2022-2023學年湖北省武漢市常青聯(lián)合體高二（上）期末數(shù)學試卷（含答案詳解）

2022-2023學年湖北省武漢市常青聯(lián)合體高二（上）期末數(shù)學試卷一、選擇題：本題共8小題每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（5分）直線l：3x+y+3＝0的傾斜角α為（）A．30° B．60° C．120° D．150°2．（5分）橢圓x2A．（±5，0） B．（±1，0） C．(±5，0)3．（5分）在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，設AA1→=a→，ABA．a(chǎn)→+12b→+124．（5分）若直線x+（1+m）y﹣2＝0和直線mx+2y+4＝0平行，則m的值為（）A．1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．?5．（5分）設圓C1：x2+y2﹣2x+4y＝4，圓C2：x2+y2+6x﹣8y＝0，則圓C1，C2的公切線有（）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條6．（5分）若直線y＝﹣x+b與曲線x=1?y2A．[﹣1，1] B．[﹣1，2] C．[1，2） D．（1，2）7．（5分）已知F1、F2是橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的兩個焦點，P為橢圓C上一點，且PA．3 B．4 C．5 D．68．（5分）已知點P為直線y＝x+1上的一點，M、N分別為圓C1：（x﹣4）2+（y﹣1）2＝4與圓：C2：x2+（y﹣4）2＝1上的點，則|PM|+|PN|的最小值為（）A．5 B．6 C．2 D．1二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.（多選）9．（5分）已知直線l：3x+y﹣2＝0，則（）A．傾斜角為60° B．恒過點（0，2） C．直線l的方向向量為(1，?3D．在x軸上的截距為2（多選）10．（5分）已知方程x26?m+A．當m＞6或m＜2時，曲線C是雙曲線 B．當2＜m＜6時，曲線C是橢圓 C．若曲線C是焦點在y軸上的橢圓，則m＞6 D．若曲線C是焦點在x軸上的橢圓，則2＜m＜4（多選）11．（5分）過點P（2，1）作圓O：x2+y2＝1的兩條切線，切點分別為A，B，則下列說法正確的是（）A．|PA|=B．四邊形PAOB的外接圓方程為x2+y2＝2x+y C．直線AB方程為y＝2x+1 D．三角形PAB的面積為8（多選）12．（5分）一塊斯里蘭卡月光石的截面可近似看成由半圓和半橢圓組成，如圖所示，在平面直角坐標系中，半圓的圓心在坐標原點，半圓所在的圓過橢圓的右焦點F（3，0），橢圓的短軸與半圓的直徑重合．若直線y＝t（t＞0）與半圓交于點A，與半橢圓交于點B，則下列結論正確的是（）A．橢圓的離心率是22B．線段AB長度的取值范圍是(0，3+3C．△ABF的面積存在最大值 D．△AOB的周長存在最大值三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）已知a→=(1，1，0)，b→=(2，1，1)，則向量a→14．（5分）雙曲線y2?x2215．（5分）若直線kx﹣y+1﹣2k＝0與圓x2+y2＝9分別交于M、N兩點．則弦MN長的最小值為．16．（5分）已知雙曲線方程為x2a2?y2b2=1，（a＞0，b＞0），兩焦點分別為F1，F(xiàn)2，直線AB經(jīng)過F2與雙曲線交于A，B兩點，其中AB⊥AF1且2|四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）△ABC的三個頂點分別是A（﹣3，0），B（2，1），C（﹣2，3）．（1）求BC邊的垂直平分線DE所在直線方程；（2）求△ABC內BC邊上中線AD方程．18．（10分）已知圓心為C（0，3），且經(jīng)過點(2（1）求此圓C的方程；（2）直線l：y＝ax與圓C相交于A、B兩點．若△ABC為等邊三角形，求直線l的方程．19．（15分）如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，M為BC的中點，且PB⊥AM．（1）求線段BC的長度；（2）求直線PA與平面PBC所成角的正弦值．20．（15分）已知橢圓C：x（1）求橢圓C的標準方程；（2）若直線l與C交于A，B兩點，且線段AB的中點坐標為(14，21．（10分）如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1，AB1⊥BC．（1）證明：BC⊥AB；（2）設D為A1C的中點，AA1＝AB＝BC＝2，求二面角A﹣BD﹣C的余弦值．22．（10分）已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的離心率為12，F(xiàn)（1）求橢圓E的標準方程；（2）試求△OAB面積的最大值以及此時直線l的方程．

2022-2023學年湖北省武漢市常青聯(lián)合體高二（上）期末數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（5分）直線l：3x+y+3＝0的傾斜角α為（）A．30° B．60° C．120° D．150°【解答】解：由于直線l：3x+y+3＝0的傾斜角為α，則直線的斜率tanα=?3再由0°≤α＜180°，可得α＝120°，故選：C．2．（5分）橢圓x2A．（±5，0） B．（±1，0） C．(±5，0)【解答】解：橢圓x24+y23=1，則焦點坐標為（±1，0）故選：B．3．（5分）在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，設AA1→=a→，ABA．a(chǎn)→+12b→+12【解答】解：因為在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，設AA1→=如圖所示，BE→∴DE→故選：D．4．（5分）若直線x+（1+m）y﹣2＝0和直線mx+2y+4＝0平行，則m的值為（）A．1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．?【解答】解：直線x+（1+m）y﹣2＝0和直線mx+2y+4＝0平行，可得1×2=m(1+m)m≠?2，得：m故選：A．5．（5分）設圓C1：x2+y2﹣2x+4y＝4，圓C2：x2+y2+6x﹣8y＝0，則圓C1，C2的公切線有（）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【解答】解：圓C1：x2+y2﹣2x+4y＝4?圓C1則圓心C1（1，﹣2），半徑為3，圓C2：x2+y2+6x﹣8y＝0?圓C2則圓心C2（﹣3，4），半徑為5，∵5?3＜|C∴C1與C2相交，∴有2條公切線．故選：B．6．（5分）若直線y＝﹣x+b與曲線x=1?y2A．[﹣1，1] B．[﹣1，2] C．[1，2） D．（1，2）【解答】解：曲線x=1?y2如圖所示，當直線y＝﹣x+b與圓x=1?y2相切時，當直線過點（0，1）時，b＝1，此時有兩個交點．∴實數(shù)b的范圍是1≤b＜2故選：C．7．（5分）已知F1、F2是橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的兩個焦點，P為橢圓C上一點，且A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：由題意得|PF1|+|PF2|＝2a，∵PF1→⊥PF2∴S△PF1F2=12?|PF1∴(|PF1|+|PF2|)∴a2﹣c2＝9，解得b＝3，故選：A．8．（5分）已知點P為直線y＝x+1上的一點，M、N分別為圓C1：（x﹣4）2+（y﹣1）2＝4與圓：C2：x2+（y﹣4）2＝1上的點，則|PM|+|PN|的最小值為（）A．5 B．6 C．2 D．1【解答】解：如圖所示，由圓C1：(x?4)2+(y?1)2圓C2：x2+(y?4)2可得圓心距|C所以|PM|+|PN|≥5﹣r1﹣r2＝2，當M，N，C1，C2，P共線時，取得最小值，故|PM|+|PN|的最小值為2．故選：C．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.（多選）9．（5分）已知直線l：3x+y﹣2＝0，則（）A．傾斜角為60° B．恒過點（0，2） C．直線l的方向向量為(1，?3D．在x軸上的截距為2【解答】解：對于A，直線l：3x+y﹣2＝0，即y=?3故直線斜率k=?3，傾斜角為120°，故A對于B，點（0，2）滿足方程3x+y﹣2＝0，故B正確；對于C，直線l的斜率為?3（1，?3）與原點連線斜率也是?故直線l的方向向量為(1，?3)，故對于D，直線l：3x+y﹣2＝0，令y＝0，解得x=2故在x軸上的截距為233，故故選：BC．（多選）10．（5分）已知方程x26?m+A．當m＞6或m＜2時，曲線C是雙曲線 B．當2＜m＜6時，曲線C是橢圓 C．若曲線C是焦點在y軸上的橢圓，則m＞6 D．若曲線C是焦點在x軸上的橢圓，則2＜m＜4【解答】解：對A選項，若曲線C為雙曲線，則（6﹣m）（m﹣2）＜0，解得m＞6或m＜2，∴A選項正確；對B選項，若曲線C為橢圓，則6?m＞0m?2＞0解得2＜m＜4或4＜m＜6，∴B選項錯誤；對C選項，若曲線C是焦點在y軸上的橢圓，則m﹣2＞6﹣m＞0，解得4＜m＜6，∴C選項錯誤；對D選項，若曲線C是焦點在x軸上的橢圓，則6﹣m＞m﹣2＞0，解得：2＜m＜4，∴D正確．故選：AD．（多選）11．（5分）過點P（2，1）作圓O：x2+y2＝1的兩條切線，切點分別為A，B，則下列說法正確的是（）A．|PA|=B．四邊形PAOB的外接圓方程為x2+y2＝2x+y C．直線AB方程為y＝2x+1 D．三角形PAB的面積為8【解答】解：對于A，由題意，|PO|=2由勾股定理可得，|PA|=(故選項A錯誤；對于B，由題意可知，PB⊥OB，則PO為所求圓的直徑，所以線段PO的中點為(1，12)則所求圓的方程為(x?1)化為一般方程為x2+y2＝2x+y，故選項B正確；對于C，由題意，其中一個切點的坐標為（0，1），不妨設為點B，則AB⊥OP，又kOP所以kAB＝﹣2，所以直線AB的方程為y＝﹣2x+1，故選項C錯誤；對于D，因為PO⊥AB，且直線OP的方程為y=12x，直線AB的方程為y＝﹣聯(lián)立方程組y=12x所以兩條直線的交點坐標為D(2則|BD|=(|PD|=(故△PBD的面積為12所以△PAB的面積為85故選項D正確．故選：BD．（多選）12．（5分）一塊斯里蘭卡月光石的截面可近似看成由半圓和半橢圓組成，如圖所示，在平面直角坐標系中，半圓的圓心在坐標原點，半圓所在的圓過橢圓的右焦點F（3，0），橢圓的短軸與半圓的直徑重合．若直線y＝t（t＞0）與半圓交于點A，與半橢圓交于點B，則下列結論正確的是（）A．橢圓的離心率是22B．線段AB長度的取值范圍是(0，3+3C．△ABF的面積存在最大值 D．△AOB的周長存在最大值【解答】解：對于A：由題意得半圓的方程為x2+y2＝9（x≤0），設半橢圓的方程為x2又橢圓的短軸與半圓的直徑重合，即b＝c＝3，則a=32則半橢圓的方程為x2則橢圓的離心率e=332對于B：直線y＝t（t＞0）與半圓交于點A，與半橢圓交于點B，則線段AB長度的取值范圍是(0，3+32)對于C：不妨設A（x1，t），B（x2，t），則由x12+t2＝9（x1≤0）得x1=?9?t2，由則S△ABF=12(對于D：△OAB的周長為l(t)=|OA|+|OB|+|AB|=3+(2+1)9?t則△OAB的周長不存在最大值，故D錯誤，故選：ABC．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）已知a→=(1，1，0)，b→=(2，1，1)，則向量a→與b【解答】解：因為a→=(1，1，0)，b→故答案為：π614．（5分）雙曲線y2?x22=1的漸近線方程為【解答】解：因為雙曲線y2?x22=1，焦點在漸近線方程為y=±2故答案為：y=±215．（5分）若直線kx﹣y+1﹣2k＝0與圓x2+y2＝9分別交于M、N兩點．則弦MN長的最小值為4．【解答】解：由圓x2+y2＝9，可得圓心O（0，0），半徑為3，又直線kx﹣y+1﹣2k＝0，可化為k（x﹣2）﹣y+1＝0，∴直線過定點P（2，1），又22+12＜9，∴點P在圓的內部，∴當圓心到直線MN距離最大時，弦長MN最小，此時OP⊥MN，此時|MN|=2故答案為：4．16．（5分）已知雙曲線方程為x2a2?y2b2=1，（a＞0，b＞0），兩焦點分別為F1，F(xiàn)2，直線AB經(jīng)過F2與雙曲線交于A，B兩點，其中AB⊥AF1且2|AF2【解答】解：連接BF1，設|AF2|＝m，則|F2B|＝2m，由雙曲線的定義可得|F1B|＝|F2B|+2a＝2m+2a，|F1A|＝|F2A|+2a＝m+2a，在直角△AF1B中，|F1A|2+|BA|2=|F1B|2，即（2a+化簡可得m=2在直角△AF1F2中，|F1A|2+|F2A|2=|F1將m=23a整理可得c2所以e=c故答案為：173四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）△ABC的三個頂點分別是A（﹣3，0），B（2，1），C（﹣2，3）．（1）求BC邊的垂直平分線DE所在直線方程；（2）求△ABC內BC邊上中線AD方程．【解答】解：（1）由B（2，1），C（﹣2，3）可得線段BC的中點為（0，2），kBC因為DE是BC邊的垂直平分線，所以kDE＝2，則DE所在直線方程：y﹣2＝2x即2x﹣y+2＝0；（2）由（1）可得線段BC的中點為（0，2），故BC邊上中線AD方程為x?3+y2=1即2所以△ABC內BC邊上中線AD方程：2x﹣3y+6＝0（﹣3＜x＜0）．18．（10分）已知圓心為C（0，3），且經(jīng)過點(2（1）求此圓C的方程；（2）直線l：y＝ax與圓C相交于A、B兩點．若△ABC為等邊三角形，求直線l的方程．【解答】解：（1）因為圓心為C（0，3），所以圓C的方程設為x2+（y﹣3）2＝r2，該圓過(2所以(2所以圓C的方程為x2+（y﹣3）2＝3；（2）由（1）可知該圓的半徑為3因為△ABC為等邊三角形，且邊長為3，所以該等邊三角形的高為(3所以圓心C到直線l：y＝ax的距離為32，即|?3|所以直線l的方程為y=3x或19．（15分）如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，M為BC的中點，且PB⊥AM．（1）求線段BC的長度；（2）求直線PA與平面PBC所成角的正弦值．【解答】解：（1）∵PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為矩形，∴以DA、DC、DP所在直線分別為x、y、z軸，建立如圖空間直角坐標系D﹣xyz，設BC＝2a，則D（0，0，0），P（0，0，1），C（0，1，0），B（2a，1，0），M（a，1，0）、A（2a，0，0），∴PB→=(2a，1，?1)，∵PB⊥AM，∴PB→解得a=22，∴（2）∵PA→=(2，0，?1)，設平面PBC的法向量為n→則n→?BC∴cos＜PA∴直線PA與平面PBC所成角正弦值為6620．（15分）已知橢圓C：x（1）求橢圓C的標準方程；（2）若直線l與C交于A，B兩點，且線段AB的中點坐標為(14，【解答】解：（1）∵2c＝6，∴c＝3，又橢圓上的點到兩焦點距離之和為2a，∴橢圓上一點與兩焦點構成的三角形周長為2a+2c＝16．∴a＝5，c＝3，∴b2＝a2﹣c2＝16，∴橢圓C的標準方程為x2（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1兩式相減可得(x∴(y∵(14，∴x1+x