第五節(jié)二階常系數(shù)線性微分方程

一階線性方程對(duì)應(yīng)齊次方程通解非齊次方程特解常數(shù)變易法二階微分方程復(fù)習(xí):第五節(jié)二階常系數(shù)線性微分方程內(nèi)容提要

1.二階常系數(shù)齊次線性微分方程；

2.二階常系數(shù)線性微分方程解的結(jié)構(gòu).3.二階常系數(shù)線性微分方程的解法.教學(xué)要求

1.掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法；

2.了解二階常系數(shù)線性微分方程解的結(jié)構(gòu).

3.掌握二階常系數(shù)線性微分方程的解法.形如（1）稱為二階線性微分方程.稱為二階齊次線性微分方程.稱為二階非齊次線性微分方程.（2）一、二階線性微分方程的概念二、二階線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)1.二階齊次方程解的結(jié)構(gòu):證明解的線性組合證畢問題:例如例如線性無關(guān)線性相關(guān)定義:例如線性無關(guān)例如2.二階非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu):證明證畢說明:若求的通解則的通解為解的疊加原理該定理的證明(P140)1、定義1.二階常系數(shù)齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式2.二階常系數(shù)非齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式三、二階常系數(shù)線性微分方程的解法(p,q為常數(shù))(p,q為常數(shù))2、二階常系數(shù)齊次線性方程的解法將其代入上方程,得故有特征方程特征根(p,q為常數(shù))是方程的解.Ⅰ

有兩個(gè)不相等的實(shí)根兩個(gè)線性無關(guān)的特解：得齊次方程的通解為設(shè)特征根為如特征方程為Ⅱ

有兩個(gè)相等的實(shí)根一特解為得齊次方程的通解為特征根為如特征方程為Ⅲ

有一對(duì)共軛復(fù)根重新組合得齊次方程的通解為設(shè)特征根為如特征方程為定義由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為特征方程法.總之解特征方程為解得故所求通解為例2解特征方程為解得故所求通解為例1解得故所求特解為解特征方程為解得故所求通解為例3小結(jié)二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟:（1）寫出相應(yīng)的特征方程;（2）求出特征根;（3）根據(jù)特征根的不同情況,得到相應(yīng)的通解.

復(fù)習(xí)對(duì)應(yīng)齊次方程通解結(jié)構(gòu)f(x)常見類型難點(diǎn)：如何求特解y*？方法：待定系數(shù)法.二階常系數(shù)非齊次線性方程的解法(P,q為常數(shù))設(shè)非齊方程特解為代入原方程一、型綜上討論：非齊次方程的通解y*可以設(shè)為：★特別地B是待定常數(shù)★特別地（A是常數(shù)）解特征方程例1比較系數(shù)，得解特征方程代入方程,得例2C,D是待定常數(shù).A,B,λω是常數(shù)以上的推導(dǎo)過程省略,只要求我們會(huì)用它.的特解y*可設(shè)為：解特征方程為所求非齊方程特解為例3這里解特征方程代入原方程所求非齊方程特解為原方程通解為例4對(duì)應(yīng)齊次方程的通解解特征方程例5★請(qǐng)?jiān)O(shè)出下列方程的一個(gè)特解：二階常系數(shù)非齊次線性微分方程解法二階常系數(shù)非齊次線性方程解法

待定系數(shù)法.三、小結(jié)例60t8:209:201解人死后體溫調(diào)節(jié)功能消失，尸體溫度T(t)受外界環(huán)境的影響，服從牛頓冷卻定理.故張某不能被排除在嫌疑犯之外.基本概念一階方程

類型1.直接積分法2.可分離變量3.齊次方程4.線性方程可降階方程線性方程解的結(jié)構(gòu)定理1;定理2定理3;定理4