北京西城區(qū)2022屆高三數(shù)學(xué)期末試卷

北京西城區(qū)2022屆高三數(shù)學(xué)期末試卷

閱卷人

、單選題（共10題；共20分）

得分

1.(2分)已知集合4={x|-3<x<2},B=[x\-2<x<3},則AU5=()

A.(—3,3]B.(-3,3)C.(—3,2]D.(-2,2]

2.（2分）在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)（l+2i）i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.（2分）在中,若a=2,b=3,cos(A+B)=可，貝Uc()

A.gB.4C.后D.3

圣一￡=1的一條漸近線方程為y=卓久,

4.（2分）若雙曲線C：則雙曲線C的離心率為（）

A-iB-1c-1D.2

5.（2分）如圖,在直三棱柱A8C-4181cl中，點(diǎn)E,F分別是棱&Ci，BC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中

A.CC]||平面4遇881B.4尸||平面4181cl

C.即||平面4通幽D.AE||平面BiBCCi

Ir<n

6.（2分）已知函數(shù)/（%）x''的值域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

,2X—a,x>0

A.a<0B.a>0C.a<1D.a>1

7.（2分）已知｛即｝為等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，若52=3%,al=a3,則S4=（）

A.7B.8C.15D.31

8.（2分）己知函數(shù)/（%）的圖象在區(qū)間［0,2］上連續(xù)不斷，則“/（0）+/（1）+/（2）=0"是7'（%）在

［0,2］上存在零點(diǎn)''的（)

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

9.（2分）按照“碳達(dá)峰”、“碳中和”的實(shí)現(xiàn)路徑,2030年為碳達(dá)峰時(shí)期,2060年實(shí)現(xiàn)碳中和，到2060

年，純電動(dòng)汽車在整體汽車中的滲透率有望超過(guò)70%,新型動(dòng)力電池迎來(lái)了蓬勃發(fā)展的風(fēng)口.Peukert

于1898年提出蓄電池的容量C（單位：Ah）,放電時(shí)間t（單位：h）與放電電流I（單位：力）之間

關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式：C=其中n為Peukert常數(shù)，為了測(cè)算某蓄電池的Peukert常數(shù)n,在電池

容量不變的條件下，當(dāng)放電電流/=204時(shí)，放電時(shí)間t=20無(wú)；當(dāng)放電電流/=30/時(shí)，放電時(shí)間1=

10/1.則該蓄電池的Peukert常數(shù)n大約為（）（參考數(shù)據(jù)：lg2?0.30,lg3?0.48）

A.gB.fC.|D.2

10.（2分）設(shè)集合A的最大元素為M,最小元素為m,記A的特征值為X.=M-m,若集合中只

有一個(gè)元素，規(guī)定其特征值為0.已知A2,A3,4是集合N*的元素個(gè)數(shù)均不相同的非空真子

集，且X44-X4+X&+…+X4”=120,則n的最大值為（）

A.14B.15C.16D.18

閱卷人

二、填空題（共5題；共7分）

得分

O6

11.（1分）二項(xiàng)式（a_馬的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為.（用數(shù)字作答）

12.（1分）已知函數(shù)=+X~0,是偶函數(shù)，則。的一個(gè)取值

（sinx,x<0

為.

13.（1分）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-AiBiCiDi中，過(guò)點(diǎn)A的平面a分別與棱CC「CD1交

于點(diǎn)E,F,G,記四邊形AEFG在平面BCQBi上的正投影的面積為Si，四邊形AEFG在平面

上的正投影的面積為S2.

給出下面四個(gè)結(jié)論：

①四邊形AEFG是平行四邊形;

②S1+S2的最大值為2；

③5祝的最大值為J；

④四邊形AEFG可以是菱形，且菱形面積的最大值為坐.

則其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

14.（2分）已知點(diǎn)4（2,4）在拋物線C：y12=2px±,F為拋物線C的焦點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn).則拋物線

C的方程為；△A。/的面積為.

15.（2分）在長(zhǎng)方形ABCD中，|而|=1，=且荏.標(biāo)=而?荏，貝U

\AD\=，AE?AC=.

閱卷入

-----------------三、解答題（共6題；共75分）

得分

16.（10分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PD1平面ABCD,PD=AD=2,

48=4,點(diǎn)E在線段AB上，且=

（1）（5分）求證：CE_L平面PBD；

（2）（5分）求二面角P-CE-A的余弦值.

17.（10分）已知函數(shù)/（%）=/sin3%+@）（4>0,>0,0VVTT）的部分圖象如圖所示，在條

件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知.

注：如果選擇多個(gè)條件組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

(1)(5分)求函數(shù)f(x)的解析式:

(2)(5分)設(shè)函數(shù)g(x)=/(%)?cos(2x+芻，若g(x)在區(qū)間［0,詞上單調(diào)遞減，求m的最大值.

18.(15分)2021年7月11日18時(shí)，中央氣象臺(tái)發(fā)布暴雨橙色預(yù)警，這是中央氣象臺(tái)2021年首次

發(fā)布暴雨橙色預(yù)警.中央氣象臺(tái)預(yù)計(jì)，7月11日至13日，華北地區(qū)將出現(xiàn)2021年以來(lái)的最強(qiáng)降雨.下

表是中央氣象臺(tái)7月13日2：()0統(tǒng)計(jì)的24小時(shí)全國(guó)降雨量排在前十的區(qū)域.

天津渤

北京密山東樂(lè)河北遷山東慶北京懷河北海河北唐河北豐山東長(zhǎng)

海A平

云陵西云柔興山南清

臺(tái)

180毫175毫144毫144毫143毫140毫130毫127毫126毫126毫

米米米米米米米米米米

(1)(5分)從這10個(gè)區(qū)域中隨機(jī)選出1個(gè)區(qū)域，求這個(gè)區(qū)域的降雨量超過(guò)135毫米的概率;

(2)(5分)從這10個(gè)區(qū)域中隨機(jī)選出3個(gè)區(qū)域，設(shè)隨機(jī)變量X表示選出的區(qū)域?yàn)楸本﹨^(qū)域的數(shù)

量，求X的分布列和期望：

(3)(5分)在7月13日2：00統(tǒng)計(jì)的24小時(shí)全國(guó)降雨量排在前十的區(qū)域中，設(shè)降雨量超過(guò)140

毫米的區(qū)域降雨量的方差為4，降雨量在140毫米或140毫米以下的區(qū)域降雨量的方差為全部十

個(gè)區(qū)域降雨量的方差為登.試判斷s?,sW的大小關(guān)系.(結(jié)論不要求證明)

19.(15分)已知函數(shù)/(x)=/(/+。尤+1).

(1)(5分)若a=0,求/(%)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;

(2)(5分)若fQ)在(一1,1)上恰有一個(gè)極小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)(5分)若對(duì)于任意工€(0,芻，f(x)>eX(x2cosx+l)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

20.(10分)已知橢圓M：《+￡=1的焦點(diǎn)為P(2,0),長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的比值為VZ

(1)(5分)求橢圓M的方程：

(2)(5分)過(guò)點(diǎn)F的直線1與橢圓M交于A,B兩點(diǎn)，BClx軸于點(diǎn)C,ADlx軸于點(diǎn)D,直

線BD交直線％=4于點(diǎn)E,求△ECD與的面積之比.

21.(15分)已知數(shù)列A：a1，o,2>,,1>CLN(N>4),其中由，a2,…，6Z,且<。2<,"<O-N-

若數(shù)列A：a1，a，2，*">(IN滿足=a1，CLN=，當(dāng)i=2,3,…，N—1時(shí)，a=cij-i+1或

ai+1-l,則稱4a「a2，…，而為數(shù)列A的“緊數(shù)列”.例如,數(shù)列A：2,4,6,8的所有“緊數(shù)

歹『'為2,3,5,8；2,3,7,8；2,5,5,8；2,5,7,8.

(I)(5分)直接寫(xiě)出數(shù)列A：1,3,6,7,8的所有“緊數(shù)列”4

(2)(5分)己知數(shù)列A滿足：即=1,aN=2N,若數(shù)列A的所有“緊數(shù)列”4均為遞增數(shù)列，求

證：所有符合條件的數(shù)列A的個(gè)數(shù)為N+1；

(3)(5分)已知數(shù)列A滿足：的=0,a2=2,對(duì)于數(shù)列A的一個(gè)“緊數(shù)列Z,定義集合S(A)=

｛修一利=2,3,N-1］，如果對(duì)任意xCS(A),都有一x￡S(A),那么稱4為數(shù)列A的“強(qiáng)緊

數(shù)列”.若數(shù)列A存在“強(qiáng)緊數(shù)列”，求aN的最小值.(用關(guān)于N的代數(shù)式表示)

答案解析部分

L【答案】A

【解析】【解答】在數(shù)軸上表示出集合A,B,如圖：則4uB=(-3,3］

故答案為：A

【分析】根據(jù)題意由不等式結(jié)合并集的定義，即可得出答案。

2.【答案】B

【解析】【解答】因?yàn)?1+2i)i=-2+i,

所以一2+i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(-2,1),它位于第二象限.

故答案為：B

【分析】把已知的等式變形，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，得到(1+2)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)

應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)得答案.

3.【答案】A

［解析］【解答】因?yàn)閏os(A+B)=C0S(7T—C)=—cosC=所以cosC=—4，

又a=2,b=3,

由余弦定理得：c2=a2+b2-2abeosC,=4+9—2x2x3x(—/)=17,

所以c=V17,

故答案為：A

【分析】由已知條件結(jié)合客家話的余弦公式整理化簡(jiǎn)，由此即可得出cosC的取值，再由余弦定理代

入數(shù)值計(jì)算出c的取值即可。

4.【答案】C

【解析】【解答】因?yàn)殡p曲線C：。苴=1的一條漸近線方程為”號(hào)，

所以2=多

a2

所以雙曲線C的離心率為

故答案為：C

【分析】由雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，計(jì)算出漸近線的方程，由此得出2=4,然后由雙曲線里a、b、c的

a2

關(guān)系以及離心率公式，計(jì)算出結(jié)果即可。

5.【答案】D

【解析】【解答】在直三棱柱ZBC-AiBiQ中，

因?yàn)镃Cil|44「CGC平面44iu平面所以CQ||平面4遇8/，A符合題意;

因?yàn)槠矫鍭BC〃平面%81的，4Fu平血1BC,所以AF||平面人中心，B符合題意；

取中點(diǎn)G,連接為G,GF,

11

因?yàn)辄c(diǎn)G,F分別是棱力B,BC的中點(diǎn)，所以且&E〃2，C,所以。「〃力遇，四邊形

GFE&為平行四邊形，所以EFII&G,EFC平面為ABB1，4Gu平面力MBB］，所以EF||平面

aAB81，C符合題意；

取AC中點(diǎn)H,連接QH,可證得四邊形ZHCiE為平行四邊形，所以EA||QH,QH與平面CiCBB1相

交，所以AE與平面CiCBBi相交，D不正確；

故答案為：D.

【分析】根據(jù)題意由直三棱錐的幾何性質(zhì)，結(jié)合中點(diǎn)的性質(zhì)即可得出線線平行，再由線面平行的判

定定理即可得證出結(jié)論，由此對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可得出答案。

6.【答案】D

i%<0

【解析】【解答】函數(shù)/(%)=婷，

2X—a,x>0

當(dāng)％<0時(shí)，由反比例函數(shù)的性質(zhì)得：/(X)6(-00,0):

當(dāng)x>0時(shí)，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得：f(x)e［1-a,oo)

1X<0

因?yàn)楹瘮?shù)/(%)=X的值域?yàn)镽,

,2X—a,x>0

所以1一aW0,

解得a>1,

故答案為：D

【分析】根據(jù)題意由反比例函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合分段函數(shù)的解析式，即可求出函數(shù)的值

域，結(jié)合已知條件即可求出a的取值范圍。

7.【答案】C

【解析】【解答】由已知52=a1+a2=3的，即。2=2的，所以公比q=2,

=

又廄=a3a2。所以a2=q=2,

n2n

所以數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為即=a2-q-=2-2-=2f且%=1,

所以54=吧二貯1=匕2=

1-215,

故答案為：C.

【分析】根據(jù)題意由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，結(jié)合已知條件計(jì)算出結(jié)果

即可。

8.【答案】A

【解析】【解答】解:因?yàn)楹瘮?shù)/(x)在區(qū)間［0,2］上連續(xù)不斷,*/(0)+f(l)+/(2)=0,

可知/(0)、f⑴、/(2)中可能有兩正一負(fù)、兩負(fù)一正、一正一負(fù)一零和f(0)=/(1)=/(2)=0,

所以函數(shù)/(%)在區(qū)間［0,2］上存在零點(diǎn)；

由/(%)在區(qū)間［0,2］上有零點(diǎn)且/(%)連續(xù)不斷，不能推出“f(0)+/(l)+/(2)=0"，如函數(shù)/(%)在區(qū)

間［0,2］上單調(diào)遞增且f(0)=0時(shí),則/(1)>0,/(2)>0,

則/(0)+/(1)+/(2)>0,

所以“/(0)+〃1)+/(2)=0”是“/(%)在區(qū)間［0,21上存在零點(diǎn)”的充分不必要條件.

故答案為：A.

【分析】根據(jù)題意結(jié)合已知條件由零點(diǎn)存在性定理，代入數(shù)值計(jì)算出函數(shù)的值，由函數(shù)的單調(diào)性結(jié)

合充分和必要條件的定義即可得出答案。

9.【答案】B

【解析】【解答】解：根據(jù)題意可得0=20-20,C=3On.io,

兩式相比得縹型即⑥可

1

2

所

以n2-3=lg2=lg2一0.3=5

2-

0g30g2Ig3lg3—lg20.48—0.33-

故答案為：B.

【分析】根據(jù)題意由已知條件即可得出關(guān)于n的解析式，然后由指對(duì)互化以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，計(jì)

算出結(jié)果即可。

10.【答案】C

【解析】【解答】由題意，要想n的值大，則特征值要盡可能的小，可令X4=0,XA2=1,XA3=

2,--->=n—1,則o+i+2+…+（幾—1）="QD=120,解得：n=16或一15（舍去）.

故答案為：C

【分析】根據(jù)題意由已知條件即可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式代入數(shù)值

計(jì)算出n的取值即可。

11.【答案】60

【解析】【解答】解：二項(xiàng)式（a，/的展開(kāi)式的通項(xiàng)為77+1=《（后6T（-紂=

2

（一2）‘C"與J'，令殍一r=。，解得「=2，所以常數(shù)項(xiàng)為T(mén)3=（-2）C|=60，故答案是

60.

【分析】根據(jù)題意，將二項(xiàng)式的展開(kāi)式寫(xiě)出，當(dāng)x的事數(shù)為0時(shí)（即與T—r=o）符合條件，代入

數(shù)據(jù)計(jì)算，即可得出答案。

12.【答案】J（答案不唯一）

【解析】【解答】因?yàn)樵摵瘮?shù)是偶函數(shù)，所以有/（%）=/（-%）,

當(dāng)文>0時(shí)，有cos(x+6)=sin(—x)=>cos(x+9)=—sin%=cos(]+x),

于是有：x+9=2kn+為+x(kGZ)或x+8=2krc-g+x)(k6Z),

解得：e=2/OT+*(keZ),

當(dāng)％<0時(shí)，有sin%=cos(—%+8)=cos(1—x)=cos(-x+0),

于是有一%+。=2/CTT+號(hào)—x(k6Z)或一％+0=2/CTT—?—x)(/cGZ),

解得。=2而+在keZ),

所以。=2而+丸keZ),顯然6的一個(gè)取值可以是先

故答案為：J

【分析】根據(jù)題意首先由偶函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合誘導(dǎo)公式以及余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用整體思想即

可得出答案。

13.【答案】①③④

【解析】【解答】對(duì)①，因?yàn)槠矫鍭EFG分別與平面BCQBi、平面4DD1&、平面平面

CDD值交于EF,AG,AE,GF，易知平面BCC$i〃平面4。。送1，則4G〃EF,而平面4BB1a〃平

面CDDiQ,則AE〃GF,所以四邊形AEFG是平行四邊形.①正確；

以A為原點(diǎn)，AB,AD,分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

記點(diǎn)G在平面BCCiBi上的投影點(diǎn)為點(diǎn)H,點(diǎn)F,G在平面ABBi公上的投影點(diǎn)分別為點(diǎn)I,J.設(shè)BE=

a,CF=b,DG=c，其中0Wa,b,c<l，則E(l,0,a),F(l,1,b),G(0,1,c)，

4(0,0,0).所以族=(1,0,a),GF=(1,0,b—c)，由①，AE=GF=>b=a+c>貝U

-0<a<1

0<a+c<1.

.0<c<1

易得，Sj=BExBC=a,S2=ABxAJ=c7所以S1+S2WI,②錯(cuò)誤；

，S2=acW(等)2W/，當(dāng)且僅當(dāng)a=c=3,b=1時(shí)取"=”,③正確；

AF—(1,1,b),EG—(—1,1,c—a)?令4尸?EG=-1+1+b(c—a)=0=c=w即

c=a

b=2a則此時(shí)AFEG,平行四邊形AEFG是菱形，而此時(shí)&=(i,1,2a),EG=

{OWa.±

(一1,1,0)n|麗=J4a2+2,\EG\=V2>所以菱形的面積S=J/4a2+2,當(dāng)a=￡時(shí)，Sm3x=

z乙

*x晨華④正確.

Z\4Z

故答案為：①③④.

【分析】根據(jù)題意由面面平行以及正方體的幾何性質(zhì)，結(jié)合中點(diǎn)的性質(zhì)即可得出線線平行，由此即

可得出四邊形的形狀，由此判斷出①正確；由已知條件建立空間直角坐標(biāo)系，由此求出點(diǎn)的坐標(biāo)以

及向量的坐標(biāo)，結(jié)合已知條件即可得出向量模之間的關(guān)系，由此即可判斷出②錯(cuò)誤；由已知條件結(jié)

合三角形的面積公式即可得出面積的代數(shù)式，結(jié)合基本不等式即可求出三角形面積的最大值，從而

判斷出③正確；根據(jù)題意由空間向量的坐標(biāo)公式以及向量模的定義，代入數(shù)值到菱形的面積公式結(jié)

合已知條件，即可得出最大值以及取得最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的a的取值，由此判斷出④正確，從而即可得

出答案。

14.【答案】y2=8%；4

【解析】【解答】因?yàn)辄c(diǎn)4(2,4)在拋物線C：y2=2Px上，

所以16=4p,解得p=4,

所以拋物線C的方程為y2=8x；

則4力OF的面積為SAAOF=\OF\|y4|=^x2x4=4,

故答案為：y2-8x,4

【分析】根據(jù)題意把點(diǎn)的坐標(biāo)代入到拋物線的方程，由此計(jì)算出P的取值，進(jìn)而得出拋物線的方

程，然后由拋物線的定義以及三角形的面積公式代入數(shù)值計(jì)算出結(jié)果即可。

15.【答案】V3;2

【解析】【解答】由題可知而，而，|而|=1,AD=BC，

AE—AB+BE—AB+BC—AB+/ID>AC=AB+AD?

???荏?荏=而?族，

：.~AB-(AB+=AD-(AB+^AD~),可得荏2=g而2,

A\AD\=w,

..AEMC=(aB+“0.(4B+4D)=ZB=l+1x3=2.

故答案為：V3；2.

【分析】根據(jù)題意由向量的加減運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算公式以及向量模的定義，代入數(shù)值計(jì)

算出結(jié)果即可。

16.【答案】(1)證明：因?yàn)镻D1平面ABCD,CEu平面ABCD,

所以PD1CE.

因?yàn)?IB=4,AE=^AB,

所以AE=3,BE=1.

所以也一如一2

m^AD~BE~

所以RtACBEsRt&BAD,

所以8D1CE.

又因?yàn)镻D_LCE,PDCBD=D,

所以CE，平面PBO.

(2)解：因?yàn)镻￡>1平面力BCD,力Du平面ABCD,CDu平面ABC。,

所以PO1AD,PD1CD.

又因?yàn)锳BC。是矩形，AD1CD,

所以4D,CD,PC兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,

所以匹=(0,4,-2),CE=(2,-1,0).

設(shè)平面PCE的一個(gè)法向量為五=（久，y,z）,則

犯.(?￡1=0,即(2%_y=0,

n-Pt=0,'(4y-2z=0.

令x=1,則y=2>z=4.

于是元=(1,2,4).

因?yàn)镻D1平面/BCD,

取平面ACE的法向量為記=（0,0,1）.

沆五二4二4囪

則cos(記,n)

I可同一1-V1+4+16-21

由圖可知二面角P-CE-A為銳角,

所以二面角P-CE-A的余弦值是挈I

【解析】【分析】（1）根據(jù)題意由已知條件結(jié)合線面垂直的性質(zhì)定理即可得出線線垂直，然后由三角形

相似的幾何性質(zhì)即可得出線線垂直，結(jié)合線面垂直的判定定理即可得證出結(jié)論。

（2）由已知條件結(jié)合線面垂直的性質(zhì)定理即可得出線線垂直，由此建立空間直角坐標(biāo)系求出點(diǎn)以及向

量的坐標(biāo)，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)公式計(jì)算出平面PCE的法向量，同理也可求出平面4CE的法向量，再把

結(jié)果代入到夾角的數(shù)量積公式計(jì)算出結(jié)果，由此即可求出二面角P-CE-4的余弦值，由此即可得

出二面角的大小。

17.【答案】（1）解：選條件①②：

因?yàn)閏-a=5,所以￡即7=兀，則3=竿=2.

由題意可知A=2,則/(x)=2sin(2x+(p).

因?yàn)閎=,f(b)=2sin(與+(p)=0,

所以竽+@=k7T,kWZ,即0=—冬+/CTT.

因?yàn)?<W<7T,所以0=掾，k=1.

所以f(%)=2sin(2x+芻.

選條件①③：

因?yàn)閏—。=去所以彳=f即T=m則3=爺=2.

由題意可知A=2,則/(%)=2sin(2x4-(p\

因?yàn)閏=碧，/(c)=2sin(普+9)=-2,

所以普+0=竽+2而，kEZ,即3=5+2".

77

因?yàn)镺VRVTT,所以伊=可k=0.

所以/(%)=2sin(2x+5).

選條件②③：

因?yàn)閎=4，c=所以c—=即7=7T,則3=票=2.

J1Z44/

由題意可知4=2,則/(%)=2sin(2x+(p).

因?yàn)閏=得，f(c)=2sin(普+@)=-2,

所以普+=等+2/czr,kWZ,即3=苴+2上".

因?yàn)?VWVm所以p=*k=0.

所以/(%)=2sin(2x+芻.

(2)解：由題意得g(x)=sin(4x+冬).

函數(shù)y=sinX的單調(diào)遞減區(qū)間為g+2/CTT,當(dāng)+2kji](k6Z).

由￡+2/CTT44x+工+2kn,

俎汽，kit,5n,kn

得F+2X源+7

因?yàn)楹瘮?shù)y=g(%)在區(qū)間［0,上單調(diào)遞減，且0e［-若，蕓］,此時(shí)k=0.

所以mW舞，所以m的最大值是招.

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意當(dāng)選條件①②：首先由已知條件即可得出周期的值，結(jié)合周期公式計(jì)

算出&)的取值，再由特殊值法代入計(jì)算出0的取值，從而即可得出函數(shù)的解析式。選條件①③：

首先由已知條件即可得出周期的值，結(jié)合周期公式計(jì)算出3的取值，再由特殊值法代入計(jì)算出中的取

值，從而即可得出函數(shù)的解析式。選條件②③：同理即可得出答案。

(2)根據(jù)題意由正弦函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合整體思想，即可求出x的取值范圍，由函數(shù)的單調(diào)性即可求出

函數(shù)的最值。

18.【答案】(1)解：設(shè)這個(gè)區(qū)域降雨量在135毫米以上為事件4

區(qū)域降雨量在135毫米以上的區(qū)域共有6個(gè)，所以p(A)=9=|.

答：這個(gè)區(qū)域降雨量在135毫米以上的概率為|.

(2)解：由題意分析可知X=0,1,2,

3

r56_7

P(X=0)一73"=,

cio12015

P(X=1)=2黑=3

L10

P(X=2)=筲=盤(pán)=缶

c10

隨機(jī)變量X的分布列為:

X012

771

P

151515

所以隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為：E(X)=0X4+1X￡+2X^=|.

2s2s2

(3)解：S2<l<3-

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意由等可能事件的概率公式，代入數(shù)值計(jì)算出結(jié)果即可。

(2)根據(jù)題意即可得出X的取值，再由概率的公式求出對(duì)應(yīng)的X的概率由此得到X的分布列，結(jié)合

數(shù)學(xué)期望公式計(jì)算出答案即可。

(3)由已知條件代入數(shù)值代入到方差公式，計(jì)算出結(jié)果，再進(jìn)行比較即可得出答案。

19.【答案】⑴解:當(dāng)a=0時(shí),/(x)=ex(x2+1),/(x)=ex(x2+2x+1),

所以/(0)=1，/(O)=1,

所以切線方程為y=x+l.

(2)解：由f(x)=ex(x2+ax+1),得f(x)=ex[x2+(a+2)x+a+1].

令/(x)=0,得=-a-1,x2=-1.

①若41W%2，則a20,((x)N0在(-1,1)上恒成立，

因此，/(%)在(-1,1)上單調(diào)遞增，無(wú)極值，不符合題意.

②若％1>%2，貝！la<o,/''(%)與/(x)的情況如下：

X(-OO,-1)-1(-1,-a-1)—a—1(一。一1,+8)

/(X)+0—0+

/(X)7極大值極小值7

因此，/(%)在(-8,-1),(-a-1,+8)上單調(diào)遞增，在(-1,一a-1)上單調(diào)遞減.

若/(x)在(—1,1)上有且只有一個(gè)極小值點(diǎn)，則需一1<—a-1<1,

所以一2<a<0.

綜上，a的取值范圍是(-2,0).

(3)解：因?yàn)閑">0,

所以/(%)=ex(x2+ax+1)>ex(x2cosx+1),即/+ax>x2cosx.

又因?yàn)?>0,

所以/+ax>/cosx,即a>xcosx-x.

令g(x)=xcosx—x,所以g(x)=cosx—xsinx-1=(cosx—1)—xsinx.

因?yàn)椋(0,另，所以cosx-l<0,

又xsinx>0,所以g(x)<0,

所以g(x)為(0，身上減函數(shù)，所以g(x)<g(0)=0,所以a20

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為［0,+OO).

【解析】【分析】(1)首先由a的取值即可得出函數(shù)的解析式，再對(duì)其求導(dǎo)然后把點(diǎn)的坐標(biāo)代入到導(dǎo)函

數(shù)的解析式，計(jì)算出斜率的取值結(jié)合點(diǎn)斜式即可得出切線的方程。

(2)根據(jù)題意對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)即可得出函數(shù)的單調(diào)性，由函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合極值的定義

以及已知條件即可得出a的取值范圍。

（3）由已知條件即可得出不等式然后由分離參數(shù)法即可得出不等式a>xcosx-x,構(gòu)造函數(shù)g（x）=

xcosx-x對(duì)其求導(dǎo)結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)即可得出函數(shù)g（x）的單調(diào)性，由函數(shù)的單調(diào)性即可得出a的取

值范圍。

20.【答案】⑴解：由題設(shè)，1=V2,所以。2=2出

又因?yàn)閏=2,a2=d+c2,所以2b2=墳+4.

2

解得力2=4,a-8.

所以橢圓M的方程為#+^=1

o4

（2）解：由題意可知，直線/斜率存在，設(shè)直線[的方程為y=k（x-2）.

由7Pg得（1+2k2）/_8k2x4-（8/c2-8）=0.

22

設(shè)4（%i，為），B（%2，丫2），則%]+冷=8kx1x2=——y.

l+2kl+2fcz

因?yàn)?。_L%軸，所以0（%i，0）.

直線BD方程為曠二三9。一/）,所以E（4,空三辿）.

x2—X1%2一%1

因?yàn)锽Clx軸，所以C（%2，0）.

因?yàn)樽鯿=/^，以=丫2(4一叼)

(X2-X1)(4-X2)-

丫2（4-々）yi

所以AEC—^AC

（工2—4）（4一%2）X1-%2

%(4一%。+%(4—％2)

(%2—％1)(4—％2)

k(x：2-2)(4-％。+/eg2)(4-&)

(%2一%1)(4—％2)

k

[X2)2X1X216

=(%2-%1)(4-%2)6%+--]

_______2k__________24/c28/c2-8

(%2-％i)(4-％2)[l+2/c21+2/c281

16k3k2-必+1-1-2后

(%2-%1)(4—％2)1+2k2

o.

所以C,A,E三點(diǎn)共線.

因?yàn)锽C〃4。,所以SA/ICD=SMB。,

所以SAECD=SAE4B，

所以SAECD：SAE4B=1：1

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意由已知條件即可得出a與b的關(guān)系，再由橢圓里a、b、c的關(guān)系計(jì)算出

a與b的取值，從而即可得出橢圓的方程。

(2)根據(jù)題意由斜截式設(shè)出直線的方程再聯(lián)立直線與橢圓的方程，消去y等到關(guān)于x的一元二次方程

結(jié)合韋達(dá)定理即可得到關(guān)于k的兩根之和與兩根之積的代數(shù)式，然后由斜率的坐標(biāo)公式代入整理計(jì)

算出結(jié)果，由此即可得出三點(diǎn)共線，從而即可得出線線平行以及三角形的相似由此即可得出答案。

21.【答案】(1)解：A1：1,2,4,7,8;A2：1,2,6,7,8;A3：1,5,4,7,8:

Z4：1>5,6>7,8

(2)解：依題意，對(duì)任意i=2,3,…，N—2,有%=a1+1或見(jiàn)+1-1,見(jiàn)+i=/+1或?yàn)?2—

1,

因?yàn)锳均為遞增數(shù)列，所以有為<七+1，即同時(shí)滿足：

aji+1<a(-+1(T),^i+1-1<七+2一1②，《一1+1VQi+2-1③，心+1—1V@+1④.

因?yàn)?為遞增數(shù)列，因此①和②恒成立.

又因?yàn)锳為整數(shù)數(shù)列，對(duì)于③，a一1+1W/</+1W勾+2-1也恒成立.

對(duì)于④，一方面，由七+1-1<為+1,得見(jiàn)+1<七+2,即為+1W為+1.

另一方面，ai+1>at+1,

所以a,+i=/+1(i=2,3,…，N—2),

即4從第2項(xiàng)到第N-1項(xiàng)是連續(xù)的正整數(shù)，

所以a22a1+1=2,CIN-I=a2+N-3<CLN—1=2N-1,

因此2Wa?WN+2,

故。2共有N+1種不同取值，即所有符合條件的數(shù)列4共有N+1個(gè).

(3)解：記與依題意，bn&N*(n=2,3,…，N).

對(duì)任意i=2,3,…，N—1,有為—a；=bi-1或—九+1+1,

注意到OCS(A),即對(duì)任意te{2,3,…，N-1],有見(jiàn)一出工0,

若%—at=九一1W0,則瓦。1,即瓦?>2；

若見(jiàn)一出=一瓦+i+1。0,則瓦+i。1,即加+1>2,

即對(duì)任意i=2,3,…，N-1,或者打之2,或者九+122.

所以九+九+1>3,所以加—1=—瓦+i+1不能成立.

記7\—{i\cLi-cii—b(-1,i=2,3,…，N—1),

T2=仙為一Qj——瓦+i+1,i=2,3,…，N—1},

則71072=。，且7\UT2={2，3,…，N—1}.

注意到：若存在且2W/〈N—2,即出一出二一勺+1+1,則j+lER-

否則，若j+1E7\,則Q/+i-Q/+1=比+1—1=—(—bj+1+1)=—@一%),不合題意.

因此集合71，72有以下三種情形：

①71={2,3,…，N-1}，72=0.

對(duì)任意iC{2,3,…，N-1}.有仇22,貝！J

Ufj=%+(/>2+^—+%N-1)+20+(N-2)12+1=2N—3,

當(dāng)且僅當(dāng)：b2=b3=???=hw_x=2,bN=1,

即A：0,2,4,-,2N-4,2N-3時(shí)，等號(hào)成立，

此時(shí)存在“強(qiáng)緊數(shù)列”40,1,3,…，2N-3，

故此情形下，CZN的最小值為2N-3；

②71={2,3,…，k},T2={k+l,k+2,…，N-1},其中k=2,3,…，N-2.

對(duì)任意iCT],有加22,對(duì)任意j€72,有勺+122.

QN=+(力2+力3+…+瓦)+bk+i+(瓦+2+瓦+3…+即)>0+(/c-1)-2+1+(N—k—1)-2=

2N-3.

故此情形下，Q/V的最小值不小于2N-3；

③71=0，T2={2,3,…，N-1].

對(duì)任意i€{2,3,…，N-1},有加+122,

CLN=a1+勿+(03+力4…+^N)之0+2+(N-2),2=2N—2>2N—3.

故此情形下，a、的最小值不小于2N-3.

綜上，CIN的最小值為2N-3.

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意由已知條件，即可得出滿足題意的答案。

(2)由已知條件即可得出數(shù)列的單調(diào)性，由數(shù)列的單調(diào)性整理化簡(jiǎn)即可得出答案。

(3)根據(jù)題意由已知條件即可得出集合中的元素，再由已知條件結(jié)合元素與集合之間的關(guān)系，對(duì)集合

T分情況討論，即可得出數(shù)列項(xiàng)的最小值。

試題分析部分

1、試卷總體分布分析

總分：102分

客觀題（占比）20.0(19.6%)

分值分布

主觀題（占比）82.0(80.4%)

客觀題（占比）10(47.6%)

題量分布

主觀題（占比）11(52.4%)

2、試卷題量分布分析

大題題型題目量（占比）分值（占比）

填空題5(23.8%)7.0(6.9%)

解答題6(28.6%)75.0(73.5%)

單選題10(47.6%)20.0(19.6%)

3、試卷難度結(jié)構(gòu)分析

序號(hào)難易度占比

1普通(38.1%)

2容易(52.4%)

3困難(9.5%)

4、試卷知識(shí)點(diǎn)分析

序號(hào)知識(shí)點(diǎn)（認(rèn)知水平）分值（占比）對(duì)應(yīng)題號(hào)

1等比數(shù)列的前n項(xiàng)和2.0(2.0%)7

2橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)10.0(9.8%)20

3指數(shù)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用2.0(2.0%)8

4等比數(shù)列的通項(xiàng)公式2.0(2.0%)7

5直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題10.0(9.8%)20

6雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)2.0(2.0%)4

7二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)1.0(1.0%)11

8數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式11.0(10.8%)13,16

9復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算2.0(2.0%)2

10兩角和與差的余弦公式2.0(2.0%)3

11數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法15.0(14.7%)21

12函數(shù)的最值及其幾何意義1.0(1.0%)13

13向量的投影1.0(1.0%)13

14