北京市西城區(qū)2021年中考二模數(shù)學(xué)試題

2021年北京市西城區(qū)初三二模

數(shù)學(xué)試卷2021.4

學(xué)校姓名準(zhǔn)考證號(hào)

+1.本試卷共6頁(yè)，共五道大題，25道小題，滿分120分?？荚嚂r(shí)間120分鐘。

考

2.在試卷和答題卡上準(zhǔn)確填寫(xiě)學(xué)校名稱(chēng)、姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。

3.試題答案一律填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。

亦

'4.在答題卡上，選擇題、作圖題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色字跡簽字筆作答。

知

5.考試結(jié)束，將本試卷、答題卡和草稿紙一并交回。

一、選擇題（本題共32分，每小題4分）

下面各題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是符合題意的.

1.在上，0,-1,-2這四個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)是

2

A.-B.0C.-1D.-2

2

2.據(jù)報(bào)道，按常住人口計(jì)算，2013年北京市人均GDP（地區(qū)生產(chǎn)總值）達(dá)到約93210

元，將93210用科學(xué)記數(shù)法表示為

A.93.21X103B.9.321xlO4C.0.932IxlO5D.932.1xl02

3.如圖，四邊形ABCD為。。的內(nèi)接四邊形，

若NBCD=110°,則NBA。的度數(shù)為Z\

A.140°B.110°（9/I

C.90°D.70°

4.在一個(gè)不透明的口袋中裝有5張完全相同的卡片，卡片上面分別寫(xiě)有數(shù)字一2,-1,0,

1,3,從中隨機(jī)抽出一張卡片，卡片上面的數(shù)字是負(fù)數(shù)的概率為

4321

A.5B.C.丁口?丁

5.如圖，為估算學(xué)校的旗桿的高度，身高1.6米的小紅

同學(xué)沿著旗桿在地面的影子A8由A向8走去，當(dāng)她走到/

點(diǎn)C處時(shí)，她的影子的頂端正好與旗桿的影子的頂端重

合，此時(shí)測(cè)得AC=2m,8c=8m,則旗桿的高度是（）/I____________

A.6.4mB.7m41B

C.8mD.9

6.如圖，菱形ABC。的周長(zhǎng)是20,對(duì)角線AC,8。相交于

點(diǎn)O,若BD=6,則菱形ABCD的面積是從

A.6B,12°\

C.24D.48D

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系x。)，中，直線y=gx經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,

作ABlx軸于點(diǎn)B,將△ABO繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△

BCD,若點(diǎn)8的坐標(biāo)為(2,0),則點(diǎn)C的坐標(biāo)為

A.(5,V3)B.(5,1)

C.(6,73)D.(6,1)

8.右圖表示一個(gè)正方體的展開(kāi)圖，下面四個(gè)正方體中只有一

個(gè)符合要求，那么這個(gè)正方體是

ggQn

A.B.C.D.

二、填空題(本題共16分，每小題4分)

9.函數(shù)y=Jx-1中,自變量x的取值范圍是

10.若一次函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)(0,2),且函數(shù)y隨自變量x的增大而增大，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)符合

要求的一次函數(shù)表達(dá)式：—

11.一組數(shù)據(jù)：3,2,1,2,2的中位數(shù)是,

12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系X。)，中，已知拋物線y=

-x(x-3)(0<x<3)在x軸上方的部分，記作G，它與x

軸交于點(diǎn)0,4，將Ci繞點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)180。得C2,C2與x

軸交于另一點(diǎn)4.請(qǐng)繼續(xù)操作并探究：將C2繞點(diǎn)4旋

轉(zhuǎn)180。得C3,與x軸交于另一點(diǎn)??；將Q繞點(diǎn)A2旋轉(zhuǎn)180。得C4,與x軸交于另一點(diǎn)A4,

這樣依次得到尤軸上的點(diǎn)A”A2,A3,…，A,”…，及拋物線G，C2，…，Cn,則點(diǎn)

4的坐標(biāo)為;C”的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(〃為正整數(shù)，用含〃的代數(shù)式

表示).

三、解答題(本題共30分，每小題5分)

13.計(jì)算：(^)-1+|-V3|-(7t-3)°+3tan3O0

14.已知：如圖，C是AE上一點(diǎn)，NB=/DAE,BC〃DE,AC=DE.

求證：AB=DA.

15.解分式方程：-^2-+—x=1

X2-4X-2

16.列方程或方程組解應(yīng)用題：

一列“和諧號(hào)”動(dòng)車(chē)組，有一等車(chē)廂和二等車(chē)廂共6節(jié)，一共設(shè)有座位496個(gè).其中每節(jié)一

等車(chē)廂設(shè)有座位64個(gè)，每節(jié)二等車(chē)廂設(shè)有座位92個(gè).問(wèn)該列車(chē)一等車(chē)廂和二等車(chē)廂各有多

少節(jié)？

17.已知關(guān)于龍的一元二次方程x2+2x+3h6=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

(1)求實(shí)數(shù)出的取值范圍；

(2)若女為正整數(shù)，且該方程的根都是整數(shù)，求女的值.

18.拋物線＞=￥+云+。(6,°均為常數(shù))與x軸交于A(l,0),3兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0,3)..

(1)求該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式：

(2)若尸是拋物線上一點(diǎn)，且點(diǎn)P到拋物線的對(duì)稱(chēng)軸的距離為3,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)尸的坐

標(biāo).

四、解答題(本題共20分，每小題5分)

19.如圖，在四邊形ABC。中，AB//DC,08平分/AOC,E是C￡＞的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且

ZAEC^-ZADC.

2

(1)求證：四邊形A8OE是平行四邊形.

(2)若O8_LCB,/BCD=60°,CD=12,作于H,

求四邊形4ECW的周長(zhǎng).

E

21.據(jù)報(bào)道：2013年底我國(guó)微信用戶規(guī)模已到達(dá)6億.以下是根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)制作的統(tǒng)計(jì)圖

表的一部分:

2012年及2013年電話、短信、微信的2013年微信用戶對(duì)“微信公眾平臺(tái)”

人均使用時(shí)長(zhǎng)統(tǒng)計(jì)表單位:分鐘參與關(guān)注度統(tǒng)計(jì)圖

式第電話Q微信

年4、身短信

2012年14.44.13.0

2013年5.13.49.7

請(qǐng)根據(jù)以上信息，回答以下問(wèn)題：

(1)從2012年到2013年微信的人均使用時(shí)長(zhǎng)增加了分鐘；

(2)補(bǔ)全2013年微信用戶對(duì)“微信公眾平臺(tái)”參與關(guān)注度扇形統(tǒng)計(jì)圖，在我國(guó)6億微信用

戶中，經(jīng)常使用戶約為億(結(jié)果精確到0.1)；

(3)從調(diào)查數(shù)學(xué)看，預(yù)計(jì)我國(guó)微信用戶今后每年將以20%的增長(zhǎng)率遞增，請(qǐng)你估計(jì)兩年后,

我國(guó)微信用戶的規(guī)模將到達(dá)億.

21.如圖，AB為。。的直徑，弦CDLAB于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)B

作。0的切線與AD的延長(zhǎng)線交于F.

(1)求證：NABC=NF

3

(2)若sinC=—,DF=6,求。。的半徑.

5

22.閱讀下面材料:

小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1,五個(gè)正方形的邊長(zhǎng)都

為1,將這五個(gè)正方形分割為四部分，再拼接為一個(gè)大正方

形.

小明研究發(fā)現(xiàn)：如圖2,拼接的大正方形的邊長(zhǎng)為J5,

“日”字形的對(duì)角線長(zhǎng)都為J5,五個(gè)正方形被兩條互相垂

直的線段AB,CD分割為四部分，將這四部分圖形分別標(biāo)

號(hào)，以CD為一邊畫(huà)大正方形，把這四部分圖形分別移入正

方形內(nèi)，就解決問(wèn)題.

請(qǐng)你參考小明的畫(huà)法，完成下列問(wèn)題：

(1)如圖3,邊長(zhǎng)分別為a,b的兩個(gè)正方形被兩條互相垂直

的線段AB,CD分割為四部分圖形，現(xiàn)將這四部分圖形拼接成一

個(gè)大正方形，請(qǐng)畫(huà)出拼接示意圖

(2)如圖4,一個(gè)八角形紙板有個(gè)個(gè)角都是直角，所有的邊都相等，將這個(gè)紙板沿虛線分

割為八部分，再拼接成一個(gè)正方形，如圖5所示，畫(huà)出拼接示意圖；若拼接后的正方形的面

積為8+4形,則八角形紙板的邊長(zhǎng)為

五、解答題（本題共22分，第23題7分，第24題7分，第25題8分）

23.經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,1）的直線/：y^kx+2（左W0）與反比例函數(shù)Gij=—（機(jī)N0）的圖

x

象交于點(diǎn)A（T,。），B（b,-1）,與y軸交于點(diǎn)D

（1）求直線/對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式及反比例函數(shù)Gi的表達(dá)式；

（2）反比例函數(shù)G2：:%=［。工0），

x

①若點(diǎn)E在第一象限內(nèi)，且在反比例函數(shù)G2的圖象上，若EA=EB,且4AEB的面積

為8,求點(diǎn)E的坐標(biāo)及t值；

②反比例函數(shù)G2的圖象與直線/有兩個(gè)公共點(diǎn)M,N（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)），

若DM+DN<3板,直接寫(xiě)出「的取值范圍.

24.在△ABC,Z8AC為銳角，AB>AC,平分/8AC交BC于點(diǎn)Z）.

（1）如圖1,若△ABC是等腰直角三角形，直接寫(xiě)出線段AC,CD,AB之間

的數(shù)量關(guān)系；

（2）8C的垂直平分線交AO延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F.

①如圖2,若NABE=60°,判斷AC,CE,AB之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系并

加以證明；

②如圖3,AC+AB=>/3AE,求N2AC的度數(shù).

25.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，對(duì)于OA上一點(diǎn)B及OA外一點(diǎn)P,給出如下定義：若直線

PB與x軸有公共點(diǎn)(記作M),則稱(chēng)直線PB為。A的“X關(guān)聯(lián)直線”，記作/心”.

(1)已知。。是以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓，點(diǎn)P(0,2),

①直線4：y=2,直線小y=x+2,直線g：y=>/3x+2,直線乙：y=-2x+2都

經(jīng)過(guò)點(diǎn)P,在直線4，12,如乙中，是。。的，關(guān)聯(lián)直線''的是；

②若直線IPBM是。0的“X關(guān)聯(lián)直線”，則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)xM的最大值是；

(2)點(diǎn)A(2,0),OA的半徑為1,

①若P(-1,2),OA的、關(guān)聯(lián)直線"%BM：y=6+k+2,點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為xM,

當(dāng)XM最大時(shí)，求女的值；

②若P是y軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P的縱坐標(biāo)yp>2,OA的兩條與關(guān)聯(lián)直線”

IPCM，%DN是。A的兩條切線，切點(diǎn)分別為C,D,作直線CD與x軸點(diǎn)于點(diǎn)E,當(dāng)點(diǎn)P的

位置發(fā)生變化時(shí)，AE的長(zhǎng)度是否發(fā)生改變？并說(shuō)明理由.

北京市西城區(qū)2021年初三二模試卷

數(shù)學(xué)試卷參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)2021.6

一、選擇題（本題共32分，每小題4分）

題號(hào)12345678

答案DBDCCCAB

二、填空題（本題共16分，每小題4分）

9101112

30

答案不唯一，(3n-^,(-D"+，--)

X>120.4(12,0)

如：y=x-h2

(n為正整數(shù))

三、解答題（本題共30分，每小題5分）

13.解：，尸+|-73|-（K-3）°+3tan30°

=4+百—l+3x—4分

3

=3+26...................5分

14.證明：(1)VBC/7DE,

：.ZACB^ZDEA.

在△ABC和△D4E中,

NB=ZDAE,

<NACB=NDEA

AC^DE,

.".AABC^ADAE................................4分

；.AB=DA................................5分

15.方程兩邊同時(shí)乘以d-4,得2+X（X+2）=/-4,......................3分

解得，x=-3........................................................4分

經(jīng)檢驗(yàn)，x=-3是原方程的解x=-3.....................................5分

16.解：設(shè)該列車(chē)一等車(chē)廂有x節(jié)，二等車(chē)廂有y節(jié).I分

x+y=6,

由題意,得<2分

64x+92y=496,

x—2,

解得V4分

1y=4,

答：該列車(chē)一等車(chē)廂有2節(jié)，二等車(chē)廂有4節(jié).....................................................................5分

17.解：(1)由題意，得A=4-4(3k-6)>0

7

：.k<~.......................................................................................................2分

3

⑵：k為正整數(shù)，

；.k=l,2....................................................................................................3分

2

當(dāng)k=l時(shí)，方程X+2X-3=0的根xi=-3,x2=l都是整數(shù)；................4分

當(dāng)k=2時(shí)，方程x2+2x=0的根X|=-2,X2=0都是整數(shù).

綜上所述，k=L2...........................................................................................5分

18.解：⑴I?拋物線.與y軸交于點(diǎn)C(0,3),

c=3.

/.y=x2+fer+3.

又?.?拋物線y=Y+c與工軸交于點(diǎn)A(1,0),

???b二4.

:.y=x1-4x+3............................................................................................3分

(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(5,8)或(-1,8).

四、解答題(本題共20分，每小題5分)

19.解：(1)TO8平分/AQC,

/.Z1=Z2=-ZADC.

2

又?:ZAEC=-ZADC

2

ZAEC=Z1.

，AE〃BD........................................................................................1分

又；AB〃EC,

二四邊形AEDB是平行四邊形...............................2分

(2)平分NAZJC,,ZADC=60°,AB〃EC,

.\Zl=Z2=Z3=30°.

：.AD=AB.

又,：DBIBC,

ZDBC=90°.

在RtZ\8DC中，CD=12,

/.BC=6,DB=6^3................................................................................3分

在等腰△ADB中，AHLBD,

：.DH=BH=-DB=3y/3.

2

在中，ZAHB=90°,

；?AH=3,AB=6.............................................................................................4分

???四邊形AEDB是平行四邊形.

/.AE=BD=6\/3,ED=AB=6.

AE+ED+DH+AH=9>/3+9.......................................................5分

，四邊形AEQ”的周長(zhǎng)為9百+9.

20.解：(1)6.7；...................................................................................................................1分

(2)42.4%,1.5............................................................................................................4分

(3)8.64...........................................................................................................................5分

21.(1)證明：1?BF為。O的切線，

AB_LBF于點(diǎn)B.

?,1CD1AB,

ZABF=ZAHD=90°.

CD〃BF.

/.ZADC=ZF.

又丁ZABC=ZADC,

AZABC=ZF..............2分

(2)解：連接BD.

;AB為OO的直徑,

??.ZADB=90°,

由(1)NABF=90°,

ZA=ZDBF.

又「ZA=ZC.

AZC=ZDBF.......................................................................................................3分

a

在RtZ\OB/中，sinC=sinZDBF=-,DF=6,

5

；.BD=8..................................................................................................................4分

3

在RtZ\A8￡>中，sinC=sinA=-

5

2竺

3

???。。的半徑為空.

...............................................5分

3

22.解：(1)拼接示意圖如下；...........2分

(2)接示意圖如下，八角形紙板的邊長(zhǎng)為J_.......................5分

五、解答題(本題共22分，第23題7分，第24題7分，第25題8分)

23.(1)解：?.?直線/:丁=依+2(k力0)經(jīng)過(guò)(一1,1),

:.k=—lf

???直線/對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=-x+2...........................1分

??,直線/與反比例函數(shù)Gij二一(mW0)的圖象交于點(diǎn)A(—l,a),Be,-1),

x

：?a=b=3.

：.A(—1,3),B(3,-1).

m=—?),

???反比例函數(shù)G1函數(shù)表達(dá)式為

(2)?：EA=EB,A(-1,3),B(3,-1),

，點(diǎn)E在直線y=x上.

?.,△AEB的面積為8,AB=4A/2,

EH=242.

：./\AEB是等腰直角三角形.

.,.￡(3,3),.................................................................................................................5分

(3)分兩種情況：

(i)當(dāng)r>0時(shí)，則.......................................6分

(ii)當(dāng)f<0時(shí)，則-*<f<0.

4

綜上，當(dāng)-3<f<0或0</<1時(shí)，反比例函數(shù)G2的圖象與直線/有兩個(gè)公共點(diǎn)M,

42

N,DM+DN<3y/2..........................................................................................................7分

24.解：(1)AB=AC+CD；1分

(2)①AB=AC+CE；2分

證明：在線段AB上截取AH=AC,連接EH.

'：AD平分ZBAC

Z1=Z2.

又：AE=AE,

/\ACE^/\AHE.

；.CE=HE...............................................................................................3分

EF垂直平分BC,

；.CE=BE........................................................................................................4分

又NABE=60°,

是等邊三角形.

；.BH=HE.

.\AB=AH+HB=AC+CE..................................................................................5分

②在線段AB上截取AH=AC,連接EH,作EM_LAB于點(diǎn)M.

易證△ACE絲

；.CE=HE.

...△EHB是等腰三角形.

AHM=BM.

；.AC+AB=AH+AB

=AM-HM+AM+MB

=2AM.

■:AC+AB=GAE,

h

???AM=—AE.

2

在RtZVIEM中，cosZEAM=^-=—

AE2

：.ZEAB=30°.

：.ZCAB=2ZEAB=60°........................................7分

25.解：(1)①人乙；.....................................................2分

②“半..............................................3分

(2)①如圖，當(dāng)直線PB與。A相切于點(diǎn)B時(shí),此時(shí)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)X”最大，

作PH±x軸于點(diǎn)H,

+1,AM=XM-2,

在RtAABM和RtAPHM中，

〃ABPH

tanZ.AMB=--=f

BMHM

‘.BM=_L”M=_L(X+i).

22w

222

在RtZ\ABM中，AM=AB^BM9

22

(%-2)=1+—{xM+1).

解得知=3土怨.

..?點(diǎn)M的橫坐標(biāo)X"最大時(shí),山=3+-y--

?廣上......................................................

4

②當(dāng)P點(diǎn)的位置發(fā)生變化時(shí)，AE的長(zhǎng)度不發(fā)生改變.

如圖，G)A的兩條“x關(guān)聯(lián)直線”與。4相切于點(diǎn)C,。,

APC=PD.

又；AC=AD

，AP垂直平分BC.

在RtAADF和Rt/\ADP中,

sinZA￡>F=sinZAP。，

AFAP=AD2

在RtAAEF和Rt/XAOP中,

「AFAO,

cosZ.EAF=----=-----，

AEAP

；?AFAP=AEAO

/.AD2=AEAO

即當(dāng)尸點(diǎn)的位置發(fā)生變化時(shí)，AE的長(zhǎng)度不發(fā)生改變..........................8分

1.列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟

(1)審題：弄清題意.

(2)找出等量關(guān)系：找出能夠表示本題含義的相等關(guān)系.

(3)設(shè)出未知數(shù)，列出方程：設(shè)出未知數(shù)后，表示出有關(guān)的含字母

的式子，然后利用已找出的等量關(guān)系列出方程.

(4)解方程：解所列的方程，求出未知數(shù)的值.

(5)檢驗(yàn)，寫(xiě)答案：檢驗(yàn)所求出的未知數(shù)的值是否是方程的解，

是否符合實(shí)際，檢驗(yàn)后寫(xiě)出答案.

2.和差倍分問(wèn)題：增長(zhǎng)量=原有量義增長(zhǎng)率現(xiàn)在量

=原有量+增長(zhǎng)量

3.等積變形問(wèn)題：常見(jiàn)幾何圖形的面積、體積、周長(zhǎng)計(jì)算公式，

依據(jù)形雖變，但體積不變.

①圓柱體的體積公式V=底面積義高=S?h=^r2h

②長(zhǎng)方體的體積V=長(zhǎng)義寬X高=2"

4.數(shù)字問(wèn)題

一般可設(shè)個(gè)位數(shù)字為a,十位數(shù)字為b,百位數(shù)字為c.十位數(shù)

可表示為10b+a,百位數(shù)可表示為100c+10b+a.

然后抓住數(shù)字間或新數(shù)、原數(shù)之間的關(guān)系找等量關(guān)系列方程.

5.市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題

（1）商品利潤(rùn)=商品售價(jià)一商品成本價(jià)（2）商品利潤(rùn)率=

商品利潤(rùn)X100%

商品成本價(jià)

（3）商品銷(xiāo)售額=商品銷(xiāo)售價(jià)義商品銷(xiāo)售量

（4）商品的銷(xiāo)售利潤(rùn)=（銷(xiāo)售價(jià)一成本價(jià)）X銷(xiāo)售量

（5）商品打幾折出售，就是按原標(biāo)價(jià)的百分之幾十出售，如商品打

8折出售，即按原標(biāo)價(jià)的80%出售.

6.行程問(wèn)題：路程=速度義時(shí)間時(shí)間=路程+速度速度=路

程:時(shí)間

（1）相遇問(wèn)題：快行距+慢行距=原距

（2）追及問(wèn)題：快行距一慢行距=原距

（3）航行問(wèn)題：順?biāo)L(fēng)）速度=靜水（風(fēng)）速度+水流（風(fēng)）

速度

逆水（風(fēng)）速度=靜水（風(fēng)）速度一水流（風(fēng)）

速度

抓住兩碼頭間距離不變，水流速和船速（靜不速）不變的特點(diǎn)考

慮相等關(guān)系.

7.工程問(wèn)題：工作量=工作效率義工作時(shí)間

完成某項(xiàng)任務(wù)的各工作量的和=總工作量=1

8.儲(chǔ)蓄問(wèn)題

利潤(rùn)="粵的理義100%利息=本金X利率X期數(shù)

本金

實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程組題型歸納(練習(xí)題答案)

類(lèi)型一：列二元一次方程組解決一一行程問(wèn)題

【變式1】甲、乙兩人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小時(shí)，

那么他們?cè)谝页霭l(fā)2.5小時(shí)后相遇；如果乙比甲先走2小時(shí)，那么他們?cè)诩壮?/p>

發(fā)3小時(shí)后相遇，甲、乙兩人每小時(shí)各走多少千米？

解：設(shè)甲，乙速度分別為x,y千米/時(shí)，依題意得：

(2.5+2)x+2.5y=36

3x+(3+2)y=36

解得：x=6?y=3.6

答：甲的速度是6千米/每小時(shí)，乙的速度是3.6千米/每小時(shí)。

【變式2】?jī)傻叵嗑?80千米，一艘船在其間航行，順流用14小時(shí)，逆流用

20小時(shí)，求船在靜水中的速度和水流速度。

解：設(shè)這艘輪船在靜水中的速度x千米/小時(shí)，則水流速度y千米/小時(shí)，有：

20(x-y)=280

14(x+y)=280

解得：x=17,y=3

答：這艘輪船在靜水中的速度17千米/小時(shí)、水流速度3千米/小時(shí)，

類(lèi)型二：列二元一次方程組解決一一工程問(wèn)題

【變式】小明家準(zhǔn)備裝修一套新住房，若甲、乙兩個(gè)裝飾公司合作6周完成需工錢(qián)5.2萬(wàn)元；若甲公司

單獨(dú)做4周后，剩下的由乙公司來(lái)做，還需9周完成，需工錢(qián)4.8萬(wàn)元.若只選一個(gè)公司單獨(dú)完成，從節(jié)

約開(kāi)支的角度考慮，小明家應(yīng)選甲公司還是乙公司？請(qǐng)你說(shuō)明理由.

解：

設(shè)甲、乙兩公司每周完成工程的X和y,則

'_1X=—

X+y=10

（6得，故1十L=10（周）11—工=15周

“c.11015

14x+9,=ly=—

即甲、乙完成這項(xiàng)工程分別需10周，15周

又設(shè)需付甲、乙每周的工錢(qián)分別為3元，b萬(wàn)元?jiǎng)t

_3

（6a+6&=5.2[10a=6（萬(wàn)元）

|得，此時(shí)，__

14a+98=4.8_4=4②兀）

比莪知，從節(jié)約開(kāi)支角度考慮，選乙公司劃算

類(lèi)型三：列二元一次方程組解決一一商品銷(xiāo)售利潤(rùn)問(wèn)題

【變式1]（2011湖南衡陽(yáng)）李大叔去年承包了10畝地種植甲、乙兩種蔬菜，

共獲利18000元，其中甲種蔬菜每畝獲利2000元，乙種蔬菜每畝獲利1500元,

李大叔去年甲、乙兩種蔬菜各種植了多少畝？

解：設(shè)甲、乙兩種蔬菜各種植了x、y畝，依題意得：

①x+y=10

②2000x+1500y=18000

解得：x=6,y=4

答：李大叔去年甲、乙兩種蔬菜各種植了6畝、4畝

【變式2】某商場(chǎng)用36萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)A、B兩種商品，銷(xiāo)售完后共獲利6萬(wàn)元，其進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表：

AB

進(jìn)價(jià)（元/件）12001000

售價(jià)（元/件）13801200

（注：獲利=售價(jià)一進(jìn)價(jià)）求該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)A、B兩種商品各多少件;

解：設(shè)購(gòu)進(jìn)A的數(shù)量為x件、購(gòu)進(jìn)B的數(shù)量為y件，依據(jù)題意列方程組

1200x+1000y=360000

（1380-1200）x+（1200-1000）y=60000

解得x=200,y=120

答：略

類(lèi)型四：列二元一次方程組解決一銀行儲(chǔ)蓄問(wèn)題

【變式2】小敏的爸爸為了給她籌備上高中的費(fèi)用，在銀行同時(shí)用兩種方式共

存了4000元錢(qián).第一種，一年期整存整取，共反復(fù)存了3次，每次存款數(shù)都相

同，這種存款銀行利率為年息2.25%；第二種，三年期整存整取，這種存款銀行

年利率為2.70%.三年后同時(shí)取出共得利息303.75元(不計(jì)利息稅)，問(wèn)小敏的爸

爸兩種存款各存入了多少元？

角相設(shè)x為第一種存款的方式，丫第二種方式存款，則

X+丫=4000

X*2.25%*3+Y*2.7%*3=303.75

解得：X=1500,Y=2500?

答：略。

類(lèi)型五：列二元一次方程組解決一一生產(chǎn)中的配套問(wèn)題

【變式1］現(xiàn)有190張鐵皮做盒子，每張鐵皮做8個(gè)盒身或22個(gè)盒底，一個(gè)盒身與兩個(gè)盒底配成一

個(gè)完整盒子，問(wèn)用多少?gòu)堣F皮制盒身，多少?gòu)堣F皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？

解：設(shè)x張做盒身，y張做盒底，則有盒身8x個(gè)，盒底22y個(gè)

x+y=190

8x=22y/2

解得x=110,y=80

即110張做盒身，80張做盒底

【變式2】某工廠有工人60人，生產(chǎn)某種由一個(gè)螺栓套兩個(gè)螺母的配套產(chǎn)品，

每人每天生產(chǎn)螺栓14個(gè)或螺母20個(gè)，應(yīng)分配多少人生產(chǎn)螺栓，多少人生產(chǎn)螺

母，才能使生產(chǎn)出的螺栓和螺母剛好配套。

解：設(shè)生產(chǎn)螺栓的工人為x人,生產(chǎn)螺母的工人為y人

x+y=60

28x=20y

解得x=25,y=35

答：略

【變式3】一張方桌由1個(gè)桌面、4條桌腿組成，如果1立方米木料可以做

桌面50個(gè)，或做桌腿300條?，F(xiàn)有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做

桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？能配多

少?gòu)埛阶溃?/p>

解：設(shè)用X立方米做桌面，用Y立方米做桌腿

X+Y=5.........................(1)

50X：300Y=1：4......................(2)

解得：Y=2,X=5-2=3

答：用3立方米做桌面，2立方米的木料做桌腿。

類(lèi)型六：列二元一次方程組解決一一增長(zhǎng)率問(wèn)題

【變式2】某城市現(xiàn)有人口42萬(wàn)，估計(jì)一年后城鎮(zhèn)人口增加0.8%,農(nóng)村人

口增加1.1%,這樣全市人口增加1%,求這個(gè)城市的城鎮(zhèn)人口與農(nóng)村人口。

解：設(shè)該城市現(xiàn)在的城鎮(zhèn)人口有x萬(wàn)人，農(nóng)村人口有v萬(wàn)人。

x+y=42

0.8%xX+l.l%xY=42x1%

解這個(gè)方程組，得：x=14,y=28

答：該市現(xiàn)在的城鎮(zhèn)人口有14萬(wàn)人,農(nóng)村人口有28萬(wàn)人。

類(lèi)型七：列二元一次方程組解決一和差倍分問(wèn)題

【變式1】略

【變式2】游泳池中有一群小朋友，男孩戴藍(lán)色游泳帽，女孩戴紅色游泳帽。

如果每位男孩看到藍(lán)色與紅色的游泳帽一樣多，而每位女孩看到藍(lán)色的游泳帽

比紅色的多1倍，你知道男孩與女孩各有多少人嗎？

解：設(shè)：男有X人，女有丫人，則

X-1=Y

2(Y-1)=X

解得：x=4,y=3

答：略

類(lèi)型八：列二元一次方程組解決一一數(shù)字問(wèn)題

【變式1]一個(gè)兩位數(shù)，減去它的各位數(shù)字之和的3倍，結(jié)果是23；這個(gè)兩位數(shù)除以它的各位數(shù)字

之和，商是5,余數(shù)是1,這個(gè)兩位數(shù)是多少？

解：設(shè)這個(gè)兩位數(shù)十位數(shù)是x,個(gè)位數(shù)是y,則這個(gè)數(shù)是(10x+y)

10x+y-3(x+y)=23(1)

10x+y=5(x+y)+1(2)

由(1),(2)得

7x-2y=23

5x-4y=1

解得：x=5

y=6

答：這個(gè)兩位數(shù)是56

【變式2]一個(gè)兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字大5,如果把十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字交

換位置，那么得到的新兩位數(shù)比原來(lái)的兩位數(shù)的一半還少9,求這個(gè)兩位數(shù)？

解：設(shè)個(gè)位X,十位丫，有

X-Y=5

(10X+Y)+(10+X)=143

即

X-Y=5

X+丫=13

解得：X=9,Y=4

這個(gè)數(shù)就是49

【變式3】某三位數(shù)，中間數(shù)字為0,其余兩個(gè)數(shù)位上數(shù)字之和是9,如果百位

數(shù)字減1,個(gè)位數(shù)字加1,則所得新三位數(shù)正好是原三位數(shù)各位數(shù)字的倒序排列,

求原三位數(shù)。

解：設(shè)原數(shù)百位是x,個(gè)位是y那么

x+y=9

x-y=1

兩式相加得到2x=10=>x=5=>y=5-1=4

所以原數(shù)是504

類(lèi)型九：列二元一次方程組解決一一濃度問(wèn)題

【變式1】要配濃度是45%的鹽水12千克，現(xiàn)有10%的鹽水與85%的鹽水，這兩種鹽水各需多少？

解：設(shè)10%的X克，85%的Y克

X+Y=12

X*10%+Y*85%=12*45%

即：X+Y=12

X+8.5Y=54

解得：Y=5.6

答：略

【變式2】一種35%的新農(nóng)藥，如稀釋到1.75%時(shí)，治蟲(chóng)最有效。用多少千克濃度為35%的農(nóng)藥加水多

少千克，才能配成1.75%的農(nóng)藥800千克？

解：800千克1.75%的農(nóng)藥中含純農(nóng)藥的質(zhì)量為800x1.75%=14千克

含14千克純農(nóng)藥的35%的農(nóng)藥質(zhì)量為14-35%=40千克

由40千克農(nóng)藥稀釋為800千克農(nóng)藥應(yīng)加水的質(zhì)量為800-40=760千克

答：用40千克濃度為35%的農(nóng)藥添加760千克的水，才能配成濃度為1.75%的農(nóng)藥

800千克。

類(lèi)型十：列二元一次方程組解決一一幾何問(wèn)題

【變式1】用長(zhǎng)48厘米的鐵絲彎成一個(gè)矩形，若將此矩形的長(zhǎng)

邊剪掉3厘米，補(bǔ)到較短邊上去，則得到一個(gè)正方形，求正方形

的面積比矩形面積大多少？

解：設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)寬分別為X和y厘米，則

2(x+y)=48

x-3=y+3

解得:x=15>y=9

正方形的面積比矩形面積大

(x-3)(y+3)-xy=(15-3)(9+3)-15*9=144-135=9(cm2)

答：略

【變式2】一塊矩形草坪的長(zhǎng)比寬的2倍多10m,它的周長(zhǎng)是132nb則長(zhǎng)和寬分別為多少？

解：設(shè)草坪的長(zhǎng)為xin，寬為了山，則

所以寬和長(zhǎng)分別為奇-m、-7-m.

類(lèi)型十一：列二元一次方程組解決一一年齡問(wèn)題

【變式1】今年，小李的年齡是他爺爺?shù)奈宸种?小李發(fā)現(xiàn)，12年之后,

他的年齡變成爺爺?shù)娜种?試求出今年小李的年齡.

解：設(shè)小李X歲，爺爺丫歲，則

5X=Y

3(X+12)=Y+12

兩式聯(lián)立解得：X=12Y=60

所以小李今年12歲，爺爺今年60歲。

類(lèi)型十二：列二元一次方程組解決一一優(yōu)化方案問(wèn)題:

【變式】某商場(chǎng)計(jì)劃撥款9萬(wàn)元從廠家購(gòu)進(jìn)50臺(tái)電視機(jī)，已知廠家生產(chǎn)三種不同型號(hào)的電視機(jī)，

出廠價(jià)分別為：甲種每臺(tái)1500元，乙種每臺(tái)2100元，丙種每臺(tái)2500元。

(1)若商場(chǎng)同時(shí)購(gòu)進(jìn)其中兩種不同型號(hào)的電視機(jī)50臺(tái)，用去9萬(wàn)元，請(qǐng)你研究一下商場(chǎng)的進(jìn)貨方案；

(2)若商場(chǎng)銷(xiāo)售一臺(tái)甲、乙、丙電視機(jī)分別可獲利150元、200元、250元，在以上的方案中，為使獲

利最多，你選擇哪種進(jìn)貨方案？

解：Q)分情況計(jì)算：設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種電視機(jī)X臺(tái)，乙種電視機(jī)y臺(tái)，丙種電視機(jī)z臺(tái).

x+y=50,x=25,

L解得I*"

(I)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種電視機(jī)15OOx+2100jr=90000

x+z=5O?

(口)購(gòu)進(jìn)甲、丙兩種電視機(jī)15OOx+2500y=90000.曲/曰

fy+z=50,Jx=87_5>

（印）購(gòu)進(jìn)乙、丙兩種電視機(jī)l2100-^*2500z=90000-解得=一375（不合實(shí)際，舍去）故商場(chǎng)進(jìn)貨

方案為購(gòu)進(jìn)甲種25臺(tái)和乙種25臺(tái)；或購(gòu)進(jìn)甲種35臺(tái)和丙種15臺(tái).

（2）按方案（I），獲利150x25+200x25=8750（元）;

按方案（H），獲利150x35+250xl5=9000（元）.

二選擇購(gòu)進(jìn)甲種35臺(tái)和丙種15臺(tái).

三、列方程解應(yīng)用題

1.將一批工業(yè)最新動(dòng)態(tài)信息輸入管理儲(chǔ)存網(wǎng)絡(luò)，甲獨(dú)做需6小時(shí)，乙獨(dú)做需4小時(shí)，甲先做30分鐘，然

后甲、乙一起做，則甲、乙一起做還需多少小時(shí)才能完成工作？

2.兄弟二人今年分別為15歲和9歲，多少年后兄的年齡是弟的年齡的2倍？

3.將一個(gè)裝滿水的內(nèi)部長(zhǎng)、寬、高分別為300毫米，300毫米和80毫米的長(zhǎng)方體鐵盒中的水，倒入一個(gè)

內(nèi)徑為200毫米的圓柱形水桶中，正好倒?jié)M，求圓柱形水桶的高（精確到0.1毫米，萬(wàn)~3.14）.

4.有一火車(chē)以每分鐘600米的速度要過(guò)完第一、第二兩座鐵橋，過(guò)第二鐵橋比過(guò)第一鐵橋需多5秒，又知

第二鐵橋的長(zhǎng)度比第一鐵橋長(zhǎng)度的2倍短50米，試求各鐵橋的長(zhǎng).

5.有某種三色冰淇淋50克，咖啡色、紅色和白色配料的比是2：3：5,這種三色冰淇淋中咖啡色、紅色

和白色配料分別是多少克？

6.某車(chē)間有16名工人，每人每天可加工甲種零件5個(gè)或乙種零件4個(gè).在這16名工人中，一部分人加工

甲種零件，其余的加工乙種零件.已知每加工一個(gè)甲種零件可獲利16元，每加工一個(gè)乙種零件可獲利

24元.若此車(chē)間一共獲利1440元，求這一天有幾個(gè)工人加工甲種零件.

7.某地區(qū)居民生活用電基本價(jià)格為每千瓦時(shí)0.40元，若每月用電量超過(guò)a千瓦時(shí)，則超過(guò)部分按基本電

價(jià)的70制攵費(fèi).

（1）某戶八月份用電84千瓦時(shí)，共交電費(fèi)30.72元，求a.

（2）若該用戶九月份的平均電費(fèi)為0.36元，則九月份共用電多少千瓦？應(yīng)交電費(fèi)是多少元？

8.某家電商場(chǎng)計(jì)劃用9萬(wàn)元從生產(chǎn)廠家購(gòu)進(jìn)50臺(tái)電視機(jī).已知該廠家生產(chǎn)3種不同型號(hào)的電視機(jī)，出廠

價(jià)分別為A種每臺(tái)1500元，B種每臺(tái)21