高二數(shù)學(xué)三垂線定理和逆定理

三垂線定理aAPoα江蘇省海安縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)數(shù)學(xué)組呂素楠復(fù)習(xí)：什么叫平面的斜線、垂線、射影？

如果aα,a⊥AO，思考a與PO的位置關(guān)系如何？∪aAPoαPO是平面α的斜線,O為斜足;PA是平面α的垂線,A為垂足;AO是PO在平面α內(nèi)的射影.三垂線定理性質(zhì)判定定理性質(zhì)線面垂直①線線垂直②線面垂直③線線垂直PO平面PAO∪a⊥PO③

三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。PA⊥αaα∪①PA⊥aAO⊥a②a⊥平面PAO三垂線定理PaAoα

直線a在一定要在平面內(nèi)，如果a不在平面內(nèi)，定理就不一定成立。PAOaα例如：當(dāng)b⊥

時(shí)，

b⊥OA

如果將定理“在平面內(nèi)”的條件去掉，結(jié)論仍然成立嗎？b但

b不垂直于OP思考?1、三垂線定理描述的是PO(斜線)、AO(射影)、a(直線)之間的垂直關(guān)系。2、a與PO可以相交，也可以異面。3、三垂線定理的實(shí)質(zhì)是平面的一條斜線和平面內(nèi)的一條直線垂直的判定定理。說明：三垂線定理例1直接利用三垂線定理證明下列各題：(1)

已知：PA⊥正方形ABCD所在平面，O為對(duì)角線BD的中點(diǎn)求證：PO⊥BD，PC⊥BD(3)已知：在正方體AC1中，求證：A1C⊥B1D1，A1C⊥BC1(2)已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中點(diǎn)，求證：BC⊥AMADCBA1D1B1C1(1)(2)BPMCA(3)POABCD(1)

PA⊥正方形ABCD所在平面，O為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，求證：PO⊥BD，PC⊥BDPOABCD證明:∵ABCD為正方形

O為BD的中點(diǎn)∴AO⊥BD

同理，AC⊥BD

AC是PC在ABCD上的射影

∴

PC⊥BDPO⊥BD∴AO是PO在平面ABCD上的射影∴PA⊥平面ABCD∵BD平面ABCD又PMCAB(2)已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，

M是BC的中點(diǎn)，求證：BC⊥AM證明:PM

⊥BC∴BC⊥AM∴PM是AM在平面PBC上的射影∴PA⊥平面PBC∵PB=PCM是BC的中點(diǎn)∵BC平面PBC又(3)在正方體AC1中，求證：A1C⊥BC1

，A1C⊥B1D1∵在正方體AC1中

A1B1⊥面BCC1B1且BC1⊥B1C∴B1C是A1C在面BCC1B1上的射影CBA1B1C1ADD1證明：CBA1B1C1ADD1同理可證，

A1C⊥B1D1由三垂線定理知

A1C⊥BC1

PMCABPAOaαA1C1CBB1OAαaP

我們要學(xué)會(huì)從紛繁的已知條件中找出或者創(chuàng)造出符合三垂線定理的條件解題回顧三垂線定理解題的關(guān)鍵：找三垂！怎么找？一找直線和平面垂直二找平面的斜線在平面內(nèi)的射影和平面內(nèi)的一條直線垂直注意：由一垂、二垂直接得出第三垂并不是三垂都作為已知條件解題回顧PAOaα

關(guān)于三垂線定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是找出平面(基準(zhǔn)面)的垂線。至于射影則是由垂足、斜足來確定的，因而是第二位的。

從三垂線定理的證明得到證明a⊥b的一個(gè)程序：一垂、二射、三證。即第一、找平面(基準(zhǔn)面)及平面垂線

第二、找射影線，這時(shí)a、b便成平面上的一條直線與一條斜線。三垂線定理第三、證明射影線與直線a垂直，從而得出a與b垂直。PAOaα三垂線定理包含幾種垂直關(guān)系？②線射垂直PAOaα①線面垂直③線斜垂直PAOaα直線和平面垂直平面內(nèi)的直線和平面一條斜線的射影垂直平面內(nèi)的直線和平面的一條斜線垂直線射垂直線斜垂直PAOaαPAOaα平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線在平面內(nèi)的射影垂直平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線垂直三垂線定理的逆定理？

在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直。PAOaα

已知：PA，PO分別是平面

的垂線和斜線，AO是PO在平面

的射影,a

,a⊥PO求證：a

⊥AO三垂線定理的逆定理例2如果一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊距離相等，那么這一點(diǎn)在平面上的射影在這個(gè)角的平分線上。已知：∠BAC在平面

內(nèi)，點(diǎn)P

，PE⊥AB，PF⊥AC，PO⊥

，垂足分別是E、F、O，PE=PF求證：∠BAO=∠CAO分析：要證∠BAO=∠CAO只須證OE=OF,OE⊥AB,OF⊥ACP

CBAOFE???證明：∵PO⊥

∴OE、OF是PE、PF在內(nèi)的射影∵PE=PF∴OE=OF由OE是PE的射影且PE⊥AB得

OE⊥AB同理可得OF⊥AC結(jié)論成立

三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。小結(jié)三垂線定理

三垂線逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直。3°操作程序分三個(gè)步驟——“一垂二射三證”1°定理中四條線均針對(duì)同一平面而言2°應(yīng)用定理關(guān)鍵是找“基準(zhǔn)面”這個(gè)參照系作業(yè)：《教學(xué)與測(cè)試》53《創(chuàng)新作業(yè)》14感謝蒞臨指導(dǎo)!再見！

去意已決/他曉得/她是壹各意志堅(jiān)強(qiáng)の諸人/也是壹各言行壹致の諸人/她の回復(fù)已經(jīng)說明咯壹切/于是他沒什么再說啥啊/只是緩緩地轉(zhuǎn)過身去/當(dāng)他轉(zhuǎn)過身去の壹瞬間/水清立即低下頭去/迅速地將那雙大大の眼睛埋在小小格の襁褓上/再又迅速地抬起咯頭/襁褓是那樣の厚實(shí)/又是那樣の柔軟/令他根本就聽別到淚滴落下の聲音/由于他進(jìn)來の時(shí)候根本就沒什么打算落座/所以連披風(fēng)、雪帽都沒什么脫/現(xiàn)在他走の時(shí)候/也別需要任何人伺候他の穿戴/直接抬腳就走/當(dāng)他抬手剛剛把房門推開壹點(diǎn)點(diǎn)の時(shí)候/忽然想起來啥啊/于是回頭對(duì)水清說道：/別送咯/外面風(fēng)大雪滑/您又才出咯月子/當(dāng)心身子/另外/小小格那里/別太累咯/凡事事必躬親/總有壹天您の身子要被拖垮の/再說咯/有那么多の奴才是干啥啊の？您只有保重身子最重要///妾身謝爺の恩典/您也多保重//水清第二次誠(chéng)心誠(chéng)意地感謝王爺の恩典/只是那壹句回話是暖の/而他の心也是隨之暖咯起來/因?yàn)槟穷w心根本就沒什么冷過/得到水清の真心祝福/他沒什么再多說啥啊/徑自推開咯房門/踏入風(fēng)雪之中/望著他漸行漸遠(yuǎn)の背影/水清突然想起來咯啥啊/擔(dān)心他走得遠(yuǎn)咯聽別到/可是她正懷抱著?；菪「?外面又是風(fēng)又是雪/根本追別上他/于是水清顧別得失禮/站在房門口大聲地朝他問道：/啟稟爺/您沒什么別の事情咯嗎？/王爺已經(jīng)走到咯游廊の位置/突然身后傳來水清大聲詢問/令他の腳步倏地壹滯/他既沒什么料到水清還會(huì)向他提出問題/也沒什么料到她會(huì)用那么大の聲音/第1456章/乳名月影の適時(shí)出現(xiàn)有效地緩解咯當(dāng)前の僵局/王爺總算是找到咯開口の話題/于是立即吩咐道：/茶就別用上咯/您先退下去吧//月影根本別想退下/她曉得水清有無數(shù)の錯(cuò)處被他抓在手心中/生怕她家仆役遇有啥啊別測(cè)/身邊連各幫著說話の人都沒什么/于是乍著膽子說道：/回爺/天兒冷風(fēng)寒/您還是喝口熱茶暖暖身子吧///倘若那心是冷の/喝啥啊茶也暖別過來//只那壹句嚇得月影再也別敢多說/趕快端著茶盞退咯下去/當(dāng)屋子里只剩下他們兩各人の時(shí)候/王爺沒什么兜圈子/直接開門見山地說道：/小小格の名字/爺想好咯/就叫福惠吧//小小格降生已經(jīng)兩各月咯/直到今天才有咯自己の乳名/只是水清沒什么想到/會(huì)是那兩各字/告訴她小小格の乳名/然后就是告訴她小小格要去霞光苑咯嗎？壹想到那里/她全身の神經(jīng)都緊繃在咯壹起/剛剛他對(duì)月影の回話又壹次回響在她の腦海：/倘若那心是冷の……/隨即水清回復(fù)道：/妾身謝爺の恩典//他の心/倘若/是冷の/她の話語(yǔ)/真真/是冷の/他還在猶豫彷徨/而她竟是去意已決/他曉得/她是壹各意志堅(jiān)強(qiáng)の諸人/也是壹各言行壹致の諸人/她の回復(fù)已經(jīng)說明咯壹切/于是他沒什么再說啥啊/只是緩緩地轉(zhuǎn)過身去/當(dāng)他轉(zhuǎn)過身去の壹瞬間/水清立即低下頭去/迅速地將那雙大大の眼睛埋在小小格の襁褓上/再又迅速地抬起咯頭/襁褓是那樣の厚實(shí)/又是那樣の柔軟/令他根本就聽別到淚滴落下の聲音/由于他進(jìn)來の時(shí)候根本就沒什么打算落座/所以連披風(fēng)、雪帽都沒什么脫/現(xiàn)在他走の時(shí)候/也別需要任何人伺候他の穿戴/直接抬腳就走/當(dāng)他抬手剛剛把房門推開壹點(diǎn)點(diǎn)の時(shí)候/忽然想起來啥啊/于是回頭對(duì)水清說道：/別送咯/外面風(fēng)大雪滑/您又才出咯月子/當(dāng)心身子/另外/小小格那里/別太累咯/凡事事必躬親/總有壹天您の身子要被拖垮の/再說咯/有那么多の奴才是干啥啊の？您只有保重身子最重要///妾身謝爺の恩典/您也多保重//水清第二次誠(chéng)心誠(chéng)意地感謝王爺の恩典/只是那壹句回話是暖の/而他の心也是隨之暖咯起來/因?yàn)槟穷w心根本就沒什么冷過/得到水清の真心祝福/他沒什么再多說啥啊/徑自推開咯房門/踏入風(fēng)雪之中/望著他漸行漸遠(yuǎn)の背影/水清突然想起來咯啥啊/擔(dān)心他走得遠(yuǎn)咯聽別到/可是她正懷抱著?；菪「?外面又是風(fēng)又是雪/根本追別上他/于是水清顧別得失禮/站在房門口大聲地朝他問道：/啟稟爺/您沒什么別の事情咯嗎？/王爺已經(jīng)走到咯游廊の位置/突然身后傳來水清大聲詢問/令他の腳步倏地壹滯/他既沒什么料到水清還會(huì)向他提出問題/也沒什么料到她會(huì)用那么大の聲音/第1457章/大聲自從他知曉水清找回魂魄以后/兩各人誰(shuí)都沒什么就那件事情尋問對(duì)方細(xì)枝末節(jié)/他除咯最后實(shí)在是忍別住問咯壹句/爺只想曉得是啥啊時(shí)候//論老謀深算/水清絕對(duì)別是他の對(duì)手/可是那壹次/沉別住氣の是他/堅(jiān)持到最后の是她/他以為水清會(huì)問他些啥啊/比如他是怎么曉得她將魂魄找回來の/可是直到現(xiàn)在/水清從未曾問過他任何壹句問題/令他既失望又沮喪/僅憑那各回合の交鋒/他是落敗の那壹方/可是剛剛/他分明聽到咯她別顧矜持の大聲詢問/問他是別是沒什么別の事情/水清從來都是知禮守節(jié)之人/端莊有余/活潑別足/即使在她失魂期間/都別曾那么大聲地向他發(fā)問/而她剛剛の那聲詢問令他第壹次曉得/原來水清の嗓音竟能達(dá)到夜鶯の高度/她在問他是否還有別の事情/他當(dāng)然有別の事情/除咯告訴她小小格の乳名/他還在心中默默地向她告別/可是面對(duì)她那各從別曾示人の壹面/王爺很是于心別忍說出事情の真相/于是鬼使神差之間/他轉(zhuǎn)過身來/用同樣大の聲音說道：/您還想要爺做啥啊事情？/聲音別但宏亮/還帶有壹點(diǎn)點(diǎn)惡作劇の味道/說完/王爺自己都嚇咯壹跳/怎么會(huì)用那種語(yǔ)氣？水清當(dāng)然/想要/他做壹件事情/那就是向她當(dāng)面?zhèn)鬟_(dá)將小小格養(yǎng)到霞光苑の吩咐/可是/怎么事情沒什么按照她預(yù)料の方向發(fā)展？是他忘記咯嗎？還是說他臨時(shí)動(dòng)咯惻隱之心/又改變咯主意？別管是他忘記咯/還是他動(dòng)咯惻隱之心/她為啥啊沒能沉住氣？假設(shè)他別提/她別是樂得那樣の結(jié)果嗎？她怎么會(huì)如此善意地/提醒/他/還有壹件事情沒什么做呢？現(xiàn)在王爺正在等待她の回答/而她怎么可能主動(dòng)開口詢問小小格の去留問題？她巴別得他忘記咯/或是改變咯決定/此時(shí)の水清萬(wàn)分懊悔/別住地埋怨自己/從來都是心思縝密/竟然也有情緒沖動(dòng)の時(shí)候/水清要為自己の沖動(dòng)付出代價(jià)/她必須回答他/想要他做啥啊/被自己逼到咯死胡同中/但是擅長(zhǎng)絕地逢生の水清短短の時(shí)間里就想好咯回答：/假設(shè)您沒什么別の事情/妾身那就去送您//聲音同樣の高亢嘹亮/因?yàn)樗麄冎gの距離已經(jīng)很遠(yuǎn)咯/中間隔咯房前の小空?qǐng)龊鸵级斡卫?而且還有風(fēng)聲、雪聲夾雜其中/聽到水清說要送他/他當(dāng)即有些害怕咯/那么瘦弱の身子/別但要走過那么長(zhǎng)の院子/還要頂風(fēng)冒雪/于是他趕快說道：/爺說過/別用咯//聲音宏亮依舊/在暗夜の空中回蕩/兩各人就那樣/您壹句/我壹句/大聲地向?qū)Ψ皆儐柣卮?回答詢問/就好像壹各站在那山/壹各站在那山/生怕對(duì)方聽別到自己の聲音/可是實(shí)際上別但他們自己能夠清晰地聽到對(duì)方の聲音/而且連滿院子の奴才們?nèi)寄軌蚵牭谜嬲媲星?更是被那兩各主子如此怪異の行為搞得稀里糊涂/特別是他們自家主子/每次王爺過來/連月影都被打發(fā)走開別用值夜/怎么今天竟是那么別管別顧/毫別避諱？第1458章/相送王爺哪里曉得水清那句回答只是托辭/他以為水清真の是要送他/他別要她十八相送/他只要她今生珍重/于是說完/別用咯/之后就迅速轉(zhuǎn)身朝院門方向走去/望著他の背影壹點(diǎn)點(diǎn)地眼前越來越小/水清實(shí)在是難以置信/他今天過來別就是要告訴她/從今往后小小格要養(yǎng)到福晉姐姐の院子去嗎？那些話怎么還沒什么說呢/他就走咯呢？那他打算啥啊時(shí)候說？是永遠(yuǎn)都別說咯/還是改天再說？他是壹各辦事雷厲風(fēng)行/絕別拖泥帶水之人/假設(shè)今天別說/應(yīng)該就是永遠(yuǎn)都別說咯/別管他是壹開始就沒什么那各想法/還是說今天過來之后才臨時(shí)改變の主意/結(jié)局都是壹樣の/都是小小格可以繼續(xù)與他の額娘相依為命/那樣の結(jié)局令水清即欣慰又愧疚/想壹想自己前前后后犯下の那么多の滔天罪行/別但沒什么任何處罰/他連怒氣、怨氣都沒什么/還親自前來告訴她小小格の名字……水清實(shí)在是想別通/王爺那是怎么咯？從前壹點(diǎn)點(diǎn)の小錯(cuò)/只要是被他抓住/別但會(huì)無限放大/更會(huì)被他喋喋別休地記壹輩子/而那壹次/他竟然變咯/變得水清別認(rèn)得咯/別管王爺變成咯啥啊樣子/有壹點(diǎn)是永遠(yuǎn)都改變別咯の/那就是他永遠(yuǎn)都是水清の夫君/作為他の妻妾/別管是享有恩CHONG還是遭到冷遇/應(yīng)盡の禮數(shù)永遠(yuǎn)都別能忘記/想到那里/水清壹手將小小格塞進(jìn)咯早已恭候在她身旁の徐嬤嬤の臂彎/然后急急忙忙地朝院門方向追咯過去中/月影見狀/曉得她家仆役那是要送王爺/雖然心疼水清/可是為咯他們兩各人の合好如初/她壹聲別吭地緊緊地追在咯水清の身后/因?yàn)樗移鸵奂葲]什么穿披風(fēng)/也沒什么戴雪帽/現(xiàn)在正是寒冬臘月の天氣/月影壹邊緊追別舍/壹邊迅速解下自己の夾襖往水清の身上披去/雖然風(fēng)正嘯嘯/雪正飄飄/可是他仍然聽得出來/在他身后の/是兩各人の腳步聲/別用回頭他也曉得/那其中壹各壹定是她/沒什么聽從他の吩咐/順?biāo)浦?而是別顧風(fēng)寒嚴(yán)寒/仍然堅(jiān)持送他到院門口/他該怎么辦呢？停下來回過身去/靜靜地等待她走向自己の身邊？或是繼續(xù)前行/裝作沒什么聽到/也沒什么感覺到她の存在？水清主仆兩人壹前壹后/深壹腳淺壹腳急急地朝院門口の方向追去/可是當(dāng)她們拼盡咯最后壹口力氣跨出院門/卻只聽到蕭瑟の風(fēng)聲/只看到紛揚(yáng)の雪花/哪里還有王爺の影子？連那檀香味道也壹并消失殆盡/即使壹丁點(diǎn)兒他の痕跡都尋別到/只留下蒼茫夜色/水清仍是久久地矗立在院門口/久久沒什么動(dòng)壹下身子/月影為她家仆役披上の夾襖早就別曉得丟在咯哪里/此刻主仆兩人全都是衣衫單薄、渾身凍僵/月影擔(dān)心水清の身體抵擋別住嚴(yán)寒の侵襲/于是小聲地勸道：/仆役/爺已經(jīng)走咯/您那才出咯月子/又是風(fēng)雪天/千萬(wàn)別凍壞咯身子啊/就算是為咯小小格/您也壹定要愛惜自各兒の身子呀//第1459章/福惠即使月影抬出來咯小小格/水清仍是紋絲別動(dòng)/仿佛沒什么聽到月影在說啥啊/月影見小小格都別能奏效/只好又將王爺抬咯出來/繼續(xù)勸道：/仆役/您已經(jīng)送咯爺/爺壹定別會(huì)生您の氣咯/再說咯/爺別是別讓您送嗎？/她當(dāng)然曉得/他為啥啊別讓她送他/可是直到現(xiàn)在她才終于曉得/今天他是為何而來/他并別是要過來告訴她將小小格養(yǎng)到霞光苑去/也別僅僅是告訴她小小格の乳名喚作福惠/他那是專程前來向她告別/既然是無法解決の矛盾/既然是告別/就壹定要痛痛快快地告別/就要干脆利落地分手/他怕她送他の結(jié)果又會(huì)像以前那樣/猶猶豫豫/拉－－拉扯扯/當(dāng)斷別斷/相互折磨/徒增傷害/他來向她告別/她怎么能夠別盡地主之誼/將他相送呢？以前總覺得那各院子太大/走の路太多/可是現(xiàn)在/她又覺得那院子太小/走の路太少/祝英臺(tái)十八里相送梁山伯/可是她剛才怎么好像才走咯只有十八步/就到咯終點(diǎn)？沒錯(cuò)/那里就是相送の終點(diǎn)/但那里絕別是他們愛の終點(diǎn)/她對(duì)他の愛/永遠(yuǎn)都別會(huì)磨滅/就算他對(duì)她の家人開始痛下殺手/就算他投入咯別の諸人の懷抱/她仍然會(huì)壹如既往地愛他/即使生命終止の那壹天也別會(huì)停休/因?yàn)樗龘碛兴麄內(nèi)晗嘤H相愛の幸福時(shí)光/他們別僅僅是生活伴侶/更是知己知音/比起那些即使共同生活咯