湖南省長沙市寧鄉(xiāng)市2024屆高三上學(xué)期11月調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題

湖南省長沙市寧鄉(xiāng)市2024屆高三上學(xué)期11月調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．已知集合，則集合（

）A． B． C． D．N2．命題“”的否定為（

）A． B．C． D．3．（

）A． B． C．1 D．4．已知為等差數(shù)列，且是方程的兩根，則等于（

）A． B． C．2 D．45．函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．6．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的解析式為（

）A． B．C． D．7．在中，角所對的邊分別為，已知成等差數(shù)列，，則的面積為（

）A．3 B． C．12 D．168．已知函數(shù)若函數(shù)恰有3個零點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題9．下列有關(guān)數(shù)列的說法正確的是（

）A．?dāng)?shù)列和數(shù)列是同一數(shù)列B．?dāng)?shù)列的通項公式為，則是該數(shù)列的第55項C．已知為數(shù)列的前項和，若，則數(shù)列是等比數(shù)列D．?dāng)?shù)列的一個通項公式為10．下列命題中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則11．已知函數(shù)的圖象的任意一條對稱軸與其相鄰的零點之間的距離為，若將曲線的圖象向左平移個單位得到的圖象關(guān)于軸對稱，則（

）A．B．C．直線為曲線的一條對稱軸D．若在單調(diào)遞增，則12．已知且，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．若恒成立，則C．若有兩個零點，則D．若有極值點，則或三、單空題13．已知為虛數(shù)單位，，則．14．已知，且，則．15．某同學(xué)讓一彈性小球從27米高處自由下落，每次落下后反彈的高度都是原來的，當(dāng)它第6次著地時，經(jīng)過的總路程是（精確到1米）．四、雙空題（新）16．在銳角三角形中，角的對邊分別為，且，則：（1）．（2）若的中點為，則的取值范圍為．五、問答題17．已知向量(1)若⊥，求的值；(2)記，將函數(shù)的圖象向右平移個單位，再向下平移1個單位得到函數(shù)圖象，求函數(shù)在上的最小值．六、證明題18．在數(shù)列中，且滿足（且）．(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項和．七、問答題19．已知一次函數(shù)過定點．(1)若，求不等式解集．(2)已知不等式的解集是，求的最小值．20．已知中，．(1)求；(2)的平分線交于，求的長．21．已知函數(shù)，(1)數(shù)列的通項，若數(shù)列為單調(diào)遞增的數(shù)列，求的取值范圍；(2)設(shè)，，，若對恒成立，求滿足條件的的最大正整數(shù)．22．已知函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù).(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若存在實數(shù)使成立，求的取值范圍.參考答案：1．B【分析】先求出，進(jìn)而求出交集.【詳解】，則.故選：B2．D【分析】由特稱命題的否定是全稱命題，即可得到結(jié)果.【詳解】因為命題“”，則其否定為.故選：D3．C【分析】用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解.【詳解】原式.故選：C4．C【分析】根據(jù)題意，求得，結(jié)合，即可求解.【詳解】由是方程的兩根，可得，又由數(shù)列為等差數(shù)列，可得，所以.故選：C.5．C【解析】計算出的值，由零點存在性定理即得解.【詳解】由題得，，所以，又因為函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，所以零點所在的區(qū)間為.故選：C【點睛】方法點睛：判斷連續(xù)函數(shù)零點所在的區(qū)間，一般利用零點存在性定理，若，則函數(shù)在區(qū)間上至少有一個零點.6．A【分析】通過函數(shù)奇偶性的定義對選項逐個進(jìn)行判斷，再取圖象上的特殊點進(jìn)行排除即可.【詳解】由圖可知函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，所以函數(shù)為偶函數(shù)，故應(yīng)先判斷各選項中函數(shù)的奇偶性.對于A，，所以是偶函數(shù)，故A選項的函數(shù)為其定義域內(nèi)的偶函數(shù).同理，對B、C選項的均為其定義域內(nèi)的奇函數(shù)，D選項的為其定義域內(nèi)的偶函數(shù)，故B錯，C錯由圖可知函數(shù)在上，考慮到，所以，代入A選項，即，代入D選項，即，故選：A7．B【分析】根據(jù)題意，得到，再由余弦定理求得，結(jié)合三角形的面積公式，即可求解.【詳解】因為成等差數(shù)列，可得，又因為，由余弦定理得：，整理得，即，所以的面積為.故選：B.8．D【分析】根據(jù)題意，將函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像交點問題，分，以及討論，結(jié)合圖像，即可得到結(jié)果.【詳解】令，所以要使恰有3個零點，只需方程恰有3個實根即可，即與的圖像有3個不同交點．當(dāng)時，此時，如圖1，與有1個不同交點，不滿足題意；當(dāng)時，如圖2，此時與恒有3個不同交點，滿足題意；當(dāng)時，如圖3，當(dāng)與相切時，聯(lián)立方程得，令得，解得（負(fù)值舍去），所以．綜上，的取值范圍為．故選：D9．BC【分析】利用數(shù)列的意義判斷A；利用通項公式計算n判斷B；求出通項判斷C；舉例說明判斷D.【詳解】因為數(shù)列是按照一定順序排成的一列數(shù)，則數(shù)列和數(shù)列是不同數(shù)列，A錯誤；由，得，則是該數(shù)列的第55項，B正確；由，得，當(dāng)時，，因此的通項公式是，數(shù)列是等比數(shù)列，C正確；當(dāng)時，，D錯誤.故選：BC10．ABD【分析】根據(jù)題意，結(jié)合不等式的基本性質(zhì)和作差比較法，逐項判定，即可求解.【詳解】對于中，由不等式，可得，所以，不等式的兩邊同乘，可得，所以A正確；對于B中，因為，所以，即，所以，所以B正確；對于中，由，則，所以，所以C錯誤；對于D中，因為，所以，則，即，所以，所以D正確.故選：ABD.11．AC【分析】根據(jù)題意，利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求得函數(shù)，可判定A正確，B錯誤；利用為最小值，可判定C正確；令，求得，得出，可判定D錯誤.【詳解】由函數(shù)的圖象的任意一條對稱軸與其相鄰的零點之間的距離為，可得，解得，所以A正確；又由的圖象向左平移個單位得到，因為的圖象關(guān)于軸對稱，可得且，解得，所以B錯誤；因為且為最小值，所以直線為曲線的一條對稱軸，所以C正確；令，解得，要使得函數(shù)在單調(diào)遞增，則，所以D錯誤.故選：AC.12．ABD【分析】對于A，根據(jù)直接計算求解即可；對于B，根據(jù)反函數(shù)相關(guān)知識轉(zhuǎn)化為恒成立，進(jìn)而得到，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題求解即可；對于C，通過同構(gòu)轉(zhuǎn)化為與有兩個公共點，結(jié)合函數(shù)圖象求解即可；對于D，通過轉(zhuǎn)化為函數(shù)與有公共點，且不在極值處取得進(jìn)行求解即可.【詳解】對于A，，則，則，則，故正確.對于B，若，則，由于互為反函數(shù)，它們圖象關(guān)于對稱，所以只須保證恒成立即可，又因為，所以，故，設(shè)，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減所以，所以，故，故B正確.對于C，若，則與有且只有一個公共點，此時有奇數(shù)個零點，不符合題意，若，若有兩個零點，則有兩不等根，即，即有兩個不等根，設(shè)，則，由于，且在時滿足且單調(diào)遞增，則等價于與有兩個公共點，即有兩實數(shù)根，故有兩實數(shù)根，即與有兩個公共點，因為當(dāng)時，，當(dāng)時，且，且，作圖象如下：故，則，故C錯誤．對于D，若有極值點，等價于有變號零點．即有實根，即函數(shù)與有公共點，且不在極值處取得，因為若，則在單調(diào)遞增，顯然，值域為，與有交點；若，則令，當(dāng)，單調(diào)遞增，當(dāng)，單調(diào)遞減，．，，，則，因為，所以，則，故或，故D正確．故選：ABD【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解13．2【分析】可直接根據(jù)復(fù)數(shù)的模的性質(zhì)進(jìn)行計算.【詳解】由題意：，所以：.故答案為：214．/0.9【分析】利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系，誘導(dǎo)公式，二倍角公式轉(zhuǎn)化求值.【詳解】由，，得，所以.故答案為：15．【分析】根據(jù)題意，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】小球第6次著地前共反彈5次，每次反彈高度構(gòu)成首項為18，公比為的等比數(shù)列，則小球向上5次總路程為米，所以小球經(jīng)過的總路程為米.故答案為：.16．【分析】根據(jù)已知條件將邊化為角，即可求出A的大小，中線AD長通過向量轉(zhuǎn)化為bc的范圍，再借助正弦定理化為三角函數(shù)的值域問題求解.【詳解】因為三角形為銳角三角形，所以，又D是BC的中點，，由余弦定理，由正弦定理：，又，.故答案為：；17．(1)或(2)【分析】（1）由向量垂直得到，結(jié)合三角恒等變換得到或，求出答案；（2）化簡得到，利用左加右減，上加下減得到，整體法結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求出最小值.【詳解】（1）⊥，故，即，故有或，當(dāng)時，又，當(dāng)，即，又，故，或；（2），由題意知，，∴，由于在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，故在上的最小值為.18．(1)證明見解析(2)【分析】（1）變形得到，得到結(jié)論；（2）在（1）的基礎(chǔ)上得到，進(jìn)而利用分組求和.【詳解】（1）（且），（且），，所以是首項為2，公比為2的等比數(shù)列．（2）是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，，故，.19．(1)(2)【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出，然后代入解不等式即可.（2）由的解集是，得的解集是，根據(jù)韋達(dá)定理，求得，再根據(jù)基本不等式求最值即得.【詳解】（1）設(shè)一次函數(shù)，因為過定點，所以，所以，

因為，即，所以，

所求不等式為，可得，即，將其轉(zhuǎn)化為不等式組得，解得或，

原不等式的解集為.（2）由（1）知，又不等式的解集是，所以的解集是，由題意得，，，且，所以且，即，所以，因為，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立，所以的最小值為.20．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦定理可得，再由二倍角公式，代入計算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由余弦定理可得，再由角平分線定理可得，在中，結(jié)合余弦定理，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）由正弦定理可得，即，又為三角形內(nèi)角，，.（2）由余弦定理可得，解得或（舍）又由角平分線定理有，即，解得，所以在中，由余弦定理有.21．(1)(2)13【分析】（1）數(shù)列為單調(diào)遞增的數(shù)列，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性，得求解即得.（2）根據(jù)題意得，整理得，再根據(jù)等差數(shù)列數(shù)列求通項，然后由等差數(shù)列求和公式求和，進(jìn)而列出不等式，根據(jù)即得.【詳解】（1）函數(shù)為開口向上的二次函數(shù)，對稱軸為，因為數(shù)列為單調(diào)遞增的數(shù)列，即，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)知只需滿足，即，所以．（2），，當(dāng)時，可得，則，又，所以是以為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以，因為，則有，則有，又因為，所以的最大正整數(shù)為13．22．(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為(2)【分析】（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可；（2）分類討論求解函數(shù)的最大值，然后利用有解問題轉(zhuǎn)化求解即可.【詳解】（1），所以，令，得，令，得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2），則，當(dāng)時，恒成立，所以在上單調(diào)遞減；所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，不符合題意；當(dāng)時，令得，令得，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，，所以在上單調(diào)遞增，所以，符合題意；當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，所以，若，即，則在[0，1]上單