人教B版（新）必修三 向量的數(shù)量積與三角恒等變換 三角恒等變換 三角恒等變換的應(yīng)用

第八章向量的數(shù)量積與三角恒等變換《三角恒等變換的應(yīng)用》課件學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握倍角公式、兩角和與差的三角公式的綜合應(yīng)用.2.掌握半角的正弦、余弦、正切公式及其應(yīng)用.3.掌握積化和差、和差化積公式及其應(yīng)用.4.了解萬能公式及其應(yīng)用.重點：倍角公式、兩角和與差的三角公式、半角公式、積化和差與和差化積公式.難點：半角公式正負(fù)號的選擇、積化和差與和差化積公式以及萬能公式的識記.知識梳理一、半角公式及其推導(dǎo)

一般地，①②③可以變形為

一般稱這3個公式為半角公式.【名師點撥】α第一象限第二象限第三象限第四象限第一、三象限第一、三象限第二、四象限第二、四象限拓展：半角正切公式的有理表達(dá)式：這兩個公式不用判斷符號，更好用！二、積化和差、和差化積公式及其推導(dǎo)

1.積化和差公式

歸納總結(jié)

④⑤⑥⑦的左邊是積的形式，右邊是和或差的形式，因此被稱為積化和差公式.

這四個公式左邊是和或差的形式，右邊是積的形式，因此被稱為和差化積公式.記憶口訣：正和正在先，正差正后遷，余和全是余，余差反了天.

2.和差化積公式三、萬能公式及其推導(dǎo)

?？碱}型一、應(yīng)用三角恒等變換化簡或求值【解題提示】半角公式中都是用倍角的余弦表示半角的三個三角

函數(shù)，所以應(yīng)當(dāng)先用平方關(guān)系式求cosα，再代入公式計算得結(jié)果.CBA

2.積化和差公式的應(yīng)用例2求值：（1）sin20°cos70°+sin10°sin50°；（2）sin20°sin40°sin60°sin80°.【解題提示】在利用積化和差與和差化積公式求值時，盡量出現(xiàn)特殊角，同時注意互余角、互補(bǔ)角的三角函數(shù)間的關(guān)系.

訓(xùn)練題1.求sin220°+cos250°+sin20°·cos50°的值.

【名師點撥】積化和差公式的功能可以把三角函數(shù)的一種形式（積的形式）轉(zhuǎn)化為另一種形式（和差的形式），這種轉(zhuǎn)化可以將角度化為特殊角求值或化簡，將函數(shù)式變形以研究其性質(zhì)，它們在三角式的變換中有很重要的作用.

訓(xùn)練題1.求下列各式的值：（1）sin54°-sin18°＝

.（2）cos146°+cos94°+2cos47°cos73°＝

.

二、利用三角恒等變換證明三角恒等式1.非條件恒等式例4求證：cos2α-cos2β＝-sin（α+β）·sin（α-β）.◆證明三角恒等式的一般步驟（1）先觀察，找出角、函數(shù)名稱、式子結(jié)構(gòu)等方面的差異；（2）本著“復(fù)角化單角”“異名化同名”“變換式子結(jié)構(gòu)”“變量集中”等原則，設(shè)法消除差異，達(dá)到證明的目的.①對非條件恒等式證明非條件恒等式要根據(jù)等式兩邊的特征，化繁為簡，左右歸一，通過三角恒等變換，將等式的兩邊化異為同.②對條件恒等式條件恒等式的證明要認(rèn)真觀察，比較已知條件與求證等式之間的聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)耐緩?，常用代入法、消元法、兩頭湊法.2.條件恒等式【解題技法】證明三角恒等式的實質(zhì)是消除等式兩邊的差異，有目的地化繁為簡、左右歸一或變更論證.對恒等式的證明，應(yīng)遵循化繁為簡的原則，從左邊推到右邊或從右邊推到左邊，也可以用左右歸一，變更論證等方法.常用定義法、化弦法、化切法、拆項拆角法、“1”的代換法、公式變形法，要熟練掌握基本公式，善于從中選擇巧妙簡捷的方法.三、三角恒等變換在三角形中的應(yīng)用

◆已知三角恒等式判斷三角形形狀的方法將已知恒等式進(jìn)行合理變形，然后考慮以下幾種形狀：1.直角三角形：有一個角是直角或兩個角互余，或者一個角的正弦值為1，余弦值為0.2.等腰三角形：有兩個角相等（正三角形：三個角都相等或者一角是60°，其他兩角相等）.3.鈍角三角形：有一個角的余弦值為負(fù)值.訓(xùn)練題

BA四、三角恒等變換在函數(shù)圖像和性質(zhì)中的應(yīng)用例7已知f（x）＝cos2（x+θ）-2cosθcosxcos（x+θ）+cos2θ，

求f（x）的最大值、最小值和最小正周期.

◆應(yīng)用三角恒等變換的知識和方法研究三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的問題主要考慮以下四點1.是否可以把所給三角函數(shù)式中的三角函數(shù)名稱統(tǒng)一.如“切化弦”“余變正”；2.是否可以把所給三角函數(shù)式中的角形式統(tǒng)一；如半角化單角，倍角化單角等；3.是否可以把所給結(jié)構(gòu)形式化簡為結(jié)構(gòu)一致的形式，如升冪、降冪等；4.是否可以把所給的三角函數(shù)值暫時變?yōu)橄鄳?yīng)的三角函數(shù)，以便套用相關(guān)公式.B訓(xùn)練題ACC五、三角恒等變換與平面向量的綜合應(yīng)用

訓(xùn)練題

B

2x-π0πx