消除自相關(guān)的方法

§6.4消除自相關(guān)影響的方法一、擬自相關(guān)情況二、真正自相關(guān)情況(一)自相關(guān)系數(shù)ρ已知的情況1.廣義差分法設(shè)模型

(t=1，2，…，n)(6.4.1)中的隨機(jī)項(xiàng)有一階線性自相關(guān)：(6.4.2)

vt滿足經(jīng)典回歸的全部假定，且ρ的數(shù)值已知。將(6.4.1)滯后一期并乘以ρ：(6.4.3)

用(6.4.1)減(6.4.3)式，得(6.4.4)

令令(6.4.5)

變換(6.4.5)稱為廣義差分變換。將(6.4.4)改寫成：(6.4.6)

變換后的模型(6.4.6)叫做廣義差分模型，由于vt滿足全部假定，已沒(méi)有自相關(guān)，因此可用OLS法估計(jì)參數(shù)α和β1。應(yīng)該注意，變換后的數(shù)據(jù)()將損失一個(gè)觀測(cè)值，這是因?yàn)樽儞Q中不存在x0和y0。為了避免這一損失，K.R.Kadiyala提出對(duì)第一個(gè)觀測(cè)值作如下變換：對(duì)于多元回歸模型，廣義差分法也同樣適用。設(shè)模型(6.4.11)

(6.4.12)

其中ρ已知，vt滿足經(jīng)典回歸的基本假定。(6.4.11)滯后一期并乘以ρ：(6.4.13)

將(6.4.11)-(6.4.13)得：(6.4.14)

令(6.4.15)

模型(6.4.14)可改寫成：

(6.4.16)

由于vt滿足經(jīng)典回歸全部假定，因此，可以對(duì)模型(6.4.16)應(yīng)用OLS法。2.廣義最小二乘法的應(yīng)用之二：自相關(guān)問(wèn)題的處理設(shè)有線性回歸模型(6.4.30)

其中Y為(n×1)維向量，X為n×(k+1)維矩陣，β為(k+1)×1維向量，U為(n×1)維向量，并且具有一階線性自回歸形式的自相關(guān)(6.4.31)

利用P對(duì)原模型(6.4.30)作變換：PY＝ＰXβ＋ＰＵ(6.4.37)(6.4.38)

于是，(6.4.37)可改寫成

(6.4.39)

由于(6.4.41)′

的協(xié)方差矩陣為(6.4.42)

或(6.4.42)′

的無(wú)偏估計(jì)量為：(6.4.43)

或(6.4.43)′

擬合優(yōu)度的表達(dá)式為：(6.4.44)

或(6.4.44)′

其中(6.4.45)

以上分析過(guò)程中，我們使用了兩個(gè)矩陣P和Ψ。但是，在實(shí)際計(jì)算過(guò)程中只用二者之一即可?？梢宰C明P具有如下形式(6.4.46)

可以驗(yàn)證P滿足(6.4.35)和(6.4.36)。用P作用于X和Y可得如下一組變換觀測(cè)值：(6.4.47)

(6.4.48)

（二）自相關(guān)系數(shù)ρ未知的情況只需將ρ估計(jì)出來(lái)，用估計(jì)值代替（一）中ρ的即可。1.由d統(tǒng)計(jì)量估計(jì)ρ

由§6.3節(jié)給出的兩個(gè)ρ的估計(jì)式：(6.4.17)

(6.4.18)

由于(6.4.17)是ρ的有偏、相合估計(jì)量，故只適用大樣本情況。對(duì)于小樣本(6.4.18)的偏倚要比(6.4.17)小些，所以在小樣本情下應(yīng)該用公式(6.4.18)。2.Cochrane-Orcutt(柯克蘭—奧卡特)迭代法3.區(qū)間收索法（Hildreth-Lu法）4.杜賓(Durbin)兩步法設(shè)模型為(6.4.25)

其隨機(jī)項(xiàng)存在自相關(guān)：(6.4.26)

第一步，對(duì)模型(6.4.25)進(jìn)行廣義差分變換：整理得：(6.4.27)

對(duì)(6.4.27)式應(yīng)用OLS法，求得ρ的估計(jì)值,它就是項(xiàng)的系數(shù)。第二步，用估計(jì)值對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行差分變換：(6.4.28)

于是原模型(6.4.25)變?yōu)?6.4.29)

對(duì)(6.4.29)應(yīng)用OLS法，可求得估計(jì)值其中。此種方法適用于各種容量的樣本，不同階的自回歸相關(guān)形式，其模型參數(shù)估計(jì)值具有最優(yōu)漸近性。杜賓兩步法不但求出了自相關(guān)系數(shù)ρ的估計(jì)值，而且也得出了模型參數(shù)的估計(jì)值，因此，它是一種簡(jiǎn)單而又行之有效的方法。值得注意地是此方法，在進(jìn)行差分變換(6.4.28)時(shí)，將損失一個(gè)觀測(cè)值。5.殘差作滯后回歸第一步：對(duì)模型應(yīng)用OLS求出ut的估計(jì)值。第二步：對(duì)做回歸，得到回歸方程，系數(shù)便是ρ的估計(jì)值。6.利用Eviews軟件中的AR(1)功能對(duì)模型在Eviews軟件中，可以直接應(yīng)用GLS法，處理自相關(guān)的問(wèn)題，只要在命令窗口輸入：LSYCX1X2…XkAR(1)即可，其中AR(1)表示進(jìn)行一階差分變換的相關(guān)系數(shù)。(四)應(yīng)用舉例例6.4.1我們采用表6.4.1的數(shù)據(jù)(見(jiàn)課本159-156），建立模型（6.4.49）

應(yīng)用表6.4.1的數(shù)據(jù)，估計(jì)模型（6.4.49），得到回歸方程（6.4.50）

查D-W臨界值表得到dL=1.10,du=1.37,本例中d=1.080381<1.10=dL,表明隨機(jī)項(xiàng)ut具有自相關(guān)現(xiàn)象。由于具有自相關(guān)現(xiàn)象，直接應(yīng)用OLS法是不合適的，因此，必須先消除自相關(guān)的影響。解法1利用模型（6.4.50）的d值計(jì)算自相關(guān)系數(shù)(6.4.51)

利用對(duì)原模型進(jìn)行差分變換，得到

(6.4.52)其中(6.4.53)

再利用差分變換后的數(shù)據(jù)表6.4.2，對(duì)變換后的模型(6.4.52)應(yīng)用OLS法，得到由于差分變換，損失一個(gè)數(shù)據(jù)，所以n＝15，k＝1，對(duì)顯著水平0.05，查Ｄ-Ｗ表dL＝1.08，du＝1.36，d*落在接受區(qū)內(nèi)(1.36<1.536008＝d*<2.64)。D-W檢驗(yàn)表明，變換后的模型已無(wú)明顯的自相關(guān)。于是，原模型的參數(shù)估計(jì)應(yīng)為相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差：這些結(jié)果可簡(jiǎn)潔地表示如下：(6.4.54)

這里代表校正后的的估計(jì)量。本例也可以利用Eviews軟件，對(duì)lnx和lny做廣義差分變換：在命令窗口輸入命令：GENRlnx=log(x)GENRlny=log(y)GENRx1=lnx-0.482473*lnx(-1)GENRy1=lnx-0.482473*lny(-1)然后對(duì)x1，y1應(yīng)用OLS法估計(jì)參數(shù)，其結(jié)果如圖6.4.1所示。圖6.4.1解法2：殘差作滯后回歸1.做回歸得到。2.做回歸，即3.廣義差分過(guò)程與前面相同，不再重復(fù)。解法3在Eviews軟件中，可以直接應(yīng)用GLS法，處理自相關(guān)的問(wèn)題，只要在命令窗口輸入：LSLNYCLNXAR(1)即可，其中AR(1)表示