中國振動工程學(xué)會模態(tài)分析高級研修班講課資料(第六章)

三、構(gòu)造〔物理〕參數(shù)識別和有限元模型修正回答什么問題：以為有限元建模不準(zhǔn)，如何用實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)結(jié)果來識別和修正構(gòu)造參數(shù)？使修正后的有限元模型可更好地用于呼應(yīng)等估計(jì)！1.有限元建模模型存在哪些誤差：各種實(shí)際假設(shè)、邊境條件的近似性，資料參數(shù)的不確定性，支撐剛度和銜接剛度的不恰當(dāng)模擬，阻尼特性或者是被忽略或者遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠準(zhǔn)確等2.實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)結(jié)果雖然存在測試噪聲，實(shí)踐系統(tǒng)不完全是線性的，但依然以為實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)模型和有限元模型相比要可靠得多。3.實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)模型可用于驗(yàn)證有限元模型的可靠性。因此提出模型修正的概念。4.所謂模型修正是：獲得一個新的有限元模型可以重現(xiàn)一切模態(tài)參數(shù)的模型〔N個固有頻率，N個模態(tài)振型的幅值及相位〕，或者是獲得一個可以重現(xiàn)一切測得的頻率呼應(yīng)函數(shù)的有限元模型，或者是一個具有正確的質(zhì)量，剛度，阻尼矩陣的有限元模型——前二者與第三者意義是不同的。這一節(jié)要講三個問題計(jì)算模型和實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ烷g的相關(guān)準(zhǔn)那么模態(tài)縮減和擴(kuò)展從模態(tài)實(shí)驗(yàn)獲取和修正構(gòu)造參數(shù)30.12.2023

概述：模型參數(shù)修正的主要方法從被修正的參數(shù)來分大致有兩類：1.直接修正矩陣法2.基于靈敏度分析的參數(shù)修正法。

從有限元模型和實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)模型之間的相關(guān)要求來分有三類：1.要求計(jì)算得到的模態(tài)頻率和實(shí)驗(yàn)得到的模態(tài)頻率相一致；2.要求計(jì)算模態(tài)頻率、模態(tài)振型和實(shí)驗(yàn)得到的模態(tài)頻率、模態(tài)振型相一致；3.要求計(jì)算得到的頻率呼應(yīng)和實(shí)驗(yàn)得到的頻率呼應(yīng)相一致。在基于靈敏度分析的參數(shù)修正法中的誤差函數(shù)構(gòu)造中，三者可以適當(dāng)加權(quán)表達(dá)在同一個誤差函數(shù)中，而且估計(jì)迭代方法同屬于貝葉斯法。

數(shù)值模型和實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)模型的相容性問題

討論模型修正之前，應(yīng)該指出，數(shù)值模型和實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)模型之間存在不相容性〔不相容就是沒法比較的意思〕。這種不相容性主要由實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)模型的不完好性產(chǎn)生。實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)模型的不完好性，1.是數(shù)值模型的自在度數(shù)遠(yuǎn)大于實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)模型的自在度數(shù)，和數(shù)值模型相比，實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)模型的自在度數(shù)不完好〔也就沒法相容〕；2.是指實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)數(shù)不完好，由于實(shí)驗(yàn)頻率寬度有限，而且在高頻段模態(tài)密度高，難以從中提出模態(tài)，因此實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)數(shù)m更小于計(jì)算模態(tài)數(shù)。第二種不完好性并不很重要，由于人們主要關(guān)懷的是低階模態(tài)。第一種不完好性對有限元模型和實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)模型之間的相關(guān)分析，對模型修正呵斥了相當(dāng)困難。因此，有限元模型的縮減，或?qū)嶒?yàn)?zāi)B(tài)模型的擴(kuò)展也是本節(jié)討論的間題之一。

30.12.2023計(jì)算模型和實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ烷g的相關(guān)準(zhǔn)那么有限元模型修正普統(tǒng)統(tǒng)過三種模型進(jìn)展。1.是由質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣構(gòu)成的空間形狀模型〔spacialmodel),利用攝動法或優(yōu)化方法直接對質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣進(jìn)展修正。2.是模態(tài)模型〔Modalmodel)，由模態(tài)頻率、模態(tài)向量等構(gòu)成。3.模型是頻率呼應(yīng)函數(shù)模型，由足夠多的頻率呼應(yīng)函數(shù)構(gòu)成。在下面的公式中，下標(biāo)e表示實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ?，下?biāo)a表示計(jì)算模型。@空間模型或時域模型由以下微分方程給出：

如求得質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣，那么空間模型可以確定。@模態(tài)模型由模態(tài)頻率，模態(tài)振型，模態(tài)阻尼，模態(tài)質(zhì)量矩陣和模態(tài)剛度矩陣給出。普通而言，模態(tài)模型由實(shí)驗(yàn)確定，由于模態(tài)阻尼無法由計(jì)算得到。但是模態(tài)頻率、模態(tài)振型可以由空間模型的特征方程解得。

@頻率呼應(yīng)模型由頻率呼應(yīng)函數(shù)矩陣給出。頻率呼應(yīng)函數(shù)矩陣由下式給出：

或其中Z(ω)是阻抗矩陣。為頻率呼應(yīng)矩陣的逆矩陣。對無阻尼系統(tǒng)，三者關(guān)系為1〕空間模型的相關(guān)準(zhǔn)那么由于阻尼難以確定，因此僅對質(zhì)量矩陣和剛度矩陣討論相關(guān)準(zhǔn)那么：質(zhì)量矩陣正交性，剛度矩陣正交性，30.12.2023當(dāng)振型為剛體模態(tài)時，質(zhì)量矩陣正交性檢驗(yàn)退化為總質(zhì)量檢驗(yàn)，剛度矩陣正交性所對應(yīng)的頻率為零，質(zhì)量矩陣和我剛度矩陣的對稱性。

2)模態(tài)振型的相關(guān)準(zhǔn)那么假定計(jì)算模型和實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷恼裥瓦\(yùn)用同一種正那么化方法，那么兩者在一定頻率范圍內(nèi)等價的條件是：兩者的〔有阻尼〕固有頻率相等。兩者的〔復(fù)〕振型一致；兩者的模態(tài)質(zhì)量矩陣或模態(tài)剛度矩陣一致.檢驗(yàn)有限元模型和模態(tài)模型兩者之間的固有頻率能否相等是容易的。而檢驗(yàn)兩者之間的振型能否一致并不是那么直觀。主要有下面幾種方法：模態(tài)標(biāo)定因子MSF〔Modalscalfactor〕，模態(tài)置信準(zhǔn)那么MAC〔ModalAssuranceCriterion〕，坐標(biāo)模態(tài)置信準(zhǔn)那么Comac〔CoordinateModalAssurancecriterion〕，以及動態(tài)力平衡方法DFBM〔DynamicForceBalanceMethod〕。動態(tài)標(biāo)定因子MSF定義為MSF表示兩個振型間的比例因子。假設(shè)兩個振型正交，那么MSF為零。假設(shè)完全線性相關(guān)，那么兩個振型的各個分量成比例。假設(shè)介于兩者之間，那么誤差可以用正那么模態(tài)差NMD〔NormalizedModalDifference〕表示：最常用的模態(tài)置信準(zhǔn)那么是MACMAC大于等于零小于等于l。MAC等于1表示兩者線性相關(guān)，等于零表示兩者線性無關(guān)。NMD和MAC之間的關(guān)系為3〕頻率呼應(yīng)模型的相關(guān)準(zhǔn)那么

這里主要引見頻率呼應(yīng)模型的正交性和頻率呼應(yīng)函數(shù)方式置信準(zhǔn)那么SAC。頻率呼應(yīng)模型的正交性由下式給出：

上式表示計(jì)算模型的動剛度矩陣和測得到的頻率呼應(yīng)函數(shù)矩陣的乘積應(yīng)該為單位矩陣。而頻率呼應(yīng)函數(shù)方式置信準(zhǔn)那么SAC是對計(jì)算得到頻率呼應(yīng)和測試得到頻率呼應(yīng)進(jìn)展相關(guān)分析。SAC可以表示為

式中：其中Hcij〔ωk〕是j點(diǎn)鼓勵，i點(diǎn)呼應(yīng)的頻率呼應(yīng)函數(shù)在〔ωk〕處的值。顯然，SAC等于1表示表示兩者線性相關(guān)，等于零表示兩者線性無關(guān)。模態(tài)縮減和擴(kuò)展在有限元模型修正中，我們引見了MAC、COMAC、MSF等方法用于判別計(jì)算模型的振型和實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷恼裥拖嚓P(guān)的程度。實(shí)踐上，計(jì)算模型的自在度總數(shù)，普通而言，遠(yuǎn)大于實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷淖栽诙瓤倲?shù)。這就是在本節(jié)一開場所講到的第一種實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)模型的不完好性。要處理這個問題，或者是將有限元模型縮聚到實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷淖栽诙壬?，或者是將?shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷恼裥蛿U(kuò)展到有限元模型的自在度上。模型的縮聚和擴(kuò)展看似問題的兩個方面，但在求解過程中是一致的〔雙向轉(zhuǎn)換〕。1〕GUYAN縮減法2〕KIDD擴(kuò)展法3〕SEREP法4〕IRS有限元計(jì)算模型自在度數(shù)：m+s實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ妥栽诙葦?shù)：m30.12.2023Guyan縮聚，主輔自在度轉(zhuǎn)化方法Guyan提出：將全部構(gòu)造自在度，根據(jù)它們對動態(tài)性能影響的大小，區(qū)分為主自在度(masters)與輔自在度(slavers)。經(jīng)過矩陣分塊技術(shù)，并假定輔自在度對構(gòu)造沒有“動〞特性的影響〔如忽略梁位移中轉(zhuǎn)動自在度)。式中和分別為有限元模型和模態(tài)實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ蛯?yīng)的模態(tài)，m+s為有限元模型的自在度數(shù)，s那么是模態(tài)實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷淖栽诙葦?shù)。上式實(shí)現(xiàn)了計(jì)算模型與實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ烷g的模態(tài)的轉(zhuǎn)換。假定(等價于的第二式)，令I(lǐng)II構(gòu)造參數(shù)的識別與修正回答什么問題？如何從模態(tài)實(shí)驗(yàn)中獲得正確的構(gòu)造〔物理〕參數(shù)—質(zhì)量陣、剛度陣？目前可供應(yīng)用的構(gòu)造參數(shù)識別與修正的方法有多種。陳介中攝動法該方法采用完好的模態(tài)集識別構(gòu)造參數(shù)。Berman攝動法Berman提出的方法對質(zhì)量矩陣與剛度矩陣進(jìn)展修正后，得到的是滿陣，這就失去了原來矩陣的帶狀稀疏性特點(diǎn)我國學(xué)者彭曉洪等于1984年提出了一種改良的模型修正方法，使修正后的計(jì)算模型能堅(jiān)持初始計(jì)算模型的帶狀性質(zhì)。周欣等于1985年提出一種基于模態(tài)正交性原理的修正方法，使修正后的物理參數(shù)滿足特征方程。該方法可利用不完備的模態(tài)集。1.J.C.Chen矩陣攝動法

該方法由陳介中〔J.C.Chen〕于1983年提出，它直接利用實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析所得獲得的模態(tài)矩陣φ和特征值矩陣Λ＝[λr2]修正構(gòu)造的物理參數(shù)。

設(shè)某構(gòu)造的自在度為N。用有限元法計(jì)算所得質(zhì)量矩陣、剛度矩陣、特征值矩陣和模態(tài)矩陣分別為Mo、Ko、Λo、φo，它們均為NxN階矩陣。由于用有限元計(jì)算時必需對實(shí)踐構(gòu)造進(jìn)展離散化處置，并引進(jìn)一系列人為的假設(shè)，因此，計(jì)算時所運(yùn)用的物理模型往往與實(shí)踐構(gòu)造不同。更加上計(jì)算中不可防止的誤差，使計(jì)算所得構(gòu)造振動特性與實(shí)驗(yàn)所得結(jié)果不相符合。這就有必要對原構(gòu)造系統(tǒng)的物理模型進(jìn)展修正。

設(shè)實(shí)踐的，或由實(shí)驗(yàn)所得的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣、特征值矩陣及模態(tài)矩陣分別為M、K、A、φo。計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值之間的差別可以為是對原構(gòu)造的一種攝動，那么有以下關(guān)系：

Chen假設(shè)式中A是系數(shù)矩陣。于是式可以寫成由模態(tài)正交性條件可得將代入上兩式并思索ΔM﹑ΔK﹑ΔΦ﹑ΔΛ及A均為微小量，將二次微小量略去后可得對上兩式前乘Φ0-T，后乘以Φ0-1，并思索到可得--1由式可得將上兩式代入1，并插入單位矩陣，經(jīng)過推導(dǎo)可得到構(gòu)造參數(shù)修正的計(jì)算公式在上面兩式中Mo、Ko、Λo、Φo均為計(jì)算值〔知〕，Φ及Λ為實(shí)驗(yàn)所得，亦為知，因此就可由上兩式計(jì)一算出構(gòu)造參數(shù)的修正值。在上述方法中Φ及Λ必需是完好的模態(tài)集即為NXN階矩陣。但在實(shí)踐測試時，對復(fù)雜構(gòu)造，往往很難得到完好的模態(tài)集。這是此方法的一個嚴(yán)重缺乏之處。抑制的方法就是就是前面所講的自在度縮減與擴(kuò)展〔先將有限元自在度縮減為實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷淖栽诙萴，進(jìn)展上述各步修正，然后用Guyan方法經(jīng)過坐標(biāo)變換矩陣T將m擴(kuò)展為m+s,回到有限元模型自在度〕。2Berman法該法的優(yōu)點(diǎn)是不需求有計(jì)算的特征值和特征向量，它只用實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)矩陣Φ及特征值Λ來修正M0和K0，從而求得修正后的構(gòu)造參數(shù)M和K。此方法的實(shí)際根底亦是模態(tài)正交性條件，即思索到那么有式中E0稱為正交檢驗(yàn)性矩陣，它不一定是對角陣。由于是以非完備的模態(tài)集作為修正基準(zhǔn)，滿足式的解不是獨(dú)一的，故以此式作為約束條件，尋覓使以下范數(shù)極小化的解：

Berman又定義了一個拉格朗日函數(shù)

式中：矩陣E0為非對角陣，Lij為拉式乘子。將上式對ΔM的每個元素及Lij求導(dǎo)，并令其為零，便可得到滿足正交性條件，又能使的ε最小解：將上式代入到得到再將上式代入到，便得：

在求得ΔM后即可得修正后的質(zhì)量矩陣。Wei用類似的方法〔將以上過程的M改為K〕找到了剛度矩陣的修正公式：式中BERMAN方法的缺乏之處

這種直接修正矩陣的拉格朗日乘子法的缺乏之處主要有以下幾點(diǎn)：①采用實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)向量修正質(zhì)量矩陣和剛度矩陣。由于實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)向量是不完好的，僅僅是測試頻率范圍內(nèi)的假設(shè)干階模態(tài)，而且實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)的自在度數(shù)遠(yuǎn)小于計(jì)算模型的自在度數(shù)，因此必需進(jìn)展振型擴(kuò)展〔在本章前面討沱過〕；②實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)的誤差普通較大，在15％左右；③原來質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的稀疏性能夠不再存在；④原來質(zhì)量矩陣和剛度矩陣中為零的元素，譬如第ij個元素，能夠不再為零，表示在第i個節(jié)點(diǎn)和第j個節(jié)點(diǎn)之間添加了新的單元，這能夠不符合實(shí)踐情況；⑤能夠出現(xiàn)虛偽模態(tài)〔SpuriousModes〕。

因此，工程上適用的方法是基于靈敏度分析的物理參數(shù)修正法。特征方程擬合法這里再引見一種利用非完備的實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)集〔部分丈量模態(tài)〕進(jìn)展物理模型修正的方法。

對于一線性小阻尼N自在度的構(gòu)造系統(tǒng)，假設(shè)初始實(shí)際模型〔有限元計(jì)一算模型，或構(gòu)造作某種修正前的原始模型〕以M0、K0，描畫，那么由特征方程

留意幾點(diǎn)：

1.有限元模型的M0及K0是近似的2.因此由M0及K0根據(jù)特征方程式計(jì)算所得的特征值矩陣Λ0及模態(tài)矩陣Φ0也是不能夠與真實(shí)構(gòu)造的特征值矩陣Λ及模態(tài)矩陣Φ相一致。3.設(shè)實(shí)踐構(gòu)造的質(zhì)量矩陣及剛度矩陣分別M,K。它們均為NXN矩陣。實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析給出了該構(gòu)造系統(tǒng)的前s個特征值以及相應(yīng)的特征向量λr，Φr〔r=1,2,…,s),并構(gòu)成特征值矩陣及模態(tài)矩陣Λ和Φ。

很顯然M、K、A、Φ應(yīng)使特征方程得到滿足，即

式中M、K就是我們所求的未知矩陣或經(jīng)過修正后的質(zhì)量矩陣與剛度矩陣。再次提示：A(sxs〕、Φ〔Nxs〕是非完備的。以此為根底修正M0和K0得到修止后的M、K與實(shí)踐構(gòu)造的質(zhì)量矩陣．與剛度矩陣的吻合程度如何呢？檢驗(yàn)規(guī)范：對于非完備模態(tài)，用少于構(gòu)造自在度數(shù)的特征對修正構(gòu)造的物理參數(shù)，最終得到的數(shù)學(xué)模型應(yīng)具有這樣的動力特性，即在實(shí)驗(yàn)頻段范圍與實(shí)踐構(gòu)造系統(tǒng)等價，而不一定滿足高階時的等價關(guān)系。矩陣攝動法和誤差矩陣范數(shù)極小化方法均是基于以上規(guī)范開展起來的。1〕矩陣攝動法從模態(tài)正交性條件出發(fā)，利用初始模型特征對與相應(yīng)的實(shí)測特征對之差進(jìn)展攝動，從而獲得修正結(jié)果M、K。該方法的缺陷是在非完備模態(tài)情況下，不能滿足特征方程，需求再做修正處置2〕誤差矩陣范數(shù)極小化方法那么經(jīng)過構(gòu)造誤差矩陣〔M一M0〕、〔K一K0〕，并以不同方式加權(quán)誤差矩陣構(gòu)成范數(shù)，在滿足正交條件及特征方程前提下，極小化該范數(shù)，從而獲得相應(yīng)于不同加權(quán)方式的修正結(jié)果。這種方法的缺陷在于破壞了矩陣M、K的帶狀稀疏性。

本方法先從正交性條件出發(fā)，經(jīng)過待定矩陣M(sxs)，K(sxs)確實(shí)定，導(dǎo)出滿足正交性條件的M與K，然后調(diào)整矩陣M及K，進(jìn)而使特征方程得到滿足。1〕矩陣攝動法先從正交性條件出發(fā)，經(jīng)過待定矩陣M(sxs)，K(sxs)確實(shí)定，導(dǎo)出滿足正交性條件的M與K，然后調(diào)整矩陣M及K，進(jìn)而使特征方程得到滿足。對于待求的矩陣M和K應(yīng)與特征對Λ及Φ一同滿足正交性條件，即

假設(shè)M,K與M0與K0滿足如下關(guān)系式中分別為sxs階的待定矩陣。上式表示假定修正模型的M和K可分別表示為初始模型M0、K0與各自的修正量之和。待定矩陣確實(shí)定應(yīng)使M、K分別滿足上面兩式。易得令顯然B矩陣是sxs階的對稱矩陣。由于振型的獨(dú)立性，故B又是滿秩矩陣因此B有逆陣，便可得進(jìn)一步求得滿足正交性條件的M與K

---(1)---(2)眾所周知，在非完備模態(tài)集情況下，僅僅滿足正交條件的M與K既不獨(dú)一，又不滿足特征方程。因此，假設(shè)將上兩式確定的M、K矩陣作為最終結(jié)果進(jìn)展特征值運(yùn)算時，將不能求得與實(shí)測值相吻合的特征頻率與振型。

將上兩式右邊分別乘以ΦΛ和Φ，思索到可得

(a)

(b)

由上兩式可見，顯然(c)

即M、K不滿足特征方程。由于推導(dǎo)只利用了正交性條件，故式〔c〕的存在是預(yù)料之中的。但完備模態(tài)集的情況就不同了。此時B之逆陣可寫成(d)

〔當(dāng)非完備情況時，Φ-1不存在，故上式不成立〕將式〔d〕代入〔a〕〔b〕得(e)(f)得(g)或(h)上式即特征方程式。由此可見，對完備模態(tài)集而言，由正交性條件解出的M、K，亦滿足特征方程。而式〔c〕那么闡明，在非完備模態(tài)集情況下，滿足正交性條件并不一定滿足特征方程。利用部分實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)來修正構(gòu)造的物理參數(shù)時，如何滿足特征方程〔或擬合特征方程〕？

如今的間題是能否充分利用僅僅滿足正交性一結(jié)果，然后進(jìn)一步修正其中的K或M，使它們滿足特征方程?；卮鹗且欢ǖ摹７謩e調(diào)整K和M的兩種方案，現(xiàn)引見如下：2〕誤差矩陣范數(shù)極小化方法方案一保管式〔1〕，調(diào)整式〔2〕，即以為剛度修正結(jié)果式〔2〕不準(zhǔn)確，導(dǎo)致式〔2〕左右兩邊不相等。以KA表示〔2〕式右端項(xiàng)KA與K之間的誤差矩陣用EK表示

式中EK是待求的未知矩陣，它對KA的修正應(yīng)使K滿足特征方程?，F(xiàn)構(gòu)造EK的歐氏范數(shù)如下：以Xk作為目的函數(shù)，使其極小并滿足約束條件--特征方程，其解即為我們所期望的K思索到特征方程式的非對稱性，必需添加對稱約束這是一個約束優(yōu)化問題，即須使Xk極小，又須滿足式上式和利用拉格朗日乘子矩陣α(NxS)，β〔NxN〕可將上述約束優(yōu)化問題演化為無約束優(yōu)化問題。這時構(gòu)造的Xk可寫為如下的增廣目的函數(shù)〔或稱為拉格朗日函數(shù)〕

(1)令，并思索到K和KA的對稱矩陣，可得(2)

(3)上式與同式的轉(zhuǎn)置相加，消去β矩陣可得

(4)將上式代入特征方程，可解出α矩陣。(5)先將(5)式代入(4)，然后代以α的轉(zhuǎn)置即可從式〔4〕中消去α，即得(6)由于M及K由正交性條件推出，因此它們滿足正交性條件。式亦滿足正交性條件，于是有如下關(guān)系：故式中K最后一項(xiàng)便為零，所以(7)

對比上式與式，即可得誤差矩陣為(8)將式代入(7)，便可得K矩陣的最后修正公式(9)對上式進(jìn)展整理得(10)由上式計(jì)算的K既滿足正交性條件又滿足特征方程?，F(xiàn)將保管的M與再次修正的K一并寫下，就得到第一方案的物理參數(shù)修正公式：(11)方案二保管式中K，調(diào)整式中M，即假設(shè)初始識別結(jié)果式M的右邊項(xiàng)不是構(gòu)造的質(zhì)量矩陣的真實(shí)表示，于是式Ⅰ左右兩邊不能相等。設(shè)兩邊之差矩陣為EM。以MA表示式M的右邊項(xiàng)，

那么式中EM是待求的未知矩陣，該矩陣確實(shí)定應(yīng)使M矩陣與K一道滿足特征方程

構(gòu)造EM的歐氏范數(shù)如下：XM的極小化應(yīng)滿足約束條件式及以下的對稱條件上述為約束優(yōu)化問題，可經(jīng)過拉格朗日乘子矩陣將其轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題。仿照方案一的推導(dǎo)過程可得

上式右邊后兩項(xiàng)為MA的修正量。將式代入上式，并消去中間量MA，便可得M的修正公式。連同保管的K，可得第二方案的物理參數(shù)修正公式：

至此，我們已導(dǎo)出了兩個方案的物理參數(shù)修正公式。由于該兩組公式均與實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)一同滿足特征方程。所以，可以預(yù)料：修正后的M與K矩陣將重現(xiàn)實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)。應(yīng)該說第二組修正公式與第一組修正公式等價，在實(shí)踐運(yùn)用時只需選擇其中之一。此方法所得修正結(jié)果能使M及K既滿足正交性條件，又滿足特征方程。此方法的精度良好，缺乏之處在于修正后的矩陣M及K的帶狀稀疏性已被破壞。4Ibrahim由復(fù)模態(tài)參數(shù)辨識物理參數(shù)1982年IbrahimSR.提出了一個從復(fù)模態(tài)中辨識主模態(tài)，進(jìn)而辨識物理參數(shù)的方法。對于一個N自在度的線性阻尼系統(tǒng)，被測得的模態(tài)參數(shù)需滿足如下方程式：

式中：M、K、C分別為系統(tǒng)的質(zhì)量、剛度、阻尼矩陣，它們的階次為(NxN〕；S為截取的模態(tài)數(shù)，普通S<N，即實(shí)踐得到的經(jīng)常是非完好的模態(tài)集；為第r階模態(tài)向量；為第r模態(tài)的特征值，它們都是實(shí)測得到的復(fù)向量。

很顯然，上式是N×S個復(fù)方程組。由于S<N，因此不能夠由此解出[M-1KM-1C]，還需補(bǔ)充〔N一S〕個方程。Ibrahim提出采用分析計(jì)算所得的復(fù)模態(tài)向量加以補(bǔ)充，即式中：ωr第r階模態(tài)的計(jì)算圓頻率；ζ是分析計(jì)算的阻尼比，它可用前S個實(shí)測的阻尼比的平均值來近似，即前兩式組合起來就可得到NXN個復(fù)方程組，及2NX2N，可寫為式中：

有式可解出M-1K和M-1C然后根據(jù)M-1K構(gòu)造特征方程，即

式中：Φ為修正后的主模態(tài)矩陣；Λ為修正后的特征值矩陣。由上式即可求得N個特征值與N個特征向量。前S個特征向量即為相應(yīng)于實(shí)測復(fù)模態(tài)的S個主模態(tài)。

有了前S個主模態(tài)Φ和分析得到的質(zhì)量矩陣M。就可利用Berman法中式得到修正的質(zhì)量矩陣，即

求得M矩陣和[M-1K]、[M-1C]矩陣后，就可得到剛度矩陣及阻尼矩陣，

四、構(gòu)造動力的修正(重分析與優(yōu)化〕構(gòu)造動力修正技術(shù)所研討的問題有兩大類。正問題---研討的是當(dāng)系統(tǒng)的構(gòu)造參數(shù)，由于設(shè)計(jì)和制造上的緣由需求做某些改動時，根據(jù)其改動量求構(gòu)造的動力特性〔例如特征值及特征向量〕的改動Δλ﹑ΔΨ。這一類問題在構(gòu)造改型設(shè)計(jì)中，或在構(gòu)造上添加〔或撤除〕某些附件〔如減振器，或某些懸掛物等〕時常遇到。(又稱：重分析)反問題---構(gòu)造動力的所研討的是希望經(jīng)過某些構(gòu)造參數(shù)的改動使系統(tǒng)的特性〔特征值和特征向量〕滿足預(yù)定的要求，或避開〔或落入〕某個范圍。即知Δλ﹑ΔΨ求ΔM﹑ΔC﹑ΔK。這類問題在構(gòu)造動力特性的優(yōu)化設(shè)計(jì)及防止共振時經(jīng)常遇到。構(gòu)造動力修正技術(shù)可以防止修正后構(gòu)造動力特性的重計(jì)算。采用構(gòu)造動力修正方法無需重新計(jì)算修正后構(gòu)造的特征值與特征向量，從而大大節(jié)約了設(shè)計(jì)時間和本錢。近年來構(gòu)造動力修正技術(shù)的迅速開展，并已開場與有限元分析和計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)〔CAD〕相結(jié)合，構(gòu)成一套完好的構(gòu)造動力特性分析與優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，作為計(jì)算機(jī)輔助工程〔CAE〕中的一個重要環(huán)節(jié)。構(gòu)造動力特性修正的方法有很多種，目前已開展起來的有矩陣攝動法，加權(quán)歐式范數(shù)法，傳送函數(shù)法，及靈敏度法等等。本節(jié)著重討論構(gòu)造動力修正反問題的靈敏度方法。靈敏度方法是建立在構(gòu)造特征靈敏度分析的根底上，運(yùn)用多元函數(shù)的泰勒展開式來確定結(jié)構(gòu)特性參數(shù)的改動量。設(shè)特征值λr與特征向量Ψr均為構(gòu)造參數(shù)mij，kij和cij的多元函數(shù)式中mij，kij和cij分別為質(zhì)量矩陣M，剛度矩陣K和阻尼矩陣C中第i行，第j列元素。將上式展開成泰勒級數(shù)。在實(shí)踐計(jì)算時，當(dāng)構(gòu)造參數(shù)的修正量較小時，常略去二階修正項(xiàng)。此時特征值向量為式中的導(dǎo)數(shù)均對原特征值。根據(jù)一階靈敏度公式，在構(gòu)造參數(shù)修正量Δmij、Δkij、Δcij確定后，即可由上式求出特征值的修正量，從而求得修正后構(gòu)造的特征值。同樣，對特征向量亦可得類似上式的公式，在略去修正量后，可得式中的導(dǎo)數(shù)均對取值。有了上面兩式，就可以在知靈敏度的前提下，根據(jù)構(gòu)造參數(shù)的改動量Δmij