運(yùn)籌學(xué)第四章作業(yè)的參考答案

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________第四章作業(yè)的參考答案5、判斷下列函數(shù)是否為凸函數(shù).（3）注：在獲得Hesse矩陣時(shí)，要特別注意對(duì)角線上的元素。解：的Hesse矩陣為注：在獲得Hesse矩陣時(shí)，要特別注意對(duì)角線上的元素。.的各階主子式分別為因而為半正定矩陣，所以是凸函數(shù)。9、用0.618法求以下問(wèn)題的近似解已知函數(shù)的單谷區(qū)間,要求最后區(qū)間精度。解：迭代過(guò)程用下表給出：01230.51.6461.6461.6461.6462.3542.0842.3542.7922.3542.0843.53.52.7922.354否否否是換換換換換第三輪迭代開(kāi)始時(shí)有。所以近似最優(yōu)解為。14、求以下無(wú)約束非線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解.（1）解：化簡(jiǎn)目標(biāo)函數(shù)，得注：對(duì)無(wú)約束的最優(yōu)化問(wèn)題，若目標(biāo)函數(shù)是凸函數(shù)，則它的駐點(diǎn)就是它最優(yōu)解。所以，的Hesse矩陣為注：對(duì)無(wú)約束的最優(yōu)化問(wèn)題，若目標(biāo)函數(shù)是凸函數(shù)，則它的駐點(diǎn)就是它最優(yōu)解。.因?yàn)槭钦ň仃?，所以是凸函?shù)。另一方面，目標(biāo)函數(shù)的梯度向量為令，即，求得目標(biāo)函數(shù)的駐點(diǎn)為.所以，原問(wèn)題的最優(yōu)解為.16、求最速下降法求解以下問(wèn)題，要求迭代進(jìn)行三輪。（1），取初始點(diǎn)解：由題意知第一輪迭代：。則。所以。令，解得。所以，。第二輪迭代：。則。所以。令，解得。所以，。第三輪迭代：。則。所以。令，解得。所以，。23（1）、寫(xiě)出下列問(wèn)題的K-T條件，并求出它們的K-T點(diǎn).注：先把問(wèn)題化成要求的形式。即，把目標(biāo)函數(shù)化成求最小值的形式，把所有不等式（包括非負(fù)約束）化成小于等于零的形式，把所有等式化成等于注：先把問(wèn)題化成要求的形式。即，把目標(biāo)函數(shù)化成求最小值的形式，把所有不等式（包括非負(fù)約束）化成小于等于零的形式，把所有等式化成等于零的形式。解：將問(wèn)題（1）變形為所以，其Lagrange函數(shù)為所以有因此，問(wèn)題（1）的K-T條件是注：不等式約束函數(shù)的Lagrange乘子要大于等于零，而等式約束函數(shù)的Lagrange乘子為自由變量。每個(gè)不等式約束函數(shù)對(duì)應(yīng)一個(gè)互補(bǔ)松緊條件，而等式約束函數(shù)則沒(méi)有。注：不等式約束函數(shù)的Lagrange乘子要大于等于零，而等式約束函數(shù)的Lagrange乘子為自由變量。每個(gè)不等式約束函數(shù)對(duì)應(yīng)一個(gè)互補(bǔ)松緊條件，而等式約束函數(shù)則沒(méi)有。作為K-T點(diǎn)還應(yīng)滿足可行性條件注：K-T點(diǎn)應(yīng)滿足可行性條件。求解時(shí)，利用互補(bǔ)松緊條件進(jìn)行分類討論。利用互補(bǔ)松緊條件進(jìn)行討論注：K-T點(diǎn)應(yīng)滿足可行性條件。求解時(shí)，利用互補(bǔ)松緊條件進(jìn)行分類討論。（I）若，則由互補(bǔ)松緊條件知再加上可行性條件中的一個(gè)方程以及，可解得。再由互補(bǔ)松緊條件知。將這些值代入K-T條件的前兩個(gè)方程有解得.經(jīng)檢驗(yàn)，均滿足（1）的K-T條件和可行性條件，因而為其K-T點(diǎn).（II）若則由互補(bǔ)松緊條件知由可行性條件知。再由互補(bǔ)松緊條件知。將這些值代入K-T條件的前兩個(gè)方程有解得與矛盾。（III）若則由互補(bǔ)松緊條件知由可行性條件知。與矛盾。（IV）若將這些值代入K-T條件的前兩個(gè)方程有注：若是尋找問(wèn)題的K-T點(diǎn)注：若是尋找問(wèn)題的K-T點(diǎn)，則需要將所有可能的分類都進(jìn)行討論