變換為復(fù)頻域函數(shù)F(s)（象函數(shù)：transformfunction）。t<0，f(t)=0f(t)=

(t)時(shí)此項(xiàng)

0正變換反變換F(s)稱為象函數(shù)，用大寫字母表示，如I(s)，U(s)。

f(t)稱為原函數(shù)，用小寫字母表示，如

i(t)，u(t)。

2.存在條件對(duì)于一個(gè)函數(shù)f(t)，如果存在正的有限值常數(shù)M和c，使下式成立則f(t)的拉氏變換式F(s)總存在。因?yàn)閇][]?íì==-)s(FL)t(f)t(fL)s(F1

簡(jiǎn)寫正變換反變換傅氏積分公式存在的條件是?(t)需滿足狄里赫列條件，且是收斂的。這后一個(gè)條件的限制性較強(qiáng)，致使工程上常用的一些函數(shù)不能進(jìn)行傅立葉變換，其原因大體是由于t→∞時(shí)過程中?(t)的減幅太慢。為了擴(kuò)大傅氏變換的使用范圍，選正實(shí)數(shù)σ，用收斂因子e–σt乘?(t)。只要?(t)隨時(shí)間的增長(zhǎng)不比指數(shù)函數(shù)快，則可使收斂。當(dāng)t﹤0時(shí)，e–σt將起發(fā)散作用。故?(t)僅限于t≥0的情況。這在電路理論中是可行的，因?yàn)閾Q路常發(fā)生在t＝0時(shí)刻，換路前的歷史可用t＝0時(shí)的初始條件概括地表示。于是對(duì)e–σt?(t)進(jìn)行傅氏變換，并引入復(fù)變量s＝σ＋jω，便可得到拉氏變換公式。拉氏變換式的積分下限記為0-，如果?(t)包含t＝0時(shí)刻的沖激，則拉氏變換也應(yīng)包括這個(gè)沖激。復(fù)變量s＝σ＋jω的實(shí)部σ應(yīng)足夠大，使e

–σt

?(t)絕對(duì)可積，?(t)的拉氏變換才存在。有些函數(shù)tt，e

t2等，不論σ多大都不存在拉氏變換，這些函數(shù)在電路理論中用處不大。原函數(shù)?(t)是以時(shí)間

t為自變量的實(shí)變函數(shù)，象函數(shù)F(s)是以復(fù)變量s為自變量的復(fù)變函數(shù)。?(t)與F(s)之間有著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。原函數(shù)?(t)的拉氏變換，實(shí)際上就是?(t)ε(t)e

–σt

的傅氏變換。在t﹤0時(shí)，?(t)＝0的條件下，拉氏變換可看作傅氏變換把jω?fù)Q成s的推廣，而傅氏變換（如果存在）則可看作拉氏變換s＝j(luò)ω的特例。因?yàn)?(t)拉氏變換就是將e

–σt

?(t)進(jìn)行傅氏變換，即把信號(hào)?(t)展開為復(fù)頻域函數(shù)F(s)。復(fù)變量s＝σ＋jω常稱為復(fù)頻率，稱分析線性電路的運(yùn)算法為復(fù)頻域分析，而相應(yīng)地稱經(jīng)典法為時(shí)域分析。3.典型函數(shù)的拉氏變換(2)單位階躍函數(shù)(1)指數(shù)函數(shù)(3)沖激函數(shù)=1

二、拉普拉斯變換的基本性質(zhì)1.線性性質(zhì)(linearity)2-1時(shí)域微分(time

differentiation)性質(zhì)

若則推廣：2-2頻域微分性質(zhì)則若3.時(shí)域積分(time

integration)性質(zhì)若則4-1時(shí)域平移(time

shift)性質(zhì)

f(t)

(t)tt

f(t-t0)

(t-t0)t0f(t)

(t-t0)tt0若則

例12：1Ttf(t)T1f(t)?Tt例13：例14：周期函數(shù)的拉氏變換...tf(t)1T/2T設(shè)f1(t)為第一周函數(shù)4-2頻域平移(frequency

shift)性質(zhì)若則5.初值定理和終值定理初值定理：若f(t)在t=0處無沖激，則終值定理：若存在，則證：利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)積分微分小結(jié)：§11-2拉普拉斯反變換由象函數(shù)求原函數(shù)的方法：(1)利用公式：(2)對(duì)F(s)進(jìn)行數(shù)學(xué)處理象函數(shù)的一般形式：利用部分分式可將F(s)分解為：令s=p1，則同理可得……因此

求極限法因此

法一法二

一般形式：k1、k2也是一對(duì)共軛復(fù)根。例19：求的原函數(shù)f(t)。法一極點(diǎn)為法二：配方法同理可得若為

q重根，則小結(jié)：1)n

=m時(shí)將F(s)化成真分式；1.由F(s)求f(t)的步驟解：2)求真分式分母的根，確定分解單元；3)求各部分分式的系數(shù)；4)對(duì)每個(gè)部分分式和多項(xiàng)式逐項(xiàng)求拉氏反變換。2.拉氏變換法分析電路正變換反變換相量形式KCL、KVL

元件復(fù)阻抗、復(fù)導(dǎo)納相量形式電路模型§11-3動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域模型

類似地元件運(yùn)算阻抗、運(yùn)算導(dǎo)納運(yùn)算形式KCL、KVL

運(yùn)算形式電路模型二、電阻元件的運(yùn)算形式R：u(t)=Ri(t)一、運(yùn)算形式的電路定律+

u

-iR+

U(s)

-I(s)Ri(t)=Gu(t)L:

+

U(s)

-sL

I(s)i+

u

-

L1/sL+-I(s)U(s)

三、電感元件的運(yùn)算形式C:+

uC

-iC

IC(s)1/sC+

U(s)

-

1/sC

IC(s)+

U(s)

-

四、電容元件的運(yùn)算形式ML1i1i2L2+u1_+u2__+_++

_+

_sM

I1(s)I2(s)sL1sL2U1(s)+_+_U2(s)五、耦合電感

的運(yùn)算形式mRI(s)U1(s)+_U2(s)+_U1(s)+_Ri+u1

_+u2_

+_運(yùn)算阻抗運(yùn)算形式歐姆定理iRLC+u1_

+-I(s)RsL

1/sC

U1(s)六、RLC元件串聯(lián)的復(fù)頻域形式七、運(yùn)算電路運(yùn)算電路如L、C

有初值時(shí)，初值應(yīng)考慮為附加電源。

時(shí)域電路物理量用象函數(shù)表示元件用運(yùn)算形式表示Ri1i2LCRL+_RL

R+_I1(s)I2(s)A/ssL

1/sC

時(shí)域電路運(yùn)算電路例22:

5Ω1F20Ω10Ω10Ω0.5H50VuC+

-iL+_時(shí)打開開關(guān)200.5s+-1/s25/s2.55IL(s)UC(s)+__+§11-4動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析步驟：1.由換路前電路計(jì)算uC(0-)，iL(0-)。2.畫運(yùn)算電路圖。3.應(yīng)用電路分析方法求象函數(shù)。4.反變換求原函數(shù)。例23：RC并聯(lián)電路如圖(a)所示，換路前處于零狀態(tài)?，F(xiàn)將該電路接通于單位階躍電流源，試求uC(t)

和iC(t)。解：作等效運(yùn)算電路如圖(b)所示。其運(yùn)算導(dǎo)納為：則

+-a

+

-b

在未求出uC(t)

之前，可用初值和終值定理檢驗(yàn)結(jié)果的正確性。即：符合電路情況。+-b

對(duì)UC(s)進(jìn)行拉氏反變換，得：又故得：+-b

t=0時(shí)閉合k，求i1，uL。(2)畫運(yùn)算電路200/s300.1s0.5101000/s100/s_+I2(s)I1(s)+__+例24：200V30Ω0.1H10Ω-+1000μFi1uC

k+_uL+-200/s300.1s0.5101000/s100/s_+I2(s)I1(s)+__+(4)反變換求原函數(shù)求UL(s)UL(s)

?200/s300.1s0.5101000/s100/s_+I2(s)I1(s)+__+例25：電路如圖(a)所示，開關(guān)閉合前處于零狀態(tài)。試求電流i1(t)。a

10Ω

10Ω

10Ω

t=0

1H

1H

+

-

100V

i1(t)10

s+10+

-

b

s＋10解：采用戴維南定理，如圖(b)所示，開路電壓及內(nèi)阻抗為：Z0(s)+

-

c

s＋10U0(s)I1(s)故電流得象函數(shù)為：所以例26：電路如圖(a)所示，已知R=10Ω，β

=0.9，L=0.05H，iL(0-)=0，e(t)=100sin(2000t+60o)V，試求電感中的過渡電流。

選講R

+

-

e(t)

a

iL(t)i1(t)βi1

LR0

+

-

e0(t)

b

iL(t)L解：電感L除外的部分可以用戴維南等效電路替代，如圖(b)所示。其中R0可根據(jù)圖(c)所示電路計(jì)算。R

c

i

(t)i1(t)βi1

u+-

選講不接電感時(shí)由圖(d)可得：i10=βi10

則

i10=0

由圖(b)得：對(duì)于正弦電源除直接變換為象函數(shù)之外，在計(jì)算技巧上也可以用復(fù)數(shù)指數(shù)Eme

j(ωt+ψ)

替代Emsin(ωt+ψ)

。這樣，實(shí)際電源只是復(fù)數(shù)電源的虛部。計(jì)算結(jié)果也將是復(fù)數(shù)，但其虛部才是真正的答案?，F(xiàn)設(shè)R

+

-

e(t)

d

i10(t)βi10

e0(t)+-

選講于是故

選講其原函數(shù)為：最后得：RC+uC

iS

(t)例27：求沖激響應(yīng)。已知(t≥

0)(t≥

0)

R1/sC+UC(s)

IS(s)1tuC0tiC例28：已知uS1=10V，uS2=2V，C1=C2=C3=2F，R=2

，

uC1(0-)=uC2(0-)=5V，t=0時(shí)S合向2，求uC2。RuS1

C2+-iC2

+uC2-S2+-iC3

uS2

+-C1C3uC1iC1

解：uC3(0-)=2V，運(yùn)算電路為：節(jié)點(diǎn)法:10/s21/2s5/s1/2s1/2s5/s2/sU(s)I2(s)I3(s)I1(s)+-+++---3.5452tuC2、uC310/s21/2s5/s1/2s1/2s5/s2/sU(s)I2(s)I3(s)I1(s)+-+++---t=0時(shí)打開開關(guān)S,求電流

i1(t)。0.1H例29.

+_USSR1L1L2R2i1i20.3H10V2Ω3Ω20.3s1.530.1sI1(s)+_10/s_+ti1523.750UL1(s)20.3s1.530.1sI1(s)+_10/s_+UL2(s)uL1-6.56t-0.375

(t)0.375

(t)uL2t-2.19ti1523.750小結(jié)：A.運(yùn)算法直接求得全響應(yīng)C.運(yùn)算法分析動(dòng)態(tài)電路的步驟B.

用0

_

初始條件，跳變情況自動(dòng)包含在響應(yīng)中磁鏈?zhǔn)睾悖?.由換路前電路計(jì)算

uC(0-),iL

(0-)。2.畫運(yùn)算電路圖。3.應(yīng)用電路分析方法求象函數(shù)。4.反變換求原函數(shù)。§11-5網(wǎng)絡(luò)函數(shù)零狀態(tài)e(t)r(t)激勵(lì)響應(yīng)一、網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的定義電路在單一激勵(lì)作用下，其零狀態(tài)響應(yīng)r(t)的象函數(shù)R(s)與激勵(lì)e(t)的象函數(shù)E(s)之比為該電路的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(s)。1.定義例30：圖示電路，uC為響應(yīng)，試求電路的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)。RC+_+_uS

uC

R1/sC+_+_US(s)UC(s)解：2.驅(qū)動(dòng)點(diǎn)函數(shù)驅(qū)動(dòng)點(diǎn)阻抗驅(qū)動(dòng)點(diǎn)導(dǎo)納激勵(lì)與響應(yīng)在同一個(gè)端口上。

若I(s)為激勵(lì)若U(s)為激勵(lì)U(s)I(s)+_零狀態(tài)3.轉(zhuǎn)移函數(shù)(傳遞函數(shù))激勵(lì)與響應(yīng)不在同一個(gè)端口上。

轉(zhuǎn)移導(dǎo)納轉(zhuǎn)移阻抗電壓轉(zhuǎn)移函數(shù)電流轉(zhuǎn)移函數(shù)U2(s)I2(s)U1(s)I1(s)+_+_零狀態(tài)4.激勵(lì)為沖激函數(shù)時(shí)的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)

網(wǎng)絡(luò)函數(shù)是單位沖激響應(yīng)的象函數(shù)。

1R(s)零狀態(tài)

(t)h(t)=r(t)激勵(lì)響應(yīng)5.網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的應(yīng)用1)由網(wǎng)絡(luò)函數(shù)求取任意激勵(lì)的零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)e(t)r(t)

激勵(lì)響應(yīng)若則單位階躍響應(yīng)為2)由網(wǎng)絡(luò)函數(shù)確定正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)在H(s)中令s=jω就可得正弦穩(wěn)態(tài)下的傳遞函數(shù)。

響應(yīng)相量激勵(lì)相量圖(a)：解：例31

P中初始值為零。圖a中，uoc(t)=(1-e

-100t)ε(t)V；圖b中，isc(t)=5e-50tε(t)A；求圖c(R

=30Ω)中：圖(b)：圖(d)：圖(c)：例32

圖示電路中，11/

兩端接恒定電壓源U。已知在t=0時(shí)，將一未充電的電容C=1F/3接至22/后(圖a)，33/兩端電壓現(xiàn)將此未充電的電容與一無儲(chǔ)能的電感L＝1H串聯(lián)，在t=0時(shí)接入22/端(圖b)。求LC接入后33/兩端的電壓u02。清華大學(xué)1999年碩士生入學(xué)考試電路原理試題。線性無源電阻網(wǎng)絡(luò)圖(a)

C＋－線性無源電阻網(wǎng)絡(luò)圖(b)

C＋－L解法一圖(c)

C＋－Req＋－L圖(d)

C＋－Req＋－圖c、圖d分別是圖a、圖b中22/端下側(cè)的戴維南等效電路。(1)在圖c中，由題意得則有(2)在圖d中，列寫KVL方程，得代入數(shù)據(jù)得解此微分方程，得uC2得通解為