2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)單元檢測(cè)01 等差數(shù)列（解析版）

01等差數(shù)列

一、必備知識(shí)：

1.等差數(shù)列的判定與證明：數(shù)列為等差數(shù)列。%—《1=_024=,(rt>2)

2.等差中項(xiàng)公式：a,b,c成等差o—

3.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an=______=_______<=>d=_______

4.等差數(shù)列性質(zhì)：m+n=p+q-2k-力a,?+an=---------=---------

5.等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式：

cd

sn=---------=-------------=~n

6.等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和性質(zhì)：

S3m-S2m成等差，其公差為------

(1)邑曾-1=-------(2)S〃jS2nt-

自查自糾：

a-ci

1.da_+a2.2/?=a+c3-6+(〃1)。?,?+(?m)dnm4.a+a2a

n]n+]n-mk

5.—na.+-----Ld6.(1)⑵nrd

212

二、題組：

題組一：等差數(shù)列的定義及判定

a?+5,則數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式a?=______(〃eN*)

例1.(1)數(shù)列｛%,卜滿足4=3,??+1=

【答案】5n—2

【詳解】依題意。，川=4+5,所以數(shù)列｛a,J是首項(xiàng)6=：3,公差d=5的等差數(shù)列，

所以a“=q+(〃-l)d=5〃-2.故答案為：5n-2

(2)已知數(shù)歹U｛a“｝中，q=l,2a“+i=2an+3,則afl

【答案】25

33

，二數(shù)列｛4｝是以1為首項(xiàng)，公差d=]的等差

【詳解】?/2a?+1=2a?+3,/.an+i=an+~,又4=1

3

數(shù)列，，《7=q+16d=l+16x,=25.故答案為：25.

(3)在數(shù)列｛4｝中，若4=1,智=?+1,貝ija“=_

【答案】3〃一2

【詳解】因?yàn)槿A=與+1，即4+|-?！?3,所以數(shù)列｛4｝是公差為3的等差數(shù)列，

又4=1,所以q=1+3(/?-1)=3〃-2.故答案為：3n-2.

(4)數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)都是正數(shù)，4=2,a向2=42+2,那么此數(shù)列的通項(xiàng)公式為a”=.

[答案]。2〃+2

【詳解】因?yàn)閍“+：=42+2,所以一?！?2,所以數(shù)列｛aj｝是一個(gè)以《2=4為首項(xiàng)，以2為公差的

等差數(shù)列，所以％2=4+(n-1)2=2〃+2,因?yàn)閿?shù)列｛%｝的各項(xiàng)都是正數(shù)，所以a,=3+2.

(5)已知數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)4=!，且滿足一L='+5(〃eN+),則4=.

3an+\an

【答案】士

28

11=f1

【詳解】由題行--------=5,所以數(shù)列《一》是?個(gè)首項(xiàng)為3,公差為5的等差數(shù)列，

a

a”+ln[an

J-=3+(〃-1)X5=5"-2,.?.'=5x6-2=28,a=j-.故答案為：—

an42828

,、11

(6)已知數(shù)列｛《,｝滿足％=1,———左丁=‘貝_

7

【答案】一§

11,f1]11

【詳解】因?yàn)椤觯?-----：——=1，-----＞是以:;一=彳為首項(xiàng)，1為公差的等基數(shù)列，

1+%+11+%[l+a,J1+42

11,,、，11u1977

---=-+(M-l)xl=n--,---=5--=-,解得a=一工，故答案為：一”

\+an221+%2299

(7)已知數(shù)列｛4,｝滿足％=1，。“+1=肅,bn,則b“=.

【答案】2〃一1

a12。+111,,八

【詳解】解：由。用=Ln7得—=-=2+—，又d=一，則d*「d=2,

2。“+1an+iananan

數(shù)列也｝是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，."Ll+zm-1)=2〃-1.故答案為：2/7-1

,、211

例2.(1)數(shù)列｛〃〃｝中，卬=2,%=1,一=---+---(n>2)9則其通項(xiàng)公式為%=.

anan+\an-\

【答案】-

n

211,c、1111[1'

【詳解】由一=——+——(〃22),得--------=---------,所以數(shù)列《一卜是等差數(shù)列，又因?yàn)?/p>

4an《I4，+ianJ

111,,11,11111,,、〃2

q=2,a,=l,所以一=7,—=1,得"=------=1--=-,所以一=-+-(?-l)=-,得a“=一.

q2a2a2a]22an222n

(2)已知數(shù)列｛4｝中，q=l,/=2,對(duì)V“eN*都有2dM=41+。；，則4o等于()

A.10B.V1OC.64D.4

【答案】D

【詳解】對(duì)V〃wN*都有2a3=a；+2+W，由等差中項(xiàng)法可知，數(shù)列｛C｝為等差數(shù)列，由于囚=1，/=2,

則數(shù)列何｝的公差為"=色一。：=7,所以，4=?i+^=1+9x7=64,因此，％。=4.故選：D.

例3.(1)下列數(shù)列中，不是等差數(shù)列的是()

A.1,4,7,10B.1g2,1g4,1g8,1g16C.25,24,23,22D.10,8,6,4,2

【答案】C

【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的定義，可得：A中，滿足可+I-?！?3(常數(shù))，所以是等差數(shù)列；

B中，lg4-lg2-Ig8-lg4=lgl6-Ig8=lg2(常數(shù))，所以是等差數(shù)列；

C中，因?yàn)?4—25/23—24/22—23,不滿足等差數(shù)列的定義，所以不是等差數(shù)列；

D中，滿足a“+1-。”=一2(常數(shù))，所以是等差數(shù)列.故選：C.

(2)數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式為m=5—3",則此數(shù)列()

A.是公差為一3的等差數(shù)列B.是公差為5的等差數(shù)列

C.是首項(xiàng)為5的等差數(shù)列D.是公差為〃的等差數(shù)列

【答案】A

【詳解】因?yàn)?+|-4=5-3(〃+1)-(5-3〃)=-3,所以數(shù)列｛〃“｝是以一3為公差的等差數(shù)列，故選A.

(3)已知數(shù)列｛a?｝是公差不為零的等差數(shù)列，則由下列關(guān)系確定的數(shù)列｛"｝也一定是等差數(shù)列的是()

A.B.勿=*|一eC.b“=1--；D.bn=anan+l

an+\an

【答案】A

【詳解】A.設(shè)數(shù)列｛《,｝的公差為d,由％=4；+i—a；=(a“+i+4)(a”+i—4,)=4(4,+1+?！?，又由

da

4+「包=(n+2+。用)-44+]+4)=4(4+2_%)=2/，故數(shù)列也,｝也一定是等差數(shù)列.

若4=〃，伍,｝是等差數(shù)列，B.2=*「蠕=(〃+1)3—〃3=3〃2+3〃+1,不是等差數(shù)列，

,111112

c.b“=--------=-------=-------,不是等差數(shù)列，D.a=4/+]=〃(〃+1)=〃-+〃，不是等差

n

?！?1an〃+1〃(〃+1)

數(shù)列，故選：A.

(4)設(shè)非零等差數(shù)列｛&｝的公差為。，則使得數(shù)列也為等差數(shù)列的。有()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.無數(shù)個(gè)

【答案】A

【詳解】因?yàn)榉橇愕炔顢?shù)列｛為｝的公差為d，則a“=4+(〃-l)d=〃d+q-d,設(shè)。=4一4,

,,11111

則an=dn+b,即一=----,----=―,------=-----;—~,

andn+ban+id[n+\)+bdn+b+d

1111-d

niij--------=-------------------=--------------------,

all+iandn+b+ddn+b("〃+/?+")("〃+")'

11

因?yàn)閿?shù)列〈一｝為等差數(shù)列，所以--------結(jié)果為常數(shù)，此時(shí)只能是"=0.故選:A.

l?J-4

練習(xí)：

1.下列數(shù)列不是等差數(shù)列的是()

12,45

A.1,1,1,1,1B.4,7,10,13,16C.一，一』，一,—D.-3,-2,-1,1,2

3333

【答案】D

【詳解】由等差數(shù)列的定義得?：A.d=O,故正確；B.d=3,故正確；C.d=-,故正確；

3

D.每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差不是同一個(gè)常數(shù)，故錯(cuò)誤；故選：D

2.下列各數(shù)列中首項(xiàng)為零的等差數(shù)列是()

1

A.an-2nB.an=2(?-1)C.an-2"D.an=T'

【答案】B

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,該數(shù)列首項(xiàng)為2,不符合題意；對(duì)于選項(xiàng)B,該數(shù)列首項(xiàng)為2(1-1)=0,是以2為公

差的等差數(shù)列，符合題意；對(duì)于選項(xiàng)C,該數(shù)列首項(xiàng)為2,不符合題意；對(duì)于選項(xiàng)D,該數(shù)列首項(xiàng)為1,不

符合題意.故選：B.

3.給出下列命題：

①數(shù)列6,4,2,0是公差為2的等差數(shù)列；

②數(shù)列。,。一1,。一2,。-3是公差為T的等差數(shù)列；

③等差數(shù)列的通項(xiàng)公式一定能寫成%8的形式(鼠6為常數(shù))；

④數(shù)列｛2〃+1｝eN*)是等差數(shù)列.

其中正確命題的序號(hào)是()

A.①②B.①③C.②③@D.③④

【答案】C

【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的定義可知，數(shù)列6,4,2,。的公差為-2,①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，由等差數(shù)列的定義可知，數(shù)列2,。-3是公差為T的等差數(shù)列，所以②正確；

對(duì)于③，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式=6+(〃-13，得="〃+(q-")，々k=d,b=a「d,則

an=kn+h,所以③正確；對(duì)于④，因?yàn)?。，?%=2("+1)+1-(2〃+1)=2,所以數(shù)列｛2〃+l｝(〃eN*)

是等差數(shù)列.，所以④，故選：C

4.數(shù)列｛4｝中，4=-2,%+1一怎=4則%=()

A.-14B.14C.-18D.18

【答案】B

【詳解】???4=-2,4,用一4=4(“€"*),，數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，公差d=4,

所以=4+4d=-2+4x4=14.故選:B.

5.在數(shù)歹ij｝中，4=1，%+1-=2,則。51=()

A.101B.100C.99D.98

【答案】A

【詳解】：q=1,a,l+i-an=2,數(shù)列｛%｝是首項(xiàng)為1,公差d=2的等差數(shù)列，

。51=4+（51—l）d=101.故選：A.

6.數(shù)列｛4｝中，4=5,an+l=an+3,那么這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是（）

A.3n-lB.3n+2C.3n-2D.3n+l

【答案】B

【詳解】因?yàn)?+|-%=3,所以數(shù)列｛q｝是以5為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，

則為=5+3（〃-1）=3〃+2,〃￡"*.故選：B

7.數(shù)列｛4｝中，若q=2,4+]=q+。“，則4+。4+4+4+弓0=（）

A.30B.40C.50D.60

【答案】D

【詳解】因?yàn)閝=2,q+[=q+凡，所以《用一4=2,所以數(shù)列｛%｝是公差與首項(xiàng)均為2的等差數(shù)列，

則a”=2+（"-l）x2=2〃，a2+%+4+%+4o=4+8+12+16+20=60,故選：D.

8.在數(shù)列｛《,｝中，q=2,2a+“|=2a“+l（〃eN*）,則即）1的值為（）

A.52B.50C.51D.49

【答案】A

【詳解】由已知得，。的一%=！，〃eN*，所以｛4｝是首項(xiàng)為2,公差為;的等差數(shù)列.所以由等差數(shù)

22

列的通項(xiàng)公式得4oi=2+100x（=52,故選：A.

9.數(shù)列｛。"｝中，q=2,2a+“|=2a“+l,則外⑼的值是（）

A.1007B.1008C.1011D.1012

【答案】D

【詳解】依題意，數(shù)列｛/｝中，4=2,2??+|=2an+1,所以用=%+（，所以數(shù)列｛%｝是以4=2為

首項(xiàng)，公差4=（的等差數(shù)列，所以&o2i=q+2020d=2+2020x；=1012.故選：D

111

10.已知數(shù)列｛《,｝中,4=1,---=一+二，則”10等于（)

《用43

11

A.-B.-C.-D.以上都不對(duì)

546

【答案】B

，、111,111［1'

【詳解】數(shù)列｛q｝中——=一+--則--------=~,即｛——,為等差數(shù)列，q=1，

。〃+1an3an+ian3［《J

11

所以《一卜是以1為首項(xiàng)，以上為公差的等差數(shù)列，所以一=1+（〃-1）X彳=）一,

凡3an33

33

則%所以4o一,故選：B.

n+210+24

z,112/neN?\

11.數(shù)列｛風(fēng)｝中，6=2,4=1，則一+——=——()，則qo等于()

anan+2an+l

11

A.—5B.—C.5D.-

55

【答案】D

112/,1,,I1III

【詳解】???一+——=——(〃eN),；.｛一｝是等差數(shù)列，又=2n,%=1,，一=彳,------=-,

a“a?+2an+lan%2a22

1,ii1n21

?.?｛f一｝是首項(xiàng)為:，公差為:的等差數(shù)列，，一=不，?！?一，，％o==.故選：D.

a?22an2n5

12.在數(shù)列｛6,｝中，4=3,a｝=5,且a“+2=2%+1一?！?，則4=（）

A.9B.IIC.13D.15

【答案】B

【詳解】因?yàn)椋?2=2〃〃+]—an,所以?！?2—4+1=4?+i1%，所以數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列.

a+J=3fa=1

因?yàn)榉?3,a=5,即4,解得〈，7所以％=4+5d=U,故選：B.

34+2d=5a=2

13.數(shù)列｛““｝中，%=1,4,=2："；［，則/=?

1

【答案】

2〃一1

a?,12a,+1c1111,

【詳解】因?yàn)?=〃"T?，所以一=1n—=2+—,即--------=2,又一=1,

2。,-+14%6Z|

所以數(shù)歹八」-｝是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以」-=l+(〃-l)x2=2〃-1,所以。=」_

a“a?2n-l

()3an

14.已知數(shù)列｛aj滿足％=1,??+i=五W，則％=-

【答案】|

3%112fl]

【詳解】由。用=『^，則2%。向+3《用=3%,得——所以《一｝是等差數(shù)列，

2%+3a“+ia“3

11/八22"+1311

—=-+(?-l)x-=——,所以叼=一.故答案為：A

a?q332n+\55

15.在數(shù)列｛"“｝中，%=1,%+|=一4々(〃eN*),則。“=.

【答案】-

n

a111[1

【詳解】因?yàn)椤?用=n所以勺+q"+《用=%，則--------=1，所以數(shù)列〈一卜是以1為公差的等差

Cl+1a

n4+1nan

數(shù)列，又q=l,所以一=1+(〃-1)=〃，解得％=’.故答案為：

4nn

16.設(shè)數(shù)列｛4｝滿足囚=1,(1+%)(1-%+)=1,則數(shù)列｛。“4向｝的前2020項(xiàng)和為

2020

【答案】

2021

1

【詳解】???。+4)(1-4+1)=1一%+1+aH-a?an^=1,an-an+l=anan+l

11,八，111,、

?----+(〃-l)xl=〃，,anan+i=----—=--------{????+1}的前2020項(xiàng)和為

q〃(幾+1)n〃+1

111120202020

]—-i-----+??????+----=1故答案為:

22320202021-----202120212021

17.已知單調(diào)遞增數(shù)列｛為｝滿足4=0,(。,川+?！耙籰)2=4a,,+「a”(〃eN"),則為=

【答案】(〃-1)?

【詳解】解：?:a｝=0,(a〃+[+an-Ip=4a〃+]-an,+4—1)~=4a2q,即(出一=。，所以%=1，

由于數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列，則。用+〃,；4+%=1,且4。向?為20,.??為+1+4-120,

由于(4向+4T)2=4a,用?%，則an+x+an-\=2M%，即用+an-2M%=1,

二一瘋=1，而數(shù)列｛a“｝是遞增數(shù)列,則:一瘋＞。,；?向:一日=1，

，數(shù)列｛瘋｝是首項(xiàng)為0,公差為1的等差數(shù)列，?.?禽=0+(〃-l)xl=〃—1,—l)2(〃eN)

18.已知數(shù)列｛a,J滿足4=5,(2〃+3)。向一(2〃+5)〃〃=4/+16〃+15,則。〃=.

【答案】2n2+3n

【詳解】依題意，(2〃+3)。向一(2〃+5)。“=(2〃+3)(2"+5),故-^-----%—=1,故數(shù)列,丁@二”

2〃+52〃+3[2〃+3,

是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，故一^=〃，則a“=2/?+3〃.故答案為：2/+3〃

2〃+3

19.我國(guó)古代數(shù)學(xué)家提出的“中國(guó)剩余定理''又稱"孫子定理”，它在世界數(shù)學(xué)史上具有光輝的一頁(yè)，堪稱數(shù)學(xué)

史上名垂百世的成就，而且一直啟發(fā)和指引著歷代數(shù)學(xué)家們.定理涉及的是數(shù)的整除問題，其數(shù)學(xué)思想在

近代數(shù)學(xué)、當(dāng)代密碼學(xué)研究及日常生活都有著廣泛應(yīng)用，為世界數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了巨大貢獻(xiàn)，現(xiàn)有這樣一

個(gè)整除問題：將1到2019這2019個(gè)整數(shù)中能被5除余2且被7除余2的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)

列｛aj,那么此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為()

A.58B.59C.60D.61

【答案】A

【詳解】由數(shù)能被5除余2且被7除余2的數(shù)就是能被35除余2的數(shù)，故即=2+(n-1)35-35n-33.由斯

=35幾-3332019得n358+矣，neN+,故此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為：58.故選：A.

題組二：基本量法

例1.⑴在等差數(shù)列｛%｝中，%=2,4=6,則《0=()

A.12B.14C.16D.18

【答案】D

【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，[a'+d=2,所以1"產(chǎn)°,所以4o=q+9d=18.

q+3d=6[d=2

(2)已知數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，若4=2,%=2%，則公差"=.

【答案】-2

【詳解】若%=2,4=2%，，2+3d=2(2+2d),解得d=-2.

(3)記S,為等差數(shù)列｛%｝的前八項(xiàng)和.已知$4=0,%=5,則?！?.

【答案】2〃一5

S.=4a.+4*3J=o[a,=—3

【詳解】由題知：\412,解得1°.所以勺=2〃-5.

%=q+4人d」=5uid=2

(4)已知等差數(shù)列｛a,,｝的前〃項(xiàng)和S“滿足S3=0,S5=-5.則an=.

【答案】2—〃

【詳解】設(shè)｛凡｝的公差為d，則S“=〃q+蹩也d.由已知可得＜3。1+3d=0

5q+10d-—5

解得：4=1,"=-1,則a”=q+(〃-1)"=1一(〃-1)=2—八；故答案為：2-〃.

(5)已知等差數(shù)列｛a,J的前”項(xiàng)和為S””|=9,*—.=-%則為=.

【答案】11-2n

【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：數(shù)列｛4｝成等差數(shù)列，設(shè)公差為d.由名.—邑=-4,可得：4d=-4,

n95

解得d=-l.

CS

又」=9,/.—=9-(n-1)=10-n..'.Sn=n(10-n),n=2時(shí)，9+a2=16,解得a2=7.

1n

???等差數(shù)列｛an｝的公差=7-9=-2.貝ijan=9-2(n-1)=11-2n.

(6)在等差數(shù)列(an)中，設(shè)公差為d,若SIO=4S5,則包等于()

d

A.—B.2C.—D.4

24

【答案】A

10x9(5x4、1

【詳解】由S|o=4S5得10q+—^d=45q+="整理化簡(jiǎn)得幺='.

212Jd2

(7)等差數(shù)列｛an｝中，已知％=；，4+。5=4,a〃=33,貝切為()

A.48B.49C.50D.51

【答案】C

【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)得，”2+%=/+%=:+%=4，則％=￡，所以公差d==由

等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得，《,=(+(〃—i)g=33,解得"=50.

例2.(1)已知等差數(shù)列｛與｝單調(diào)遞增且滿足q+4o=4,則％的取值范圍是()

A.(2,4)B.(2,+oo)C.(-oo,2)D.(4,-HX))

【答案】B

【詳解】?.?等差數(shù)列｛%｝單調(diào)遞增，...d〉0,:。]+[0=4,即4+4+9d=4,即a2—2d，

2

一95

(Q=ci,+7d=2d+7d=2d—d>2?

28322

(2)已知等差數(shù)列｛%｝的公差dHO,且成等比數(shù)列，若q=1，S”為數(shù)列｛%｝的前72項(xiàng)和，則

2s+16

11■■的最小值為()

4+3

0

A.4B.3C.273-2D.-

2

【答案】A

【詳解】Q?,=1,4，%，八成等比數(shù)列，，(l+2d)2=l+12d,得d=2或d=0(舍去)，

冊(cè)=2〃一1,，S,==/-2VH6=2^+16=/r+8

2an+32n+2n+l

2s“+169°“9

令/=〃+1,".=f+——226-2=4,當(dāng)且僅當(dāng)t=2,即r=3時(shí)等號(hào)成立。故選A。

an+3tt

例3.(1)《萊茵德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一.書中有一道這樣的題：把100個(gè)面包分給5

個(gè)人，使每個(gè)人的所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的，是較小的兩份之和，則最小一份的量為()

A.—B.-C.-D.一

2436

【答案】C

【詳解】4+。2+%+%+%=5%=100得中間的那份為20個(gè)面包，設(shè)最小的一份為q,公差為d,根據(jù)

題意，于是有[20+(1+3d)+(6+4d)]x；=%+(囚+4)解得％=|.故選C.

（2）據(jù)有關(guān)文獻(xiàn)記載：我國(guó)古代一座9層塔共掛了126盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)比上一層燈數(shù)都

多〃2（機(jī)為常數(shù)）盞，底層的燈數(shù)是頂層的13倍，則塔的底層共有燈（）

A.2盞B.3盞C.26盞D.27盞

【答案】C

【詳解】設(shè)最頂層有X盞燈，則最下面一層有（1+8"。盞，x+8，〃=13x,8〃/=13x-x,8，〃=12x,x=|，〃，

+m）+2m）+（x+3/n）+...+（%+8m）=126,9x+（l+2+3+.?.+8）〃=126,9x+36〃=126,

22

9x—"+36〃=126,6〃+36〃=126,42〃=126,〃=126+42=3,x=3x-=2（盞），所以最下面一

33

層有燈，13x2=26（盞），故選C.

練習(xí)：

1.在等差數(shù)列｛0｝中,。3=2,d=6.5,則07=（）

A.22B.24C.26D.28

【答案】D

【詳解】a7=〃3+4J=2+4x6.5=28,故選:D.

2.在等差數(shù)列｛?！ǎ?，若。2=4,%=2,則。6=.

【答案】0

a1=CL+d=4[d—―1

【詳解】由題知：1~o,「，解得〈廠.4=4+54=0.

%=q+3d=214=5

3.在等差數(shù)列｛〃〃｝中，已知%+4=10,則36+%=（）

A.10B.18C.20D.28

【答案】C

【詳解】因?yàn)閝+g=1°，?'?2%+5d=10，所以3a5+%=44+10d=2（4+5d）=20,故選c.

4.在等差數(shù)列｛%｝中，q=2,4+%=-8,則數(shù)列｛叫的公差為.

【答案】-3

【詳解】設(shè)數(shù)列｛4｝的公差為讓因?yàn)?+g=-8,所以4=-4,則二色=土2=一3.

5.設(shè)s“為等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，已知$2=2,Sq=16,則4=,

29

【答案】—

2

2。］+d=229

【詳解】，：S?=2,S=16,/.<—=3,??.4=4+54--+15

44“1+6d=162~2

6.已知等差數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)4=2,且4=6,則前10項(xiàng)的和Ro=；

【答案】11().

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,由。3=6得q+2d=6,代入q=2得4=2,

則S、o=10%+10（：T）以=iio.故答案為:no.

7.設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，且4=20,%=18,則$20=.

【答案】305

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,???q=20,%=18,.?.20+4J=18,

11x19

解得d=--.則工,=20x20-—x-----=305.故答案為：305.

222

8.已知數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為S“，若4=2,S5=15,則數(shù)列｛a,,｝的通項(xiàng)公式為。“=

【答案】n

【詳解】因?yàn)閿?shù)列｛4｝為等差數(shù)列，且g=2,S5=15,所以4+1=2,54+10"=15,

解得q=1,1=1,所以q,=q+(〃—l)d=".

9.己知等差數(shù)列｛4｝的前九項(xiàng)和為S“，$3=15,%=7,則它的通項(xiàng)公式a“=.

【答案】2〃+1

5=3q+3d=15I=3

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛a,,｝的公差為d,由已知得<3，解得〈C

%="+2d=7d=2

因此，a”=4+（〃-1）。=3+2（〃-1）=2"+1.

10.已知｛a,J是遞增的等差數(shù)列，4，4是方程V—5x+6=0的根.則%=.

【答案】-n+1

2

【詳解】方程f—5x+6=0的兩根為2,3,由題意得々=2,g=3.

13

設(shè)數(shù)列｛%｝的公差為d,則見一％=2d,解得d=e，從而

311*]

所以數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為%=1+5(/—l)=/〃+l,(〃eN).故答案為：-n+l

11.記S“為等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和.已知$4=0,%=10,則S.=

【答案】2〃2-8〃

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛q｝的公差為d,???S,=0,%=10，???44+64=0,q+4d=10,解得：4=-6,

d=4,S=-6〃+"，；"x4=2〃2-8”.故答案為：S=2/12—8〃.

nn

12.已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S,，若《0=32,§5=55,則S“=.

37

【答案】一優(yōu)H—n

22

a”、=4+9d=32ftz,=5

【詳解】依題意，§5=5/=55,解得。3=11，<…，，，解得《、，故。“=3〃+2,

4=4+21=11[4=3

（5+3〃+2）/?3n7,,327

S”=------------=_〃_+_”.故答案為：—n'+—n

22222

13.已知等差數(shù)列｛《,｝的公差不為零，%=25,且％,即,《3成等比數(shù)列.則/=.

【答案】一2〃+27

【詳解】設(shè)｛%｝的公差為d,由題意：必3,即(4+10d)2=4(4+12d),

整理得：d（2q+25d）=0,d=0（舍去）,4=一2,故：=4+（〃-1）4=-2〃+27.

14.在公差為d的等差數(shù)列｛a“｝(〃eN")中，4=10,%、2a2+2、54成等比數(shù)列，則為=.

【答案】t+11或4n+6

【詳解】因?yàn)閿?shù)列｛a.｝(〃GN*)是公差d為等差數(shù)列，4=10,《、24+2、5%成等比數(shù)列，

所以(24+2)2=56/，即(20+24+2)2=5x10(10+24),解得d=—1或d=4,

當(dāng)d=-l時(shí)，=10-（〃-1）=一〃+11；當(dāng)"=4時(shí)，a”=10+4（〃-1）=4〃+6.

故答案為：一“+11或4〃+6.

15.已知等差數(shù)列｛4｝滿足：q>0,$3=%，4，,，4+2成等比數(shù)列，則2',+2%+…+2%=（）

A.B.C.4n-lD.4n-4

【答案】A

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,因?yàn)?3=%，%，和，2+2成等比數(shù)列，所以有

3q+3d=4+4d

</r,…/2，解得：4=1，d=2,故q=2〃-1,，2%=22”】=2?4"|，

%（q+3d+2）=（q+d）

1.4”7z、

2?+2"2+???+2%=223+.??+22〃T=2--------=—（4〃-1）.故選：A

、1-43V）

16.在等差數(shù)列｛4｝中，4〉0,3%=5%3,則S“中最大的是（）

A.4B.S20C.幾D.S18

【答案】B

39

【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d由泡=5%得，3（4+7d）=5（4+12J）,整理得，a,=~—d.

又q>0,所以d<0，因此S“-20.=［（〃-20尸一200d,所以s2。最大.

故選B.

17.在等差數(shù)列｛““｝中，G=29,Sio=S2o,則數(shù)列｛斯｝的前“項(xiàng)和S”的最大值為（）

A.S|5B.S|6C.S15或S|6D.S|7

【答案】A

10x920x19n（n-\\

【詳解】?.'“1=29,5IO=S2O>lOaH---------d=20oH-----------d,解得d=—2；；.S"=29〃+—--------x（—

222

2）=-n2+30n=-（n-15）2+225.2當(dāng)〃=15時(shí),S“取得最大值.故選：A

18.設(shè)等差數(shù)列｛”,｝的前〃項(xiàng)和為S”，若％=-11,%+4=-6,則當(dāng)S“取最小值時(shí)，”的值為（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】A

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,由。4+。6=-6得：2%=-6,解得：生=-3,."=幺二色=2,

5—1

2

/.Sn=na｛4-—--d=-l\n^-n-n=rr-\2n「?當(dāng)〃=6時(shí)，S〃取得最小值.故選：A.

19.《九章算術(shù)》中的“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的

容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，現(xiàn)自上而下取第1,3,9節(jié)，則這3節(jié)的容積之和為（）

13廿c17Gc19.25.

A.—升B.—升C.—升D.升ri

36912

【答案】B

【詳解】設(shè)自上而下各節(jié)的容積分別為q,a2,...,%，，公差為〃，???上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)

4+a,+q+6z.=4f/.+6d=3]37

的容積共4升，二一7。，，解得”=三，...自上而下取第1,3,9節(jié)，

4+4+/=34+2Id=42266

397017

則這3節(jié)的容積之和為：at+a3+a9=3ai+l0d=—+^：=—.（升）.故選B.

22666

20.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有五人分五錢，令上兩人所得與下三人等。

問各得幾何？”其意思是：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五錢，甲、乙兩人所得之和與丙、丁、戊三人所

得之和相等，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列。問五人各得多少錢？"（"錢"是古代的一種重量

單位）。這個(gè)問題中，戊所得為（）

A.三3錢B.2士?錢C.上1錢4D.2錢

4323

【答案】B

【詳解】依題意設(shè)甲、乙、丙、丁、戊所得錢分別為a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,由甲、乙兩人所得之和

與丙、丁、戊三人所得之和相等，即a-2d+a-d=a+a+d+a+2d,得a=-6d,又五人分五錢，則a-2d+a

-d+a+a+d+a+2d=5a=5,；.a=1,則故選:B.

題組三：轉(zhuǎn)換法

例1.（1）在等差數(shù)列｛%｝中，已知％=21,則為+4+a6等于（）

A.15B.33C.51D.63

【答案】D

【詳解】在等差數(shù)列｛4｝中，山等差中項(xiàng)知：4+繪=2%,故為+%+繪=3%=63,選D.

（2）在等差數(shù)列伍“｝中，生+48=5,則。2+?！钡扔冢ǎ?/p>

A.5B.10C.15D.20

【答案】A

【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，%%I=%+=5

（3）在等差數(shù)列｛%｝中，/+%+%=9