2023-2024學(xué)年湖南長沙市湖南師大附中集團(tuán)九年級數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題含解析

2023-2024學(xué)年湖南長沙市湖南師大附中集團(tuán)九年級數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題（每題4分，共48分）1．如圖，，、，…是分別以、、，…為直角頂點，一條直角邊在軸正半軸上的等腰直角三角形，其斜邊的中點，，，…均在反比例函數(shù)（）的圖象上.則的值為（）A． B．6 C． D．2．如圖，在中，，，，則等于（）A． B． C． D．3．如圖，平行四邊形ABCD中，E為AD的中點，已知△DEF的面積為S，則四邊形ABCE的面積為（

）A．8S B．9S C．10S D．11S4．如圖，正方形的邊長為4，點在的邊上，且，與關(guān)于所在的直線對稱，將按順時針方向繞點旋轉(zhuǎn)得到，連接，則線段的長為（）A．4 B． C．5 D．65．在半徑為1的⊙O中，弦AB的長為，則弦AB所對的圓周角的度數(shù)為（）A．45° B．60° C．45°或135° D．60°或120°6．某校校園內(nèi)有一個大正方形花壇，如圖甲所示，它由四個邊長為3米的小正方形組成，且每個小正方形的種植方案相同．其中的一個小正方形ABCD如圖乙所示，DG=1米，AE=AF=x米，在五邊形EFBCG區(qū)域上種植花卉，則大正方形花壇種植花卉的面積y與x的函數(shù)圖象大致是（）A． B． C． D．7．如圖，周長為28的菱形中，對角線、交于點，為邊中點，的長等于()A．3.5 B．4 C．7 D．148．在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個標(biāo)志中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．9．將二次函數(shù)y＝5x2的圖象先向右平移2個單位，再向下平移3個單位，得到的函數(shù)圖象的解析式為（）A．y＝5（x+2）2+3 B．y＝5（x﹣2）2+3C．y＝5（x+2）2﹣3 D．y＝5（x﹣2）2﹣310．如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，已知∠BOD＝110°，則∠BCD的度數(shù)為（）A．55° B．70° C．110° D．125°11．已知是一元二次方程的解，則的值為()A．-5 B．5 C．4 D．-412．如圖，在△ABC中，點D、E分別在AB、AC邊上，DE與BC不平行，那么下列條件中，不能判斷△ADE∽△ACB的是（）A．∠ADE＝∠C B．∠AED＝∠B C． D．二、填空題（每題4分，共24分）13．點與關(guān)于原點對稱，則__________．14．如圖，在矩形中，，以點為圓心，以的長為半徑畫弧交于，點恰好是中點，則圖中陰影部分的面積為___________.（結(jié)果保留）15．一件商品的標(biāo)價為108元，經(jīng)過兩次降價后的銷售價是72元，求平均每次降價的百分率．若設(shè)平均每次降價的百分率為x，則可列方程_________．16．如圖,點O是半徑為3的圓形紙片的圓心,將這個圓形紙片按下列順序折疊,使弧AB和弧BC都經(jīng)過圓心O,則陰影部分的面積為______17．（2016廣東省茂名市）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將△ABO繞點B順時針旋轉(zhuǎn)到△A1BO1的位置，使點A的對應(yīng)點A1落在直線上，再將△A1BO1繞點A1順時針旋轉(zhuǎn)到△A1B1O2的位置，使點O1的對應(yīng)點O2落在直線上，依次進(jìn)行下去…，若點A的坐標(biāo)是（0，1），點B的坐標(biāo)是（，1），則點A8的橫坐標(biāo)是__________．18．如圖，已知菱形的面積為，的長為，則的長為__________．三、解答題（共78分）19．（8分）解方程：(1)x2+3＝4x(2)3x（x-3）＝-420．（8分）為了提高學(xué)生書寫漢字的能力，增強(qiáng)保護(hù)漢字的意識，某校舉辦了首屆“漢字聽寫大賽”，學(xué)生經(jīng)選拔后進(jìn)入決賽，測試同時聽寫100個漢字，每正確聽寫出一個漢字得1分，本次決賽，學(xué)生成績?yōu)椋ǚ郑?，將其按分?jǐn)?shù)段分為五組，繪制出以下不完整表格：組別成績（分）頻數(shù)（人數(shù)）頻率一20.04二100.2三14b四a0.32五80.16請根據(jù)表格提供的信息，解答以下問題：（1）本次決賽共有_________名學(xué)生參加；（2）直接寫出表中_________，_________；（3）請補(bǔ)全下面相應(yīng)的頻數(shù)分布直方圖；（4）若決賽成績不低于80分為優(yōu)秀，則本次大賽的優(yōu)秀率為_________．21．（8分）已知拋物線．（1）當(dāng)x為何值時，y隨x的增大而減?。唬?）將該拋物線向右平移2個單位，再向上平移2個單位，請直接寫出平移后的拋物線表達(dá)式．22．（10分）在一個不透明的布袋中，有三個除顏色外其它均相同的小球，其中兩個黑色，一個紅色.(1)請用表格或樹狀圖求出：一次隨機(jī)取出2個小球，顏色不同的概率.(2)如果老師在布袋中加入若干個紅色小球.然后小明通過做實驗的方式猜測加入的小球數(shù)，小明每次換出一個小球記錄下慎色并放回，實驗數(shù)據(jù)如下表：實驗次數(shù)1002003004005001000摸出紅球78147228304373752請你幫小明算出老師放入了多少個紅色小球.23．（10分）如圖，在矩形ABCD中，E是AD上的一點，沿CE將△CDE對折，點D剛好落在AB邊的點F上．（1）求證：△AEF∽△BFC．（2）若AB＝20cm，BC＝16cm，求tan∠DCE．24．（10分）為支持大學(xué)生勤工儉學(xué)，市政府向某大學(xué)生提供了萬元的無息貸款用于銷售某種自主研發(fā)的產(chǎn)品，并約定該學(xué)生用經(jīng)營的利潤逐步償還無息貸款，已知該產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為每件元．每天還要支付其他費用元．該產(chǎn)品每天的銷售量件與銷售單價元關(guān)系為．（1）設(shè)每天的利潤為元，當(dāng)銷售單價定為多少元時，每天的利潤最大？最大利潤為多少元？注：每天的利潤每天的銷售利潤一每天的支出費用（2）若銷售單價不得低于其生產(chǎn)成本，且銷售每件產(chǎn)品的利潤率不能超過，則該學(xué)生最快用多少天可以還清無息貸款？25．（12分）如圖，點A、B、C、D是⊙O上的四個點，AD是⊙O的直徑，過點C的切線與AB的延長線垂直于點E，連接AC、BD相交于點F．（1）求證：AC平分∠BAD；（2）若⊙O的半徑為，AC＝6，求DF的長．26．A、B兩地間的距離為15千米，甲從A地出發(fā)步行前往B地，20分鐘后，乙從B地出發(fā)騎車前往A地，且乙騎車比甲步行每小時多走10千米．乙到達(dá)A地后停留40分鐘，然后騎車按原路原速返回，結(jié)果甲、乙兩人同時到達(dá)B地．求甲從A地到B地步行所用的時間．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、A【分析】過點分別作x軸的垂線，垂足分別為，得出△為等腰直角三角形，進(jìn)而求出，再逐一求出，…的值，即可得出答案.【詳解】如圖，過點分別作x軸的垂線，垂足分別為∵△為等腰直角三角形，斜邊的中點在反比例函數(shù)的圖像上∴(2,2)，即∴設(shè)，則此時(4+a,a)將(4+a,a)代入得a(4+a)=4解得或(負(fù)值舍去)即同理，，…，∴故答案選擇A.【點睛】本題考查的是反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)以及反比例函數(shù)上點的特征，難度系數(shù)較大，解題關(guān)鍵是根據(jù)點在函數(shù)圖像上求出y的值.2、A【解析】分析：先根據(jù)勾股定理求得BC=6，再由正弦函數(shù)的定義求解可得．詳解：在Rt△ABC中，∵AB=10、AC=8，∴BC=，∴sinA=.故選：A．點睛：本題主要考查銳角三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理及正弦函數(shù)的定義．3、B【解析】分析：由于四邊形ABCD是平行四邊形，那么AD∥BC，AD=BC，根據(jù)平行線分線段成比例定理的推論可得△DEF∽△BCF，再根據(jù)E是AD中點，易求出相似比，從而可求的面積，再利用與是同高的三角形，則兩個三角形面積比等于它們的底之比，從而易求的面積，進(jìn)而可求的面積．詳解：如圖所示，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△DEF∽△BCF，∴又∵E是AD中點，∴∴DE:BC=DF:BF=1:2，∴∴又∵DF:BF=1:2，∴∴∴四邊形ABCE的面積=9S，故選B.點睛：相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的面積比等于相似比的平方.4、C【分析】如圖，連接BE，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到AF=AD，∠EAD=∠EAF，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AG=AE，∠GAB=∠EAD．求得∠GAB=∠EAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到FG=BE，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到BC=CD=AB=1．根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，連接BE，∵△AFE與△ADE關(guān)于AE所在的直線對稱，∴AF=AD，∠EAD=∠EAF，∵△ADE按順時針方向繞點A旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，∴AG=AE，∠GAB=∠EAD．∴∠GAB=∠EAF，∴∠GAB+∠BAF=∠BAF+∠EAF．∴∠GAF=∠EAB．∴△GAF≌△EAB（SAS）．∴FG=BE，∵四邊形ABCD是正方形，∴BC=CD=AB=1．∵DE=1，∴CE=2．∴在Rt△BCE中，BE=，∴FG=5，故選：C．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．5、C【解析】試題分析：如圖所示，連接OA、OB，過O作OF⊥AB，則AF=FB，∠AOF=∠FOB，∵OA=3，AB=，∴AF=AB=，∴sin∠AOF=，∴∠AOF=45°，∴∠AOB=2∠AOF=90°，∴∠ADB=∠AOB=45°，∴∠AEB=180°-45°=135°．故選C.考點:1.垂徑定理；2.圓周角定理；3.特殊角的三角函數(shù)值．6、A【解析】試題分析：S△AEF=AE×AF=，S△DEG=DG×DE=×1×（3﹣x）=，S五邊形EFBCG=S正方形ABCD﹣S△AEF﹣S△DEG==，則y=4×（）=，∵AE＜AD，∴x＜3，綜上可得：（0＜x＜3）．故選A．考點：動點問題的函數(shù)圖象；動點型．7、A【解析】根據(jù)菱形的周長求出其邊長，再根據(jù)菱形的性質(zhì)得出對角線互相垂直，最后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答即可.【詳解】∵四邊形是菱形，周長為28∴AB=7,AC⊥BD∴OH=故選：A【點睛】本題考查的是菱形的性質(zhì)及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，熟練掌握菱形的性質(zhì)是關(guān)鍵.8、D【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解．如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．【詳解】A、不是軸對稱圖形，故A不符合題意；B、不是軸對稱圖形，故B不符合題意；C、不是軸對稱圖形，故C不符合題意；D、是軸對稱圖形，故D符合題意．故選D.【點睛】本題主要考查軸對稱圖形的知識點．確定軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．9、D【分析】直接根據(jù)“上加下減，左加右減”的原則進(jìn)行解答即可．【詳解】由“左加右減”的原則可知，將二次函數(shù)y=5x2的圖象先向右平移2個單位所得函數(shù)的解析式為：y=5（x﹣2）2，由“上加下減”的原則可知，將二次函數(shù)y=5（x﹣2）2的圖象先向下平移3個單位所得函數(shù)的解析式為：y=5（x﹣2）2﹣3，故選D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象的平移變換，熟知函數(shù)圖象幾何變換的法則是解答此題的關(guān)鍵．10、D【分析】根據(jù)圓周角定理求出∠A，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)計算即可．【詳解】由圓周角定理得,∠A=∠BOD=55°，∵四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠BCD=180°?∠A=125°，故選：C.【點睛】此題考查圓周角定理及其推論，解題關(guān)鍵在于掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).11、B【解析】根據(jù)方程的解的定義，把代入原方程即可.【詳解】把代入得：4-2b+6=0b=5故選：B【點睛】本題考查的是方程的解的定義，理解方程解的定義是關(guān)鍵.12、C【解析】根據(jù)已知條件知∠A＝∠A，再添加選項中的條件依次判斷即可得到答案.【詳解】解：∵∠A＝∠A，∴添加∠ADE＝∠C，△ADE∽△ACB，故A正確；∴添加∠AED＝∠B，△ADE∽△ACB，故B正確；∴添加，△ADE∽△ACB，故D正確；故選：C．【點睛】此題考查相似三角形的判定定理，已知一個角相等時，再確定另一組角相等或是構(gòu)成已知角的兩邊對應(yīng)成比例，即可證明兩個三角形相似.二、填空題（每題4分，共24分）13、【分析】直接利用關(guān)于原點對稱點的性質(zhì)分析得出答案．【詳解】解：∵點P（-4，7）與Q（1m，-7）關(guān)于原點對稱，∴-4=-1m，解得：m=1，故答案為：1．【點睛】此題主要考查了關(guān)于原點對稱點的性質(zhì)，正確掌握橫縱坐標(biāo)的符號是解題關(guān)鍵．14、【分析】連接EC，先根據(jù)題意得出，再得出，然后計算出和的面積即可求解.【詳解】連接EC，如下圖所示：由題意可得：∵是中點∴∴∴∴∴∴故填：.【點睛】本題主要考查扇形面積的計算、矩形的性質(zhì)、解直角三角形，準(zhǔn)確作出輔助線是關(guān)鍵.15、【分析】設(shè)平均每次降價的百分率為x，根據(jù)“一件商品的標(biāo)價為108元，經(jīng)過兩次降價后的銷售價是72元”即可列出方程．【詳解】解：設(shè)平均每次降價的百分率為x，根據(jù)題意可得：，故答案為：．【點睛】本題考查一元二次方程的實際應(yīng)用，理解題意，找出等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．16、3π【分析】作OD⊥AB于點D，連接AO,BO,CO，求出∠OAD=30°，得到∠AOB=120°，進(jìn)而求得∠AOC=120°，從而得到陰影面積為圓面積的，再利用面積公式求解.【詳解】如圖，作OD⊥AB于點D，連接AO，BO，CO，∵OD=AO，∴∠OAD=30°，∴∠AOB=2∠AOD=120°，同理∠BOC=120°，∴∠AOC=120°，∴陰影部分的面積=S扇形AOC==3π．故答案為：3π．【點睛】本題考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化面積的能力，將不規(guī)則的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則的面積是本題的解題關(guān)鍵.17、．【解析】試題分析：由題意點A2的橫坐標(biāo)（+1），點A4的橫坐標(biāo)3（+1），點A6的橫坐標(biāo)（+1），點A8的橫坐標(biāo)6（+1）．考點：（1）坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)；（2）一次函數(shù)圖象與幾何變換18、3【分析】根據(jù)菱形面積公式求得.【詳解】解：【點睛】本題主要考查了菱形的對角線互相垂直，菱形的面積公式.三、解答題（共78分）19、（1）x＝3，x＝1；（2）x＝，x＝．【分析】(1)根據(jù)因式分解法即可求解；(2)根據(jù)公式法即可求解．【詳解】（1）稱項得：x2-4x+3＝0∵（x-3）（x-1）=0∴x-3=0，x-1=0∴x＝3，x＝1（2）整理得：3x2-9x+4=0∵a＝3，b＝﹣9，c＝4∴△＝b2﹣4ac＝（﹣9）2﹣4×3×4＝33＞0∴方程有兩個不相等的實數(shù)根為x＝x＝，x＝．【點睛】此題主要考查一元二次方程的求解，解題的關(guān)鍵是熟知解解法．20、（1）50；（2）16；0.28；（3）見詳解；（4）48%【分析】(1)根據(jù)一組的頻數(shù)和頻率比求出總?cè)藬?shù)；(2)用總?cè)藬?shù)乘以第四組的頻率出a；再用第三組的頻數(shù)和總數(shù)比求出b；(3)根據(jù)(2)得出的a的值，補(bǔ)全統(tǒng)計圖；

(4)用成績不低于80分的頻數(shù)除以總數(shù)，即可得本次大賽的優(yōu)秀率.【詳解】解（1）抽查的學(xué)生總?cè)藬?shù)是：2÷0.04=50(人)，故答案為50；

（2）a=50×0.32=16，b=14÷50=0.28，故答案為16,0.28；

（3）如圖，（4）優(yōu)秀率為（16+8）÷50=48%，故答案為48%.【點睛】本題考查了頻數(shù)分布直方圖和概率，利用統(tǒng)計圖獲取信息時，必須認(rèn)真觀察、分析、研究統(tǒng)計圖，才能作出正確的判斷和解決問題，概率==所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．21、（1）；（2）．【分析】（1）由題意利用配方法將拋物線的一般解析式化為頂點式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析即可求得；（2）由題意根據(jù)平移的規(guī)律即左加右減，上加下減進(jìn)行分析即可求得平移后的拋物線表達(dá)式．【詳解】解：（1）配方，得．∵，∴拋物線開口向上．∴當(dāng)時，y隨x的增大而減?。?）拋物線向右平移2個單位，再向上平移2個單位得到新拋物線的表達(dá)式為：．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律，其中利用配方法把解析式由一般式變?yōu)轫旤c式是解答本題的關(guān)鍵．22、（1）P=；（2）加入了5個紅球【分析】（1）利用列表法表示出所有可能，進(jìn)而得出結(jié)論即可；（2）根據(jù)概率列出相應(yīng)的方程，求解即可.【詳解】（1）列表如圖，黑1黑2紅黑1/（黑1，黑2）（黑1，紅）黑2（黑2，黑1）/（黑2，紅）紅（紅，黑1）（紅，黑2）/一共有6種等可能事件，其中顏色不同的等可能事件有4種，∴顏色不同的概率為P=（2）由圖表可得摸到紅球概率為設(shè)加入了x個紅球=解得x=5經(jīng)檢驗x=5是原方程的解答：加入了5個紅球。【點睛】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后利用概率公式計算事件A或事件B的概率．23、（1）證明見解析；（2）【分析】（1）由矩形的性質(zhì)及一線三等角得出∠A＝∠B，∠AEF＝∠BFC，從而可證得結(jié)論；（2）矩形的性質(zhì)及沿CE將△CDE對折，可求得CD、AD及CF的長；在Rt△BCF中，由勾股定理得出BF的長，從而可得AF的長；由△AEF∽△BFC可寫出比例式，從而可求得AE的長，進(jìn)而得出DE的長；最后由正切函數(shù)的定義可求得答案．【詳解】（1）∵在矩形ABCD中，沿CE將△CDE對折，點D剛好落在AB邊的點F上∴△CDE≌△CFE∴∠EFC＝∠D＝90°∴∠AFE+∠BFC＝90°∵∠A＝90°∴∠AEF+∠AFE＝90°∴∠AEF＝∠BFC又∵∠A＝∠B∴△AEF∽△BFC；（2）∵四邊形ABCD為矩形，AB＝20cm，BC＝16cm∴CD＝20cm，AD＝16cm∵△CDE≌△CFE∴CF＝CD＝20cm在Rt△BCF中，由勾股定理得：BF＝＝12cm∴AF＝AB﹣BF＝8cm∵△AEF∽△BFC∴∴∴AE＝6∴DE＝AD-AE＝16-6＝10cm∴在Rt△DCE中，tan∠DCE＝．【點睛】本題考查了全等三角形、矩形、相似三角形、直角三角形兩銳角互余、勾股定理、三角函數(shù)的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形、矩形、相似三角形、勾股定理、三角函數(shù)的性質(zhì)，從而完成求解．24、（1）當(dāng)銷售單價定為25元時，日銷售利潤最大為200元；（2）該生最快用100天可以還清無息貸款．【分析】（1）計算利潤=銷量×每件的利潤-支付的費用，化為頂點式，可得結(jié)論；（2）先得出每日利潤的最大值，即可求解．【詳解】(1)∵＜0，∴當(dāng)x=25時，日利潤最大，為200元，∴當(dāng)銷售單價定為25元時，日銷售利潤最大為200元；(2)由題意得：，