2023屆新高考地區(qū)百?gòu)?qiáng)名校新高考數(shù)學(xué)模擬考試壓軸題卷（一）（新高考通用）解析版

【百?gòu)?qiáng)名?！?023屆新高考地區(qū)百?gòu)?qiáng)名校

新高考數(shù)學(xué)模擬考試壓軸題精編卷（一）（新高考通用）

一、單選題

1.（2023春?河北衡水?高三河北衡水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)

名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早一千多年，其中有很多對(duì)幾何體外接球與內(nèi)切球的

研究.其中的一些研究思想啟發(fā)著后來(lái)者的研究方向.已知正四棱錐的外接

球半燃為心內(nèi)切球半徑為r,且兩球球心重合，則6=（）

r

A.2B.1+72C.2+0D,2&

【答案】B

【分析】正四棱錐的外接球和內(nèi)接球球心重合，說(shuō)明其結(jié)構(gòu)特殊，找出結(jié)構(gòu)的特殊性,

再計(jì)算.

設(shè)底面正方形A8CO的對(duì)角線長(zhǎng)為2”,高為/?,,正方形的中心為。，外接球的球心為。，

,22

貝！|有r=〃-/?即R=/?-r,在RtOOD中，r?=片——￡①,

''2h

以。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如上圖,

則有0(0,0,r),P(O,O,/?),C(a,0,0),0(0,“,O),8=(F,a,O),PC=(a,O,-〃),

PO=(0,0,-/7),

,,m-CD=0-ax+ay=0

設(shè)平面PCD的?個(gè)法向量為加=（zx,y,z）,則石，

m-PC=0ajc-hz=0

令z=a,則x=/z,y=〃,「.利=(〃,〃,々),

設(shè)向'flPO與平面PCD的夾角為e,則sine=

HIMyj2h2+a2

球心。,到平面PCD的距離r=|PO'|sin0=R.-j====（/?-r）a

，2力2+/，

族-1

22

ah,?ahh-ann=今~③，

R=—T=T=r，由①得—l=即

a+yj2h-+a-a+y]2h2+a22〃

h

故設(shè)/=一，則③可整理成產(chǎn)+1=（『-1”2產(chǎn)+1,兩邊平方得/4-2r-1=0,

a

t2=V2+1，

由①②得幺祟4=1=0+一

rh-at-\

故選：B.

2.（2023春?河北衡水?高三河北衡水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線C：），2=2px（p>0）

過(guò)點(diǎn)A（2,4）,動(dòng)點(diǎn)、M,N為C上的兩點(diǎn)，且直線AM與AN的斜率之和為0,直線/的斜

率為-1,且過(guò)C的焦點(diǎn)F,I把-AMN分成面積相等的兩部分,則直線MN的方程為（）

A.x+y-6=0B.x-y+6=0

C.x-y+4忘-6=0D.x+y+4^2-6=0

【答案】D

【分析】由題意求出拋物線方程為y2=8x,設(shè)河（項(xiàng),加）川（馬,%），直線MV:x="+/n,

聯(lián)立直線和拋物線的方程結(jié)合韋達(dá)定理由原M+%A,V=O，可求出r=-l，再求出直線/

的方程，由題意可轉(zhuǎn)化為A（2,4）到直線/:x+y-2=0的距離為4（2,4）到直線

MN:x+y-機(jī)=0距離的立，代入求解即可得出答案.

2

【詳解】因?yàn)閽佄锞€C:y2=2PMp>0）過(guò)點(diǎn)4（2,4）,

所以16=4p,解得：p=4,所以>2=8X,

直線MN:x="+m,代入>2=8x中整理得丁-8）_8機(jī)=0,

所以X+丫2=8r.%必=-8，”,

-4?%—4=?

所以心M+心.

%-2々_2_2必2_2

888（%+4）+8（y+4）0

-------+--------即%+%+8=。，

Ji+4y2+4（X+4）（%+4）

則弘+必+8=8,+8=。，解得：/=—1,

所以直線MN:x+y-%=0,

直線/的斜率為-1,且過(guò)C的焦點(diǎn)尸（2,0）,

所以/:x+y-2=0,則4（2,4）到直線/的距離為d=F弓、=2夜，

所以/把分成面積相等的兩部分，因?yàn)橹本€/與直線MN平行，

所以4（2,4）到直線/：彳+3；-2=0的距離為4（2,4）到直線的:犬+》-m=0距離的變,

2

2艮與3解得:

〃2=6-4右或〃2=6+4應(yīng)（舍去）.

所以直線MN的方程為x+y+46=0.

故選：D.

3.（2023?吉林?東北師大附中校考二模）函數(shù)〃x）=sin（3+協(xié)（3＞0,0＜"＜兀）的部

7T

分圖象如圖，8C〃x軸，當(dāng)xe0,-時(shí)，不等式〃x）Nm-sin2x恒成立，則，”的取值

范圍是（）

【答案】A

【分析】利用三角函數(shù)的圖象性質(zhì)和三角恒等變換求解.

兀27r

【詳解】因?yàn)锽C〃x軸，所以圖象最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)為"十可.77t,

2~12

所以=￡，所以7=空=兀解得①=2,

41234co

又因?yàn)?圖=sin傳+夕卜一1,

7冗3元71

所以——+夕=—+2kii,攵￡Z,即夕=—+2E,Z￡Z,

623

TT

又因?yàn)?＜夕＜兀，所以e=彳，

所以〃x）=sin（2x+g）,

山/（x）>m-sin2x可得sin[2x+1j2機(jī)一sin2x,

BP—sin2x+—cos2x>m-sin2xtilBP—sin2x+-cos2x>m,

2222

令（x）=-|sin2x+cos2x=y/3sin（2x+,

因?yàn)?￡0。,所以2工+^￡，所以g（x）￡一■，百，

46632

因?yàn)間。）之加恒成立，所以加工立.

2

故選:A.

4.（2023?吉林?東北師大附中校考二模）直線/的方程為

（/l+2）x+（/l—l）y—34=0（2eR）,當(dāng)原點(diǎn)。到直線/的距離最大時(shí)一，彳的值為（）

A.—1B.—5C.1D.5

【答案】B

【分析】求出直線（2+2卜+（2-1）丁-3/1=0（/1€對(duì)所過(guò)定點(diǎn)人的坐標(biāo)，分析可知當(dāng)

OA_L/時(shí)，原點(diǎn)。到直線,的距離最大，利用兩直線垂直斜率的關(guān)系可求得實(shí)數(shù)；I的值.

【詳解】直線方程（字+2）x+（4-l）y—32=0（；leR）可化為幾（x+y—3）+（2x—y）=0,

fx+y-3=0fx=1

由?？傻?/p>

=0n（y=2

所以，直線（，+2）x+（；lT）y-3汽=0（3eR）過(guò)定點(diǎn)A（l,2）,

當(dāng)OA_U時(shí)，原點(diǎn)。到直線/的距離最大，且%A=2,

又因?yàn)橹本€/的斜率為％=-泮=-!，解得力=-5.

故選：B.

5.（2023?湖南長(zhǎng)沙?雅禮中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知雙曲線/-丁=425>0）的左、右焦

點(diǎn)分別為"，6,過(guò)點(diǎn)工作斜率為G的直線交雙曲線的右支于A,B兩點(diǎn)，則

的內(nèi)切圓半徑為（）

A.gB.C.凡D.&

2636

【答案】C

【分析】不妨設(shè)4在第一象限，過(guò)點(diǎn)4作軸于點(diǎn)M.由已知可求得

\AF2\=（2+42）a,忸用=（2-0）a,再利用等面積法和雙曲線的定義可求得內(nèi)切圓半

徑.

不妨設(shè)4在第一象限，A（x“X）,過(guò)點(diǎn)A作40_Lx軸于點(diǎn)M.得巴（3。,0）,

則|4段~=（&_a“）+y；=（x]-貶a）+x；_/=2x；_2應(yīng)011+/=（正為-a）,所以

|A鳥(niǎo)卜亞百一a（*）.

又4代〃=60。，則|A周cos6（）o=|用叫=再—缶，即玉=g|Ag|+伍，

代入（*）式得|。|=及《|伍|+夜a）-a,得依用=（2+⑹%同理忸用=（2-逝”，

則|AB|=4a,

“加8=夕片瑪?I4卻sin60。=,故8的內(nèi)切圓半徑「滿足

」（由A|+|空|+|A即r=Sw

又恒川+陽(yáng)3|=|明+4a=8a,所以;xl2axr=2#],得“半〃

故選：C.

6.（2023?湖南長(zhǎng)沙?雅禮中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）甲、乙兩人各有一個(gè)袋子，且每人袋中均

裝有除顏色外其他完全相同的2個(gè)紅球和2個(gè)白球，每人從各自袋中隨機(jī)取出一個(gè)球，

若2個(gè)球同色，則甲勝，且將取出的2個(gè)球全部放入甲的袋子中；若2個(gè)球異色，則乙

勝，且將取出的2個(gè)球全部放入乙的袋子中.則兩次取球后，甲的袋子中恰有6個(gè)球的

概率是（）

A.—B.—C.—D.—

30156020

【答案】A

【分析】先根據(jù)取球規(guī)則分析得到兩次取球后甲的袋子中有6個(gè)球時(shí)，兩次取球均為同

色，然后分第一次取球甲、乙都取到紅球和白球兩種情況求解即可.

【詳解】由題，若兩次取球后，甲的袋子中恰有6個(gè)球，則兩次取球均為甲勝，即兩次

取球均為同色.

若第一次取球甲、乙都取到紅球，概率為=則第一次取球后甲的袋子中有3

個(gè)紅球和2個(gè)白球，乙的袋子中有1個(gè)紅球和2個(gè)白球，第二次取同色球分為取到紅球

31227

或取到白球，概率為+，故第一次取球甲、乙都取到紅球且兩次取球后，

7

甲的袋子中有6個(gè)球的概率為二.同理，第?次取球甲、乙都取到白球且兩次取球后,

6()

7

甲的袋子中有6個(gè)球的概率為二.

6()

777

故所求概率為丁丁方

故選：A.

7.(2023春?湖南長(zhǎng)沙?高三長(zhǎng)郡中學(xué)?？茧A段練習(xí))若。=log?⑼2022,Z,=log20222023,

C=9097?"=而？’則“‘°，C,"中最大的是（）

A.aB.bC.cD.d

【答案】c

【分析】先將a，b,c,d變換為：4=1+108202/1+焉[，^=l+log2（c2[l+-^—\

c=2022=1+ld=磔=1+;得到"構(gòu)造函數(shù)q）=x—]（i+x）,

2021202120222022V'迎、7

8（x）=x—log2M（l+x）,xe（O,l）,結(jié)合導(dǎo)數(shù)和作差法得到">打，c>a,從而得出0,

b,c,d中最大值.

【詳解】因?yàn)閍=log必2022=10828（202必需）=l+log2⑼（1+貴

b=bgg2023=log皿（2022、霆）=l+log2022^l+/），

2022?1,2023?1山”,

c=------=1+-------,d=-------=1+-------,所以c〉d：

2021202120222022

d-b=\Id--------1+log2022I---------------|=-----------bg2022---------|，

（2022JL2022（2022）\2022202212022J

設(shè)g（x）=xTog2022（l+%），］￡（?！唬?/p>

則g(x)=l_(］+二2022,當(dāng)°<X<1時(shí)，g'(x)>0，

所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，貝心(焉)>g(0),即焉-1*2。22(1+焉］>0,

所以d-b>0,即d>6；

設(shè)*（x）=x-log2G2i（l+x）,xe（0,l）,

則*'3=71+枷2。2廣當(dāng)。。<1時(shí)，c’(耳>0，

所以e(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，則4焉卜9(0),即焉-10g2(41+焉)>0，

所以。一。>0,即c>“；

綜上：c>d>b,c>a,即°,b,c,d中最大的是c.

故選：C.

8.(2023春?湖南長(zhǎng)沙?高三長(zhǎng)郡中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知的,K是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，

P為C上一點(diǎn)，且4尸舄=60。，「用=引尸司(/1>1),若C的離心率為，，則/I的值

為()

A.3B.GC.2D.72

【答案】A

【分析】根據(jù)雙曲線的定義及條件，表示出|3|,|尸聞，結(jié)合余弦定理可得答案.

【詳解】因?yàn)閨居|=囚尸思|,由雙曲線的定義可得|WHP閭=(2-1)仍聞=2。,

所以I明=黑，閥1=箸;

A—1A—1

4a2+4幾2〃22x2a?2Aa?cos60°

因?yàn)?年二60。,由余弦定理可得4c2

(if

)24a2+4A2a2-4Aa22C21+22-27

整理可得4c-=————2——所以《=

(兒一1)(1)24

即3分-l(H+3=0,解得2=3或4=；，又因?yàn)?1>1,即2=3.

故選：A

9.(2023春?湖北武漢?高三華中師大一附中?？计谥?在數(shù)列｛%｝中給定G，且函數(shù)

/(x)=-a,l+lsinx+(an+2)x+l的導(dǎo)函數(shù)有唯一零點(diǎn)，函數(shù)

n?

g(x)=12x+^-sin(7tx)-5COS(7tr)且g(4)+g(%)++g(49)=18,則生=().

A.-B.-C.-D.—

4369

【答案】C

【分析】求導(dǎo)利用函數(shù)零點(diǎn)定義即可求得4-4=2,得到數(shù)列｛%｝是公差為2的等差

數(shù)列.再利用引入輔助角公式對(duì)g(x)化筒，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷新函數(shù)的單調(diào)性

并結(jié)合題意進(jìn)而求解即可.

【詳解】因?yàn)?'（耳=/一4m85了+（4+2）有唯一的零點(diǎn)，/'（X）為偶函數(shù)，

則r（O）=O,可得%-4=2,〃eN*,所以數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列.

則4-4=2,所以數(shù)列｛6｝是公差為2的等差數(shù)列.

又g（x）=12x+^-sin7tr-；cosjLv=12x+sin7t（x-3）=12（x-'）+sinn（x-，）+2,

令丸⑺=12/+sin加,則〃（f）為奇函數(shù)，

因?yàn)??'（r）=12+7tcosm＞0,所以〃（/）在R上單調(diào)遞增，

由題意得[g（q）-2]+[g（叼）-2]+…+|＞（佝）-2]=0,則

〃（4一｝+處%—、）+…+力（％-：）=0,

V數(shù)列｛〃〃｝是公差為2的等差數(shù)列，其中％…V%，

則《一\＜4一tv…，假設(shè)（4-：）+（%一＞＞0，

因?yàn)镸/）T2f+sinm是奇函數(shù)且2）在R上單調(diào)遞增，則〃*-；）在R上單調(diào)遞增,

所以（4一工）＞一（%一:）=%（4—T）＞一〃（出一工）=一工）+〃（%-工）＞。,

666666

???〃（4一〉+〃（〃2-》+—+〃（%-，）＞0，與已知矛盾，故不成立;

假設(shè)（4一1）+（。9一1）＜°，同理可得〃（4一3+人（冬一：）+…+〃（4-3＜0,與已知矛盾，

OOOOO

故不成立；

綜上，（^,——）+（?,——）=0=^-aI+a=—=＞?,=—.

6639o

故選：C.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：數(shù)列與函數(shù)的綜合問(wèn)題的解決關(guān)鍵是應(yīng)用函數(shù)的解析式和性質(zhì)得到

數(shù)列的通項(xiàng)或遞推公式.

1.利用具體函數(shù)的解析式得到遞推關(guān)系.

2.利用抽象函數(shù)的性質(zhì)得到遞推關(guān)系.

10.（2023春?湖北武漢?高三華中師大一附中?？计谥校┰谡睦馀_(tái)ABC。-A4GR中，

AB=2AlBi,懼=2百，例為棱的中點(diǎn)，當(dāng)正四棱臺(tái)的體積最大時(shí)，平面”8。截

該正四棱臺(tái)的截面面積是（）.

A.軍B.C.10&D.6夜

42

【答案】C

【分析】根據(jù)iE四棱臺(tái)的體積公式、結(jié)合基本不等式、線面平行的判定定理、梯形的面

積公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】設(shè)48=2AM=4x,上底面和卜底面的中心分別為。一0,過(guò)4作Ae，AC,

該四棱臺(tái)的高。。=力，

在上卜底面由勾股定理可知，='J(2x)2+(2x)2=&x,A0=；"(4x)2+(4x)2=2&x.

在梯形A00A中，AT=AH2+47/2=12=(2缶一缶產(chǎn)+〃2nzz2=]2_2d,

所以該四棱臺(tái)的體積為V=g(16d+716x2-4x2+4x2)//=yx2/1,

所以它=%―/?=國(guó)-(12-2號(hào)4出卜2+八12-2門(mén)[

999[3

當(dāng)且僅當(dāng)f=12-2f,即x=2時(shí)取等號(hào)，此時(shí)A8=8,A4=4,0t0=h=2.

取CQ.8c的中點(diǎn)N,E,連接NM.NO,顯然有“N//RBJ/QB,

由于MN。平面ABC￡),8￡)u平面ABC。，所以MN〃平面ABCQ,因此平面“%)N

就是截面.

顯然MN=；BQ|=2?B￡>=80,

22

在直角梯形O|ME0中，ME=y]h+(OE-OtM)=>/4+4=2>/2,

因此在等腰梯形8cle3中，MB=-JME-+EB2=V8+16=276,

同理在等腰梯形AG。中，DN=2瓜,

在等腰梯形MBOV中，設(shè)MFUDN,MGVBD,

則MF=2瓜BF=8O-2近=6五,

MG=?2屈2-(；x6夜了=",

所以梯形MBDN的面積為2、,號(hào)幾=106，

故選：C.

【點(diǎn)睛】解決與幾何體截面的問(wèn)題，將空間幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題求解，其解題

思維流程如下：

(1)根據(jù)空間中的線面關(guān)系，找到線線平行或者垂直，進(jìn)而確定線面以及面面關(guān)系，

(2)作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面(要使這個(gè)截面盡可能多的包含幾何體的各種元

素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系),達(dá)到空間問(wèn)題平面化的目的；

(3)求長(zhǎng)度下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于長(zhǎng)度的方程，并求解.

二、多選題

11.(2023?湖南長(zhǎng)沙?雅禮中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=sin(3x+9)[-]<9<]

的圖象關(guān)于直線x=?對(duì)稱，那么()

O

A.函數(shù)/(x-為奇函數(shù)

B.函數(shù)f(x)在一盤(pán)上單調(diào)遞增

C.若|/(與)-〃々)|=2,則|占一百的最小值為g

D.函數(shù)/(x)的圖象向右平移學(xué)個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)y=-cos3x的圖象

8

【答案】AC

【分析】利用，(幻=$111(3%+9)的圖象關(guān)于直線工=9對(duì)稱，即可求出。的值，從而得出

O

/(X)的解析式，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷四個(gè)選項(xiàng)即可.

【詳解】因?yàn)?(X)=sin(3x+9)的圖象關(guān)于直線X=J對(duì)稱,

O

TFTT

所以3*丁+9=彳+&乃仕wZ),

o2

得S=g+z乃，keZ,因?yàn)樗浴?0，e=g,

8228

所以/(x)=sin(3x+?J,

對(duì)于A：/卜一攝卜sin-盤(pán)J+5=sin3x,所以/(x-司為奇函數(shù)成立，故選

項(xiàng)A正確；

,jr4TT*i77"7Tj7T

對(duì)于B：xe--、時(shí)，3x+ge0,一，函數(shù)在一石可上不是單調(diào)函數(shù)；

故選項(xiàng)B不正確；

對(duì)于C：因?yàn)椤▁)2=l，/(xtn=-l,又因?yàn)閨/(%)-〃毛)|=2,所以歸―司的最

小值為半個(gè)周期，即暮x；=5，故選項(xiàng)C正確；

對(duì)于D：函數(shù)/(X)的圖象向右平移一個(gè)單位長(zhǎng)度得到

O

JT

+—=sin（3x—;r）=—sin3x,故選項(xiàng)D不正確;

O

故選：AC

12.(2023?湖南長(zhǎng)沙?雅禮中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=xe",則()

A.曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y=x

B.函數(shù)f(x)的極小值為-e

21

C.當(dāng)夏W”五時(shí)，/(x)<a(x—l)僅有一個(gè)整數(shù)解

D.當(dāng)2/<八芝時(shí)，/(x)<a(x-l)僅有一個(gè)整數(shù)解

【答案】AC

【分析】選項(xiàng)A，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解；選項(xiàng)B,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性求極值

即可；選項(xiàng)C/(x)<a(x-1)僅有一個(gè)整數(shù)解可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(x)=xe、在直線

y=a(x-1)下方的橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)只有一個(gè)，畫(huà)出了(x)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可

解決.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,/'(x)=(x+l)e、，則切線的斜率為左=/(0)=1,則曲線y=〃x)

在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為》=X，故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B,f(x)=Jte，在(T”)上單調(diào)遞增，在(f,T)上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，

f(x)有極小值,即f(-l)=—eT,故B不正確;

對(duì)于選項(xiàng)C,由于"x)=xe*在(T,”)上單調(diào)遞增，在(3,-1)上單調(diào)遞減，則當(dāng)4-1

時(shí)，y(x)有最小值，即/'(-l)=-eT,當(dāng)X<-1時(shí)，把，<0,則函數(shù)圖象在X軸下方,

當(dāng)x>—1B寸，/(0)=0,則函數(shù)存在一個(gè)零點(diǎn)x=0,故f(x)=xe”的圖象如下圖所示,

函數(shù)/(力=朧、在直線y=a(x-1)下方的橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)只有一個(gè)，

點(diǎn)A（-B（-2,-2e）其中％=]=￡,

故選：AC.

13.(2023春?湖南長(zhǎng)沙?高三長(zhǎng)郡中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)拋物線

C:y2=2px(p>0)焦點(diǎn)廠的直線與C交于A,B兩點(diǎn)，其中A在第一象限，點(diǎn)M(p,O),

若貝IJ()

A.直線A8的斜率為26B.\OB\=\OF\

C.\AB\>4\OF\D.ZOAM+ZOBM<\80°

【答案】ACD

(分析］由|4/|=|40|及拋物線方程求得A(雪，季)，再由斜率公式即可判斷A選項(xiàng)；

表示出直線A8的方程，聯(lián)立拋物線求得8(1,-率)，即可求出|。叫判斷B選項(xiàng)；由

拋物線的定義求出|k署即可判斷C選項(xiàng)；山Q4.OB<0，<0求得ZAOB,

ZAMB為鈍角即可判斷D選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A,易得嗎,0),山|AF|=|4⑷可得點(diǎn)A在的垂直平分線上，則A點(diǎn)

P

橫坐標(biāo)為2+0p=3p,

2一4

戈p

代入拋物線可得產(chǎn)=20?￥=|獷，則4￥，字），則直線48的斜率為赤七=2#,

T-2

A正確；

P

對(duì)于B,由斜率為2#L可得直線A3的方程為x=］石1＞+；,聯(lián)立拋物線方程得

y2-j^py-p2,

設(shè)則逅p+y=逅0,則乂=-翅，代入拋物線得

得百苦，貝1」8（爭(zhēng)-平），

對(duì)于C,由拋物線定義知：|陽(yáng)=￥+0+〃=答＞2/?=4|陽(yáng)，c正確；

對(duì)于D,04。八邛片）咚_冬當(dāng)勺當(dāng)卜等/冬＜0,則

ZAOB為鈍角，

又=（/丹）.（一,一季）1第+字卜率卜平＜0,則

Z4A7B為鈍角，

又ZAOB+AAMB+ZOAM+ZOBM=360,則ZOAM+NOBM＜180.D正確.

14.（2023春?河北衡水?高三河北衡水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）圓0：》2+丁=/任＞0）與雙

2

曲線E：f—2_=1交于A,B,C,。四點(diǎn)，則（）

2

A.廠的取值范圍是［1,+oo)

B.若r=6，矩形48co的面積為竽

C.若r=g,矩形48。的對(duì)角線所在直線是E的漸近線

D.存在r＞0,使四邊形A8C￡＞為正方形

【答案】BD

【分析】苜先求出雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)與漸近線方程，即可判斷A,對(duì)于B、C,求出交

點(diǎn)坐標(biāo)，即可判斷B、C,設(shè)A(，",〃z),(加＞1)求出，*、r,即可判斷D.

【詳解】雙曲線E:%?一1=1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為仕1,0),漸近線方程為y=±0x,

因?yàn)閳A。：/+9=，(r＞0)與雙曲線E：X24=1交于A,B,C,O四點(diǎn),

所以廠＞1,故A錯(cuò)誤；

，+9=3y2=^

當(dāng)r=6時(shí)圓O：X2+V=3,由《，丫2,解得｛＜,

X--=1/_5

岳V15,V15715

X=---x=-----x=------x=-------

3仁或?3T3十3

所以，?義《「火＜

2V32G-2+2#>'

y=----

131y=----3---1y=---3--13

所以|明二華，|明二季，所以52=竽＞＜半=竽，

4乖＞

則怎0=5方=半，所以AC:)，=竽x,故不是雙曲線的漸近線，即B正確，C錯(cuò)

誤;

若四邊形ABC。為正方形，不妨設(shè)A為第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，設(shè)A(見(jiàn)〃?)，(w＞l),

2

則％2=，目.,解得帆=夜，所以井=2,

2

所以當(dāng)r=2時(shí)，使四邊形A8CD為正方形，故D正確；

故選：BD

15.(2023?吉林?東北師大附中校考二模)已知函數(shù)J'(x)=“'lna,g(x)=aln(x-l),

其中a＞0且awl.若函數(shù)/?(x)=/(x)—g(x),則下列結(jié)論正確的是()

A.當(dāng)0<〃<1時(shí)，〃⑺有且只有一個(gè)零點(diǎn)

B.當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)

c.當(dāng)時(shí)，曲線y=/(x)與曲線y=g(x)有且只有兩條公切線

D.若〃(x)為單調(diào)函數(shù)，則尸4"1

【答案】BCD

【分析】A/(x)=a'lna-aln(x-1),通過(guò)舉特例說(shuō)明該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.考慮尸(x)=xlnx,

Q(x)=『，求出函數(shù)的單調(diào)性，分析圖象得到力⑴有兩個(gè)零點(diǎn)；C.求出兩曲線的切線

方程，再建立方程組，轉(zhuǎn)化為零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題分析得解；D.分九(x)單調(diào)遞增和單調(diào)遞減

討論，從而求出e-ew“<l得解.

xxx]

【詳解】對(duì)A,/?(%)=alna-aln(x-1),/?(x)=0,a\na=aln(x-1),/.a~=logu(x-1),

令〃=上，不一1=9，或〃=上，]一1=!，優(yōu)t=k)gQ-l)都成立，妝工)有兩個(gè)零點(diǎn)，故

164162

A錯(cuò)誤；

對(duì)B,ax~l\na=ln(x-1),令ax~l=/,/.(x-\)\na=Int,t-=In(x-I),

x-1

/.rInr=(x-1)ln(x-1),(r>i),^j,gy=xlnx=F(x),Fr(x)=lnx4-l=0,

.??x=L.?.尸(az)=F(x—1),所以函數(shù)尸(x)在(0,3單調(diào)遞減，在(L+8)單調(diào)遞增，

eee

F(a'-')=F(x-1),ai=x-1,r.Ina=皿1)

x-1

化—八/、Inx八,/、1-lnx八

ij店Q(x)=,??Q(x)=7=O,..x=e,

XX

所以函數(shù)。(X)在(0,e)單調(diào)遞增，在(e,+8)單調(diào)遞減，Q(e)=L當(dāng)。d)=—F=-e<0,

ee￡

e

x->+8時(shí)，Q(x)>0,所以當(dāng)0<lna<L時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn).

e

此時(shí)leave；，故B正確;

對(duì)C,設(shè)％=歷。>,,/'(*)=爐j2,g，(x)=-^,t=x-\.

ex-\

設(shè)切點(diǎn)a,/a)),(w,g(x2y-/(x,)=f\x,)(x-xl),y-g(x2)=g'(x2)(x-x2),

ra)=g'(x2)

)-xjXxt)=g(x2)-x2g'(x2)'

①〃周42=￡,?aXi~lk2=-5—,at}k2=—

/一]X2-13

②a*k----(4+1)=。In-----G+1),小k——=In/2—1,

，2'2’2

---------=In一1,1—kt、—kt-,(Inq-D,

kt?Z?

+21nz=-InZ2,/.1+Inr2+2InZ:-kt2Int2+kt2=0,

設(shè)S=l+lnf+21nA-bln/+"(f>0),

iik

所以S'(/)=—k\nt—P(t),...P\t)=------<0,

ttt

所以函數(shù)p⑺在(0,y)單調(diào)遞減，因?yàn)閜d)=l+e+Z>0,P(e)=』-Z<0,

ee

,

所以加e(1,e),S'。。)=0,.?./e(O,/o),S(z)>0,/e(Zo,+a>),S'(f)<0,

e

所以S(/)=0有兩解，所以當(dāng)時(shí)，曲線y=F(x)與曲線y=g(x)有且只有兩條公切

線，所以該選項(xiàng)正確；

對(duì)D,若％0單調(diào)遞增,則"(x)20,.?.屋In%2/一,.?.(x-l)aI2.

x-1Ina

■■ma'"=x-l>0).考慮y=mam,y->0,不滿足.

In-amin

若&(x)單調(diào)遞減，則

h'(x)<0,/.a'In2a<'一(x-l)a'-1>——，二ma'"<—―.(/n=%-1>0).

x-1In'aIn'a

所以。加"')海474—，考慮y="",y'=(l+"?lna)"=0,.」=-J-不滿足.

ln-aIntz

當(dāng)a>1時(shí)，ma"'->+oo,不滿足.

]|—L|—LJ

當(dāng)a<1時(shí)，m=—--?a,na<---r,:.alna<---,

tInaIna(Ina)Ina

Ina'(------)4ln(--------),/.—1<ln(-------),/.0>Ina2—e,e，4a<1.故D止確.

InaInaIna

故選：BCD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要有四個(gè)關(guān)鍵，其一，是邏輯思維，證明命題是錯(cuò)誤的，只

要舉出反例即可：其二，要熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)：其三，是理解掌握

曲線公切線的研究方法；其四，要會(huì)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍.

16.(2023?吉林?東北師大附中?？级?直四棱柱ABC。-ABCR中，底面ABC。為

菱形，ZBAD=60°,AB=AD=AA,=2,P為cq中點(diǎn)，點(diǎn)。在四邊形C￡>￡)c內(nèi)(包括

邊界)運(yùn)動(dòng)，下列結(jié)論正確的是()

aG

AB

A.若DQ=8DC+〃DR,且X+〃=；，則四面體A8PQ的體積為定值

B.若AQ〃平面A8P,則A。的最小值為不

C.若△ABQ的外心為0,則A*A。為定值2

D.若4。=近，則點(diǎn)。的軌跡長(zhǎng)度為。

【答案】AB

【分析】對(duì)于A,取OR,DC的中點(diǎn)分別為M,N,,由條件確定。的軌跡，結(jié)合錐體體

積公式判斷A；對(duì)于B,由面面平行的判定定理可得平面ABP〃平面A的V,從而可得

AQ//平面A/P,進(jìn)而可求得AQ的最小值：對(duì)于C,由三角形外心的性質(zhì)和向量數(shù)量

積的性質(zhì)可判斷，對(duì)于D,由條件確定點(diǎn)Q的軌跡為圓弧44,利用弧長(zhǎng)公式求軌跡長(zhǎng)

度即可判斷.

【詳解】對(duì)于A,取QQQC的中點(diǎn)分別為M,N,連接AV,AN,MN,DQ,則DD、=2DM,

DC=2DN.MNHD,C,

因?yàn)镺Q=2DC+〃D￡)1,2+〃=g,所以DQ=22DN+2〃OM,22+2〃=l,

所以Q,M,N:.點(diǎn)共線，所以點(diǎn)Q在MN,因?yàn)镽C//AB,MN//DtC,

所以仞V〃AB.MNU平面ABP，A8u平面ABP,所以MN〃平面4乃尸，

所以點(diǎn)。到平面4田戶的距離為定值，因?yàn)榈拿娣e為定值，

所以四面體ABPQ的體積為定值，所以A正確；

對(duì)于B,因?yàn)橐驗(yàn)槠?。平?8尸，BPu平面ABP,

所以4W〃平面ABP,又AQ，平面A3P,AQAM=M,AQ,AMu平面AMQ,

所以平面AVQ〃平面ABP,取的中點(diǎn)￡，連接PE,則PE〃￡>C，D、C"AB,

所以PE//AB,所以A，8,四點(diǎn)共面，所以平面AMQ〃平面A8PE,

即。在MN上，當(dāng)4Q_LMN時(shí)，AQ取最小值，

因?yàn)镹8A￡)=60,AB=AD=AAI=2,所以AM=逐,MN=五,

AN=\lAD2+DN2-2ADDNcos\20°=j4+l-2x2xlx(-g)=",所以

AM2+MN2=AN2,所以Q,M幣：合，所以AQ的最小值為逐，所以B正確;

對(duì)于C,若△AB。的外心為0，過(guò)。作于H,

因?yàn)榘?2&,

所以ABAO=AB(4〃+HO)=AB-A〃=g48'=4,所以c錯(cuò)誤;

對(duì)于D,過(guò)4作AK^GR,垂足為K,因?yàn)?。平面ABCQ,

4/<=平面4及a〃，所以DR_LAK,

因?yàn)镚。/平面?！?gt;￡C,所以4KL平面。QCC，

因?yàn)镵Qu平面。QGC,所以AKLK。，

7EIT

又在4KA中，AtDl=2,ZA]KDl=-^DlK=-,

所以KR=ARCOS/=1,AK=A4sin]=6,

在，AKQ中，AK=6AQ=a，NAKQ=],所以KQ=2,

則Q在以K為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),

在。A，。］G上取點(diǎn)4,4,使得AA=百,04=1,則K4=KA2=2,

所以點(diǎn)。的軌跡為圓弧44，因?yàn)椤↘=I，A4=百，所以N&K&=。,

則圓弧&A等丁等，所以D錯(cuò)誤；

故選：AB

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵在于根據(jù)所給條件結(jié)合線面位置關(guān)系確定點(diǎn)的軌跡，

再結(jié)合錐體體積公式，空間圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)化解決問(wèn)題.

17.（2023春?湖北武漢?高三華中師大一附中校考期中）已知異面直線。與6所成角為60,

平面a與平面夕的夾角為80,直線。與平面a所成的角為20，點(diǎn)尸為平面a、夕外一

定點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.過(guò)點(diǎn)尸且與直線〃、方所成角都是60的直線有4條

B.過(guò)點(diǎn)P且與平面a、尸所成角都是30的直線有4條

C.過(guò)點(diǎn)P且與平面a、/所成角都是40的直線有3條

D.過(guò)點(diǎn)尸與平面a成60角，且與直線。成60的直線有3條

【答案】BC

【分析】根據(jù)選項(xiàng)60=毀，在利用圖形，可知A有3條；根據(jù)30<—=40,

22

30<180-80=50,可知B有4條；根據(jù)地-=40,40<暨二^~=50可知C有3

222

條；做以尸為頂點(diǎn)，且與圓錐中軸線夾角為30，可知該直線條數(shù)，判斷D即可.

【詳解】時(shí)于A選項(xiàng)，因?yàn)楫惷嬷本€。與直線b所成角為60，

在空間中的點(diǎn)P作直線a'、小，使得a'〃a,b'Hb,設(shè)直線,、〃確定平面了,如下圖

所示：

因?yàn)橹本€“、匕所成角為60,則直線a'、"所成角為60,

在宜線a'、6'上分別取點(diǎn)A、B,使得44PB=120,

則在平面/內(nèi)NAP8的角平分線所在直線4與直線"、少所成角均為60，

過(guò)點(diǎn)P在平面7外能作兩條直線4、、使得這兩條直線與直線"、少所成角均為60，

綜上所述，過(guò)點(diǎn)P且與直線〃、6所成角都是60的直線有3條，A錯(cuò)；

對(duì)于BC選項(xiàng)，因?yàn)槠矫鎍與平面尸的夾角為80，

則過(guò)點(diǎn)尸與平面a、4所成角都是阻=40和四二史■=50的直線各有一條也、”，

22

若過(guò)點(diǎn)尸與平面a、夕所成角都是30,則在m、〃的兩側(cè)各有一條，

所以共2x2=4條，故B正確，

若過(guò)點(diǎn)尸且與平面a、/所成角都是40,其中一條直線為直線機(jī)，在直線〃的兩側(cè)各

有一條，

所以共3條，C對(duì)：

對(duì)于D選項(xiàng)，過(guò)點(diǎn)尸作與平面a成60角的直線，

形成以尸為頂點(diǎn)，與圓錐中軸線夾角為30，且底面在aHl勺圓錐的母線，

設(shè)所求直線與a的交點(diǎn)為Q.不妨假設(shè)尸在。上，設(shè)直線。與a的交點(diǎn)為Z,

設(shè)點(diǎn)尸在底面的射影點(diǎn)為點(diǎn)O,直線ZO交圓錐底面圓于2、2兩點(diǎn)，

易知NQEQ?=60,又因?yàn)镻Qt=PQ2,則△PQ&為等邊三角形，

所以，NPQiQ?=