高一數(shù)學(xué)必修2《直線、平面平行的判定及其性質(zhì)》練習(xí)題及高一數(shù)學(xué)平面向量知識(shí)點(diǎn)及典型例題解析

.18-.高一數(shù)學(xué)必修2《直線、平面平行的判定及其性質(zhì)》練習(xí)題第1題.已知，，，且，求證：．答案：證明：．第2題.已知：，，，則與的位置關(guān)系是（）Ａ． Ｂ．Ｃ．，相交但不垂直 Ｄ．，異面答案：Ａ．第3題.如圖，已知點(diǎn)是平行四邊形所在平面外的一點(diǎn)，，分別是，上的點(diǎn)且，求證：平面．答案：證明：連結(jié)并延長(zhǎng)交于．連結(jié)，，，又由已知，．由平面幾何知識(shí)可得，又，平面，平面．第4題.如圖，長(zhǎng)方體中，是平面上的線段，求證：平面．答案：證明：如圖，分別在和上截取，，連接，，．長(zhǎng)方體的各個(gè)面為矩形，平行且等于，平行且等于，故四邊形，為平行四邊形．平行且等于，平行且等于．平行且等于，平行且等于，四邊形為平行四邊形，．平面，平面，平面．第5題.如圖，在正方形中，的圓心是，半徑為，是正方形的對(duì)角線，正方形以所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周．則圖中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三部分旋轉(zhuǎn)所得幾何體的體積之比為．ⅠⅠⅡⅢ答案：第6題.如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，平面外一點(diǎn)到正方形各頂點(diǎn)的距離都是，，分別是，上的點(diǎn)，且．求證：直線平面；求線段的長(zhǎng)．答案：證明：連接并延長(zhǎng)交于，連接，則由，得．，．，又平面，平面，平面．解：由，得；由，知，由余弦定理可得，．第7題.如圖，已知為平行四邊形所在平面外一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，求證：平面．答案：證明：連接、交點(diǎn)為，連接，則為的中位線，．平面，平面，平面．第8題.如圖，在正方體中，，分別是棱，的中點(diǎn)，求證：平面．答案：證明：如圖，取的中點(diǎn)，連接，， 平行且等于，平行且等于， 平行且等于，則為平行四邊形，．平面，平面，平面．第9題.如圖，在正方體中，試作出過(guò)且與直線平行的截面，并說(shuō)明理由．答案：解：如圖，連接交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，，則截面即為所求作的截面．為的中位線，．平面，平面，平面，則截面為過(guò)且與直線平行的截面．第10題.設(shè)，是異面直線，平面，則過(guò)與平行的平面（）Ａ．不存在 Ｂ．有1個(gè)Ｃ．可能不存在也可能有1個(gè) Ｄ．有2個(gè)以上答案：Ｃ．第11題.如圖，在正方體中，求證：平面平面．答案：證明： 四邊形是平行四邊形 ．第12題.如圖，、、分別為空間四邊形的邊，，上的點(diǎn)，且．求證：（１）平面，平面；（２）平面與平面的交線．答案：證明：（１）．．（２）．第13題.如圖，線段，所在直線是異面直線，，，，分別是線段，，，的中點(diǎn)．求證：共面且面，面；設(shè)，分別是和上任意一點(diǎn)，求證：被平面平分．答案：證明：（１），，，分別是，，，的中點(diǎn)．，，，．因此，，，，共面．，平面，平面，平面．同理平面．（２）設(shè)平面＝，連接，設(shè)．所在平面平面＝，平面，平面，． 是是的中位線，是的中點(diǎn)，則是的中點(diǎn)，即被平面平分．第14題.過(guò)平面外的直線，作一組平面與相交，如果所得的交線為，，，，則這些交線的位置關(guān)系為（）Ａ．都平行Ｂ．都相交且一定交于同一點(diǎn)Ｃ．都相交但不一定交于同一點(diǎn)Ｄ．都平行或都交于同一點(diǎn)答案：Ｄ．第15題.，是兩條異面直線，是不在，上的點(diǎn)，則下列結(jié)論成立的是（）Ａ．過(guò)且平行于和的平面可能不存在Ｂ．過(guò)有且只有一個(gè)平面平行于和Ｃ．過(guò)至少有一個(gè)平面平行于和Ｄ．過(guò)有無(wú)數(shù)個(gè)平面平行于和答案：Ａ．第16題.若空間四邊形的兩條對(duì)角線，的長(zhǎng)分別是8，12，過(guò)的中點(diǎn)且平行于、的截面四邊形的周長(zhǎng)為．答案：20．第17題.在空間四邊形中，，，，分別為，，，上的一點(diǎn)，且為菱形，若平面，平面，，，則．答案：．第18題.如圖，空間四邊形的對(duì)棱、成的角，且，平行于與的截面分別交、、、于、、、．（１）求證：四邊形為平行四邊形；（２）在的何處時(shí)截面的面積最大？最大面積是多少？答案：（１）證明：平面，平面，平面平面，．同理，，同理，四邊形為平行四邊形．（２）解：與成角，或，設(shè)，，，，由，得．．當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，截面的面積最大，最大面積為．第19題.為所在平面外一點(diǎn)，平面平面，交線段，，于，，則．答案：第20題.如圖，在四棱錐中，是平行四邊形，，分別是，的中點(diǎn)．求證：平面．答案：證明：如圖，取的中點(diǎn)，連接，，分別是，的中點(diǎn)，，，可證明平面，平面．又，平面平面，又平面，平面．第21題.已知平面平面，，是夾在兩平行平面間的兩條線段，，在內(nèi)，，在內(nèi)，點(diǎn)，分別在，上，且．求證：平面．答案：證明：分，是異面、共面兩種情況討論．當(dāng)，共面時(shí)，如圖（），，連接，．，且，，平面．圖（圖（）圖（）當(dāng)，異面時(shí)，如圖（），過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．在上取點(diǎn)，使，連接，由（１）證明可得，又得．平面平面平面．又面，平面．第22題.已知，，，且，求證：．答案：證明：．第23題.三棱錐中，，截面與、都平行，則截面的周長(zhǎng)是（）．Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．周長(zhǎng)與截面的位置有關(guān)答案：Ｂ．第24題.已知：，，，則與的位置關(guān)系是（）．Ａ． Ｂ．Ｃ．、相交但不垂直 Ｄ．、異面答案：Ａ．第25題.如圖，已知點(diǎn)是平行四邊形所在平面外的一點(diǎn)，、分別是、上的點(diǎn)且，求證：平面．答案：證明：連結(jié)并延長(zhǎng)交于．連結(jié)，，，又由已知，．由平面幾何知識(shí)可得，又，平面，平面．第26題.如圖，長(zhǎng)方體中，是平面上的線段，求證：平面．答案：證明：如圖，分別在和上截得，，連接，，．長(zhǎng)方體的各個(gè)面為矩形，平行且等于，平行且等于．平行且等于，平行且等于，四邊形為平行四邊形，．平面，平面，平面．第27題.已知正方體，求證：平面平面．答案：證明：因?yàn)闉檎襟w，所以，．又，，所以，，所以為平行四邊形．所以．由直線與平面平行的判定定理得平面．同理平面，又，所以，平面平面．第28題.已知平面外的兩條平行直線中的一條平行于這個(gè)平面，求證：另一條也平行于這個(gè)平面．如圖，已知直線，平面，且，，，都在外．求證：．答案：證明：過(guò)作平面，使它與平面相交，交線為．因?yàn)椋?，，所以．因?yàn)?，所以．又因?yàn)?，，所以．?9題.如圖，直線，，相交于，，，．求證：平面．答案：提示：容易證明，．進(jìn)而可證平面平面．第30題.直線與平面平行的充要條件是（）Ａ．直線與平面內(nèi)的一條直線平行Ｂ．直線與平面內(nèi)兩條直線不相交Ｃ．直線與平面內(nèi)的任一條直線都不相交Ｄ．直線與平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線平行答案：Ｃ．高一數(shù)學(xué)第八章平面向量第一講向量的概念與線性運(yùn)算一．【要點(diǎn)精講】1．向量的概念①向量：既有大小又有方向的量。幾何表示法，；坐標(biāo)表示法。向量的模（長(zhǎng)度），記作||.即向量的大小，記作｜|。向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小.②零向量：長(zhǎng)度為0的向量，記為，其方向是任意的，規(guī)定平行于任何向量。（與0的區(qū)別）③單位向量｜｜＝1。④平行向量（共線向量）方向相同或相反的非零向量，記作∥⑤相等向量記為。大小相等，方向相同2．向量的運(yùn)算（1）向量加法：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算叫做向量的加法.如圖，已知向量a，b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，作a，b，則向量叫做a與b的和，記作a+b，即a+b特殊情況：向量加法的三角形法則可推廣至多個(gè)向量相加：，但這時(shí)必須“首尾相連”。②向量減法：同一個(gè)圖中畫(huà)出要點(diǎn):向量加法的“三角形法則”與“平行四邊形法則”（1）用平行四邊形法則時(shí)，兩個(gè)已知向量是要共始點(diǎn)的，和向量是始點(diǎn)與已知向量的始點(diǎn)重合的那條對(duì)角線，而差向量是另一條對(duì)角線，方向是從減向量指向被減向量。（2）三角形法則的特點(diǎn)是“首尾相接”，由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)的有向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn).（3）實(shí)數(shù)與向量的積3．兩個(gè)向量共線定理：向量與非零向量共線有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得=。二．【典例解析】題型一：向量及與向量相關(guān)的基本概念概念例1判斷下列各命題是否正確(1)零向量沒(méi)有方向(2)若(3)單位向量都相等(4)向量就是有向線段(5)兩相等向量若共起點(diǎn),則終點(diǎn)也相同(6)若，，則；(7)若，，則(8)的充要條件是且；(9)若四邊形ABCD是平行四邊形,則練習(xí).(四川省成都市一診)在四邊形ABCD中，“EQ\o(AB,\s\up5(→))＝2\o(DC,\s\up5(→))”是“四邊形ABCD為梯形”的A、充分不必要條件 B、必要不充分條件 C、充要條件D、既不充分也不必要條件題型二:考查加法、減法運(yùn)算及相關(guān)運(yùn)算律例2化簡(jiǎn)=練習(xí)1.下列命題中正確的是A．B．C．D．2.化簡(jiǎn)得A．B．C．D．3．如圖，D、E、F分別是△ABC的邊AB、BC、CA的中點(diǎn)，則()A.eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝0B.eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(CF,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝0C.eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))－eq\o(CF,\s\up6(→))＝0D.eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BE,\s\up6(→))－eq\o(FC,\s\up6(→))＝0題型三:結(jié)合圖型考查向量加、減法例3在所在的平面上有一點(diǎn)，滿足，則與的面積之比是()A．B．C．D．例4重心、垂心、外心性質(zhì)ABCDE練習(xí):1．如圖，在ΔABC中，D、E為邊AB的兩個(gè)三等分點(diǎn)，eq\o(CA,\s\up6(→))=3a，eq\o(CB,\s\up6(→))=2b，求eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))．ABCDE2已知求證3若為的內(nèi)心，且滿足，則的形狀為（）A.等腰三角形B.正三角形C.直角三角形D.鈍角三角形4．已知O、A、B是平面上的三個(gè)點(diǎn)，直線AB上有一點(diǎn)C，滿足2eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝0，則eq\o(OC,\s\up6(→))＝()A．2eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))B．－eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))C.eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))D．－eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))5．已知平面上不共線的四點(diǎn)O，A，B，C.若eq\o(OA,\s\up6(→))－3eq\o(OB,\s\up6(→))＋2eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，則eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))|,|\o(BC,\s\up6(→))|)等于________．6．已知平面內(nèi)有一點(diǎn)P及一個(gè)△ABC，若eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，則()A．點(diǎn)P在△ABC外部B．點(diǎn)P在線段AB上C．點(diǎn)P在線段BC上D．點(diǎn)P在線段AC上7．在△ABC中，已知D是AB邊上一點(diǎn)，若eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋λeq\o(CB,\s\up6(→))，則λ等于()A.eq\f(2,3)B.eq\f(1,3)C．－eq\f(1,3)D．－eq\f(2,3)題型四:三點(diǎn)共線問(wèn)題例4設(shè)是不共線的向量,已知向量,若A,B,D三點(diǎn)共線,求k的值例5已知A、B、C、P為平面內(nèi)四點(diǎn)，A、B、C三點(diǎn)在一條直線上eq\o(PC,\s\up6(→))=meq\o(PA,\s\up6(→))+neq\o(PB,\s\up6(→))，求證：m+n=1．練習(xí)：1．已知：，則下列關(guān)系一定成立的是（）A、A，B，C三點(diǎn)共線B、A，B，D三點(diǎn)共線C、C，A，D三點(diǎn)共線D、B，C，D三點(diǎn)共線2．(原創(chuàng)題)設(shè)a，b是兩個(gè)不共線的向量，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋kb，eq\o(CB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a－b，且A，B，D三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)k的值等于________．第2講平面向量的基本定理與坐標(biāo)表示一．【要點(diǎn)精講】1．平面向量的基本定理如果是一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)使：其中不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.2．平面向量的坐標(biāo)表示如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，我們分別取與軸、軸方向相同的_單位向量_、作為基底任作一個(gè)向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使得…………eq\o\ac(○,1)，把叫做向量的（直角）坐標(biāo)，記作…………eq\o\ac(○,2)其中叫做在軸上的坐標(biāo)，叫做在軸上的坐標(biāo)，eq\o\ac(○,2)式叫做向量的坐標(biāo)表示與相等的向量的坐標(biāo)也為特別地，，，特別提醒：設(shè)，則向量的坐標(biāo)就是點(diǎn)的坐標(biāo)；反過(guò)來(lái)，點(diǎn)的坐標(biāo)也就是向量的坐標(biāo)因此，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個(gè)平面向量都是可以用一對(duì)實(shí)數(shù)唯一表示3．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算（1）若，，則=，=（2）若，，則（3）若和實(shí)數(shù)，則4．向量平行的充要條件的坐標(biāo)表示：設(shè)=(x1,y1)，=(x2,y2)其中BCAOMD∥()的充要條件是BCAOMD二．【典例解析】題型一.利用一組基底表示平面內(nèi)的任一向量[例1]在△OAB中，，AD與BC交于點(diǎn)M，設(shè)=，=，用,表示.練習(xí):1．若已知、是平面上的一組基底，則下列各組向量中不能作為基底的一組是()A．與—B．3與2C．＋與—D．與22．在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn)，若eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AE,\s\up6(→))＋μeq\o(AF,\s\up6(→))，其中λ、μ∈R，則λ＋μ＝________.題型二:向量加、減、數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算例3已知A（—2,4）、B（3,—1）、C（—3,—4）且,,求點(diǎn)M、N的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo).練習(xí):1.(2008年高考遼寧卷)已知四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為()A．(2，eq\f(7,2))B．(2，－eq\f(1,2))C．(3,2)D．(1,3)2．若M(3,-2)N(-5,-1)且,求P點(diǎn)的坐標(biāo)；3．若M(3,-2)N(-5,-1)，點(diǎn)P在MN的延長(zhǎng)線上，且,求P點(diǎn)的坐標(biāo)；4.(2009年廣東卷文)已知平面向量a=，b=，則向量()A平行于軸 B.平行于第一、三象限的角平分線C.平行于軸 D.平行于第二、四象限的角平分線5．在三角形ABC中，已知A(2,3)，B(8，－4)，點(diǎn)G(2，－1)在中線AD上，且eq\o(AG,\s\up6(→))＝2eq\o(GD,\s\up6(→))，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是()A．(－4,2)B．(－4，－2)C．(4，－2)D．(4,2)6．設(shè)向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a、4b－2c、2(a－c)、d的有向線段首尾相接能構(gòu)成四邊形，則向量d為()A．(2,6)B．(－2,6)C．(2，－6)D．(－2，－6)7．已知A(7,1)、B(1,4)，直線y＝eq\f(1,2)ax與線段AB交于C，且eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(CB,\s\up6(→))，則實(shí)數(shù)a等于()A．2B．1C.eq\f(4,5)D.eq\f(5,3)題型三:平行、共線問(wèn)題例4已知向量，，若∥，則銳角等于（）A．B． C．D．例5．（2009北京卷文）已知向量，如果那么 ( )A．且與同向B．且與反向C．且與同向D．且與反向練習(xí)：1．若向量=(-1,x)與=(-x,2)共線且方向相同，求x2．已知點(diǎn)O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及，求(1)t為何值時(shí)，P在x軸上？P在y軸上？P在第二象限。(2)四邊形OABP能否構(gòu)成為平行四邊形？若能，求出相應(yīng)的t值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。3．已知向量a＝(1,2)，b＝(0,1)，設(shè)u＝a＋kb，v＝2a－b，若u∥v，則實(shí)數(shù)k的值為()A．－1B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2)D．14．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb與a－2b共線，則eq\f(m,n)等于()A．－eq\f(1,2)B．2C.eq\f(1,2)D．－25．已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，－3)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2，－1)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(m＋1，m－2)，若點(diǎn)A、B、C能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m應(yīng)滿足的條件是()A．m≠－2B．m≠eq\f(1,2)C．m≠1D．m≠－16．已知點(diǎn),試用向量方法求直線和（為坐標(biāo)原點(diǎn)）交點(diǎn)的坐標(biāo)。題型四：平面向量綜合問(wèn)題例6．已知ΔABC的角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c，設(shè)向量，，.若//，求證：ΔABC為等腰三角形；若⊥，邊長(zhǎng)c=2，角C=，求ΔABC的面積.練習(xí)已知點(diǎn)A(－1,2)，B(2,8)以及eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up6(→))，求點(diǎn)C、D的坐標(biāo)和eq\o(CD,\s\up6(→))的坐標(biāo)．第三講平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用一．【要點(diǎn)精講】（1）兩個(gè)非零向量的夾角已知非零向量a與a，作＝，＝，則∠AＯA＝θ（０≤θ≤π）叫與的夾角；說(shuō)明：兩向量的夾角必須是同起點(diǎn)的，范圍0≤≤180。CC（2）數(shù)量積的概念非零向量與，·=︱︱·︱︱cos叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積）。規(guī)定；向量的投影：︱︱cos=∈R，稱為向量在方向上的投影。投影的絕對(duì)值稱為射影；（3）數(shù)量積的幾何意義：·等于的長(zhǎng)度與在方向上的投影的乘積.注意：⑴只要⊥就有·=0，而不必=或=．⑵由·=·及≠0卻不能推出=．得||·||cosθ1=||·||cosθ2及||≠0，只能得到||cosθ1=||cosθ2，即、在方向上投影相等，而不能得出=(見(jiàn)圖)．⑶(·)≠(·)，向量的數(shù)量積是不滿足結(jié)合律的．⑷對(duì)于向量、，有|·|≤||·||，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)∥時(shí)成立．（4）向量數(shù)量積的性質(zhì)①向量的模與平方的關(guān)系：。②乘法公式成立；；③向量的夾角：cos==。（5）兩個(gè)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算已知兩個(gè)向量，則·=。（6）垂直：如果與的夾角為900則稱與垂直，記作⊥。兩個(gè)非零向量垂直的充要條件：⊥·＝O（7）平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式設(shè)，則或。(平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式).二．【典例解析】題型一：數(shù)量積的概念例1．判斷下列各命題正確與否：（1）；（2）；（3）若，則；（4）若，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立；（5）對(duì)任意向量都成立；題型二.求數(shù)量積、求模、求夾角的簡(jiǎn)單應(yīng)用例2；題型三：向量垂直、平行的判定例3．已知向量，，且，則。例4．已知，，，按下列條件求實(shí)數(shù)的值。（1）；（2）；。例5．已知：、、是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中=（1，2）若||，且，求的坐標(biāo)；（2）若||=且與垂直，求與的夾角.練習(xí)1若非零向量、滿足，證明:2在△ABC中，=(2,3)，=(1,k)，且△ABC的一個(gè)內(nèi)角為直角，求k值3．已知向量，，若，則（）A．B．C．D．4.5．知為的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，向量．若，且，則角的大小分別為（）A． B．C． D．題型四：向量的夾角例6已知向量=(cos,sin),=(cos,sin),且，求與的夾角練習(xí)1已知兩單位向量與的夾角為，若，試求與的夾角。2．||=1，||=2，=+，且⊥，則向量與的夾角為 （） A．30° B．60° C．120° D．150°3．設(shè)非零向量a、b、c滿足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，則〈a，b〉＝()A．150°B．120°C．60°D．30°4．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝eq\r(5)，若(a＋b)·c＝eq\f(5,2)，則a與c的夾角為()A．30°或150°B．60°或120°C．120°D．150°5.過(guò)△ABC的重心任作一直線分別交AB，AC于點(diǎn)D、E．若，，，則的值為（）（A）4（B）3（C）2（D）1解析：取△ABC為正三角形易得＝3．選B．4.設(shè)向量與的夾角為，，，則．5．在△ABC中，(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|2，則三角形ABC的形狀一定是()A．等邊三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形.6已知向量與互相垂直，其中．（1）求和的值；（2）若，求的值．題型五：求夾角范圍例7已知,且關(guān)于的方程有實(shí)根,則與的夾角的取值范圍是A.[0,]B.C.D.練習(xí)1．設(shè)非零向量=，=，且，的夾角為鈍角，求的取值范圍2．已知，,如果與的夾角為銳角,則的取值范圍是3．設(shè)兩個(gè)向量、，滿足，，、的夾角為60°，若向量與向量的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.4．如圖，在Rt△ABC中，已知BC=a，若長(zhǎng)為2a的線段PQ以點(diǎn)A為中點(diǎn)，問(wèn)ABCa的夾角取何值時(shí)的值最大？并求出這個(gè)最大值A(chǔ)BCa（以直角頂點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，兩直角邊所在直線為坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系）題型六：向量的模例8．已知向量與的夾角為，則等于（） A．5B．4C．3D．1練習(xí)1平面向量a與b的夾角為，a＝(2,0),|b|＝1，則|a＋2b|等于 （）A. B.2 C.4 D.122．已知平面上三個(gè)向量、、的模均為1，它們相互之間的夾角均為120°，（1）求證：⊥；（2）若，求的取值范圍.3．平面向量中，已知，且，則向量______.4．已知||=||=2，與的夾角為600，則+在上的投影為。5．設(shè)向量滿足，則。6．已知向量的方向相同，且，則______。7、已知O，N，P在所在平面內(nèi)，且，且，則點(diǎn)O，N，P依次是的 （)A.重心外心垂心 B.重心外心內(nèi)心C.外心重心垂心 D.外心重心內(nèi)心題型七：向量的綜合應(yīng)用例9．已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2,2)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(4,1)，在x軸上一點(diǎn)P，使eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))有最小值，則P點(diǎn)的坐標(biāo)是________．練習(xí)1．已知向量a與向量b的夾角為120°，若向量c＝a＋b，且a⊥c，則eq\f(|a|,|b|)的值為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(2\r(3),3)C．2D.eq\r(3)2．已知圓O的半徑為a，A，B是其圓周上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝()A.eq\f(3,2)a2B．－eq\f(3,2)a2C.eq\f(\r(