2003年希望杯第14屆及答案

2003年第十四屆“希望杯”(初二笫2試)一、選擇題:(50分)1.y-2x+1是4xy-4x2-y2-k的一個(gè)因式,則k的值是()(A)0;(B)-1;(C)1;(D)42.不等式0≤ax+5≤4的整數(shù)解是1、2、3、4,則a的取值范圍是()(A)a≤-;(B)a<-1;(C)-≤a<-1;(D)a≥-3.整數(shù)x、y滿足不等式x2+y2+1≤2x+2y,則x+y的值有()(A)1個(gè);(B)2個(gè);(C)3個(gè);(D)4個(gè)4.如圖1,在矩形ABCD中,AE,AF三等分∠BAD,若BE=2,CF=1,則最接近矩形面積的是()(A)13;(B)14;(C)15;(D)165.如圖2,RtΔABC中,∠C=900,∠DAF=∠DAB,∠EBG=∠EBA,則射線AF與BG()(A)平行;(B)延長(zhǎng)后相交;(C)反向延長(zhǎng)后相交;(D)可能平行也可能相交6.Iftheradius(半徑)ofcircleⅢinthefigure3(圖3)isoftheradiusofcircleⅡ,andtheradiusofcircleⅡisoftheradiusofcircleⅠ,thentheareaoftheshadedregioniswhatpartoftheareaofcircleⅠ?()(A);(B);(C);(D)7.凸n邊形(n≥4)中,不算兩個(gè)最大的內(nèi)角,其余內(nèi)角的和為1100,則n等于()(A)12;(B)11;(C)10或9;(D)108.將長(zhǎng)為12的線段截成長(zhǎng)為整數(shù)的三段,使它們成為一個(gè)三角形的三邊,則構(gòu)成的三角形()（A）不可能是等腰三角形;(B)不可能是等腰三角形;(C)不可能是等邊三角形;(D)不可能是鈍角三角形;9.數(shù)軸上的點(diǎn)A、B、P分別對(duì)應(yīng)數(shù):-1、-4、x,并且P與A的距離大于P與B的距離,則()(A)x>-3;(B)x>-2;(C)x<-2;(D)x<-10.如圖4,啤酒瓶高為h瓶?jī)?nèi)酒面高為a,若將瓶蓋蓋好后倒置,酒面高為a,(a,+b=h),則酒瓶的容積與瓶?jī)?nèi)酒的體積的比為()1+;(B)1+;(C)1+;(D)1+二、填空題:(50分)11.方程丨x+3丨+丨3-x丨=丨x丨+5的解是___________.12.有人問(wèn)畢達(dá)哥拉斯,他的學(xué)校中有多少學(xué)生,他回答說(shuō):“現(xiàn)在,有一半學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué),四分之一的學(xué)生學(xué)音樂(lè),七分之一的學(xué)生在休息,還剩三個(gè)女同學(xué)┉┉.”那么畢達(dá)哥拉斯的學(xué)校中有____________學(xué)生.13.方程x+=4的一個(gè)根是4,則另一個(gè)根是_____________.14.已知:對(duì)于正整數(shù)n,有，若某個(gè)正整數(shù)k滿足,則k=___________。15.已知,那么=________________.16.小明到商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)某個(gè)牌子的鉛筆x支,用了y元(y為整數(shù)).后來(lái)他又去商場(chǎng)時(shí),發(fā)現(xiàn)這種牌子的鉛筆降階20%,于是他比上一次多買(mǎi)了10支鉛筆,用了4元錢(qián),那么小明兩次共買(mǎi)了鉛筆_______支.17.Ifa,bandcaresieds(邊)oftheΔABC,anda2-bc=a(b-c),thenthefigure(形狀)ofthetriangle(三角形)is_________.(用漢語(yǔ)填寫(xiě))18.如圖5,是一個(gè)圓形花壇,中間的鮮花構(gòu)成一個(gè)菱形圖案(單位:米),若每平方米種植鮮花20株,那么這個(gè)菱形圖案中共有鮮花______株.22.如圖7,在銳角ΔABC中,D、E、F分別是AB、BC、CA邊上的三等分點(diǎn),P、Q、R分別是ΔADF、ΔBDE、ΔCEF的三余中線的交點(diǎn).(1)求ΔDEF與ΔABC的面積比;(2)求ΔPDF與ΔADF的面積比;(3)求多邊形PDQERF與ΔABC的面積比.23.兩條直線上各有n個(gè)點(diǎn),用這n對(duì)點(diǎn)按如下規(guī)則連結(jié)線段:①同直線上的點(diǎn)不連結(jié);②連結(jié)的任意兩條線段可以有共同的端點(diǎn),但不得有其它的端點(diǎn);(1)畫(huà)圖說(shuō)明當(dāng)n=1、2、3時(shí),連結(jié)的線段最多各有多少條?(2)由(1)猜想n(n為正整數(shù))對(duì)點(diǎn)之間連結(jié)的線段最多有多少條,證明你的結(jié)論.(3)當(dāng)n=2003時(shí),所連結(jié)的線段最多有多少條?參考答案:一.BCCCA,ADDDC.二.11.;12.28;13.;14.8;15.;16.40或90;17.等腰三角形;18.480;19.5;20.0.三.21.(1)乙商場(chǎng)的促銷(xiāo)辦法列表如下:購(gòu)買(mǎi)臺(tái)數(shù)1~8臺(tái)9~16臺(tái)17~24臺(tái)24臺(tái)以上每臺(tái)價(jià)格720元680元640元600元(2)比較兩商場(chǎng)的促銷(xiāo)辦法可知:購(gòu)買(mǎi)臺(tái)數(shù)1~5臺(tái)6~8臺(tái)9~10臺(tái)11~15臺(tái)16臺(tái)17~19臺(tái)20~24臺(tái)24臺(tái)以上選擇商場(chǎng)乙甲,乙乙甲,乙甲甲,乙甲甲,乙因?yàn)榈郊咨虉?chǎng)買(mǎi)21臺(tái)VCD時(shí)共需600×21=12600元,而到乙商場(chǎng)買(mǎi)20臺(tái)VCD時(shí)共需640×20=12800元,12800>12600,所以購(gòu)買(mǎi)20臺(tái)VCD時(shí)應(yīng)去甲商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi).所以甲單位應(yīng)到乙商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi),B單位應(yīng)到甲商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi),C單位應(yīng)到甲商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi).22.(1)如圖1,過(guò)點(diǎn)D作DG⊥BC于G,過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于H,則DG∥AH,所以ΔBDG∽ΔBAH,又,BE=BC,所以DG=AH,SΔBDE=SΔABC,同理SΔADF=SΔCEF=SΔABC所以SΔDEF=SΔABC-SΔADF-SΔCEF=SΔABC.(2)分別延長(zhǎng)DP,FP交AF,AD于M,N,因?yàn)辄c(diǎn)P是ΔADF的三條中線的交點(diǎn),所以M,N分別是AF,AD的中點(diǎn),且DP=DM,過(guò)點(diǎn)P,M分別作DF的垂線,垂足分別為K,S,則ΔDKP∽ΔDSM,相似比為2∶3,所以KP=SM,SΔPDF=SΔMDF,又SΔMDF=SΔADF,得SΔPDF=SΔADF.(3)由(2)知,SΔQDE=SΔBDE,SΔREF=SΔCEF,所以SΔPDF=SΔQDE=SΔREF=SΔABC.所以SPDQERF=SΔDEF+SΔPDF+SΔQDE+SΔREF=SΔABC.23.(1)由圖2可以看出,n=1時(shí),最多可以連結(jié)1條線段,n=2時(shí),最多可以連結(jié)3條線段,n=3時(shí),最多可以連結(jié)5條線段.(2)猜想:對(duì)于正整數(shù)n,這n對(duì)點(diǎn)之間連結(jié)的直線段最多有2n-1條.證明:將直線標(biāo)記為l1,l2,它們上面的點(diǎn)從左到右排列為A1,A2A3,┉,An和B1,B2,B3,┉,Bn,設(shè)這n對(duì)點(diǎn)之間連結(jié)的直線段最多有Pn條,顯然,其中必有AnBn這一條,否則,Pn就不是最多的數(shù)當(dāng)在l1,l2分別加上笫n+1個(gè)點(diǎn)時(shí),不妨設(shè)這兩個(gè)點(diǎn)在An與Bn的右側(cè),那么除了原來(lái)已經(jīng)有的Pn條直線段外,還可以連結(jié)An+1Bn,An+1Bn+1這兩條線段,或連結(jié)AnBn+1,An+1Bn+1,這兩條線段.所以Pn+1≥Pn+2.另一方面,設(shè)對(duì)于n+1對(duì)點(diǎn)有另一種連法:考慮圖3中以An+1為端點(diǎn)的線段,若以An+1為端點(diǎn)的線段的條數(shù)大于1,則一定可以找到一個(gè)i≤n,使得對(duì)于任意的j<i,An+1Bj都不在所畫(huà)的線段中,這時(shí),Bi+1,Bi+2,┉,Bn+1只能與An+1連結(jié),不妨設(shè)An+1Bi+1,An+1Bi+2,┉,An+1Bn+1都已連結(jié),此時(shí)圖中的線段數(shù)為Pn+1,我們做如下操作:去掉An+1Bi,連結(jié)AnBi+1,得到新的連結(jié)圖,而新的連結(jié)圖滿足要求且線段總數(shù)不變,將此操作一直續(xù)斷下去,直到與An+1連結(jié)的線段只有一條An+1B