2022年甘肅省張掖市高考理科數學第二次聯考試卷及答案解析

2022年甘肅省張掖市高考理科數學第二次聯考試卷

一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.(5分)已知集合A={妙=反71}，8={x|y=/g(x-l)},AU8=()

A.{x|x>1}B.{小<1}C.{小Wl}D.{小21}

2.（5分）“0<5V空是“OVsinOV亨”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.（5分）已知sin?—a）=/，則sin2a=（）

774>/245/2

A.—QB.-C.-----D.土---

9999

4.（5分）己知復數為=1-1（,?表示虛數單位），復數z滿足|z-zo|=l,則|z|的取值范圍

是（）

A.[0,1]B.[0,4]C.[0,2]D.[1,2]

5.（5分）△4BC的內角A,B,C所對邊分別為a,b,c,若力=3,c=2,△ABC的面積

為2sinB,則cosA=（）

12V73

A.—B.—C.—D.一

3344

6.（5分）已知奇函數在R上是增函數，g（x）—xf（x）.若a=g（-20,5）,b=g（-

log20.2）,c—g（3）,則a,b,c的大小關系為（）

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a

7.（5分）給甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三項工作，每項工作至少一人，每

人做且僅做一項工作，甲不能安排木工工作，則不同的安排方法共有（）

A.12種B.18種C.24種D.64種

8.（5分）已知5”}是等差數列，公差d>0,其前〃項和為S“若42,45+2,07+2成等比

數列，Sn=5+?即則不正確的是（）

A.d=lB.aio=2O

2

C.Sn=n+nD.當〃22時，Sn>yan

9.（5分）良好的睡眠是保證高中學生良好學習狀態(tài)的基礎，為了解某校高三學生的睡眠狀

第1頁共26頁

況，該校調查了高三年級1200名學生的睡眠時間（單位：小時），經調查發(fā)現，這1200

名學生每天的睡眠時間X?M8,1），則每天的睡眠時間為5?6小時的學生人數約為（）

（結果四舍五入保留整數）

（附：若X?N（|i,則p（口-。WXWn+。）、0.6827,P（口-2。。）

p0.9545,P（n-3oWXW+3。）?=0.9973.）

A.163B.51C.26D.20

10.（5分）將函數y=3sin（x-1）的圖象向右平移<p（0<<p<n）個單位長度后得到f（x）

TT57r

的圖象.若/（X）在（一，—）上單調遞增，則<P的取值范圍為（）

66

71717171712717127r

A?與,7]B.1，-]C,[-,y]D,[-,-1

x2y2

11.（5分）已知雙曲線C：—-—=1（6F>0,h>0）的左、右焦點分別為尸1、尸2，過22

QNb2

的直線/交雙曲線的右支于A、8兩點.點M滿足/=2薪，且就?BX=0.若

cosNAFiB=/，則雙曲線C的離心率是（）

A.—B.V3C.2D.V5

2

12.（5分）已知㈤表示不超過的最大整數，如：[-1.2]=-2,=[3]=3.若函數/

（x）—x^lnx,xG.（011）,則M""]=（）

A.3B.2C.ID.0

二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）

13.（5分）拋物線C：/=4ay的焦點坐標為（0,2）,則C的準線方程為.

14.（5分）已知四個函數：①/二-―②y=/,③y=2,?y—lnx,從中任選2個，則事

件“所選2個函數的圖像有且僅有一個公共點”的概率為.

15.（5分）設a=『（cosx-sinx）公,則二項式展開式中的小項的系數為.

16.（5分）在△ABC中，AB=4,AC=1,尸為AB邊上一點，2|AB+4AC\=20,則而?而

的最小值為.

第2頁共26頁

三、解答題(本大題共5小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

sinA-sinB

17.(12分)在①sin2C-gcos2c=4sinC-再,?b=+ccosA,@~——

Nab+c

這三個條件中任選一個，補充在下面橫線處，然后解答問題.

在△ABC中，內角4,B,C的對邊分別為a,b,c,已知.

(1)求角C的大??；

(2)若“+6=8,求aABC的外接圓面積的最小值.

第3頁共26頁

18.（12分）中華民族是一個歷史悠久的民族，在泱泱五千年的歷史長河中，智慧的華夏民

族在很多領域都給人類留下了無數的瑰寶.比如，在數學領域中：十進位制記數法和零

的采用；二進位制思想起源；幾何思想起源；勾股定理（商高定理）；幻方；分數運算法

則和小數；負數的發(fā)現；盈不是術；方程術；最精確的圓周率一一“祖率”；等積原理一

-“祖瞄”原理；二次內插法；增乘開方法；楊輝三角；中國剩余定理；數字高次方程

方法——“天元術”；招差術……，這些累累碩果都是華夏民族的祖先們?yōu)槿祟惖闹腔蹖?/p>

庫留下的珍貴財富.近代中國數學也在一直向前發(fā)展，涌現了蘇步青、華羅庚、陳省身、

吳文俊、陳景潤、丘成桐等國際頂尖數學大師，他們在微分幾何學、計算幾何學、中國

解析數論、矩陣幾何學、典型群、自安函數論、整體微分幾何、幾何定理機械化證明、

拓撲學、哥德巴赫猜想研究、幾何分析等諸多領域取得了杰出成就.這些數學成就和數

學大師激勵了一代代華夏兒女自強不息，奮勇前進.為增強學生的民族自豪感，培養(yǎng)學

生熱愛科學、團結協作、熱愛祖國的優(yōu)良品德，以及培養(yǎng)學生的思維品質，改變學生的

思維習慣，提高學生對數學學習的興趣，某中學在該校高一年級開設了選修課《中國數

學史》.經過一年的學習，為了解同學們在數學史課程的學習后，學習數學的興趣是否濃

厚，該校隨機抽取了200名高一學生進行調查，得到統計數據如表：

對數學興對數學興合計

趣濃厚趣薄弱

選學了《中國數學史》10020120

未選學《中國數學史》Xyn

合計160m200

（1）求2X2列聯表中的數據x,），，m,〃的值，并確定能否有85%的把握認為對數學興

趣濃厚與選學《中國數學史》課程有關；

第4頁共26頁

（2）在選學了《中國數學史》的120人中按對數學是否興趣濃厚，采用分層隨機抽樣的

方法抽取12人，再從12人中隨機抽取3人做進一步調查.若初始總分為10分，抽到的

3人中，每有一人對數學興趣薄弱減1分，每有一人對數學興趣濃厚加2分.設得分結果

總和為X,求X的分布列和數學期望.

2

附：片=（a+b芯瑟?d）（b+d），H之

P（產》0.1500.1000.0500.0250.010

依）

ko2.0722.7063.8415.0246.635

第5頁共26頁

1

19.(12分)如圖在四棱錐A-8C0E中，CD//EB,CD與EB=1,CB1BE,AE=AB=

BC=y[2,AD=y/3.。是AE的中點.

(I)求證：。。〃平面ABC；

(II)求D4與平面A8C所成角的正弦值.

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20.(12分)已知雙曲線C：4-4=1(a>0,Q0)的左頂點為A(-2,0),右焦點為

azb

F,點B在C上.當尸時，\AF]=\BF\.不垂直于x軸的直線與雙曲線同一支交于

P，。兩點.

(1)求雙曲線C的標準方程；

(2)直線尸。過點F,在x軸上是否存在點N,使得x軸平分NPNQ?若存在，求出點

的N的坐標；若不存在，說明理由.

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21.(12分)已知函數/(%)=a(詈+1)(其中L為非零實數).

(1)討論/(x)的單調性；

(2)若g(x)=，-/(x)有兩個零點xi，X2.

①求實數”的取值范圍；

②求證：與不＞e2-(石+小).

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請考生在第(22),(23)兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.作答時

用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑.

22.(10分)在直角坐標系xOy中，已知曲線G：［二sin2a〈a為參數)，在以。為極點，

x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：pcos("勺=-孝，曲線C3：p=2sin0.

(1)求曲線Ci與C2的交點M的直角坐標；

(2)設點A,B分別為曲線C2，C3上的動點，求HB|的最小值.

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23.己知函數/(x)=|2x-r|+|x+3|.

(1)若對任意的在［-3,+8),/(x)24恒成立，求正實數/的最小值

(2)若ab>0,且(〃+/?)(〃③+護)=M,求證：a2+b2<V2.

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2022年甘肅省張掖市高考理科數學第二次聯考試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.(5分)已知集合A={Xy=-1},8={x[y=/g(x-1)},AUB=()

A.{x|x>1}B.{Rx<l}C.{xpcWl}D.{xpc'l}

解：?.,集合A={x|)，=V^=T}={xkel}，

8={x|y=/g(x-1)}={小>1},

.?.AU8={xW2l}.

故選：D.

2.(5分)"0<e是“OVsin"身的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解：當0V8V押，利用正弦函數尸sinx的單兩性知0々加。〈堂；

當0<sin6V等時，2knVe<2kn+W（kSZ）或2k+冬V。<2kir+n（kGZ）,

綜上可知”0<。<引是"OBnOV等“的充分不必要條件，

故選：A.

3.（5分）已知sin?—a）=4，則sin2a=（）

774724>/2

A,一不B.-C.-----D.土---

9999

解：sin2a=cos（］—2a）=1-2sin2（^—?）=^

故選：B.

4.（5分）已知復數為=工一1（i表示虛數單位）,復數z滿足|z-zo|=l,則|z|的取值范圍

是（）

A.[0,1]B.[0,4]C.[0.2]D.[1,2]

解：ZQ=-2(1+0-1=l+i-1=/,

!1一I_(lT)(l+i)

|z-zo|=|z-i|=l,

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由復數的幾何意義可得，復數Z對應的點在以(0,1)為圓心，I為半徑的圓上,

???0W|z|W2,

故選：C.

5.(5分)/XABC的內角A,B,C所對邊分別為小b,c,若b=3,c=2,△ABC的面積

為2sin-則cosA=()

12V73

A.-B.-C.—D.

3344

解：由題意得，h=3,c=2,△ABC的面積為2sin3,

11

所以—acsin8=2sin3,即一xtzX2XsinB=2sinB,

22

因為sinBWO,可得〃=2,

則cos,4-『+c2-a2_9+1_3

人JcosA_2bc-2x3x2一4

故選：D.

6.(5分)已知奇函數/(x)在R上是增函數，g(x)=xf(x).若a=g(-205),b=g(-

logaO.2),c=g(3),則a,b,c的大小關系為()

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a

解：因為奇函數f(x)在R上是增函數，

所以g(x)=xf(x)為偶函數且在(0,+8)上單調遞增，

所以a=g(-2°$)=g(20,5)=g(V2),

b=g(-log20.2)=g(log25),

c=g(3),

又因為1V&<2Vlog25V3,

所以g(V2)<g(log25)<g(3),

即a<b<c.

故選:A.

7.(5分)給甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三項工作，每項工作至少一人，每

人做且僅做一項工作，甲不能安排木工工作，則不同的安排方法共有()

A.12種B.18種C.24種D.64種

解：根據題意，分2步進行分析：

①，將4人分成3組，有C42=6種分法；

②，甲不能安排木工工作，甲所在的一組只能安排給泥工或油漆，有2種情況，

第12頁共26頁

2

將剩下的2組全排列，安排其他的2項工作，有A2=2種情況，

此時有2X2=4種情況，

則有6X4=24種不同的安排方法；

故選：C.

8.（5分）已知5”｝是等差數列，公差d>0,其前〃項和為S”若。2,a5+2,G7+2成等比

即

數列，Sra=5+；）則不正確的是（）

A.d=lB.6FIO=2O

2

C.Sn=n4-nD.當〃22時,Sn>

解：由Sn=中,得”&=婦當，

整理得見=〃。1，取〃=5,得。5=5的，

又。5=。|+4",，5〃i=Qi+4a,得〃1=4

Q5+2,a17+2成等比數列，

???（。5+2）2=。2（即7+2）,即（5d+2）2=2d?（17d+2）,

整理得9/-16d-4=0,解得d=2（d>0）,故A錯誤；

a\o=a\+9d=10t/=20,故8正確；

S九=2九+zl"」=n24-n,故C正確；

QQ

當"22時，Sn—2an-+n一2x2n=一2n——■（n—1）2—1>0,

故。正確.

故選：A.

9.（5分）良好的睡眠是保證高中學生良好學習狀態(tài)的基礎，為了解某校高三學生的睡眠狀

況，該校調查了高三年級1200名學生的睡眠時間（單位：小時），經調查發(fā)現，這1200

名學生每天的睡眠時間X?M8,1）,則每天的睡眠時間為5?6小時的學生人數約為（）

（結果四舍五入保留整數）

（附：若X?N（R,。2）,則P⑺-。WXWp+o）%0.6827,P（口-2。WXWp+2。）

-0.9545,P⑺-3。WXW+3。）-0.9973.）

A.163B.51C.26D.20

解：,:X?N（8,I）,

??|i—8>。=1,

第13頁共26頁

P(5<X<6)=P(|i-3。<X<|i-2o)

1

=^[P(H-3o<X<|i+3o)-P(n-2o<X<H+2O)]

1

a*X(0.9973-0.9545)=0.0214,

?.?高三年級有1200名學生，

每天的睡眠時間為5?6小時的學生人數約為1200X0.0214=25.68^26.

故選：C.

10.(5分)將函數y=3sin(x-j)的圖象向右平移<p(0<<p<n)個單位長度后得到了(x)

7T57r

的圖象.若f(X)在(/，—)上單調遞增，則⑴的取值范圍為()

66

7T717171712.TT7127r

A?及B.*-]C,1-,yjD,y]

解：由題意知，f(x)=3sin(x-(p—看)，

當*等時，-q)<x-3一看V冬一(p,

V0<(p<ir,

?八冗2兀2TT

??-TT<-(p<0,一可--(P<手，

?,)271

7T77

解得7<<p<7.

o乙

故選：B.

x2y2

11.(5分)已知雙曲線C：—--=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為Q、F2,過92

a2b2

的直線/交雙曲線的右支于A、B兩點.點M滿足北+4%=2薪，S.AM-BFr=0.若

cos/AFiB=/，則雙曲線C的離心率是()

次lr-

A.—B.V3C.2D.V5

2

解：'：AB+AFX=2AM,AM-BFX=0,

為線段BFi的中點，AM±BFi，即AM垂直平分尸iB,

：.\AFi\=\AB\,設|AFi|=m,則

又△4MQ為直角三角形，

第14頁共26頁

11

?:cos4叫B=%即cos乙4F1M=%

11

??.|FM=楙m,|F/|=im,

由雙曲線定義可得|A尸11-|A尸2|=2m\BFi\-\BF2\=2a9

A|AFi|+|BFi|-|AB|=4a,

??m=8。，

：.\F\B\=4a,\F2B\=2af

又cos乙FzBF、=cos乙ABF1=cosZ.AF^B=

\BF\2+\BF\2-\FF\21

由余弦定理可得2112一,

2\BF2\\BF1\4

4a2+16a2-4c21

2x2ax4a4’

離心率e=g=2.

故選：C.

12.(5分)己知㈤表示不超過的最大整數，如：[-1.2]=-2,=[3]=3.若函數f

(x)=^lnx,xG(0,I),則()

A.3B.2C.1D.0

第15頁共26頁

解：根據題意，函數/（x）=J?lnx,x&（0,1）,必有/（x）<0,

則0<59<1,故M<x>]=0,

故選：D.

二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）

13.（5分）拋物線C：7=4做的焦點坐標為（0,2）,則C的準線方程為v=-2.

解：拋物線C：7=4ay的焦點坐標為（0,2）,

可得a=2.

所以拋物線的準線方程為：y=-2.

故答案為：y=-2.

14.（5分）已知四個函數：①/二--②丫=7,③y=2*,?y—lnx,從中任選2個，則事

件''所選2個函數的圖像有且僅有一個公共點”的概率為二.

解：選①②時，畫出兩個函數的圖像，如下圖，

可以看出有兩個公共點，不符合要求；

選①③時，畫出兩個函數的圖像，如下圖,

第16頁共26頁

有且只有一個公共點，符合要求;

沒有交點，不符合題意;

第17頁共26頁

選③④時，畫出兩個函數的圖像，如下圖,

無有交點，不符合題意，

綜上，一共有6種情況，其中2種滿足要求，故所求事件事件為P=W.

OD

故答案為：

15.(5分)設a=J；(cosx-sinv)dx,則二項式(/+^)6展開式中的小項的系數為一

160.

解：Vtz=[(cosx-sinx)dx=(sinx+cosx)惜=-2,

(7+E)6=(X2-|)6

.?F+l=C鼠X2)6T.(一?=(—17-2k.C”P2-3k

.*.12-3k=3

解得，無=3

.*.(-l)fc?2」C=(-1)3?23?髭=-160.

故答案為：-160.

16.(5分)在△ABC中，AB=4,AC=1,P為AB邊上一點，+4AC\=20,則而?而

的最小值為_-霏一

解：v|\AB+4AC\=273,

：.\AB+44C|=4后

第18頁共26頁

iUB2+SAB-AC+164。2=48,

又：腦|=4,應1=1,

：.AB'AC=2,

為AB邊上一點，

二設而=x6(OWxWl),

PB-PC=xAB<PB-AB+AC)

^xAB<xAB-AB+AC)

2

=7啟.xAB+xAB'AC

=16,-16x+2x

—16A2-14x,

根據二次函數的性質知，

當x=￡時，麗?尾取得最小值一案，

故答案為：—患.

三、解答題(本大題共5小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

17.(12分)在①sin2C-%cos2c=4sinC一遍,@b=冬+ccosA,③,，―⑦丁='、1nA一3

乙ab+c

這三個條件中任選一個，補充在下面橫線處，然后解答問題.

在△4BC中，內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知.

(1)求角C的大??；

(2)若“+〃=8,求△ABC的外接圓面積的最小值.

解：(1)若選①，因為sin2C一百cos2c=4sinC一6，

所以2sinCcosC-W(1-2sin2C)=4sinC-8，

可得2sinCcosC+2V3sin2C=4sinC,

由于C是三角形的內角，所以sinC>0,

所以cosC+WsinC=2,即sin(C+J)=1,

O

又CE(0,71),

所以c=*.

第19頁共26頁

若選②因為b—多4-ccosA,

222

Qb+c—a

由余弦定理得狂可得c^+b2-"=ab,

樂+廬一＜2_

2ab—2

又CG(0,TT),

所以C=*

sinC-sinBsinA-sinB

若選③，因為:

ab+c

c~~bCL—bccc

所以由正弦定理可得?=苗’整理可得a+b-c=ab,

1

可得cosC=a%)尸2

又CG(0,TT),

所以c=不

C1

(2)因為一一=2R,。+匕=8,cosC=4，

sinC乙

所以。2=(。+6)2-2ab(/+cosC)=64-3。/?,

Q+6=822VHK,可得abW16,

可得02216,可得c而〃=4,

所以Rmin=竽，

所以（S外接圓）而"=7rR^in=苧.

18.（12分）中華民族是一個歷史悠久的民族，在泱泱五千年的歷史長河中，智慧的華夏民

族在很多領域都給人類留下了無數的瑰寶.比如，在數學領域中：十進位制記數法和零

的采用：二進位制思想起源；幾何思想起源；勾股定理（商高定理）；幻方；分數運算法

則和小數；負數的發(fā)現；盈不是術：方程術；最精確的圓周率一一“祖率”；等積原理一

-“祖曬”原理；二次內插法；增乘開方法；楊輝三角；中國剩余定理；數字高次方程

方法一一“天元術”；招差術……，這些累累碩果都是華夏民族的祖先們?yōu)槿祟惖闹腔蹖?/p>

庫留下的珍貴財富.近代中國數學也在一直向前發(fā)展，涌現了蘇步青、華羅庚、陳省身、

吳文俊、陳景潤、丘成桐等國際頂尖數學大師，他們在微分幾何學、計算幾何學、中國

解析數論、矩陣幾何學、典型群、自安函數論、整體微分幾何、幾何定理機械化證明、

拓撲學、哥德巴赫猜想研究、幾何分析等諸多領域取得了杰出成就.這些數學成就和數

第20頁共26頁

學大師激勵了一代代華夏兒女自強不息，奮勇前進.為增強學生的民族自豪感，培養(yǎng)學

生熱愛科學、團結協作、熱愛祖國的優(yōu)良品德，以及培養(yǎng)學生的思維品質，改變學生的

思維習慣，提高學生對數學學習的興趣，某中學在該校高一年級開設了選修課《中國數

學史》.經過一年的學習，為了解同學們在數學史課程的學習后，學習數學的興趣是否濃

厚，該校隨機抽取了200名高一學生進行調查，得到統計數據如表:

對數學興對數學興合計

趣濃厚趣薄弱

選學了《中國數學史》10020120

未選學《中國數學史》Xyn

合計160m200

(1)求2X2列聯表中的數據x,y,m,〃的值，并確定能否有85%的把握認為對數學興

趣濃厚與選學《中國數學史》課程有關；

(2)在選學了《中國數學史》的120人中按對數學是否興趣濃厚，采用分層隨機抽樣的

方法抽取12人，再從12人中隨機抽取3人做進一步調查.若初始總分為10分，抽到的

3人中，每有一人對數學興趣薄弱減1分，每有一人對數學興趣濃厚加2分.設得分結果

總和為X,求X的分布列和數學期望.

2

附：*=(a+b)(a\(c+5)(b+dyn=a+b+c+d.

P(產》0.1500.1000.0500.0250.010

例)

k)2.0722.7063.8415.0246.635

解：(1)由題意可得x=60,y=20,m=40,〃=80,

29

fieri.(ad-bc)200x(100x20—20x60)/_25

以八一(a+b)(a+c)(c+d)(b+d)160x40x120x80一短?)吸＞2.072‘

故有85%的把握認為對數學興趣濃厚與選學《中國數學史》課程有關;

(2)在選學了數學史的20人中按對數學是否興趣濃厚，采用分層隨機抽樣的方法抽取

12人，

可知其中對數學興趣濃厚的有10人，對數學興趣薄弱的有2人，

再從12人中抽取3人，當這3人中恰好有2人對數學興趣薄弱時，X=10,

當這3人中恰好有1人對數學興趣薄弱時，X=13,

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當這3人都對數學興趣濃厚時，X=16,

所以X的可能取值為10,13,16,

21

則P(X=10)=魚典=春，

%22

P(X=13)=￡1|10=9

922

P(X=16)=字邛，

以211

故X的分布列為：

X101316

196

p,

222211

19629

所以E(X)=IOx224-13xyx-t*J6x-yr—

19.(12分)如圖在四棱錐A-BCOE中，CD//EB,CD=^EB=1,CB±BE,AE=AB=

BC=V2,AD=相.。是AE的中點.

(I)求證：DO//nABC；

(II)求D4與平面ABC所成角的正弦值.

(I)證明：取A8中點凡連結CF、OF,

'：OF//EB,CD//EB,C.CD//OF.又,；CD=OF,二四邊形OFCZ)為平行四邊形，

：.DO//CF,而CFu平面ABC,二。?！ㄆ矫鍭BC.

(II)解：取EB中點G,連結AG、DG,'：AE=AB=y/2,BE=2,

...△4BE為等腰直角三角形，，AG=1,

又,：AD=聒,DG=BC=五,：.AG1+DG1=D^,：.DG±AG,

又DGLBE,AGQBE=G,所以。G_L平面A8E,

以G為原點，以G8,GA,G。方向分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示空間直角坐

標系.

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G(0,0,0),A(0,1,0),C(0,0,夜)，￡(-1,0,Q).AD=(0,-1,企),

而AEJ_平面A3C,故平面ABC的一個法向量￡=族=(一1,-1,0)

?4I/力7.AD-AE.1/6

sinO=\cos{AD，AE)\=|------|=萬=-y-.

\AD\-\AE\'6。

V6

所以D4與平面ABC所成角的正弦值為一.

6

20.(12分)已知雙曲線C：4-4=1(。>0,b>0)的左頂點為A(-2,0),右焦點為

凡點3在C上.當BFLAF時，\AF\^\BF\.不垂直于x軸的直線與雙曲線同一支交于

P,。兩點.

(I)求雙曲線C的標準方程;

(2)直線PQ過點凡在x軸上是否存在點M使得x軸平分/PNQ?若存在，求出點

的N的坐標：若不存在，說明理由.

,2

解：(1)依題意，a=2,a-i-c=—,b2=c2-a2,

解得《2-2c-8=0,得c=4,伊=12,

94=1.

(2)假設存在存(〃,0),F(4,0),設尸(xi，)，i),Q(X2,”)，

x=my+4

設直線PQ：x=my+4(m會0),則/y2,得(3m2-1))2+24%y+36=0,

(T-12=1

3m2-1力o

4=(24m)2-4x36(3m2-1)>0

則《247n,且(歿1+4)(/n”+4)>16,

為+為3m2-1

36

%丫2=赤口

irrrr37n2-87n

即nr(yi+j2)+4/H(yi+”)>0,即----;--->0,

3mz—1

依題意，kpN+kQN=0,

即乃+=0,yx(my2+4—n)+y2(my1+4—n)=0,

X]7TX2

nI〃、/I、八Q36(4-n)x24mn

2myiy2+(4—兀)(為+y2)=0,2m-石1一37nLi=°，

即3m-in(4-ri')=0,

V/n^O,.*.n=l,

第23頁共26頁

故存在N(1,0).

21.(12分)已知函數/(x)=a(警+1)(其中a為非零實數).

(1)討論/(x)的單調性；

(2)若g(x)-f(x)有兩個零點用，X2-

①求實數a的取值范圍；

2-(Xl+X2)

②求證：%1%2>e.

解：(1).⑴=磯1;產),

1—lnx

若。>0,則當在(0,e)時，—^―>0,f(x)>0,/(x)單調遞增；

1-lnx

當xe(e,+8)時，—^―<0,f(x)<0,/(x)單調遞減.

1—Znx

若〃V0,則當在(0,e)時——>0,f(x)<0,f(x)單調遞減；

*

1-lnx

當xe(e,+8)時，——<0,f(x)>0,f(x)單調遞增.

(2)由已知得g(x)=祀?產")=0有兩個不等的正實根，

所以方程元aUwc+x)=0,即(x/)=0,

即(x")=xd有兩個不等正實根.

①設尤d=f,則G>0)有兩個不等根，

Int1

又a為非零實數，即——=一有兩個不等根，

ta

由(1)知，函數y=竽在(0,e)遞增，在(e,+?>)遞減，有極大值亍,

又X-*0時，f(x)--8；+8時，f(x)-*0.

Int111

若一=一有兩個不等根，則ov；<3

taQe

即實數a的取值范圍是(e