八年級(下)期中數(shù)學(xué)試卷

八年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（共10小題，每小題3分，滿分30分）

1.（2013?徐州模擬）使二次根式底方有意義的x的取值范圍是（）

A.XH2B?X>2C.X<2D.X>2

2.（2014春?南寧期末）下列式子中，屬于最簡二次根式的是（）

A.V?B.V9C.V20D.

2

3.（2015春?瑤海區(qū)期末）下列各式計(jì)算正確的是（）___

A.873-273=6B.573+572=1075C.4a+2&=2&D.4axm=8娓

4.（2015春?巴南區(qū)校級期末）不能判定四邊形ABCD為平行四邊形的條件是（）

A.AB〃CD,AD=BCB.AB〃CD,ZA=ZCC.AD〃BC,AD=BCD.ZA=ZC,ZB=ZD

5.（2015秋?常州期中）下列條件中，不能判斷AABC為直角三角形的是（）

A.a2=l,b~=2,c~=3B.a：b：c=3：4：5

C.ZA+ZB=ZCD.ZA：ZB：ZC=3：4：5

6.下列命題中逆命題成立的有（）

①同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；②如果兩個角是直角，那么它們相等；③全等三角形的對應(yīng)邊相等;

④如果兩個實(shí)數(shù)相等，那么它們的平方相等.

A.1個B.2個C.3個D.4個D

7.如圖，四邊形ABCD中，AB=6cm,BC=8cm,CD=24cm,DA=26cm,且NABC=90。,

則四邊形ABCD的面積是（）cn?.

A.336B.144C.102D.無法確定

8.（2012春?臨沂期末）如圖，ABCD的對角線AC,BD相交于O,EF過點(diǎn)。與AD,C

BC分別相交于E,F,若AB=4,BC=5,OE=1.5,那么四邊形EFCD的周長為（）

DB

B

A.16B.14C.12D.10

9.（2014?洪山區(qū)三模）將一些半徑相同的小O

。OOOOOOOOO

圓按如圖所示的規(guī)律擺放，請仔細(xì)觀察，第6°oo°OOOO?。。OOOOO

OOOOOOOOOOOO

個圖形有（）個小圓.。。OOOOO

oO

A.42B.44C.46D.48

第1個圖形第2個圖形第3個圖形第4個圖形

10.如圖，在Rtz^ABC中，ZB=90",AB=6,BC=8,點(diǎn)D在BC上，以AC為對角

線的所有平行四邊形ADCE中，DE的最小值是（）

A.10B.8C.6D.5

二、填空題（共6小題，每小題3分，滿分18分）D

11.（2015?衡陽）化簡：V8-V2=.

12.在AABC中，ZC=90°,若AC=5,BC=12,貝UAB=.B

13.一只螞蟻沿棱長為2的正方體表面從頂點(diǎn)A爬到頂點(diǎn)B,則它走過的最短路程

為一

14.一個三角形的三條中位線的長分別為3,4,5,則三角形的面積為

15.（2014春?鎮(zhèn)賁縣期末）如圖，?根長18cm的筷子置于底面直徑為5cm.高為12cm

圓柱形水杯中，露在水杯外面的長度hem,則h的取值范圍是

16.如圖，已知平行四邊形ABCD中，AB=BC,BC=10,ZBCD=60",

兩頂點(diǎn)B、D分別在平面直角坐標(biāo)系的y軸、x軸的正半軸上滑動,

連接OA,則OA的長的最小值是.

三、解答題（共8小題，滿分72分）

17.（8分）（1）(2)78+273-(V27-V2)

18.（8分）如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別是邊AB、CD的中點(diǎn)，四邊形AEFD是平行四

邊形嗎？為什么？

19.（8分）（2010秋?渝北區(qū)期末）已知xf6+1,y=V3-h求下列各式的值:

（1）x2-y2；（2）x2+xy+y2.

20.（8分）（2015春?鞍山期末）如圖，正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,每個小正方形的

頂點(diǎn)叫格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)按下列要求畫圖：

（1）在圖①中畫一條線段MN,使MNf而；__

（2）在圖②中畫一個△ABC,使其三邊長分別為3,V10,V13.

21.（8分）某港口位于東西方向的海岸線上."遠(yuǎn)航"號、"海天"號輪船同時離開港口，各自沿一固定

方向航行，"遠(yuǎn)航"號每小時航行16海里，"海天"號每小時航行12海里.它們離開港口1小時后相距

20海里.如果知道“遠(yuǎn)航"號沿東北方向航行，能知道“海天"號沿哪個方向航行嗎？

22.（10分）（2013?蘭州）如圖1,在aOAB中，ZOAB=90°,ZAOB=30°,OB=8.以O(shè)B為邊，在

△OAB外作等邊△OBC,D是OB的中點(diǎn)，連接AD并延長交OC于E.

（1）求證：四邊形ABCE是平行四邊形；

(2)如圖2,將圖1中的四邊形ABCO折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕為FG,求OG的長.

23.(10分)(2013?常德)已知兩個共一個頂點(diǎn)的等腰RtZ^ABC,RtACEF,ZABC=ZCEF=90°,連

接AF,M是AF的中點(diǎn)，連接MB、ME.

(1)如圖1,當(dāng)CB與CE在同一直線上時，求證：MB〃CF；

⑵如圖1,若CB=a,CE=2a,求BM,ME的長；

24.(12分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AB〃OC,A(0,12),B(a,c),C(b,0),并且a,b

滿足b=F=五+叵二￡+16.一動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，在線段AB上以每秒2個單位長度的速度向點(diǎn)B

運(yùn)動；動點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)在線段OC上以每秒1個單位長度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、

O同時出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)B時，點(diǎn)Q隨之停止運(yùn)動.設(shè)運(yùn)動時間為t(秒)

(1)求B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)t為何值時，四邊形PQCB是平行四邊形？并求出此時P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)當(dāng)t為何值時，APQC是以PQ為腰的等腰三角形？并求出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo).

2014-2015學(xué)年湖北省武漢市武昌區(qū)C組聯(lián)盟八年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（共10小題，每小題3分，滿分30分）

1.（2013?徐州模擬）使二次根式底”有意義的x的取值范圍是（）

A.x#2B.x>2C.x<2D.x>2

【考點(diǎn)】二次根式有意義的條件.

【專題】計(jì)算題.

【分析】利用當(dāng)二次根式有意義時，被開方式為非負(fù)數(shù)，得到有關(guān)x的一元一次不等式，解之即可得

到本題答案.

【解答】解：?.?二次根式?與有意義，

.*.x-2>0,

解得：x>2,

故選D.

【點(diǎn)評】本題考查了二次根式有意義的條件，此類考題相對比較簡單，但從近幾年的中考看，幾乎是

一個必考點(diǎn).

2.（2014春?南寧期末）下列式子中，屬于最簡二次根式的是（）

A.V?B.V9C.V20D.點(diǎn)

【考點(diǎn)】最簡二次根式.

【分析】判定一個二次根式是不是最簡二次根式的方法，就是逐個檢查最簡二次根式的兩個條件是否

同時滿足，同時滿足的就是最簡二次根式，否則就不是.

【解答】解：A、被開方數(shù)不含分母；被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式，故A正確；

B、被開方數(shù)含能開得盡方的因數(shù)，故B錯誤；

C、被開方數(shù)含能開得盡方的因數(shù)，故C錯誤；

D、被開方數(shù)含分母，故D錯誤；

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查最簡二次根式的定義.根據(jù)最簡二次根式的定義，最簡二次根式必須滿足兩個條件:

被開方數(shù)不含分母；被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式.

3.（2015春?瑤海區(qū)期末）下列各式計(jì)算正確的是（）___

A.873-2A/3=6B.573+572=1O/5C.4a+2&=2&D.4盛x2a=8&

【考點(diǎn)】二次根式的加減法；二次根式的乘除法.

【分析】根據(jù)同類二次根式的合并，及二次根式的乘除法則，分別進(jìn)行各選項(xiàng)的判斷即可.

【解答】解：A、8G2后心,原式計(jì)算錯誤，故A選項(xiàng)錯誤；

B、道與如不是同類二次根式，不能直接合并，故B選項(xiàng)錯誤；

C、4亞+2&=2,原式計(jì)算錯誤，故C選項(xiàng)錯誤；

D、4Mxm=8瓜,原式計(jì)算正確，故D選項(xiàng)正確；

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了二次根式的加減及乘除運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是掌握各部分的運(yùn)算

法則.

4.（2015春?巴南區(qū)校級期末）不能判定四邊形ABCD為平行四邊形的條件是（）

A.AB〃CD,AD=BCB.AB〃CD,ZA=ZCC.AD〃BC,AD=BCD.NA=NC,ZB=ZD

【考點(diǎn)】平行四邊形的判定.

【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理進(jìn)行判斷.

【解答】解：A、"AB〃CD,AD=BC"是四邊形ABCD的一組對邊平行，另一組對邊相等，該四邊形

可以是等腰梯形，不可以判定四邊形ABCD是平行四邊形.故本選項(xiàng)符合題意；

B、根據(jù)"AB〃CD,NA=NC”可以判定AD〃BC,由“兩組對邊相互平行的四邊形為平行四邊形”可以

判定四邊形ABCD為平行四邊形.故本選項(xiàng)不符合題意；

C、“AD〃BC,AD=BC"是四邊形ABCD的一組對邊平行且相等，可以判定四邊形ABCD是平行四邊

形.故本選項(xiàng)不符合題意；

D、"NA=NC,NB=ND"是四邊形ABCD的兩組對角相等，可以判定四邊形ABCD是平行四邊形；

故本選項(xiàng)不合題意；

【點(diǎn)評】本題考查平行四邊形的判定，需注意一組對邊相等，另一組對邊相互平行的四邊形不一定是

平行四邊形，等腰梯形也滿足該條件.

5.（2015秋?常州期中）下列條件中，不能判斷AABC為直角三角形的是（）

A.a2=l,b"=2,C2=3B.a：b：c=3：4：5

C.ZA+ZB=ZCD.ZA：ZB：NC=3：4：5

【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理；三角形內(nèi)角和定理.

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，以及勾股定理逆定理分別進(jìn)行分析可得答案.

【解答】解：A、可利用勾股定理逆定理判定aABC為直角三角形，故此選項(xiàng)不合題意；

B、根據(jù)勾股定理的逆定理可判斷aABC是直角三角形，故此選項(xiàng)不合題意；

C、根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可以計(jì)算出NA=90。，AABC為直角三角形，故此選項(xiàng)不合題意；

D、根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可以計(jì)算出NA=45。，ZB=60°,ZC=75°,可判定aABC不是直角三角形,

故此選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)評】此題主要考查了勾股定理逆定理，判斷三角形是否為直角三角形可利用勾股定理的逆定理：

如果三角形的三邊長a,b,c滿足a?+b2=c2,那么這個三角形就是直角三角形.

6.下列命題中逆命題成立的有（）

①同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；

②如果兩個角是直角，那么它們相等；

③全等三角形的對應(yīng)邊相等；

④如果兩個實(shí)數(shù)相等，那么它們的平方相等.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【考點(diǎn)】命題與定理.

【分析】把一個命題的條件和結(jié)論互換就得到它的逆命題，再把逆命題進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：①同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行的逆命題是兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，成立；

②如果兩個角是直角，那么它們相等的逆命題是如果兩個角相等，那么這兩個角是直角，不成立；

③全等三角形的對應(yīng)邊相等的逆命題是對應(yīng)邊相等的三角形全等，成立；

④如果兩個實(shí)數(shù)相等，那么它們的平方相等的逆命題是如果兩個實(shí)數(shù)的平方相等，那么這兩個實(shí)數(shù)相

等，不成立；

逆命題成立的有2個；

故選B.

【點(diǎn)評】此題考查了命題與定理，兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結(jié)論，而第一

個命題的結(jié)論又是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題.其中一個命題稱為另一個命題

的逆命題.

7.如圖，四邊形ABCD中，AB=6cm,BC=8cm,CD=24cm,DA=26cm,且NABC=90。，則四邊形

ABCD的面積是（）cn?.

D

B

A.336B.144C.102D.無法確定

【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理；勾股定理.

【分析】利用勾股定理求出AC?的值，再由勾股定理的逆定理判定三角形ACD也為直角三角形，則S

四邊彩ABCD=SAABC+SAACD-

D

【解答】解：如圖，連接AC.B

在RtAABC中，AC2=AB2+BC2=100,

VAC2+CD2=AD2=676

.?.△CDA也為直角三角形，

?*.S四邊彩ABCD=S/\ABC+SAACD」ABXBC+』ACXCD」X6X8+2X10X24=144（cm2）,

2222

故選B.

【點(diǎn)評】本題考查了三角形面積和勾股定理逆定理的應(yīng)用，注意：在一個三角形中，如果有兩邊的平

方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形.

8.（2012春?臨沂期末）如圖，ABCD的對角線AC,BD相交于O,EF過點(diǎn)O與AD,BC分別相交

于E,F,若AB=4,BC=5,OE=1.5,那么四邊形EFCD的周長為（）

A.16B.14C.12D.10

【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì).

【分析】根據(jù)平行四邊形的對邊相等得：CD=AB=4,AD=BC=5.再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和對頂角

相等可以證明：△AOE^^COF.根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得：OF=OE=1.5,CF=AE,故四邊形EFCD

的周長為CD+EF+AD=12.

【解答】解：?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

，CD=AB=4,AD=BC=5,OA=OC,AD〃BC,

:.ZEAO=ZFCO,ZAEO=ZCFO,

在AAOE和aCOF中，

，ZEA0=ZFC0

<ZAE0=ZCF0,

,OE=OF

/.△AOE^ACOF(AAS),

/.OF=OE=1.5,CF=AE,

故四邊形EFCD的周長為CD+EF+ED+FC=CD+EF+AE+ED=CD+AD+EF=4+5+1.5x2=12.

故選C.

【點(diǎn)評】能夠根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明三角形全等，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)將所求的線段轉(zhuǎn)化為

已知的線段是解題的關(guān)鍵.

9.(2014?洪山區(qū)三模)將一些半徑相同的小圓按如圖所示的規(guī)律擺放，請仔細(xì)觀察，第6個圖形有()

個小圓.

。Ooo

OO

OOOOOOOOOOO

OOOOOOOO

OOOOOO

OOOOOOOOOOOO

OOoooOOOO

。OoO

第1個圖形第2個圖形第3個圖形第4個圖形

A.42B.44C.46D.48

【考點(diǎn)】規(guī)律型：圖形的變化類.

【分析】分析數(shù)據(jù)可得：第1個圖形中小圓的個數(shù)為6；第2個圖形中小圓的個數(shù)為10；第3個圖形

中小圓的個數(shù)為16；第4個圖形中小圓的個數(shù)為24；則知第n個圖形中小圓的個數(shù)為n(n+1)+4.據(jù)

此可以再求得第6個圖形小圓的個數(shù)即可.

【解答】解：根據(jù)第1個圖形有6個小圓，第2個圖形有10個小圓，第3個圖形有16個小圓，第4

個圖形有24個小圓，

V6=4+1x2,10=4+2x3,16=4+3x4,24=4+4x5…，

.,.第n個圖形有：4+n(n+1)個小圓，

.?.第6個圖形有：4+6x(6+1)=46個小圓.

故選：C.

【點(diǎn)評】此題主要考查了圖形的規(guī)律以及數(shù)字規(guī)律，通過歸納與總結(jié)結(jié)合圖形得出數(shù)字之間的規(guī)律是

解決問題的關(guān)鍵.

10.如圖，在RtZ\ABC中，ZB=90°,AB=6,BC=8,點(diǎn)D在BC上，以AC為對角線的所有平行四

邊形ADCE中，DE的最小值是()

E

0

\

5-----------

A.10B.8C.6D.5

【考點(diǎn)】三角形中位線定理；垂線段最短；平行四邊形的性質(zhì).

【分析】平行四邊形ADCE的對角線的交點(diǎn)是AC的中點(diǎn)O,當(dāng)ODJ_BC時，OD最小，即DE最小,

根據(jù)三角形中位線定理即可求解.

【解答】解：平行四邊形ADCE的對角線的交點(diǎn)是AC的中點(diǎn)O,當(dāng)ODJ_BC時，OD最小，即DE

最小.

VOD1BC,BC1AB,

，OD〃AB,

XVOC=OA,

，OD是4ABC的中位線，

.?.0D,AB=3,

2

.,.DE=2OD=6.

故選C.

【點(diǎn)評】此題考查的是三角形中位線的性質(zhì)，即三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半，

正確理解DE最小的條件是關(guān)鍵.

二、填空題（共6小題，每小題3分，第分18分）

11.（2015?衡陽）化簡：曬

【考點(diǎn)】二次根式的加減法.

【分析】先把各根式化為最簡二次根式，再根據(jù)二次根式的減法進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：原式=2a-&

=^2-_

故答案為：血.

【點(diǎn)評】本題考查的是二次根式的加減法，熟知二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根

式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變是解答此題的關(guān)鍵.

12.在^ABC中，ZC=90°,若AC=5,BC=12,則AB=13.

【考點(diǎn)】勾股定理.

【分析】直接根據(jù)勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的

平方進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：根據(jù)勾股定理可得AB=JAC2+BC2海國'=13,

故答案為：13.

【點(diǎn)評】此題主要考查了勾股定理，關(guān)鍵是掌握如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a,b,斜邊長

為c,那么a2+b2=c2.

13.-只螞蟻沿棱長為2的正方體表面從頂點(diǎn)A爬到頂點(diǎn)B,則它走過的最短路程為，代

【考點(diǎn)】平面展開-最短路徑問題.

【分析】先將圖形展開，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得出結(jié)論.

【解答】解：將正方體展開，連接A、B,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，AB力廬不=2娓.

故答案為：2V5.

【點(diǎn)評】本題考查的是平面展開.最短路徑問題，熟知"兩點(diǎn)之間，線段最短"是解答此題的關(guān)鍵.

14.一個三角形的三條中位線的長分別為3,4,5,則三角形的面積為24.

【考點(diǎn)】三角形中位線定理；勾股定理的逆定理.

【分析】根據(jù)三角形的中位線定理即可求得^ABC的各個邊長，利用勾股定理的逆定理可以判斷AABC

是直角三角形，則面積即可求解.

【解答】解：設(shè)中位線DE=3，DF=4,EF=5.

???DE是△ABC的中位線，

，BC=2DE=2x3=6.

同理：AC=2DF=8,AB=2EF=10.

V62+82=100=102,

.?.AC2+BC2=AB2,

.,.△ABC是直角三角形，且NACB=90。，

?'?SAABC=,5AC*BC=AX6X8=24.

V22

故答案是：24.

【點(diǎn)評】本題主要考查了勾股定理，以及三角形的中位線定理，正確求得^ABC的邊長，判斷4ABC

是直角三角形是解題關(guān)鍵.

15.（2014春?鎮(zhèn)費(fèi)縣期末）如圖，一根長18cm的筷子置于底面直徑為5cm.高為12cm圓柱形水杯中，

露在水杯外面的長度hem,則h的取值范圍是5cm4h46cm.

【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用.

【分析】根據(jù)杯子內(nèi)筷子的長度的取值范圍得出杯子外面長度的取值范圍，即可得出答案.

【解答】解：???將一根長為18cm的筷子，置于底面直徑為5cm,高為12cm的圓柱形水杯中，

...在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最長是等于杯子斜邊長度，

...當(dāng)杯子中筷子最短是等于杯子的高時，x=12,

最長時等于杯子斜邊長度是：

X=7122+52=13,

Ah的取值范圍是：(18-13)cm<h<(18-12)cm,

即5cm<h<6cm.

故答案為：5cm<h<6cm.

【點(diǎn)評】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確得出杯子內(nèi)筷子的取值范圍是解決問題的關(guān)鍵.

16.如圖，已知平行四邊形ABCD中，AB=BC,BC=10,ZBCD=60°,兩頂點(diǎn)B、D分別在平面直角

坐標(biāo)系的y軸、x軸的正半軸上滑動，連接0A,則0A的長的最小值是573-5.

k外i一

【考點(diǎn)】菱形的判定與性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；垂線段最短；等邊三角形的判定與性質(zhì).

【分析】利用菱形的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)得出A點(diǎn)位置，進(jìn)而求出A0的長.

【解答】解：如圖所示：過點(diǎn)A作AELBD于點(diǎn)E,

當(dāng)點(diǎn)A,O,E在一條直線上，此時A0最短，

?.?平行四邊形ABCD中，AB=BC,BC=10,ZBCD=60",

:.AB=AD=CD=BC=10,ZBAD=ZBCD=60°,

/.△ABD是等邊三角形，

，AE過點(diǎn)O,E為BD中點(diǎn)，則此時EO=5,

故AO的最小值為：AO=AE-EO=ABsin60°-1xBD=5遮-5.

2

【點(diǎn)評】此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)，得出當(dāng)點(diǎn)A,O,E在一條直線上,

此時AO最短是解題關(guān)鍵.

三、解答題（共8小題二滿分72分）

17.（8分）（1）岳x噌/

（2）78+273-（V27-V2）

【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算.

【分析】（1）按照二次根式的乘除法的計(jì)算方法計(jì)算即可；

（2）先化簡，再進(jìn)一步合并同類二次根式即可.

【解答】解：（1）原式小班

=\[3i

（2）原式=2a+2?-昭啦

=3\反-yfs.

【點(diǎn)評】此題考查二次根式的混合運(yùn)算，掌握運(yùn)算的方法和化簡的方法是解決問題的關(guān)鍵.

18.（8分）如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別是邊AB、CD的中點(diǎn)，四邊形AEFD是平行四

邊形嗎？為什么？

【考點(diǎn)】平行四邊形的判定與性質(zhì).

【分析】根據(jù)平行四邊形ABCD的性質(zhì)推知AE〃DF；又E、F分別是邊AB、CD的中點(diǎn)，則AD〃EF,

所以由"有兩組對邊相互平行的四邊形是平行四邊形”證得四邊形AEFD是平行四邊形.

【解答】解：四邊形AEFD是平行四邊形.理由如下：

如圖，???四邊形ABCD是平行四邊形，

.,.AB〃DC,貝ljAE〃DF.

又〈E、F分別是邊AB、CD的中點(diǎn)，

:.AD〃EF,

四邊形AEFD是平行四邊形.

【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì).解題時，利用了"有兩組對邊相互平行的四邊形是平行

四邊形”證得四邊形AEFD是平行四邊形.

19.（8分）（2010秋?渝北區(qū)期末）已知xS+l，y=V3-b求下列各式的值：

（1）x2-y2；

（2）x2+xy+y2.

【考點(diǎn)】二次根式的化簡求值.

【分析】（1）先代入分別求出x+y,x-y的值，根據(jù)平方差公式分解因式，代入求出即可；

（2）先代入分別求出x+y,xy的值，根據(jù)完全平方公式代入求出即可；

【解答】解：,：x=V^+l,y=,石-1,

x+y=2V3>x-y=2,xy=（A/3+1）x（V3-1）=2,

（]）x2-y2；

=（x+y）（x-y）

=2V3X2

=4后.

(2)x2+xy+y2.

=(x+y)2-xy

=(2點(diǎn))2-2

=10.

【點(diǎn)評】本題考查了對平方差公式，完全平方公式，二次根式的混合運(yùn)算的應(yīng)用，主要考查學(xué)生能否

選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行計(jì)算.

20.（8分）（2015春?鞍山期末）如圖，正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,每個小正方形的

頂點(diǎn)叫格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)按下列要求畫圖：

（1）在圖①中畫一條線段MN,使MN=J^；__

（2）在圖②中畫一個△ABC,使其三邊長分別為3,國,V13.

【考點(diǎn)】勾股定理.

【專題】作圖題._

【分析】（1）如圖①，在直角三角形MQN中，利用勾股定理求出MN的長為遙，故MN為所求線段;

（2）如圖②，分別利用勾股定理求出AB,AC,以及BC的長，即可確定出所求aABC.

【解答】解：（1）如圖①所示，在RtZXMQN中，MQ=2,NQ=1,

根據(jù)勾股定理得：MN=*7］屋娓，

則線段MN為所求的線段；

（2）如圖②所示，AB=3,AC=^32+12=710,BC=^22+32=713,

則4ABC為所求三角形.

【點(diǎn)評】此題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵.

21.（8分）某港口位于東西方向的海岸線上."遠(yuǎn)航"號、"海天"號輪船同時離開港口，各自沿一固定

方向航行，"遠(yuǎn)航"號每小時航行16海里，“海天”號每小時航行12海里.它們離開港口1小時后相距

20海里.如果知道"遠(yuǎn)航"號沿東北方向航行，能知道嗨天"號沿哪個方向航行嗎？

【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理；方向角.

【專題】應(yīng)用題.

【分析】根據(jù)路程=速度x時間分別求得OB、OA的長，再進(jìn)一步根據(jù)勾股定理的逆定理可以證明三角

形OAB是直角三角形，從而求解.

【解答】解：1小時"遠(yuǎn)航"號的航行距離：OB=16xl=16海里；

1小時"海天”號的航行距離：OA=12xl=12海里，

因?yàn)锳B=20海里，

所以AB2=OB2+OA2,即202=162+122,

所以40AB是直角三角形，

又因?yàn)镹l=45。，

所以N2=45°,

故"海天"號沿西北方向航行或東南方向航行.

【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理的逆定理，在應(yīng)用勾股定理的逆定理時，應(yīng)先認(rèn)真分析所給邊的大小關(guān)

系，確定最大邊后，再驗(yàn)證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系，進(jìn)而作出判斷.

22.(10分)(2013?蘭州)如圖1,在AOAB中，ZOAB=90°,ZAOB=30°,OB=8.以O(shè)B為邊，在

△OAB外作等邊△OBC,D是OB的中點(diǎn)，連接AD并延長交OC于E.

(1)求證：四邊形ABCE是平行四邊形；

(2)如圖2,將圖1中的四邊形ABCO折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕為FG,求OG的長.

【考點(diǎn)】平行四邊形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；翻折變換(折疊問題).

【分析】(1)首先根據(jù)直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DO=DA,再根據(jù)等邊對等角可

得NDAO=NDOA=30。，進(jìn)而算出NAEO=60。，再證明BC〃AE,CO〃AB,進(jìn)而證出四邊形ABCE是

平行四邊形；

(2)設(shè)OG=x,由折疊可得：AG=GC=8-x,再利用三角函數(shù)可計(jì)算出AO,再利用勾股定理計(jì)算出

OG的長即可.

【解答】(1)證明：’.?□△OAB中，D為OB的中點(diǎn)，

，AD」OB,OD=BD」OB

22

/.DO=DA,

/.ZDAO=ZDOA=30o,NEOA=90°,

/.ZAEO=60o,

又???△OBC為等邊三角形，

/.ZBCO=ZAEO=60o,

，BC〃AE,

VZBAO=ZCOA=90",

，CO〃AB,

四邊形ABCE是平行四邊形；

(2)解：設(shè)OG=x,由折疊可得：AG=GC=8-x,

在RtAABO中，

VZOAB=90°,ZAOB=30°,B0=8,

/.AO=BO?cos30o=8避=4后

2

在RtAOAG中，OG2+OA2=AG2,

x2+(4揚(yáng)2=(8-x)2,

解得:x=l,

/.OG=1.

【點(diǎn)評】此題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，以及勾股定理的應(yīng)用，圖形的翻折變換，關(guān)鍵是

掌握平行四邊形的判定定理.

23.(10分)(2013?常德)已知兩個共一個頂點(diǎn)的等腰Rt^ABC,RtACEF,ZABC=ZCEF=90°,連

接AF,M是AF的中點(diǎn)，連接MB、ME.

(1)如圖1,當(dāng)CB與CE在同一直線上時，求證：MB〃CF；

(2)如圖1,若CB=a,CE=2a,求BM,ME的長；

【考點(diǎn)】三角形中位線定理；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形.

【專題】壓軸題.

【分析】(1)證法一：如答圖la所示，延長AB交CF于點(diǎn)D,證明BM為4ADF的中位線即可；

證法二：如答圖1b所示，延長BM交EF于D,根據(jù)在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩直線互相平

行可得AB〃EF,再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得NBAM=NDFM,根據(jù)中點(diǎn)定義可得AM=MF,

然后利用"角邊角"證明4ABM和aEDM全等，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AB=DF,然后求出

BE=DE,從而得到4BDE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出NEBM=45。，從而得到

ZEBM=ZECF,再根據(jù)同位角相等，兩直線平行證明MB〃CF即可，

(2)解法一：如答圖2a所示，作輔助線，推出BM、ME是兩條中位線；

解法二：先求出BE的長，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BM=DM,根據(jù)等腰三角形三線合一的性

質(zhì)可得EM_LBD,求出ABEM是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可；

(3)證法一：如答圖3a所示，作輔助線，推出BM、ME是兩條中位線：BM」DF,ME」AG；然后

22

證明4ACG會ADCF,得至DF=AG,從而證明BM=ME；

證法二：如答圖3b所示，延長BM交CF于D,連接BE、DE,利用同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行求出

AB〃CF,再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等求出NBAM=NDFM,根據(jù)中點(diǎn)定義可得AM=MF,然后利

用“角邊角"證明^ABM和△FDM全等，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AB=DF,BM=DM,再根

據(jù)“邊角邊"證明4BCE和4DFE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BE=DE,全等三角形對應(yīng)角相

等可得NBEC=NDEF,然后求出NBED=NCEF=90。，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證明即可.

【解答】(1)證法一：

如答圖la,延長AB交CF于點(diǎn)D,

則易知aABC與ABCD均為等腰直角三角形，

，AB=BC=BD,

...點(diǎn)B為線段AD的中點(diǎn)，

又?點(diǎn)M為線段AF的中點(diǎn)，

ABM為aADF的中位線，

，BM〃CF.

證法二：

如答圖1b,延長BM交EF于D,

VZABC=ZCEF=90°,

/.AB±CE,EF±CE,

，AB〃EF,

/.ZBAM=ZDFM,

?.?M是AF的中點(diǎn)，

，AM=MF,

在aABM和△FDM中，

，ZBAM=ZDFM

<AM=FM,

NAMB=NFMD

.,.△ABM^AFDM(ASA),

.*.AB=DF,

VBE=CE-BC,DE=EF-DF,

，BE=DE,

.,.△BDE是等腰直角三角形，

/.ZEBM=45O,

在等腰直角4CEF中，ZECF=45°,

:.NEBM=NECF,

，MB〃CF；

(2)解法一：

如答圖2a所示，延長AB交CF于點(diǎn)D,則易知aBCD與AABC為等腰直角三角形,

AB=BC=BD=a?AC=CD=V^a,

.?.點(diǎn)B為AD中點(diǎn)，又點(diǎn)M為AF中點(diǎn)，

2

分別延長FE與CA交于點(diǎn)G,則易知4CEF與4CEG均為等腰直角三角形，

，CE=EF=GE=2a,CG=CF=2&a,

.?.點(diǎn)E為FG中點(diǎn)，又點(diǎn)M為AF中點(diǎn)，

.?.ME」AG.

2_

,:CG=CF=2揚(yáng)，CA=CD=&a,

/.AG=DF=V2a,_

BM=ME」x&a=^a.

22

解法二：如答圖1b.

VCB=a,CE=2a,

BE=CE-CB=2a-a=a,

VAABM^AFDM,

/.BM=DM,

又「△BED是等腰直角三角形，

/.△BEM是等腰直角三角形，

/.BM=ME=^BE=^a；

22

(3)證法一：

如答圖3a,延長AB交CE于點(diǎn)D,連接DF,則易知aABC與4BCD均為等腰直角三角形,

，AB=BC=BD,AC=CD,

...點(diǎn)B為AD中點(diǎn)，又點(diǎn)M為AF中點(diǎn)，，BM二DF.

2

延長FE與CB交于點(diǎn)G,連接AG,則易知4CEF與4CEG均為等腰直角三角形，

，CE=EF=EG,CF=CG,

.??點(diǎn)E為FG中點(diǎn)，又點(diǎn)M為AF中點(diǎn)，，ME」AG.

2

在4ACG與4DCF中，

'AC=CD

<NACG=NDCF=45°，

,CG=CF

/.△ACG^ADCF(SAS),

，DF=AG,

/.BM=ME.

證法二：

如答圖3b,延長BM交CF于D,連接BE、DE,

VZBCE=45°,

二ZACD=45°x2+45°=135°

I.ZBAC+ZACF=45°+135o=180°,

:.AB〃CF,

/.ZBAM=ZDFM,

???M是AF的中點(diǎn)，

，AM=FM,

在AABM和△FDM中，

'NBAM=/DFM

"AM=FM，

NAMB=NFMD

.,.△ABM^AFDM(ASA),

，AB=DF,BM=DM,

.*.AB=BC=DF,

在ABCE和ADFE中，

'BC=DF

<ZBCE=ZDFE=45°，

CE=FE

.'.△BCE^ADFE(SAS),

/.BE=DE,ZBEC=ZDEF,

:.ZBED=ZBEC+ZCED=ZDEF+ZCED=ZCEF=90°,

.,.△BDE是等腰直角三角形，

又?.?BM=DM,

，BM=ME」BD,

2

故BM=ME.

答圖3a

C答圖lb

【點(diǎn)評】本題考查了三角形中位線定理、全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，作輔助

線構(gòu)造出中位線、全等三角形和等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn).

24.(12分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AB〃OC,A(0,12),B(a,c),C(b,0),并且a,b

滿足bu7T7五+后G+16.一動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，在線段AB上以每秒2個單位長度的速度向點(diǎn)B

運(yùn)動；動點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)在線段OC上以每秒1個單位長度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、

O同時出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)B時，點(diǎn)Q隨之停止運(yùn)動.設(shè)運(yùn)動時間為t(秒)

(1)求B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)t為何值時，四邊形PQCB是平行四邊形？并求出此時P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)當(dāng)t為何值時，△PQC是以PQ為腰的等腰三角形？并求出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo).

【考點(diǎn)】平行四邊形的判定；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；等腰三角形的判定；勾股定理.

【分析】(1)根據(jù)二次根式的性質(zhì)得出a,b的值進(jìn)而得出答案；

(2)由題意得：QP=2t,QO=t,PB=21-2t,QC=16-t,根據(jù)平行四邊形的判定可得21-2t=16-t,

再解方程即可；

(3)①當(dāng)PQ=CQ時，12?+t2=(16-t)2,解方程得到t的值，再求P點(diǎn)坐標(biāo)；②當(dāng)PQ=PC時，由題

意得：QM=t,CM=16-2t,進(jìn)而得到方程t=16-2t,再解方程即可.

+16

【解答】解：(1)b=^a-21+721-a,

a=21,b=16,

故B(21,12)C(16,0)；

(2)由題意得：QP=2t,QO=t,

則：PB=21-2t,QC=16-t,

當(dāng)PB=QC時，四邊形PQCB是平行四邊形,

.*.21-2t=16-t,

解得：t=5,

：.P(10,12)Q(5,0)；

(3)當(dāng)PQ=CQ時，過Q作QNLAB,

由題意得：122+t2=(16-t)2,

解得：tJ,

2

故P(7,12),Q(I,0),

當(dāng)PQ=PC時，過P作PM_Lx軸,

由題意得：QM=t,CM=16-2tf

則t=16-2t,

解得：t3,2t烏，

33

【點(diǎn)評】此題主要考查了平行四邊形的判定，等腰三角形的判定，關(guān)鍵是注意分類討論，不要漏解.

參與本試卷答題和審題的老師有：sjzx；2300680618；caicl；dbzl018；zcl5287；lantin；zjxlll；haoyujun；

心若在；73zzx；zhjh；CJX；sd2011；nhx600；sks；HJJ；星期八（排名不分先后）

菁優(yōu)網(wǎng)

2016年4月27日

考點(diǎn)卡片

1.規(guī)律型：圖形的變化類

圖形的變化類的規(guī)律題

首先應(yīng)找出圖形哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過分析找到各部分的變化規(guī)律后直

接利用規(guī)律求解.探尋規(guī)律要認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想來解決這類問題.

2.二次根式有意義的條件

判斷二次根式有意義的條件：

(1)二次根式的概念.形如a(a>0)的式子叫做二次根式.

(2)二次根式中被開方數(shù)的取值范圍.二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù).

(3)二次根式具有非負(fù)性.a(a>0)是一個非負(fù)數(shù).

學(xué)習(xí)要求：

能根據(jù)二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)來確定二次根式被開方數(shù)中字母的取值范圍，并能利用二次根

式的非負(fù)性解決相關(guān)問題.

【規(guī)律方法】二次根式有無意義的條件

1.如果一個式子中含有多個二次根式，那么它們有意義的條件是：各個二次根式中的被開方數(shù)都必須

是非負(fù)數(shù).

2.如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)外，還必須保證分母不為零.

3.最簡二次根式

最簡二次根式的概念：(1)被開方數(shù)不含分母；(2)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.

我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.

最簡二次根式的條件：(1)被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)或字母，因式是整式；(2)被開方數(shù)中不含有可化

為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式.

如：不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有2、3、a(a>0),x+y等；

含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有4、9、a2、(x+y)2、x2+2xy+y2等.

4.二次根式的乘除法

(1)積的算術(shù)平方根性質(zhì)：a*b=a*b(a>0,b>0)

(2)二次根式的乘法法則：a?b=a?b(a>0,b>0)

(3)商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：ab=ab(a>0,b>0)

(4)二次根式的除法法則：ab=ab(a>0,b>0)

規(guī)律方法總結(jié)：

在使用性質(zhì)a?b=a?b(a>0,b>0)時一定要注意aNO,b20的條件限制,如果aVO,b<0,使用該性質(zhì)

會使二次根式無意義，如(-4)x(-9)x-4x-9；同樣的在使用二次根式的乘法法則，商的算術(shù)平

方根和二次根式的除法運(yùn)算也是如此.

5.二次根式的加減法

(1)法則：二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)

行合并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變.

(2)步驟：

①如果有括號，根據(jù)去括號法則去掉括號.

②把不是最簡二次根式的二次根式進(jìn)行化簡.

③合并被開方數(shù)相同的二次根式.

(3)合并被開方數(shù)相同的二次根式的方法：

二次根式化成最簡二次根式，如果被開方數(shù)相同則可以進(jìn)行合并.合并時.，只合并根式外的因式，即

系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變.

6.二次根式的混合運(yùn)算

(1)二次根式的混合運(yùn)算是二次根式乘法、除法及加減法運(yùn)算法則的綜合運(yùn)用.學(xué)習(xí)二次根式的混合

運(yùn)算應(yīng)注意以下兒點(diǎn)：

①與有理數(shù)的混合運(yùn)算一致，運(yùn)算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的.

②在運(yùn)算中每個根式可以看做是一個“單項(xiàng)式"，多個不同類的二次根式的和可以看作"多項(xiàng)式".

(2)二次根式的運(yùn)算結(jié)果要化為最簡二次根式.

(3)在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑,

往往能事半功倍.

7.二次根式的化簡求值

二次根式的化簡求值，,定要先化簡再代入求值.

二次根式運(yùn)算的最后，注意結(jié)果要化到最簡二次根式，二次根式的乘除運(yùn)算要與加減運(yùn)算區(qū)分，避免

互相干擾.

8.坐標(biāo)與圖形性質(zhì)

1、點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離與這個點(diǎn)的坐標(biāo)是有區(qū)別的，表現(xiàn)在兩個方面：①到x軸的距離與縱坐標(biāo)有關(guān)，

到y(tǒng)軸的距離與橫坐標(biāo)有關(guān)；②距離都是非負(fù)數(shù)，而坐標(biāo)可以是負(fù)數(shù)，在由距離求坐標(biāo)時，需要加上

恰當(dāng)?shù)姆?

2、有圖形中?些點(diǎn)的坐標(biāo)求面積時，過已知點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線，然后求出相關(guān)的線段長，是解決這類

問題的基本方法和規(guī)律.

3、若坐標(biāo)系內(nèi)的四邊形是非規(guī)則四邊形，通常用平行于坐標(biāo)軸的輔助線用“割、補(bǔ)"法去解決問題.

9.方向角

(1)方位角是表示方向的角；以正北，正南方向?yàn)榛鶞?zhǔn)，來描述物體所處的方向.

(2)用方位角描述方向時，通常以正北或正南方向?yàn)榻堑氖歼?，以對象所處的射線為終邊，故描述方

位角時，一般先敘述北或南，再敘述偏東或偏西.(注意幾個方向的角平分線按日常習(xí)慣，即東北，東

南，西北，西南.)

(3)畫方位角

以正南或正北方向作方位角的始邊，另一邊則表示對象所處的方向的射線.

10.垂線段最短

(1)垂線段：從直線外一點(diǎn)引一條直線的垂線，這點(diǎn)和垂足之間的線段叫做垂線段.

(2)垂線段的性質(zhì)：垂線段最短.

正確理解此性質(zhì)，垂線段最短，指的是從直線外一點(diǎn)到這條直線所作的垂線段最短.它是相對于這點(diǎn)

與直線上其他各點(diǎn)的連線而言.

(3)實(shí)際問題中涉及線路最短問題時，其理論依據(jù)應(yīng)從“兩點(diǎn)之間，線段最短"和"垂線段最短”這兩個

中去選擇.

11.三角形內(nèi)角和定理

(1)三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角.每個三角形都有三個內(nèi)角，且每個內(nèi)角均

大于0。且小于180°.

(2)三角形內(nèi)角和定理:三角形內(nèi)角和是180。.

(3)三角形內(nèi)角和定理的證明

證明方法，不唯一，但其思路都是設(shè)法將三角形的三個內(nèi)角移到一起，組合成一個平角.在轉(zhuǎn)化中借

助平行線.

(4)三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用

主要用在求三角形中角的度數(shù).①直接根據(jù)兩已知角求第三個角；②依據(jù)三角形中角的關(guān)系，用代數(shù)

方法求三個角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角.

12.全等三角形的判定與性質(zhì)

(1)全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.在判定三角形全等時,

關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件.

(2)在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三

角形.

13.等腰三角形的判定

判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等.【簡稱：等邊對等角】

說明：①等腰三角形是一個軸對稱圖形，它的定義既作為性質(zhì)，又可作為判定辦法.

②等腰三角形的判定和性質(zhì)互逆；

③在判定定理的證明中，可以作未來底邊的高線也可以作未來頂角的角平分線，但不能作未來底邊的

中線；

④判定定理在同一個三角形中才能適用.

14.等邊三角形的性質(zhì)

(1)等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形.

①它可以作為判定一個三角形是否為等邊三角形的方法；

②可以得到它與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況.在等邊三角形中，腰和底、

頂角和底角是相對而言的.

(2)等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，且都等于60。.

等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對邊，三邊的垂直平

分線是對稱軸.

15.等邊三角形的判定與性質(zhì)

(1)等邊三角形是一個非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關(guān)角的計(jì)算奠定了基礎(chǔ)，它的邊角

性質(zhì)為證明線段、角相等提供了便利條件.同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形，同樣具備三線合

一的性質(zhì)，解題時要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應(yīng)用.

(2)等邊三角形的特性如：三邊相等、有三條對稱軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成含有30。角

的直角三角形、連接三邊中點(diǎn)可以把等邊三角形分成四個全等的小等邊三角形等.

(3)等邊三角形判定最復(fù)雜，在應(yīng)用時要抓住已知條件的特點(diǎn)，選取恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒ǎ话愕?，若?/p>

一般三角形出發(fā)可以通過三條邊相等判定、通過三個角相等判定；若從等腰三角形出發(fā)，則想法獲取

一個60。的角判定.

16.勾股定理

(1)勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方.

如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a,b,斜邊長為c,那么a?+b2=c2.

(2)勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中.

(3)勾股定理公式a?+b2=c2的變形有：a=c2-b2,b=c2-a2及c=a2+b2.

(4)由于a2+b?=c2>a2,所以c>a,同理c>b,即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直

角邊.

17.勾股定理的逆定理

（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a,b,c滿足a2+b?=c2,那么這個三角形就是直角三角

形.

說明：

①勾股定理的逆定理驗(yàn)證利用了三角形的全等.

②勾股定理的逆定理將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，作用是判斷一個三角形是不是直角三角形.必須滿足較小兩邊平

方的和等于最大邊的平方才能做出判斷.

（2）運(yùn)用勾股定理的逆定理解決問題的實(shí)質(zhì)就是判斷一個角是不是直角.然后進(jìn)一步結(jié)合其他已知條

件來解決問題.

注意：要判斷一個角是不是直角，先要構(gòu)造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平

方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是.

18.勾股定理的應(yīng)用

（1）在不規(guī)則的幾何圖形中，通常添加輔助線得