2020-2021學年數(shù)學北師大版必修4教學教案：2.4.1平面向量的坐標表示

2.4.1平面向量的坐標表示

一、教學目標

1)、掌握平面向量數(shù)量積的坐標表示

2)、掌握向量垂直的條件

3)、了解用平面向量積可以處理有關長度、角度和垂直的問題

二、教學重點：平面向量數(shù)量積的坐標表示

三、教學難點：運用平面向量數(shù)量積的坐標表示解決問題

四、教學過程：

問題1：設i是X軸上的單位向量，，是y軸上的單位向量，則

①—②3j=—③卜，=—④力j=一

設計意圖：鞏固向量數(shù)量積的概念，并為下面的問題做鋪墊

a={x],yl),b=(x2,y2),貝!|4/=%4+乂%，

讓學生用自己的語言表達，教師歸納得：兩個向量的數(shù)量積等于

它們對應坐標的乘積的和。

問題2：向量的數(shù)量積的性質(zhì)如何用坐標表示？

(1)。=(%)，乂),則⑷怎么表示？

(2)若g,yj,B(%,%)則I而I又如何表示?

⑴|“|=&+靖(2)|AB|=+

問題3:你能寫出向量夾角公式的坐標表示式以及向量平行和垂

直的坐標表示式嗎？

設計意圖：仍然在幫助學生回憶有關知識點的過程中，引導他們用坐

標的形式表示，通過兩向量的兩種特殊位置關系，體會向量的坐標表

示，感受向量的數(shù)量積的作用。并幫助學生記住這些結論

(1)cos"上——.

22

IaI,gI&+y「-y/x2+y2

(2)a//b<^>x}y2-x2yi=0

(3)a1?人<=>%々+Ni%=0

4、例題解析

例1.已知1=(3,0),b=(-5,-5),求黑兀向，曲，Z與否的夾角6?？?/p>

以接著問：a,b的夾角怎么求？

先讓學生嘗試解答，體會自主應用新知識解決問題的過程，然后給

出詳細解答.

例2.已知4(1,2),5(2,3),C(-2,5),試判斷AA8C的形狀，并給出證明.

解：AA3C是直角三角形.證明如下：

,/Afi=(1,1),AC=(-3,3)

/.ABAC=lx(-3)+lx3=0

/.AB1AC

/.A45c是直角三角形

先讓學生畫出簡圖，直觀感知三角形的形狀，然后引導學生分析

解答.注重培養(yǎng)學生由觀察一一猜測一一證明的思維方法。

練習1,己矢及z=(2,1),5=(〃?,2),問桃為彳可值日寸

其夾角為銳角？

5、課堂小結(學生回答，教師補充)

⑴掌握平面向量數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運

算；

⑵掌握平面向量的模的坐標公式以及平面內(nèi)兩點間的距離公式；

⑶掌握兩個平面向量的夾角的坐標公式；

⑷能用平面向量數(shù)量積的坐標公式判斷兩個平面向量的垂直關系;

課題：2.4.1平面向量的坐標表示

用向量的坐

教學目的要求：標反映向量的數(shù)

1、掌握平面向量數(shù)量積的坐標表示量積，為研究數(shù)量

2、掌握向量垂直的坐標表示的充要條件積開創(chuàng)了一個新

教學重點：天地，體現(xiàn)了代數(shù)

平面向量數(shù)量積的坐標表示及由此推得的長度、角度、垂直關系與幾何的完美結

的坐標表示。合，通過本節(jié)學

教學難點：習，使學生感受到

坐標法3決長度、角度、垂直等問題

同一事物的不同

表示形式不會改

教師引導過程：學生學習活動：變其本質(zhì)規(guī)律。

一、引入向量一?向量的加法與減法

1、能說出我們學了向—?平面向量的坐標運算

量的哪幾部分內(nèi)容—?平面向量的數(shù)量積及運算律

嗎？

2、平面向量的數(shù)量積.—?,,

定義：?。

是如何定義的？它有a?b-acos

什么幾何意義？

幾何意義：數(shù)量】石等于Z的長度同與了

溫故而知新，學習

-*—,總是與一定的知

在。方向上的投影網(wǎng)cos的乘積。

識背景相聯(lián)系，利

用學生已有知識

3、平面向量的數(shù)量積—?2-*2和經(jīng)驗引出新知

的性質(zhì)是什么？①長度的表示：a=a識，不但保持已獲

取的知識，而且遷

移到陌生的情境

②角度的表不：cos=一一中

\a\\b\

③兩平面向量垂直的充要條件：

aLbab=o

4、練習x軸上單位向量i,y軸上單位向量j,

則：又j?j=_____，j'j=______，

i?八____，J'i=______

教師引導過程：學生學習活動:

我們知道，向量的表

示形式不同，對其運

算的表達形式也會改8（%,力）

變，用坐標來表示向

量，為我們解決向量

的加、減帶來了方便，匕

那么向量的數(shù)量積能

圖5-32

否用坐標表示呢？如

果能，形式又是怎樣解：設：是X軸上的單位向量，

充分體現(xiàn)學

呢？這節(jié)課我們探討

為主體，教為主

這個問題。了是y軸上的單位向量，

導，啟發(fā)學生實

二、新課講解踐，領會數(shù)學思維

（一）平面向量數(shù)量積

a=x\i+y\j,b=x2i+y2j過程，自得知識，

的坐標自覓規(guī)律，自悟原

1、［問題］已知兩個非=(xli^yj)(x2i+y2j)理，主動發(fā)展思維

零向量

-2■*———和能力。

=xxi+xyij+xyij+

。=（占,必），I2l22l

一2

b=（x2,y2）

,試用。和〃的坐標表=xlx2+y1y2

示。?

b通過結論的

分析：已知的是兩向量坐推導過程培養(yǎng)學

標，要進行數(shù)量積運算，生歸納和能力。

只須根據(jù)向量坐標的意

義，用運算律解決。兩個向量的數(shù)量積等于它們對應坐標的乘

2、能把這個結論用文積的和。

字表述嗎？

這是向量數(shù)量積的計知兩向量坐標求數(shù)量積

算法則，什么時候適

用？

（二）有關性質(zhì)

有了數(shù)量積的坐標表

示，我們就可以自己來

探討長度、角度、垂直

的坐標表示

|a|2=x2+j2njc|a|=^x2+J2

(1)設a=(x,y),求

教師引導過程：學生學習活動:

(2)如果表示向量

a=AB=(x-x,y-y)

：=入方的有向線段的i2l2

一*2心+(71一%/

起點和終點的坐標分通過性質(zhì)的

(平面內(nèi)兩點間距離公式)推導過程培養(yǎng)學

別為A(M，y)、

生歸納能力、類比

推理能力和初步

B(x,y)?求AB

22cose=衛(wèi)=,再也+必.運用所學新知識

(3)夾角能表示嗎？的能力。

1。1?聞y/x：+y；丘22+丫2°

(4)如何判定向量垂

直？(用坐標表示)：〃J_%=a?b=0即xixz+yiyi=0

注意與向量共線的坐

標表示的區(qū)別：

向量共線的充要條件

有哪兩種形式？a//b(b6)=力'

或修為一"1=0

(要從意義上區(qū)別)

由此可見，數(shù)量積有不

同的表示形式，體現(xiàn)了

數(shù)和形的美妙結合，但

它的本質(zhì)規(guī)律不會改

變，數(shù)量積的坐標表示

為用“數(shù)”的運算處理

“形”的問題架起了橋

梁。下面我們利用這座

橋解決問題。

(三)應用知識的直接

例1：(1)直接運用法(例題、練習以學生做老師、引導點評為主)運用，有助于學生

則解決問題鞏固新學的知識。

例1(1)設。=

(5,-7),b=(-6,-4),用坐標法表

示向量的數(shù)量積

求a?bo解決課本在上一

節(jié)提出的問題，使

(2)設

a=(5,-7),b=(-6,-4),學生初步體會到

新知識的作用。

求?否)和?(辦?

(2)由此題我們得到c=(-2,4),(a,cac)

什么結論？說明：平面向量的數(shù)量積不滿足結合律，設置階梯，使

學生能用向量證

例2(1)

例2(1)此例結果與a=(cosa,sina),明己學的公式，體

我們學過的什么知識會到用向量解決

有關？b=(cos^,sin^),求a問題特別是有關

角度問題的優(yōu)越

教師引導過程：性。使學生對知識

學生學習活動：的運用有一個質(zhì)

的飛躍，進一步提

(2)證U=

高學生運用向量

的意識。

|flj?例cos第二種情況

留給學生課后思

=cos(a一夕)即可

考，培養(yǎng)學生學習

注意，為“與力的夾的主動性。

角

(有兩種情況)

利用向量方

法解幾何題，特別

是角度、長度問

例3、已知：=(1,6)，ft=(V3+l,V3-l)題，是本課重點之

說明：此題有關平面內(nèi)一，一方面體現(xiàn)向

兩個非零向量的夾角

求a與芯的夾角量的應用性，另一

問題，代入式子計算即方面，能在應用中

達到對向量知識

—r八ab

可COS0=-------的理解與掌握。

\a\-\b\

通過幾何形式和

例4、例3.已知三點A(-1,-1),B(2,3),代數(shù)形式的互化，

說明：此題體現(xiàn)了向量C(3,-1),求證：三角形ABC是銳角三角使學生透徹理解

的數(shù)量積的不同表示形數(shù)量積的兩種表

本質(zhì)的一致性，達形式。

通過表格對

三、課堂小結:比兩種表達形式

(填表)進行小結，使學生

對向量的數(shù)量積

數(shù)量

長度角度垂直及有關

積

性質(zhì)的表示有清

定義

晰的認識。以便區(qū)

形式

分和應用。

坐標

這兩種形式在解題A組:

形式

時經(jīng)常使用1、股

下節(jié)課我們解決兩向本121頁第2題

量垂直問題及用向量

、已知向量與同向,

證明平幾問題2a1b=(1,2),

—?—*-?

ab=io,(1)求a的坐標

四、作業(yè):

(2)求

3.已知向量a=(cosa,sina),

1=(cos4,sin夕),(0<a<j3<^),

且Aa+1與a-總大小相等，求z7-a

(其中A為非零實數(shù))

2.4.1平面向量的坐標表示

教學分析

1.前面學習了平面向量的基本定理，.在引入了平面向量的坐標表示后可使向量完全代數(shù)化，將

數(shù)與形緊密結合起來，這就可以使很多幾何問題的解答轉(zhuǎn)化為學生熟知的數(shù)量運算.

2.本小節(jié)主要是提出向量的坐標的概念，運用向量線性運算的交換律、結合律、分配律，推導

兩個向量的和的坐標、差的坐標以及數(shù)乘的坐標運算.推導的關鍵是靈活運用向量線性運算

的交換律、結合律和分配律.

三維目標

1.通過經(jīng)歷探究活動，使學生掌握平面向量的坐標及平面向量的和、差、實數(shù)與向量的積的坐

標表示方法.理解并掌握平面向量的坐標運算.

2.引入平面向量的坐標可使向量運算完全代數(shù)化，平面向量的坐標成了數(shù)與形結合的載體.

3.在解決問題過程中要形成“見數(shù)思形、以形助數(shù)”的思維習慣，以加深理解知識要點,增強應

用意識.

重點難點

教學重點:平面向量的坐標表示及平面向量的坐標運算.

教學難點:對平面向量的坐標表示的理解.

課時安排

1課時

教學過程

導入新課

復習

1、平面向量基本定理的內(nèi)容是什么？

如果ex,e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線的向量，那么對于

這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對實數(shù)XI,X2

使得a=\ex+A2e2

2、什么是向量的正交分解？

基底互相垂直

教學目標

1.理解平面向量的坐標含義

2.掌握求向量坐標的方法及坐標的運算

探索1：

以O為起點，A為終點的向量能否用坐標表示？如何表示?

OP=OR+O旦=3i+2j

記

說明：

⑴從原點出發(fā)防向量的坐標就是點1的坐標

(2)相等向量的坐標也相同；

4二（玉,弘）,石二（入2，＞2），4=30

向量基底形式OA—xi+yJ

0A=(x,y)

向量的坐標形式

探索2

在平面直角坐標系內(nèi)，起點不在坐標原點。的向量又如何處理呢?

答：平移至起點為原點

■I媚236,畫0我標就，仙微-嫄|而=

45/他=胱林量褊蝙

解也局=|O4|cos60。=x；=2石

|O4|=|OA|sin60。=46、三=6

所以A點的坐標為QV3,6）,既厲=（2g,6）

探索3

平面向量可以用坐標表示，向量的線性運算可以用坐標來運算嗎？

已矢居=（*],弘）石=（%2，%）,貝必+1,4—加而坐標如何求?

推導以=*]1+丫",6=%21+丫2上

—?-?

貝必+Z?=+yj+(xj+y2j)=(X+%2)f+(M+

所防+5=&+w，y+%)

向量的坐標運算

。=(%”%)力=(%2，%)則

a+h=(再+工2,%+丁2)

―?—?

a-b={xx_%2，X-％)

—?

Aa-(ZX1,Xy)

牛刀小試：已矢區(qū)=(2,1)3=(-3,4),求：

-2a,a+b,a-b,3a+4函勺坐標

角牟：-2a=(-4,-2)

2+石=(2,1)+(—3,4)=(—1,5)

2-1=(2,1)-(—3,4)=(5,-3)

3a-h4b=3(2,1)+4(-3,4)=(-6,19)

探索4

寫出以A(Xpy,)為起點，B(x2,y2)為終點的向最行

的坐標？

AB=OB-OA={x2,y2)-(xx,yx)=(x2-xx,y2-yx)A(xi,yi)

B%,y2)

結論：一個向量的坐標等于表示此向量的有向

線段終點的坐標減去始點的坐標。

例2：已知平面上三點4(2,-4),3(0,6),C(-8,10),

求⑴AB-AC,(2)AB+2BC;(3)BC--AC

2

教師分析，學生完成

對應提升：已知43=a,求下列點的坐標

(1)2=(4,5),A=(2,3),求B的坐標

(2)2=(4,5),B=(2,3),求A的坐標

解答：(1)B(6,8)

(2)A(-2,-2)

課堂練習

1日矢口【句=(x+3,x—3y-4)-^

AA相等,其中A41,2),BQ3g，美x,y

2口矢口A=<2,—1),石=<一4,8),

+3EU=O,與之OU'S勺勻仝木示-

課堂小結

1.先由學生回顧本節(jié)都學習了哪些數(shù)學知識平面向量的坐標表示:平面向量的和、差、數(shù)乘的

坐標運算.

2.教師與學生一起總結本節(jié)學習的數(shù)學方法，定義法、歸納、整理、概括的思想，強調(diào)在今后

的學習中,要善于培養(yǎng)自己不斷探索、善于發(fā)現(xiàn)、勇于創(chuàng)新的科學態(tài)度和求實開拓的精神，為

將來的發(fā)展打下良好基礎.

作業(yè)

課本習題2—4A.組5、6、7.

設計感想

1.本節(jié)課中向量的坐標表示及運算實際上是向量的代數(shù)運算.這對學生來說學習并不困難，可

大膽讓學生自己探究.本教案設計流程符合新課改精神.教師在引導學生探究時，始終抓住向

量具有幾何與代數(shù)的雙重屬性這一特征和向量具有數(shù)與形緊密結合的特點.讓學生在了解向

量知識網(wǎng)絡結構基礎上，進一步熟悉向量的坐標表示以及運算法則、運算律，能熟練向量代數(shù)

化的重要作用和實際生活中的應用，并加強數(shù)學應用意識，提高分析問題、解決問題的能力.

2.平面向量的坐標運算包括向量的代數(shù)運算與幾何運算.相比較而言，學生對向量的代數(shù)運算

要容易接受一些，但對向量的幾何運算往往感到比較困難，無從下手.向量的幾何運算主要包

括向量加減法的幾何運算，

3.通過平面向量坐標的加、減代數(shù)運算，結合圖形,不但可以建立向量的坐標與點的坐標之間

的聯(lián)系，而且教師可在這兩題的基礎上稍作推廣，就可通過求向量的模而得到直角坐標系內(nèi)的

兩點間的距離公式甚至可以推出中點坐標公式.它們在處理平面幾何的有關問題時，往往有其

獨到之處，教師可讓學有余力的學生課下繼續(xù)探討，以提高學生的思維發(fā)散能力.

2.4.1平面向量的坐標表示

一、教學目標：

1.知識與技能

(1)掌握平面向量正交分解及其坐標表示.

(2)會用坐標表示平面向量的加、減及數(shù)乘運算.

(3)理解用坐標表示的平面向量共線的條件.

2.過程與方法

通過將基底特殊化(向量的正交分解)，使向量的表示形式統(tǒng)一，這樣就為研

究向量之間的運算及其他關系奠定基礎.通過這樣的過程，學習研究和處理問題

的方法.

3.情感態(tài)度價值觀

通過對向量的正交分解的學習；讓學生進一步一般的問題往往歸結為人們最

熟悉的特殊的問題，體會領悟到數(shù)形結合的思想；培養(yǎng)學生勇于創(chuàng)新的精神.

二.教學重、難點

重點：平面向量的坐標表示.

難點：對平面向量線性運算的坐標表示及向量平行的坐標表示的理解.

三.學法與教學用具

學法：自主性學習，探究式學習法；反饋練習法

教學用具：多媒體一體機，PPT.

四.教學過程

【復習回顧】

1、我們學習了平面向量的那些表示？（字母表示，有向線段）

2、平面向量的基本定理（基底），什么是正交分解？（學生回答）

5=入1的+入202其實質(zhì)：同一平面內(nèi)任一向量都可以表示為兩個不共線向

量的線性組合.

今天，我們來學習平面向量的又一種表示一一坐標表示。（板書課題）

【探究新知】

（一）平面向量的坐標表示

思考：在平面直角坐標系下，如果我們?nèi)∫唤M正交基底，那么向量的線性運算會

有什么影響呢？（學習閱讀課本第88頁，前四個自然段后，師生共同

總結平面向量的坐標表示的定義）

取x軸、y軸上兩個單位向量i,/作基底，則平面內(nèi)作一向量a=xi+y/

記作：方=（x,y）稱作向量，的坐標

【概念深化】

學生思考，討論：

①向量的坐標與什么點的坐標有關？（一一對應，建立向量坐標的概念后，向量

的運算就代數(shù)化了，形與數(shù)實現(xiàn)了完美的統(tǒng)一）

②每一平面向量的坐標表示是否唯一的？向量的坐標表示與點的表示有何區(qū)

別？

③兩個向量相等的坐標有什么關系？（兩個向量坐標相等）

④向量的模用坐標怎么表示呢？

（直接由學生討論回答）

［課件展示］例題講評（學生先做，學生講，教師提示或適當補充）

例1如圖，⑴用基底;分別表示向量￡,瓦并求出它們的坐標.

⑵若口=4,且與x軸的夾角為30°,求工的坐標？

⑶若2=（-2,3）,你能在平面直角坐標系中畫出港r?

思考1.(1)已知＜7=(%,%),3=(工2,'2)，求。+石，a-B的坐標

(2)已知Z=(x,y)和實數(shù)4,求花的坐標

(教師組織學生思考，討論，并板書一例。學生用語言文字來述平面向量線性運

算的坐標表示。)

解:a+b=(X1i+y］j)+(X2/+y2j)=(X1+X2)i+(yi+y2)j

即：a+b=(x,+x2,y,+y2)

同理：aB=(xix2,y1y2)

A.a=X(x/+yj)=Xxz+A.yj

入方=(入X,A.y)

結論：①.兩個向量和與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差.

②.實數(shù)與向量的積的坐標，等于用這個實數(shù)乘原來的向量相應的坐標。

(教師引導學生用文字語言來敘述￡+B,a-b,九￡的運算)

思考2.已知4%,必),8(々,為)你覺得蔡的坐標與八、B點的坐標有什么關系？

結論：一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段終點的坐標減去始點的坐標。

［課件展示］例題講評(學生先做，學生講，教師提示或適當補充)

例2.已知。=(3,4)石=(一1,4),求Z+一瓦2)-36的坐標。

(學生自主完成并體會、感受向量坐標運算便捷的優(yōu)點)

例3.已知如圖平面上三點的坐標分別為人(2,1),B(1,3),C(3,4),求

點D的坐標使這四點構成平行四邊形四個頂點。

教師組織學生討論解題思路，有哪些不同的解法？個別學生回答，學生自主完成。

例4.已知4=(-2,3),役=(3,1),。=(10,-4),試用a,坂表示c。

解：設c=xa+yB,

則(10,T)=%(-2,3)+y(3,1)=(-2x+3y,3x+y)

10=-2x+3y,

?<

[—4=3x+y,

解得x=—2,y=—2,c=-2a-2b

方法總結：待定系數(shù)法是最基本的數(shù)學方法之一，它的實質(zhì)是先將未知量設出

來，再利用方程或方程組求解，把一個向量用其他兩個向量表示，這是常用方法.

【探究新知】

(二)平面向量平行的坐標表示

［展示投影］思考與交流：

思考：共線向量的條件是有且只有一個實數(shù)人使得在=人不，那么這個條件如何

用坐標來表示呢？(教師引導學生思考交流)

設.=(石,y］)石=(/,%)其中］*0

由a=得,y)=A(X2,必)=><"

〔必=也

消去入：xty2-x2yt=0'：當中至少有一個不為。

結論：a//b(3#用坐標表示為王當一工2%=0

注意：

①消去人時不能兩式相除Vy,.yz有可能為0.

②這個條件不能寫成工=%1.'X1,無2有可能為0.

X]x2

③向量共線的兩種判定方法：a//b（^6）^a=Ab

一力一為切=°

[展示投影]例題講評（學生先做，學生講，教師提示或適當補充）

例5.0是坐標原點，麗=（左,12）,麗=（4,5）,覺=（10㈤

當%為何值時，A,B,C三點共線？

（三）鞏固深化，發(fā)展思維

1.判斷下列說法是否正確：

（1）公式五=互適用于任意兩向量共線的情況。（）

>2

（2）在平面直角坐標系中如果把向量通平行移動了，那么它的坐標也改變了。

（）

（3）如果向量礪=（〃?,〃），。為坐標原點，那么點A的坐標也為（利,〃）。（）

2.已知向量￡=（1,1）石=（2,%），若Z+B與m-2￡平行，則實數(shù)x的值是（）

A.-2B.0C.1D.2

（四）課堂小結

（學生總結，其它學生補充）

1.平面向量坐標的概念a=xi+yj=（x,y）

2.平面向量的坐標運算

（1）若<7=（%,乂）石=（%2，）2），則a±B=（%±七，y±%）。

⑵若4=（%,%）,3=（工2，%），則A月=（工2-3，必一%）

⑶若a=（x,y）,4為實數(shù)，則=

3.平面向量平行的坐標表示

設a=（X],yJ,彼=（工2，%），若。〃人則玉%2-％%=。

4.數(shù)學思想方法

數(shù)形結合、轉(zhuǎn)化思想、待定系數(shù)法

（五）評價設計

1.作業(yè)：

課本習題2—4A組2,3,4；B組1,2

2.(備選題):已知A(T,-1)B(l,3)C(l,5)D(2,7)向量AB與CO平行嗎？

直線AB與平行于直線CD嗎？

解：V=(1-(-1),3-(-1))=(2,4)CD=(2-1,7-5)=(1,2)

又；2X2-4-1=0,A,B//CD

又AC=(L(T),5-(-1))=(2,6)AB=(.2,4)

2X4-2X60彳？與不平行

AA,B,C不共線，AB與CD不重合，AB〃CD

第二章平面向量

4.1平面向量的坐標表示

一、學情分析

本節(jié)課是在學生已有的基礎上(數(shù)軸、坐標)進行學習的，而這

一內(nèi)容也是本節(jié)課學習之前必須掌握并且會用，而鑒于對學生的調(diào)

研，對這一內(nèi)容掌握情況不佳，所以在上課之前必須重點處理這一內(nèi)

容之后在進行知識的遷移。

二、教材分析

學生已學習了向量的加法、減法、數(shù)乘向量的運算，知道用作圖

的方法來求兩個向量的和、差、積向量，在本節(jié)課的學習中，學生會

遇到的困難有：數(shù)軸、坐標的表示；平面向量的坐標表示；平面向量

的坐標運算。

三、教學目標

1.平面向量的坐標表示；

2.理解平面向量的坐標概念，向量的坐標和點的坐標的關系;

3.通過對平面向量的坐標表示的學習，使學生經(jīng)歷用向量方法解

決某些簡單的平面幾何問題。

四.教學重、難點

重點：平面向量線性運算的坐標表示；

難點：平面向量線性運算的坐標表示.

五.教學設想

【創(chuàng)設情境】

(回憶)平面向量的基本定理五=入z+入21

(［、］不共線，5任意性，入卜人2唯一性)

實質(zhì)：平面內(nèi)任一向量都可以表示為兩個不共線向量的線性組合.

【探究新知】

(一)、平面向量的坐標表示

1.在坐標系下，平面上任何一點都可用一對實數(shù)(坐標)來表示

思考：在坐標系下，向量是否可以用坐標來表示呢？

取x軸、y軸上兩個單位向量i,/作基底，則平面內(nèi)作一向量

a=xi+yj

記作：五=(x,y)稱作向量5的坐標

注：(1)］的規(guī)定：單位向量、互相垂直、方向分別與X軸、Y軸

正方向一致；

(2)；=(1,0),>(0,1),6=(0,0)；

(3)注意書寫格式A(x,y),c=(x,y).

【例題解析】

例1.如圖，用基底i,j分別表示

向量a、b、c、d,并

求它們的坐標.

通過例題讓學生討論:

①向量的坐標與與向量的起點及終點坐標有何關系？

(一個向量的坐標等于其終點的相應坐標減去始點的相應坐標。)

②若向量的起點為坐標原點，那么向量的坐標與其終點坐標有何關

系(當且僅當向量的起點在原點時，向量終點的坐標等于向量的坐

標.)

③兩個相等向量的坐標有何關系？(相等向量的坐標是相同的，但

是起點和終點的坐標不一定相同.)

［展示投影］例題講評(學生先做，學生講，教師提示或適當補充)

1.在同一直角坐標系內(nèi)畫出下列向量.

⑴1(1,2)⑵石=(-1,2)

2.已知A(2,3),B(-3,5),求薪,IX的坐標.

3.已知質(zhì)=(1,-2),4(2,1),求價I坐標.

【小結歸納】

⑴任一平面向量都有唯一的坐標；

⑵向量的坐標等于其終點的相應坐標減去起點的相應坐標坐標；當

向量的起點在原點時，向量終點的坐標即為向量的坐標.

⑶相等的向量有相等的坐標.

(4)互為反向量的兩個向量對應坐標互為相反數(shù).

本節(jié)課主要講解了平面向量的直角坐標運算，向量的直角坐標

運算使向量運算完全數(shù)量化，它將數(shù)與形緊密的結合起來，使得用

向量來求解有關問題更加方便.

【板書設計】

平面向量的坐標表示

1.定義

a=xi+yj,記作：五=(x,y)稱作向量2的坐標

2.結論

⑴任一平面向量都有唯一的坐標；

(2)向量的坐標等于其終點的相應坐標減去起點的相應坐標坐標；當

向量的起點在原點時，向量終點的坐標即為向量的坐標.

⑶相等的向量有相等的坐標.

(4)互為反向量的兩個向量對應坐標互為相反數(shù).

【作業(yè)】

教材91頁，練習第3題.

課題2.4.1平面向量的坐標表示課型新授課

授課人科目數(shù)學

授課時間授課班級高一(2)班

教具多媒體課時1課時

教學方法引導發(fā)現(xiàn)式教學法、探究法

知識與技能：會用坐標表示平面向量的加減與數(shù)乘運算；能用兩端點的坐標，

求所構造向量的坐標。

過程與方法：利用向量的坐標可以使向量運算完全代數(shù)化，實現(xiàn)了形向數(shù)的轉(zhuǎn)

目化。

標情感與態(tài)度：了解向量與其他知識之間的緊密關系，培養(yǎng)學生的學習興趣及探

索精神。

重點平面向量的坐標運算（加、減、數(shù)乘）。

難點靈活應用所學知識，求點的坐標以及向量坐標。

前面知識向量的正交分解、向量的坐標表示以及向量的運算

銜接

高考考點用選擇題、填空題、解答題來考查本章內(nèi)容與三角函數(shù)內(nèi)容的綜合知識點，如向量的數(shù)量

及表現(xiàn)形積同三角函數(shù)的周期性，增減性，最值等綜合題來考查

式

教學過程

教學教學內(nèi)容師生互動設計意圖

環(huán)節(jié)

一、知識鏈接：復習舊知，為

1.用不同形式表示下列向量學生學習新知做

a=5?+4j教師提出問題，學生回答.鋪墊，并引導學

生敢于大膽的猜

b=（2,5）想。

1、

復問題2.求下列幾個特殊角的三角函數(shù)值，觀

習察并猜想他們之間的關系。

導（1）.sin300=___;cos300=_____;

課

sin230°+cos230°=_____;

3，

（2）.sin60°=___;cos600=____;

sin2600+cos260°=_____;

學生齊讀學習目標。通過本節(jié)課

1.明確本節(jié)課學習目標學習目標，讓學

生知道本節(jié)課該

學會那些內(nèi)容。

二、

自2.學生認真閱讀文本P18--P19。學生圈畫出本節(jié)課的重點內(nèi)容，通過讀文本，可

主教師巡視學生存在的問題。以讓學生標出不

學懂的地方，認真

習聽老師講解。

13'

3.學生復述本節(jié)課中的重點公式。初步認識和

s?in2-tz+cos2a-I1教師傾聽學生的答案，并板書公記憶兩個關系式

式。

sin?f7i,\

tan?=-------a,豐——FKTT,KEZ

cosa<2)

4.學生自己試證明公式。學生自己講解，教師及時點撥。培養(yǎng)學生表達能

力及邏輯思維能

力。

5.公式的其他表示形式。學生自己變形，并將寫在課本幫助學生做題的

上。靈活性

4

例1已知sina=g，求a的余弦和正切

值.

4

解：???sina=一，且sinaw1

5

?為第一象限角或第二象艮角

三、..a

學sin2a+cos2a=l,例1鼓勵學生自己解決，教師只例題使學生熟練

以cosa=±\l-sin2a.在開方時點撥符號問題.兩個基本關系式

致若a是第一象限角，cosa>0,