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北京市西城區(qū)2016屆九年級上期末數(shù)學(xué)試卷含答案解析一、選擇題(本題共30分,每小題3分)下面各題均有四個選項,其中只有一個是符合題意的.1.二次函數(shù)y=(x﹣5)2+7的最小值是()A.﹣7 B.7 C.﹣5 D.52.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,則cosA的值為()A. B. C. D.3.如圖,⊙C與∠AOB的兩邊分不相切,其中OA邊與⊙C相切于點P.若∠AOB=90°,OP=6,則OC的長為()A.12 B. C. D.4.將二次函數(shù)y=x2﹣6x+5用配方法化成y=(x﹣h)2+k的形式,下列結(jié)果中正確的是()A.y=(x﹣6)2+5 B.y=(x﹣3)2+5 C.y=(x﹣3)2﹣4 D.y=(x+3)2﹣95.若一個扇形的半徑是18cm,且它的弧長是12πcm,則此扇形的圓心角等于()A.30° B.60° C.90° D.120°6.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點A的坐標(biāo)為(﹣1,2),AB⊥x軸于點B.以原點O為位似中心,將△OAB放大為原先的2倍,得到△OA1B1,且點A1在第二象限,則點A1的坐標(biāo)為()A.(﹣2,4) B.(,1) C.(2,﹣4) D.(2,4)7.如圖,一艘海輪位于燈塔P的南偏東37°方向,距離燈塔40海里的A處,它沿正北方向航行一段時刻后,到達(dá)位于燈塔P的正東方向上的B處.這時,B處與燈塔P的距離BP的長能夠表示為()A.40海里 B.40tan37°海里 C.40cos37°海里 D.40sin37°海里8.如圖,A,B,C三點在已知的圓上,在△ABC中,∠ABC=70°,∠ACB=30°,D是的中點,連接DB,DC,則∠DBC的度數(shù)為()A.30° B.45° C.50° D.70°9.某商品現(xiàn)在的售價為每件60元,每星期可賣出300件.市場調(diào)查反映,如果調(diào)整商品售價,每降價1元,每星期可多賣出20件.設(shè)每件商品降價x元后,每星期售出商品的總銷售額為y元,則y與x的關(guān)系式為()A.y=60(300+20x) B.y=(60﹣x)(300+20x)C.y=300(60﹣20x) D.y=(60﹣x)(300﹣20x)10.二次函數(shù)y=2x2﹣8x+m滿足以下條件:當(dāng)﹣2<x<﹣1時,它的圖象位于x軸的下方;當(dāng)6<x<7時,它的圖象位于x軸的上方,則m的值為()A.8 B.﹣10 C.﹣42 D.﹣24二、填空題(本題共18分,每小題3分)11.若,則的值為.12.點A(﹣3,y1),B(2,y2)在拋物線y=x2﹣5x上,則y1y2.(填“>”,“<”或“=”)13.△ABC的三邊長分不為5,12,13,與它相似的△DEF的最小邊長為15,則△DEF的周長為.14.如圖,線段AB和射線AC交于點A,∠A=30°,AB=20.點D在射線AC上,且∠ADB是鈍角,寫出一個滿足條件的AD的長度值:AD=.15.程大位所著《算法統(tǒng)宗》是一部中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)重要的著作.在《算法統(tǒng)宗》中記載:“平地秋千未起,踏板離地一尺.送行二步與人齊,五尺人高曾記.仕女佳人爭蹴,終朝笑語歡嬉.良工高士素好奇,算出索長有幾?”【注釋】1步=5尺.譯文:“當(dāng)秋千靜止時,秋千上的踏板離地有1尺高,如將秋千的踏板往前推動兩步(10尺)時,踏板就和人一樣高,已知那個人身高是5尺.漂亮的小姐和才子們,每天都來爭蕩秋千,歡聲笑語終日持續(xù).好奇的能工巧匠,能算出這秋千的繩索長是多少嗎?”如圖,假設(shè)秋千的繩索長始終保持直線狀態(tài),OA是秋千的靜止?fàn)顟B(tài),A是踏板,CD是地面,點B是推動兩步后踏板的位置,弧AB是踏板移動的軌跡.已知AC=1尺,CD=EB=10尺,人的身高BD=5尺.設(shè)繩索長OA=OB=x尺,則可列方程為.16.閱讀下面材料:在學(xué)習(xí)《圓》這一章時,老師給同學(xué)們布置了一道尺規(guī)作圖題:尺規(guī)作圖:過圓外一點作圓的切線.已知:P為⊙O外一點.求作:通過點P的⊙O的切線.小敏的作法如下:如圖,(1)連接OP,作線段OP的垂直平分線MN交OP于點C;(2)以點C為圓心,CO的長為半徑作圓,交⊙O于A,B兩點;(3)作直線PA,PB.因此直線PA,PB確實是所求作的切線.老師認(rèn)為小敏的作法正確.請回答:連接OA,OB后,可證∠OAP=∠OBP=90°,其依據(jù)是;由此可證明直線PA,PB差不多上⊙O的切線,其依據(jù)是.三、解答題(本題共72分,第17-26題,每小題5分,第27題7分,第28題7分,第29題8分)解承諾寫出文字講明,演算步驟或證明過程.17.運算:4cos30°?tan60°﹣sin245°.18.如圖,△ABC中,AB=12,BC=15,AD⊥BC于點D,∠BAD=30°,求tanC的值.19.已知拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸交于A,B兩點,點A在點B的左側(cè).(1)求A,B兩點的坐標(biāo)和此拋物線的對稱軸;(2)設(shè)此拋物線的頂點為C,點D與點C關(guān)于x軸對稱,求四邊形ACBD的面積.20.如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,∠A=∠BDC.(1)求證:△ABD∽△DCB;(2)若AB=12,AD=8,CD=15,求DB的長.21.某小區(qū)有一塊長21米,寬8米的矩形空地,如圖所示.社區(qū)打算在其中修建兩塊完全相同的矩形綠地,同時兩塊綠地之間及四周都留有寬度為x米的人行通道.如果這兩塊綠地的面積之和為60平方米,人行通道的寬度應(yīng)是多少米?22.已知拋物線C1:y1=2x2﹣4x+k與x軸只有一個公共點.(1)求k的值;(2)如何樣平移拋物線C1就能夠得到拋物線C2:y2=2(x+1)2﹣4k?請寫出具體的平移方法;(3)若點A(1,t)和點B(m,n)都在拋物線C2:y2=2(x+1)2﹣4k上,且n<t,直截了當(dāng)寫出m的取值范疇.23.如圖,AB是⊙O的一條弦,且AB=.點C,E分不在⊙O上,且OC⊥AB于點D,∠E=30°,連接OA.(1)求OA的長;(2)若AF是⊙O的另一條弦,且點O到AF的距離為,直截了當(dāng)寫出∠BAF的度數(shù).24.奧林匹克公園觀光塔由五座高度不等、錯落有致的獨立塔組成.在綜合實踐活動課中,某小組的同學(xué)決定利用測角儀測量這五座塔中最高塔的高度(測角儀高度忽略不計).他們的操作方法如下:如圖,他們先在B處測得最高塔塔頂A的仰角為45°,然后向最高塔的塔基直行90米到達(dá)C處,再次測得最高塔塔頂A的仰角為58°.請關(guān)心他們運算出最高塔的高度AD約為多少米.(參考數(shù)據(jù):sin58°≈0.85,cos58°≈0.53,tan58°≈1.60)25.如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,AB是⊙O的直徑.PC是⊙O的切線,C為切點,PD⊥AB于點D,交AC于點E.(1)求證:∠PCE=∠PEC;(2)若AB=10,ED=,sinA=,求PC的長.26.閱讀下面材料:如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線y1=ax+b與雙曲線y2=交于A(1,3)和B(﹣3,﹣1)兩點.觀看圖象可知:①當(dāng)x=﹣3或1時,y1=y2;②當(dāng)﹣3<x<0或x>1時,y1>y2,即通過觀看函數(shù)的圖象,能夠得到不等式ax+b>的解集.有如此一個咨詢題:求不等式x3+4x2﹣x﹣4>0的解集.某同學(xué)按照學(xué)習(xí)以上知識的體會,對求不等式x3+4x2﹣x﹣4>0的解集進(jìn)行了探究.下面是他的探究過程,請將(2)、(3)、(4)補(bǔ)充完整:(1)將不等式按條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化:當(dāng)x=0時,原不等式不成立;當(dāng)x>0時,原不等式能夠轉(zhuǎn)化為x2+4x﹣1>;當(dāng)x<0時,原不等式能夠轉(zhuǎn)化為x2+4x﹣1<;(2)構(gòu)造函數(shù),畫出圖象設(shè)y3=x2+4x﹣1,y4=,在同一坐標(biāo)系中分不畫出這兩個函數(shù)的圖象.雙曲線y4=如圖2所示,請在此坐標(biāo)系中畫出拋物線y3=x2+4x﹣1;(不用列表)(3)確定兩個函數(shù)圖象公共點的橫坐標(biāo)觀看所畫兩個函數(shù)的圖象,猜想并通過代入函數(shù)解析式驗證可知:滿足y3=y4的所有x的值為;(4)借助圖象,寫出解集結(jié)合(1)的討論結(jié)果,觀看兩個函數(shù)的圖象可知:不等式x3+4x2﹣x﹣4>0的解集為.27.(7分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,二次函數(shù)y=﹣+bx+c的圖象通過點A(1,0),且當(dāng)x=0和x=5時所對應(yīng)的函數(shù)值相等.一次函數(shù)y=﹣x+3與二次函數(shù)y=﹣+bx+c的圖象分不交于B,C兩點,點B在第一象限.(1)求二次函數(shù)y=﹣+bx+c的表達(dá)式;(2)連接AB,求AB的長;(3)連接AC,M是線段AC的中點,將點B繞點M旋轉(zhuǎn)180°得到點N,連接AN,CN,判定四邊形ABCN的形狀,并證明你的結(jié)論.28.(7分)在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,M為AB的中點.D是射線BC上一個動點,連接AD,將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE,連接ED,N為ED的中點,連接AN,MN.(1)如圖1,當(dāng)BD=2時,AN=,NM與AB的位置關(guān)系是;(2)當(dāng)4<BD<8時,①依題意補(bǔ)全圖2;②判定(1)中NM與AB的位置關(guān)系是否發(fā)生變化,并證明你的結(jié)論;(3)連接ME,在點D運動的過程中,當(dāng)BD的長為何值時,ME的長最???最小值是多少?請直截了當(dāng)寫出結(jié)果.29.(8分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,過⊙C上一點P作⊙C的切線l.當(dāng)入射光線照耀在點P處時,產(chǎn)生反射,且滿足:反射光線與切線l的夾角和入射光線與切線l的夾角相等,點P稱為反射點.規(guī)定:光線不能“穿過”⊙C,即當(dāng)入射光線在⊙C外時,只在圓外進(jìn)行反射;當(dāng)入射光線在⊙C內(nèi)時,只在圓內(nèi)進(jìn)行反射.專門地,圓的切線不能作為入射光線和反射光線.光線在⊙C外反射的示意圖如圖1所示,其中∠1=∠2.(1)自⊙C內(nèi)一點動身的入射光線經(jīng)⊙C第一次反射后的示意圖如圖2所示,P1是第1個反射點.請在圖2中作出光線經(jīng)⊙C第二次反射后的反射光線;(2)當(dāng)⊙O的半徑為1時,如圖3,①第一象限內(nèi)的一條入射光線平行于x軸,且自⊙O的外部照耀在其上點P處,此光線經(jīng)⊙O反射后,反射光線與y軸平行,則反射光線與切線l的夾角為°;②自點A(﹣1,0)動身的入射光線,在⊙O內(nèi)持續(xù)地反射.若第1個反射點P1在第二象限,且第12個反射點P12與點A重合,則第1個反射點P1的坐標(biāo)為;(3)如圖4,點M的坐標(biāo)為(0,2),⊙M的半徑為1.第一象限內(nèi)自點O動身的入射光線經(jīng)⊙M反射后,反射光線與坐標(biāo)軸無公共點,求反射點P的縱坐標(biāo)的取值范疇.
2015-2016學(xué)年北京市西城區(qū)九年級(上)期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題(本題共30分,每小題3分)下面各題均有四個選項,其中只有一個是符合題意的.1.二次函數(shù)y=(x﹣5)2+7的最小值是()A.﹣7 B.7 C.﹣5 D.5【考點】二次函數(shù)的最值.【分析】按照二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【解答】解:∵y=(x﹣5)2+7∴當(dāng)x=5時,y有最小值7.故選B.【點評】本題考查了二次函數(shù)的最值:當(dāng)a>0時,拋物線在對稱軸左側(cè),y隨x的增大而減少;在對稱軸右側(cè),y隨x的增大而增大,因為圖象有最低點,因此函數(shù)有最小值,當(dāng)x=﹣,函數(shù)最小值y=;當(dāng)a<0時,拋物線在對稱軸左側(cè),y隨x的增大而增大;在對稱軸右側(cè),y隨x的增大而減少,因為圖象有最高點,因此函數(shù)有最大值,當(dāng)x=﹣,函數(shù)最大值y=.2.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,則cosA的值為()A. B. C. D.【考點】銳角三角函數(shù)的定義.【分析】按照勾股定理,可得AB的長,按照銳角的余弦等于鄰邊比斜邊,可得答案.【解答】解:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,由勾股定理,得AB==5.cosA==,故選:A.【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義,在直角三角形中,銳角的正弦為對邊比斜邊,余弦為鄰邊比斜邊,正切為對邊比鄰邊.3.如圖,⊙C與∠AOB的兩邊分不相切,其中OA邊與⊙C相切于點P.若∠AOB=90°,OP=6,則OC的長為()A.12 B. C. D.【考點】切線的性質(zhì).【分析】連接CP,由切線的性質(zhì)可得CP⊥AO,再由切線長定理可得∠POC=45°,進(jìn)而可得△POC是等腰直角三角形,利用勾股定理即可求出OC的長.【解答】解:連接CP,∵OA邊與⊙C相切于點P,∴CP⊥AO,∵⊙C與∠AOB的兩邊分不相切,∠AOB=90°,∴∠POC=45°,∴OP=CP=6,∴OC==6,故選C.【點評】本題考查了切線的性質(zhì)定理、切線長定理以及勾股定理的運用,能夠正確的判定△POC是等腰直角三角形是解題關(guān)鍵.4.將二次函數(shù)y=x2﹣6x+5用配方法化成y=(x﹣h)2+k的形式,下列結(jié)果中正確的是()A.y=(x﹣6)2+5 B.y=(x﹣3)2+5 C.y=(x﹣3)2﹣4 D.y=(x+3)2﹣9【考點】二次函數(shù)的三種形式.【分析】運用配方法把一樣式化為頂點式即可.【解答】解:y=x2﹣6x+5=x2﹣6x+9﹣4=(x﹣3)2﹣4,故選:C.【點評】本題考查的是二次函數(shù)的三種形式,正確運用配方法把一樣式化為頂點式是解題的關(guān)鍵.5.若一個扇形的半徑是18cm,且它的弧長是12πcm,則此扇形的圓心角等于()A.30° B.60° C.90° D.120°【考點】弧長的運算.【分析】把弧長公式進(jìn)行變形,代入已知數(shù)據(jù)運算即可.【解答】解:按照弧長的公式l=,得n===120°,故選:D.【點評】本題考查的是弧長的運算,把握弧長的公式l=是解題的關(guān)鍵.6.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點A的坐標(biāo)為(﹣1,2),AB⊥x軸于點B.以原點O為位似中心,將△OAB放大為原先的2倍,得到△OA1B1,且點A1在第二象限,則點A1的坐標(biāo)為()A.(﹣2,4) B.(,1) C.(2,﹣4) D.(2,4)【考點】位似變換;坐標(biāo)與圖形性質(zhì).【分析】直截了當(dāng)利用位似圖形的性質(zhì)以及結(jié)合A點坐標(biāo)直截了當(dāng)?shù)贸鳇cA1的坐標(biāo).【解答】解:∵點A的坐標(biāo)為(﹣1,2),以原點O為位似中心,將△OAB放大為原先的2倍,得到△OA1B1,且點A1在第二象限,∴點A1的坐標(biāo)為(﹣2,4).故選:A.【點評】此題要緊考查了位似變換以及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì),正確把握位似圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.7.如圖,一艘海輪位于燈塔P的南偏東37°方向,距離燈塔40海里的A處,它沿正北方向航行一段時刻后,到達(dá)位于燈塔P的正東方向上的B處.這時,B處與燈塔P的距離BP的長能夠表示為()A.40海里 B.40tan37°海里 C.40cos37°海里 D.40sin37°海里【考點】解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角咨詢題.【分析】按照已知條件得出∠BAP=37°,再按照AP=40海里和正弦定理即可求出BP的長.【解答】解:∵一艘海輪位于燈塔P的南偏東37°方向,∴∠BAP=37°,∵AP=40海里,∴BP=AP?sin37°=40sin37°海里;故選D.【點評】本題考查解直角三角形,用到的知識點是方位角、直角三角形、銳角三角函數(shù)的有關(guān)知識,結(jié)合航海中的實際咨詢題,將解直角三角形的有關(guān)知識有機(jī)結(jié)合,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用于實際生活的思想.8.如圖,A,B,C三點在已知的圓上,在△ABC中,∠ABC=70°,∠ACB=30°,D是的中點,連接DB,DC,則∠DBC的度數(shù)為()A.30° B.45° C.50° D.70°【考點】圓周角定理;圓心角、弧、弦的關(guān)系.【分析】按照三角形的內(nèi)角和定理得到∠A=80°,按照圓周角定理得到∠D=∠A=80°,按照等腰三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論.【解答】解:∵∠ABC=70°,∠ACB=30°,∴∠A=80°,∴∠D=∠A=80°,∵D是的中點,∴,∴BD=CD,∴∠DBC=∠DCB==50°,故選C.【點評】本題考查了圓周角定理,圓心角、弧、弦的關(guān)系,等腰三角形的性質(zhì),熟練把握圓周角定理是解題的關(guān)鍵.9.某商品現(xiàn)在的售價為每件60元,每星期可賣出300件.市場調(diào)查反映,如果調(diào)整商品售價,每降價1元,每星期可多賣出20件.設(shè)每件商品降價x元后,每星期售出商品的總銷售額為y元,則y與x的關(guān)系式為()A.y=60(300+20x) B.y=(60﹣x)(300+20x)C.y=300(60﹣20x) D.y=(60﹣x)(300﹣20x)【考點】按照實際咨詢題列二次函數(shù)關(guān)系式.【分析】按照降價x元,則售價為(60﹣x)元,銷售量為(300+20x)件,由題意可得等量關(guān)系:總銷售額為y=銷量×售價,按照等量關(guān)系列出函數(shù)解析式即可.【解答】解:降價x元,則售價為(60﹣x)元,銷售量為(300+20x)件,按照題意得,y=(60﹣x)(300+20x),故選:B.【點評】此題要緊考查了按照實際咨詢題列二次函數(shù)解析式,關(guān)鍵是正確明白得題意,找出題目中的等量關(guān)系,再列函數(shù)解析式.10.二次函數(shù)y=2x2﹣8x+m滿足以下條件:當(dāng)﹣2<x<﹣1時,它的圖象位于x軸的下方;當(dāng)6<x<7時,它的圖象位于x軸的上方,則m的值為()A.8 B.﹣10 C.﹣42 D.﹣24【考點】二次函數(shù)的性質(zhì).【分析】按照拋物線頂點式得到對稱軸為直線x=2,在7<x<8這一段位于x軸的上方,利用拋物線對稱性得到拋物線在0<x<1這一段位于x軸的上方,而圖象在1<x<2這一段位于x軸的下方,因此可得拋物線過點(﹣2,0),(6,0),然后把(﹣2,0)代入y=2x2﹣8x+m可求出m的值.【解答】解:∵拋物線y=2x2﹣8x+m=2(x﹣2)2﹣8+m的對稱軸為直線x=2,而拋物線在﹣2<x<﹣1時,它的圖象位于x軸的下方;當(dāng)6<x<7時,它的圖象位于x軸的上方∴拋物線過點(﹣2,0),(6,0),把(﹣2,0)代入y=2x2﹣8x+m得8+16+m=0,解得m=﹣24.故選D.【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點以及拋物線的軸對稱性:求二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0)與x軸的交點坐標(biāo),令y=0,即ax2+bx+c=0,解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標(biāo).△=b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù):△=b2﹣4ac>0時,拋物線與x軸有2個交點;△=b2﹣4ac=0時,拋物線與x軸有1個交點;△=b2﹣4ac<0時,拋物線與x軸沒有交點.二、填空題(本題共18分,每小題3分)11.若,則的值為.【考點】比例的性質(zhì).【分析】已知的比值,按照比例的合比性質(zhì)即可求得.【解答】解:按照比例的合比性質(zhì),已知=,則=.【點評】熟練應(yīng)用比例的合比性質(zhì).12.點A(﹣3,y1),B(2,y2)在拋物線y=x2﹣5x上,則y1>y2.(填“>”,“<”或“=”)【考點】二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點.【分析】分不運算自變量為﹣3、2時的函數(shù)值,然后比較函數(shù)值的大小即可.【解答】解:當(dāng)x=﹣3時,y1=x2﹣5x=24;當(dāng)x=2時,y2=x2﹣5x=﹣6;∵24>﹣6,∴y1>y2.故答案為:>.【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點:二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)滿足其解析式.也考查了二次函數(shù)的性質(zhì).13.△ABC的三邊長分不為5,12,13,與它相似的△DEF的最小邊長為15,則△DEF的周長為90.【考點】相似三角形的性質(zhì).【分析】由△ABC的三邊長分不為5,12,13,與它相似的△DEF的最小邊長為15,即可求得△AC的周長以及相似比,又由相似三角形的周長的比等于相似比,即可求得答案.【解答】解:∵△ABC的三邊長分不為5,12,13,∴△ABC的周長為:5+12+13=30,∵與它相似的△DEF的最小邊長為15,∴△DEF的周長:△ABC的周長=15:5=3:1,∴△DEF的周長為:3×30=90.故答案為90.【點評】此題考查了相似三角形的性質(zhì).熟練把握相似三角形的周長比等于相似比是解題關(guān)鍵.14.如圖,線段AB和射線AC交于點A,∠A=30°,AB=20.點D在射線AC上,且∠ADB是鈍角,寫出一個滿足條件的AD的長度值:AD=10.【考點】含30度角的直角三角形.【分析】過B作BE⊥AC于E,由∠A=30°,AB=20,得到AE=10,推出∠ADB>∠AEB,即可得到結(jié)論.【解答】解:過B作BE⊥AC于E,∵∠A=30°,AB=20,∴AE=10,∵∠ADB是鈍角,∴∠ADB>∠AEB,∴0<AD<10,∴AD=10,故答案為:10.【點評】本題考查了含30°角的直角三角形的性質(zhì),熟記直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.15.程大位所著《算法統(tǒng)宗》是一部中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)重要的著作.在《算法統(tǒng)宗》中記載:“平地秋千未起,踏板離地一尺.送行二步與人齊,五尺人高曾記.仕女佳人爭蹴,終朝笑語歡嬉.良工高士素好奇,算出索長有幾?”【注釋】1步=5尺.譯文:“當(dāng)秋千靜止時,秋千上的踏板離地有1尺高,如將秋千的踏板往前推動兩步(10尺)時,踏板就和人一樣高,已知那個人身高是5尺.漂亮的小姐和才子們,每天都來爭蕩秋千,歡聲笑語終日持續(xù).好奇的能工巧匠,能算出這秋千的繩索長是多少嗎?”如圖,假設(shè)秋千的繩索長始終保持直線狀態(tài),OA是秋千的靜止?fàn)顟B(tài),A是踏板,CD是地面,點B是推動兩步后踏板的位置,弧AB是踏板移動的軌跡.已知AC=1尺,CD=EB=10尺,人的身高BD=5尺.設(shè)繩索長OA=OB=x尺,則可列方程為102+(x﹣5+1)2=x2.【考點】由實際咨詢題抽象出一元二次方程.【分析】設(shè)繩索有x尺長,現(xiàn)在繩索長,向前推出的10尺,和秋千的上端為端點,垂直地面的線可構(gòu)成直角三角形,按照勾股定理列出方程.【解答】解:設(shè)繩索長OA=OB=x尺,由題意得,102+(x﹣5+1)2=x2.故答案為:102+(x﹣5+1)2=x2.【點評】本題考查了由實際咨詢題抽象出一元二次方程,考查學(xué)生明白得題意能力,關(guān)鍵是能構(gòu)造出直角三角形,用勾股定理來求解.16.閱讀下面材料:在學(xué)習(xí)《圓》這一章時,老師給同學(xué)們布置了一道尺規(guī)作圖題:尺規(guī)作圖:過圓外一點作圓的切線.已知:P為⊙O外一點.求作:通過點P的⊙O的切線.小敏的作法如下:如圖,(1)連接OP,作線段OP的垂直平分線MN交OP于點C;(2)以點C為圓心,CO的長為半徑作圓,交⊙O于A,B兩點;(3)作直線PA,PB.因此直線PA,PB確實是所求作的切線.老師認(rèn)為小敏的作法正確.請回答:連接OA,OB后,可證∠OAP=∠OBP=90°,其依據(jù)是直徑所對的圓周角是90°;由此可證明直線PA,PB差不多上⊙O的切線,其依據(jù)是通過半徑外端,且與半徑垂直的直線是圓的切線.【考點】作圖—復(fù)雜作圖;切線的判定.【分析】分不利用圓周角定理以及切線的判定方法得出答案.【解答】解:連接OA,OB后,可證∠OAP=∠OBP=90°,其依據(jù)是:直徑所對的圓周角是90°;由此可證明直線PA,PB差不多上⊙O的切線,其依據(jù)是:通過半徑外端,且與半徑垂直的直線是圓的切線.故答案為:直徑所對的圓周角是90°;通過半徑外端,且與半徑垂直的直線是圓的切線.【點評】此題要緊考查了切線的判定以及圓周角定理,正確把握切線的判定方法是解題關(guān)鍵.三、解答題(本題共72分,第17-26題,每小題5分,第27題7分,第28題7分,第29題8分)解承諾寫出文字講明,演算步驟或證明過程.17.運算:4cos30°?tan60°﹣sin245°.【考點】專門角的三角函數(shù)值.【分析】按照專門角三角函數(shù)值,可得實數(shù)的運算,按照實數(shù)的運算,可得答案.【解答】解:原式=4××﹣()2=6﹣=.【點評】本題考查了專門角三角函數(shù)值,熟記專門角三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵.18.如圖,△ABC中,AB=12,BC=15,AD⊥BC于點D,∠BAD=30°,求tanC的值.【考點】解直角三角形.【分析】按照在△ABC中,AB=12,BC=15,AD⊥BC于點D,∠BAD=30°,能夠求得BD、AD、CD的長,從而能夠求得tanC的值.【解答】解:∵△ABC中,AB=12,BC=15,AD⊥BC于點D,∠BAD=30°,∴∠ADB=∠ADC=90°,∴AB=2BD,∴BD=6,∴CD=BC﹣BD=15﹣6=9,∴AD=,∴tanC=.即tanC的值是.【點評】本題考查解直角三角形,解題的關(guān)鍵是運算出題目中各邊的長,找出所求咨詢題需要的條件.19.已知拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸交于A,B兩點,點A在點B的左側(cè).(1)求A,B兩點的坐標(biāo)和此拋物線的對稱軸;(2)設(shè)此拋物線的頂點為C,點D與點C關(guān)于x軸對稱,求四邊形ACBD的面積.【考點】拋物線與x軸的交點.【分析】(1)令y=0解方程即可求得A和B的橫坐標(biāo),然后利用配方法即可求得對稱軸和頂點坐標(biāo);(2)第一求得D的坐標(biāo),然后利用面積公式即可求解.【解答】解:(1)令y=0,則﹣x2+2x+3=0,解得:x1=﹣1,x2=3.則A的坐標(biāo)是(﹣1,0),B的坐標(biāo)是(3,0).y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,則對稱軸是x=1,頂點C的坐標(biāo)是(1,4);(2)D的坐標(biāo)是(1,﹣4).AB=3﹣(﹣1)=4,CD=4﹣(﹣4)=8,則四邊形ACBD的面積是:AB?CD=×4×8=16.【點評】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及配方法確定二次函數(shù)的對稱軸和頂點坐標(biāo),正確求得A和B的坐標(biāo)是關(guān)鍵.20.如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,∠A=∠BDC.(1)求證:△ABD∽△DCB;(2)若AB=12,AD=8,CD=15,求DB的長.【考點】相似三角形的判定與性質(zhì).【分析】(1)按照平行線的性質(zhì),可得∠ADB與∠DBC的關(guān)系,按照兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似,可得答案;(2)按照相似三角形的性質(zhì),可得答案.【解答】(1)證明:∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC.∵∠A=∠BDC,∴△ABD∽△DCB;(2)∵△ABD∽△DCB,AB=12,AD=8,CD=15,∴=,即=,解得DB=10,DB的長10.【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),利用了兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似,利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例是解題關(guān)鍵.21.某小區(qū)有一塊長21米,寬8米的矩形空地,如圖所示.社區(qū)打算在其中修建兩塊完全相同的矩形綠地,同時兩塊綠地之間及四周都留有寬度為x米的人行通道.如果這兩塊綠地的面積之和為60平方米,人行通道的寬度應(yīng)是多少米?【考點】一元二次方程的應(yīng)用.【分析】設(shè)人行道的寬度為x米,則矩形綠地的長度為:,寬度為:8﹣2x,按照兩塊綠地的面積之和為60平方米,列方程求解.【解答】解:設(shè)人行道的寬度為x米,由題意得,2××(8﹣2x)=60,解得:x1=2,x2=9(不合題意,舍去).答:人行道的寬度為2米.【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用,解答本題的關(guān)鍵是讀明白題意,設(shè)出未知數(shù),找出合適的等量關(guān)系,列方程求解.22.已知拋物線C1:y1=2x2﹣4x+k與x軸只有一個公共點.(1)求k的值;(2)如何樣平移拋物線C1就能夠得到拋物線C2:y2=2(x+1)2﹣4k?請寫出具體的平移方法;(3)若點A(1,t)和點B(m,n)都在拋物線C2:y2=2(x+1)2﹣4k上,且n<t,直截了當(dāng)寫出m的取值范疇.【考點】拋物線與x軸的交點;二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點;二次函數(shù)圖象與幾何變換.【分析】(1)拋物線與x軸只有一個公共點,則判不式△=0,據(jù)此即可求得k的值;(2)把C1化成頂點式的形式,利用函數(shù)平移的法則即可確定;(3)第一求得t的值,然后求得等y=t時C2中對應(yīng)的自變量的值,結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【解答】解:(1)按照題意得:△=16﹣8k=0,解得:k=2;(2)C1是:y1=2x2﹣4x+2=2(x﹣1)2,拋物線C2是:y2=2(x+1)2﹣8.則平移拋物線C1就能夠得到拋物線C2的方法是向左平移2個單位長度,向下平移8個單位長度;(3)當(dāng)x=1時,y2=2(x+1)2﹣8=0,即t=0.在y2=2(x+1)2﹣8中,令y=0,解得:x=1或﹣3.則當(dāng)n<t時,即2(x+1)2﹣8<0時,m的范疇是﹣3<m<1.【點評】本題考查拋物線與x軸的交點的個數(shù)的確定,以及函數(shù)的平移方法,按照函數(shù)的性質(zhì)確定m的范疇是關(guān)鍵.23.如圖,AB是⊙O的一條弦,且AB=.點C,E分不在⊙O上,且OC⊥AB于點D,∠E=30°,連接OA.(1)求OA的長;(2)若AF是⊙O的另一條弦,且點O到AF的距離為,直截了當(dāng)寫出∠BAF的度數(shù).【考點】垂徑定理;勾股定理;圓周角定理.【分析】(1)按照垂徑定理求出AD的長,按照圓周角定理求出∠AOD的度數(shù),運用正弦的定義解答即可;(2)作OH⊥AF于H,按照勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠OAF的度數(shù),分情形運算即可.【解答】解:(1)∵OC⊥AB,AB=,∴AD=DB=2,∵∠E=30°,∴∠AOD=60°,∠OAB=30°,∴OA==4;(2)如圖,作OH⊥AF于H,∵OA=4,OH=2,∴∠OAF=45°,∴∠BAF=∠OAF+∠OAB=75°,則∠BAF′=∠OAF′﹣∠OAB=15°,∴∠BAF的度數(shù)是75°或15°.【點評】本題考查的是垂徑定理、圓周角定理和勾股定理的應(yīng)用,把握垂直弦的直徑平分這條弦,同時平分弦所對的兩條弧、在同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓周角相等,都等于這條弧所對的圓心角的一半是解題的關(guān)鍵,注意分情形討論思想的應(yīng)用.24.奧林匹克公園觀光塔由五座高度不等、錯落有致的獨立塔組成.在綜合實踐活動課中,某小組的同學(xué)決定利用測角儀測量這五座塔中最高塔的高度(測角儀高度忽略不計).他們的操作方法如下:如圖,他們先在B處測得最高塔塔頂A的仰角為45°,然后向最高塔的塔基直行90米到達(dá)C處,再次測得最高塔塔頂A的仰角為58°.請關(guān)心他們運算出最高塔的高度AD約為多少米.(參考數(shù)據(jù):sin58°≈0.85,cos58°≈0.53,tan58°≈1.60)【考點】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角咨詢題.【分析】按照已知條件求出BD=AD,設(shè)DC=x,得出AD=90+x,再按照tan58°=,求出x的值,即可得出AD的值.【解答】解:∵∠B=45°,AD⊥DB,∴∠DAB=45°,∴BD=AD,設(shè)DC=x,則BD=BC+DC=90+x,∴AD=90+x,∴tan58°===1.60,解得:x=150,∴AD=90+150=240(米),答:最高塔的高度AD約為240米.【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用,要求學(xué)生能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形,注意方程思想的運用.25.如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,AB是⊙O的直徑.PC是⊙O的切線,C為切點,PD⊥AB于點D,交AC于點E.(1)求證:∠PCE=∠PEC;(2)若AB=10,ED=,sinA=,求PC的長.【考點】切線的性質(zhì).【分析】(1)由弦切角定理可知∠PCA=∠B,由直角所對的圓周角等于90°可知∠ACB=90°.由同角的余角相等可知∠AED=∠B,結(jié)合對頂角的性質(zhì)可知∠PCE=∠PEC;(2)過點P作PF⊥AC,垂足為F.由銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理可求得AC=8,AE=,由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知EF=,然后證明△AED∽△PEF,由相似三角形的性質(zhì)可求得PE的長,從而得到PC的長.【解答】解:(1)∵PC是圓O的切線,∴∠PCA=∠B.∵AB是圓O的直徑,∴∠ACB=90°.∴∠A+∠B=90°.∵PD⊥AB,∴∠A+∠AED=90°.∴∠AED=∠B.∵∠PEC=∠AED,∴∠PCE=∠PEC.(2)如圖所示,過點P作PF⊥AC,垂足為F.∵AB=10,sinA=,∴BC=AB?=6.∴AC==8.∵DE=,sinA=,∴AE=.∴EC=AC﹣AE=8﹣=.∵PC=PE,PF⊥EC,∴EF=.∵∠AED=∠PEF,∠EDA=∠EFP,∴△AED∽△PEF.∴,.解得:EP=.∴PC=.【點評】本題要緊考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理、銳角三角函數(shù)的定義、勾股定理、相似三角形的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì),證得△AED∽△PEF是解題的關(guān)鍵.26.閱讀下面材料:如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線y1=ax+b與雙曲線y2=交于A(1,3)和B(﹣3,﹣1)兩點.觀看圖象可知:①當(dāng)x=﹣3或1時,y1=y2;②當(dāng)﹣3<x<0或x>1時,y1>y2,即通過觀看函數(shù)的圖象,能夠得到不等式ax+b>的解集.有如此一個咨詢題:求不等式x3+4x2﹣x﹣4>0的解集.某同學(xué)按照學(xué)習(xí)以上知識的體會,對求不等式x3+4x2﹣x﹣4>0的解集進(jìn)行了探究.下面是他的探究過程,請將(2)、(3)、(4)補(bǔ)充完整:(1)將不等式按條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化:當(dāng)x=0時,原不等式不成立;當(dāng)x>0時,原不等式能夠轉(zhuǎn)化為x2+4x﹣1>;當(dāng)x<0時,原不等式能夠轉(zhuǎn)化為x2+4x﹣1<;(2)構(gòu)造函數(shù),畫出圖象設(shè)y3=x2+4x﹣1,y4=,在同一坐標(biāo)系中分不畫出這兩個函數(shù)的圖象.雙曲線y4=如圖2所示,請在此坐標(biāo)系中畫出拋物線y3=x2+4x﹣1;(不用列表)(3)確定兩個函數(shù)圖象公共點的橫坐標(biāo)觀看所畫兩個函數(shù)的圖象,猜想并通過代入函數(shù)解析式驗證可知:滿足y3=y4的所有x的值為±1和﹣4;(4)借助圖象,寫出解集結(jié)合(1)的討論結(jié)果,觀看兩個函數(shù)的圖象可知:不等式x3+4x2﹣x﹣4>0的解集為x>1或﹣4<x<﹣1.【考點】二次函數(shù)與不等式(組).【分析】(2)第一確定二次函數(shù)的對稱軸,然后確定兩個點即可作出二次函數(shù)的圖象;(3)按照圖象即可直截了當(dāng)求解;(4)按照已知不等式x3+4x2﹣x﹣4>0即當(dāng)x>0時,x2+4x﹣1>,;當(dāng)x<0時,x2+4x﹣1<,按照圖象即可直截了當(dāng)寫出答案.【解答】解:(2);(3)兩個函數(shù)圖象公共點的橫坐標(biāo)是±1和﹣4.則滿足y3=y4的所有x的值為±1和﹣4.故答案是:±1和﹣4;(4)不等式x3+4x2﹣x﹣4>0即當(dāng)x>0時,x2+4x﹣1>,現(xiàn)在x的范疇是:x>1;當(dāng)x<0時,x2+4x﹣1<,則﹣4<x<﹣1.故答案是:x>1或﹣4<x<﹣1.【點評】本題考查了二次函數(shù)與不等式,正確明白得不等式x3+4x2﹣x﹣4>0即當(dāng)x>0時,x2+4x﹣1>,;當(dāng)x<0時,x2+4x﹣1<,分成兩種情形討論是本題的關(guān)鍵.27.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,二次函數(shù)y=﹣+bx+c的圖象通過點A(1,0),且當(dāng)x=0和x=5時所對應(yīng)的函數(shù)值相等.一次函數(shù)y=﹣x+3與二次函數(shù)y=﹣+bx+c的圖象分不交于B,C兩點,點B在第一象限.(1)求二次函數(shù)y=﹣+bx+c的表達(dá)式;(2)連接AB,求AB的長;(3)連接AC,M是線段AC的中點,將點B繞點M旋轉(zhuǎn)180°得到點N,連接AN,CN,判定四邊形ABCN的形狀,并證明你的結(jié)論.【考點】二次函數(shù)綜合題.【分析】(1)按照當(dāng)x=0和x=5時所對應(yīng)的函數(shù)值相等,可得(5,c),按照待定系數(shù)法,可得函數(shù)解析式;(2)聯(lián)立拋物線與直線,可得方程組,按照解方程組,可得B、C點坐標(biāo),按照勾股定理,可得AB的長;(3)按照線段中點的性質(zhì),可得M點的坐標(biāo),按照旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),可得MN與BM的關(guān)系,按照平行四邊形的判定,可得答案.【解答】解:(1)當(dāng)x=0時,y=c,即(0,c).由當(dāng)x=0和x=5時所對應(yīng)的函數(shù)值相等,得(5,c).將(5,c)(1,0)代入函數(shù)解析式,得,解得.故拋物線的解析式為y=﹣x2+x﹣2;(2)聯(lián)立拋物線與直線,得,解得,,即B(2,1),C(5,﹣2).由勾股定理,得AB==;(3)如圖:,四邊形ABCN是平行四邊形,證明:∵M(jìn)是AC的中點,∴AM=CM.∵點B繞點M旋轉(zhuǎn)180°得到點N,∴BM=MN,∴四邊形ABCN是平行四邊形.【點評】本題考查了二次函數(shù)綜合題,利用函數(shù)值相等得出點(5,c)是解題關(guān)鍵,又利用了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式;利用解方程組得出交點坐標(biāo),又利用了勾股定理;利用了平行四邊形的判定:對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.28.在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,M為AB的中點.D是射線BC上一個動點,連接AD,將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE,連接ED,N為ED的中點,連接AN,MN.(1)如圖1,當(dāng)BD=2時,AN=,NM與AB的位置關(guān)系是垂直;(2)當(dāng)4<BD<8時,①依題意補(bǔ)全圖2;②判定(1)中NM與AB的位置關(guān)系是否發(fā)生變化,并證明你的結(jié)論;(3)連接ME,在點D運動的過程中,當(dāng)BD的長為何值時,ME的長最?。孔钚≈凳嵌嗌??請直截了當(dāng)寫出結(jié)果.【考點】幾何變換綜合題.【分析】(1)按照已知條件得到CD=2,按照勾股定理得到AD==2,按照旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到△ADE是等腰直角三角形,求得DE=AD=2,按照直角三角形的性質(zhì)得到AN=DE=,AM=AB=2,推出△ACD∽△AMN,按照相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論;(2)①按照題意補(bǔ)全圖形即可;②按照等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠CAB=∠B=45°,求得∠CAN+∠NAM=45°按照旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AD=AE,∠DAE=90°,推出△ANM△ADC,由相似三角形的性質(zhì)得到∠AMN=∠ACD,即可得到結(jié)論;(3)連接ME,EB,過M作MG⊥EB于G,過A作AK⊥AB交BD的延長線于K,得到△AKB等腰直角三角形,推出△ADK≌△ABE,按照全等三角形的性質(zhì)得到∠ABE=∠K=45°,證得△BMG是等腰直角三角形,求出BC=4,AB=4,MB=2,由ME≥MG,因此得到當(dāng)ME=MG時,ME的值最小,按照等量代換即可得到結(jié)論.【解答】解:(1)∵∠ACB=90°,AC=BC=4,BD=2,∴CD=2,∴AD==2,∵將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE,∴△ADE是等腰直角三角形,∴DE=AD=2,∵N為ED的中點,∴AN=DE=,∵
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