2023北京朝陽高三（上）期末數(shù)學(xué)（教師版）

第4頁/共18頁2023北京朝陽高三（上）期末數(shù)學(xué)（考試時間120分鐘滿分150分）本試卷分為選擇題40分和非選擇題110分第一部分（選擇題共40分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.（）A. B.2 C. D.2.雙曲線漸近線方程為（）A. B. C. D.3.在5道試題中有2道代數(shù)題和3道幾何題，每次從中抽出1道題，抽出的題不再放回，則在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題的概率為（）A. B. C. D.4.已知拋物線上一點M與焦點F的距離為4，則點M到x軸的距離是（）A. B. C.4 D.125.設(shè)函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.6.在直角坐標平面內(nèi)，為坐標原點，已知點，將向量繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，則的坐標為（）A. B. C. D.7.某純凈水制造廠在凈化水的過程中，每增加一次過濾可使水中雜質(zhì)減少50%．若雜質(zhì)減少到原來的10%以下，則至少需要過濾（）（參考數(shù)據(jù)：）A.2次 B.3次 C.4次 D.5次8.若函數(shù)的最大值為2，則下列結(jié)論不一定成立的是（）A. B.C. D.9.已知平面向量，滿足，與夾角為120°，記，的取值范圍為（）A. B. C. D.10.如圖，將半徑為1的球與棱長為1的正方體組合在一起，使正方體的一個頂點正好是球的球心，則這個組合體的體積為（）A. B. C. D.二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．把答案填在答題卡上．11.在的展開式中，的系數(shù)為___________．12.已知圓：，直線：，則使“圓C上至少有3個點到直線l的距離都是1”成立的一個充分條件是“____________”．13.如圖，正方形ABCD的邊長為2，取正方形ABCD各邊的中點E，F(xiàn)，C，H，作第2個正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各邊的中點I，J，K，L，作第3個正方形IJKL，依此方法一直繼續(xù)下去．則第4個正方形的面積是________________；從正方形ABCD開始，連續(xù)8個正方形面積之和是_________________．14.如圖，在四棱錐中，底面ABCD為正方形，底面ABCD，，E為線段PB的中點，F(xiàn)為線段BC上的動點，平面AEF與平面PBC____________（填“垂直”或“不垂直”）；的面積的最大值為_____________．15.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，設(shè)，給出以下四個結(jié)論：①函數(shù)的最小正周期是；②函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；③函數(shù)的圖象過點；④直線為函數(shù)圖象的一條對稱軸．其中所有正確結(jié)論序號是____________．三、解答題：本大題共6小題，共85分解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.記的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知，，．（1）當(dāng)時．求；（2）是否存在正整數(shù)，使得角C為鈍角？如果存在，求出的值，并求此時的面積；如果不存在．說明理由．17.“雙減”政策實施以來，各地紛紛推行課后服務(wù)“5+2"模式，即學(xué)校每周周一至周五5天都要面向所有學(xué)生提供課后服務(wù)，每天至少2小時．某學(xué)校的課后服務(wù)有學(xué)業(yè)輔導(dǎo)體育鍛煉、實踐能力創(chuàng)新培養(yǎng)三大類別，為了解該校學(xué)生上個月參加課后服務(wù)的情況，該校從全校學(xué)生中隨機抽取了100人作為樣本．發(fā)現(xiàn)樣本中未參加任何課后服務(wù)的有14人，樣本中僅參加某一類課后服務(wù)的學(xué)生分布情況如下：每周參加活動天數(shù)課后服務(wù)活動1天2~4天5天僅參加學(xué)業(yè)輔導(dǎo)10人11人4人僅參加體育鍛煉5人12人1人僅參加實踐能力創(chuàng)新培養(yǎng)3人12人1人（1）從全校學(xué)生中隨機抽取1人．估計該學(xué)生上個月至少參加了兩類課后服務(wù)活動的概率；（2）從全校學(xué)生中隨機抽取3人．以頻率估計概率，以X表示這3人中上個月僅參加學(xué)業(yè)輔導(dǎo)的人數(shù)．求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）若樣本中上個月未參加任何課后服務(wù)的學(xué)生有人在本月選擇僅參加學(xué)業(yè)輔導(dǎo)．樣本中其他學(xué)生參加課后服務(wù)的情況在本月沒有變化．從全校學(xué)生中隨機抽取3人．以頻率估計概率，以X表示這3人中上個月僅參加學(xué)業(yè)輔導(dǎo)的人數(shù)，以Y表示這3人中本月僅參加學(xué)業(yè)輔導(dǎo)的人數(shù)．試判斷方差、的大小關(guān)系（結(jié)論不要求證明）．18.芻甍（chúméng）是中國古代數(shù)學(xué)書中提到的一種幾何體，《九章算術(shù)》中對其有記載：“下有袤有廣，而上有袤無廣”，可翻譯為：“底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條棱．”，如圖，在芻甍中，四邊形是正方形，平面和平面交于EF．（1）求證：平面；（2）若，，，，再從條件①，條件②，條件③中選擇一個作為已知，使幾何體存在且唯一，并求平面和平面的夾角的余弦值．條件①：，；條件②：平面平面；條件③：平面平面，．19.已知曲線：（，，且）．（1）若曲線是焦點在x軸上橢圓，求m的取值范圍；（2）當(dāng)時，過點作斜率為的直線l交曲線于點A，B（A，B異于頂點），交直線于P．過點P作y軸的垂線，垂足為Q，直線AQ交x軸于C，直線BQ交x軸于D，求線段CD中點M的坐標．20.已知函數(shù)，．（1）求曲線在處切線的斜率；（2）求函數(shù)的極大值；（3）設(shè)，當(dāng)時，求函數(shù)的零點個數(shù)．并說明理由．21.對任意正整數(shù)，記集合均為非負整數(shù)．且，集合均為非負整數(shù)，且．設(shè)，，若對任意都有．則記．（1）寫出集合和；（2）證明：對任意，存在，使得；（3）設(shè)集合．求證：中的元素個數(shù)是完全平方數(shù)．

參考答案第一部分（選擇題共40分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算可得解.【詳解】故選：D2.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的方程求出的值，代入漸近線方程即可.【詳解】因為雙曲線，所以,所以雙曲線的漸近線方程為.故選：A3.【答案】D【解析】【分析】設(shè)事件A：第1次抽到代數(shù)題，事件B：第2次抽到幾何題，分別求得，，代入條件概率公式，即可得答案.【詳解】設(shè)事件A：第1次抽到代數(shù)題，事件B：第2次抽到幾何題，則，，所以.故選：D4.【答案】B【解析】【分析】由拋物線的定義知M與準線的距離為4，即知M到y(tǒng)軸的距離為3，進而求M的縱坐標可得到x軸的距離.【詳解】由拋物線方程知：其準線為，又其上一點M與焦點F的距離為4，∴M與準線的距離為4，故M到y(tǒng)軸的距離為3，∴M的橫坐標，代入拋物線可得，∴M到x軸的距離是.故選：B.5.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式，討論結(jié)合指對數(shù)的單調(diào)性求的取值范圍.【詳解】當(dāng)時，，可得，故；當(dāng)時，，可得，故.綜上，.故選：C.6.【答案】B【解析】【分析】結(jié)合平面向量模長的坐標計算公式即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)，且，則,所以，解得，則，故選：B.7.【答案】C【解析】【分析】由題設(shè)若原雜質(zhì)含量為m，過濾n次后雜質(zhì)減少到原來的10%以下，可得，由指對數(shù)關(guān)系及對數(shù)的運算性質(zhì)求n的范圍，即可得解.【詳解】由題設(shè)，若原雜質(zhì)含量為m，過濾n次后雜質(zhì)減少到原來的10%以下，∴，則，又，∴，至少需要過濾4次.故選：C.8.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)輔助角公式，可得，根據(jù)基本不等式，逐一分析各個選項，即可得答案.【詳解】因為，且最大值為，所以，即，故A一定成立；又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立，故B一定成立；又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立，故C一定成立；，當(dāng)同號時，，當(dāng)異號時，，故D不一定成立.故選：D9.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)與的夾角為120°，得到，再根據(jù)，得到的終點在直線AB上求解.【詳解】設(shè)，如圖所示：則，因為與的夾角為120°，所以，因為，且的起點相同，所以其終點共線，即在直線AB上，所以當(dāng)時，最小，最小值為，無最大值，所以的取值范圍為，故選；A10.【答案】A【解析】【分析】該組合體可視作一個正方體和個球體的組合體，進而求出體積.【詳解】由題意，該組合體是一個正方體和個球體的組合體，其體積為.故選：A.二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．把答案填在答題卡上．11.【答案】10【解析】【分析】由二項式定理寫出展開式通項，求含的項即可知其系數(shù).【詳解】由題設(shè)，展開式通項公式為，當(dāng)時，，∴的系數(shù)為10.故答案為：10.12.【答案】3【解析】【分析】先分析圓C上恰有3個點到直線l的距離都是1，再利用充分條件的定義即可求解.【詳解】若圓C與直線相切，或相離都不可能有3個點到直線的距離為1，故圓C與直線相交，即圓心C到直線的距離，要使圓C上恰有3個點到直線l的距離是1，需，即圓C上至少有3個點到直線l的距離都是1，則根據(jù)充分條件的定義知使“圓C上至少有3個點到直線l的距離都是1”成立的一個充分條件是“”故答案為：313.【答案】①.②.【解析】【分析】分別求得前4個正方形的面積，分析可得正方形的面積是以4為首項，為公比的等比數(shù)列，代入求和公式，即可得答案.【詳解】由題意得，第一個正方形ABCD邊長為2，面積為4，第二個正方形EDGH邊長為，面積為2，第三個正方形IJKL邊長為，面積為1，第四個正方形MNPQ邊長為，面積為，所以正方形的面積是以4為首項，為公比的等比數(shù)列，所以從正方形ABCD開始，連續(xù)8個正方形面積之和.故答案為：；14.【答案】①.垂直②.【解析】【分析】根據(jù)線面垂直的的性質(zhì)定理，判定定理，可證平面PBC，根據(jù)面面垂直的判定定理，即可得證.分析可得，當(dāng)點F位于點C時，面積最大，代入數(shù)據(jù)，即可得答案.【詳解】因為底面ABCD，平面ABCD，所以，又底面ABCD為正方形，所以，又，平面，所以平面，因為平面，所以，又，所以為等腰直角三角形，且E為線段PB中點，所以，又，平面PBC，所以平面PBC，因為平面AEF，所以平面AEF與平面PBC.因為平面PBC，平面PBC，所以，所以當(dāng)最大時，的面積的最大，當(dāng)F位于點C時，最大且，所以的面積的最大為.故答案為：垂直；15.【答案】①②④【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象求出，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)進而求出函數(shù)的零點，作出圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想依次判斷結(jié)論即可.【詳解】由圖象得，，又函數(shù)圖象過點，所以，由，得，所以，所以，令，所以函數(shù)的零點有，作出圖象，如圖，由圖象可得，的最小正周期為，故①正確；函數(shù)在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，故②正確；令，得，即函數(shù)圖象過點，故③錯誤；由函數(shù)圖象知直線是圖象的一條對稱軸，故④正確.故答案為：①②④三、解答題：本大題共6小題，共85分解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.【答案】（1）；（2）存在，使得角C為鈍角.此時.【解析】小問1詳解】解：當(dāng)時，，，，所以.【小問2詳解】解：當(dāng)角C為鈍角時，,所以，因為.當(dāng)時，，，，是鈍角.故存在，使得角C為鈍角.此時.所以.17.【答案】（1）（2）分布列祥見解析、數(shù)學(xué)期望（3）【解析】【分析】（1）計算出樣本中上個月至少參加了兩類課后服務(wù)活動的人數(shù)，除以100即可解決；（2）以n次獨立重復(fù)試驗恰有k次發(fā)生的概率公式去求解X的4個概率；（3）以二項分布的方差公式去求解兩個方差.【小問1詳解】由題意得，樣本中僅參加某一類課后服務(wù)的學(xué)生共有（人）又樣本中未參加任何課后服務(wù)的有14人，故樣本中上個月至少參加了兩類課后服務(wù)活動的學(xué)生共有（人）則從全校學(xué)生中隨機抽取1人，該學(xué)生上個月至少參加了兩類課后服務(wù)活動的頻率為由此，可估計該學(xué)生上個月至少參加了兩類課后服務(wù)活動的概率小問2詳解】樣本中，上個月僅參加學(xué)業(yè)輔導(dǎo)的有（人），對應(yīng)頻率為0.25以頻率估計概率，從全校學(xué)生中隨機抽取1人，上個月僅參加學(xué)業(yè)輔導(dǎo)的概率為0.25，X的可能取值為0，1，2，3，X的分布列為X0123PX的數(shù)學(xué)期望【小問3詳解】由題意可知隨機變量X服從二項分布，故.又知：上個月未參加任何課后服務(wù)的學(xué)生有人在本月選擇僅參加學(xué)業(yè)輔導(dǎo)（樣本中其他學(xué)生參加課后服務(wù)的情況在本月沒有變化．），則本月從全校學(xué)生中隨機抽取1人僅參加學(xué)業(yè)輔導(dǎo)的概率估計為P，且.以Y表示這3人中本月僅參加學(xué)業(yè)輔導(dǎo)的人數(shù)，由題意可知隨機變量Y服從二項分布，故,.18.【答案】（1）證明見解析；（2）選條件②，【解析】【分析】（1）利用線面平行的判定定理可得證；（2）先判斷只有條件②符合，再利用空間向量法求得二面角的余弦值.【小問1詳解】證明：在正方形中，，平面，平面所以平面；【小問2詳解】由（1）知平面，又平面，平面與平面交于EF．，又，所以四邊形為等腰梯形，四邊形為梯形；條件①：，，則平面，即平面又平面，，此時四邊形不為等腰梯形，故條件①不符合條件③：平面平面，且平面平面又，平面，平面，此時四邊形不為等腰梯形，故條件③不符合；條件②：平面平面，；過點作于，過作于，連接，由平面平面，平面平面，平面又平面，以為坐標原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，因為平面，平面，平面平面，在四邊形中，，，，所以，在正方形中，，所以因為，且，所以所以，，，，所以，，，設(shè)平面的一個法向量由，令，則設(shè)平面的一個法向量由，令，則設(shè)平面和平面的夾角為，則所以平面和平面的夾角的余弦值為19.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用橢圓的標準性質(zhì)列關(guān)于m的不等式組，解之得解.（2）設(shè)直線l方程為，求出坐標，聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合韋達定理，求出直線，的方程，進而得到坐標，利用中點坐標公式即可得解.所以直線【小問1詳解】由題意可得，解得所以實數(shù)m的取值范圍為【小問2詳解】當(dāng)時，曲線為橢圓：，設(shè)直線l方程為聯(lián)立，整理得設(shè)，則，直線l交直線于，則所以直線的方程為，令，解得，則所以直線的方程為，令，解得，則所以線段CD中點M的坐標為20【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求解；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進而求得極值；（3）先討論時，函數(shù)的零點個數(shù)，再討論時，利用零點定義將已知轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)與的交點個數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性及最值即可得解.【小問1詳解】由，知，即切點求導(dǎo)，則切線的斜率所以曲線在處切線的斜率為.【小問2詳解】函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)，令，得當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)單