2024屆云南省景東縣第二中學(xué)高三第二學(xué)期期初模擬訓(xùn)練二數(shù)學(xué)試題

2024屆云南省景東縣第二中學(xué)高三第二學(xué)期期初模擬訓(xùn)練二數(shù)學(xué)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，，，，．若實(shí)數(shù)，滿足不等式組，則目標(biāo)函數(shù)（）A．有最大值，無最小值 B．有最大值，有最小值C．無最大值，有最小值 D．無最大值，無最小值2．定義，已知函數(shù)，，則函數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．3．已知集合，，，則集合()A． B． C． D．4．已知函數(shù)（），若函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，則的值為（）A．1 B．或0 C．1或0 D．2或05．中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載了公元前344年商鞅督造的一種標(biāo)準(zhǔn)量器——商鞅銅方升，其三視圖如圖所示（單位：寸），若取3，當(dāng)該量器口密閉時(shí)其表面積為42.2（平方寸），則圖中x的值為()A．3 B．3.4 C．3.8 D．46．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．為得到函數(shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖像（）A．向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位 B．向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位C．向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位 D．向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位8．函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．9．如圖，在矩形中的曲線分別是，的一部分，，，在矩形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，若此點(diǎn)取自陰影部分的概率為，取自非陰影部分的概率為，則（）A． B． C． D．大小關(guān)系不能確定10．已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，離心率為，、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上運(yùn)動(dòng)，若為銳角三角形，則的取值范圍是（）A． B． C． D．11．甲乙兩人有三個(gè)不同的學(xué)習(xí)小組，，可以參加，若每人必須參加并且僅能參加一個(gè)學(xué)習(xí)小組，則兩人參加同一個(gè)小組的概率為（）A．B．C．D．12．若復(fù)數(shù)滿足，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知角的終邊過點(diǎn)，則______.14．設(shè)集合，（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），且，則滿足條件的實(shí)數(shù)a的個(gè)數(shù)為______．15．利用等面積法可以推導(dǎo)出在邊長(zhǎng)為a的正三角形內(nèi)任意一點(diǎn)到三邊的距離之和為定值，類比上述結(jié)論，利用等體積法進(jìn)行推導(dǎo)，在棱長(zhǎng)為a的正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和也為定值，則這個(gè)定值是______16．在中，角所對(duì)的邊分別為，，的平分線交于點(diǎn)D，且，則的最小值為________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，其中．（1）討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）求證：．18．（12分）11月，2019全國(guó)美麗鄉(xiāng)村籃球大賽在中國(guó)農(nóng)村改革的發(fā)源地-安徽鳳陽(yáng)舉辦，其間甲、乙兩人輪流進(jìn)行籃球定點(diǎn)投籃比賽（每人各投一次為一輪），在相同的條件下，每輪甲乙兩人在同一位置，甲先投，每人投一次球，兩人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-1分；兩人都命中或都未命中，兩人均得0分，設(shè)甲每次投球命中的概率為，乙每次投球命中的概率為，且各次投球互不影響.（1）經(jīng)過1輪投球，記甲的得分為，求的分布列；（2）若經(jīng)過輪投球，用表示經(jīng)過第輪投球，累計(jì)得分，甲的得分高于乙的得分的概率.①求；②規(guī)定，經(jīng)過計(jì)算機(jī)計(jì)算可估計(jì)得，請(qǐng)根據(jù)①中的值分別寫出a，c關(guān)于b的表達(dá)式，并由此求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，，是正三角形，，是的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.20．（12分）某職稱晉級(jí)評(píng)定機(jī)構(gòu)對(duì)參加某次專業(yè)技術(shù)考試的100人的成績(jī)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，繪制了頻率分布直方圖（如圖所示），規(guī)定80分及以上者晉級(jí)成功，否則晉級(jí)失?。畷x級(jí)成功晉級(jí)失敗合計(jì)男16女50合計(jì)（1）求圖中的值；（2）根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表，并判斷能否有的把握認(rèn)為“晉級(jí)成功”與性別有關(guān)？（3）將頻率視為概率，從本次考試的所有人員中，隨機(jī)抽取4人進(jìn)行約談，記這4人中晉級(jí)失敗的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．（參考公式：，其中）0.400.250.150.100.050.0250.7801.3232.0722.7063.8415.02421．（12分）已知六面體如圖所示，平面，，，，，，是棱上的點(diǎn)，且滿足.（1）求證：直線平面；（2）求二面角的正弦值.22．（10分）如圖，三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，且，，，，是棱的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

判斷直線與縱軸交點(diǎn)的位置，畫出可行解域，即可判斷出目標(biāo)函數(shù)的最值情況.【題目詳解】由，，所以可得.，所以由，因此該直線在縱軸的截距為正，但是斜率有兩種可能，因此可行解域如下圖所示：由此可以判斷該目標(biāo)函數(shù)一定有最大值和最小值.故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查了目標(biāo)函數(shù)最值是否存在問題，考查了數(shù)形結(jié)合思想，考查了不等式的性質(zhì)應(yīng)用.2、A【解題分析】

根據(jù)分段函數(shù)的定義得，，則,再根據(jù)基本不等式構(gòu)造出相應(yīng)的所需的形式，可求得函數(shù)的最小值.【題目詳解】依題意得，，則,(當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)“”成立.此時(shí),，，的最小值為，故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查求分段函數(shù)的最值，關(guān)鍵在于根據(jù)分段函數(shù)的定義得出，再由基本不等式求得最值，屬于中檔題.3、D【解題分析】

根據(jù)集合的混合運(yùn)算，即可容易求得結(jié)果.【題目詳解】，故可得.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查集合的混合運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.4、C【解題分析】

求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，只需，即，令，利用導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)區(qū)間，即可求出參數(shù)的值，當(dāng)時(shí)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及零點(diǎn)存在性定理可判斷；【題目詳解】解：∵（），∴，∴當(dāng)時(shí)，由得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以是極小值，∴只需，即.令，則，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增.∵，∴；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，∵，，函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，∴的值是1或0.故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題，零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用，屬于中檔題.5、D【解題分析】

根據(jù)三視圖即可求得幾何體表面積，即可解得未知數(shù).【題目詳解】由圖可知，該幾何體是由一個(gè)長(zhǎng)寬高分別為和一個(gè)底面半徑為，高為的圓柱組合而成.該幾何體的表面積為，解得，故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查由三視圖還原幾何體，以及圓柱和長(zhǎng)方體表面積的求解，屬綜合基礎(chǔ)題.6、D【解題分析】

由復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求出，再寫出其共軛復(fù)數(shù)，得共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)．得結(jié)論．【題目詳解】，，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，在第四象限．故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查共軛復(fù)數(shù)的概念，考查復(fù)數(shù)的幾何意義．掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．7、D【解題分析】，所以要的函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位得到，故選D8、C【解題分析】

由題可知，曲線與有公共點(diǎn)，即方程有解，可得有解，令，則，對(duì)分類討論，得出時(shí)，取得極大值，也即為最大值，進(jìn)而得出結(jié)論.【題目詳解】解：由題可知，曲線與有公共點(diǎn)，即方程有解，即有解，令，則，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故時(shí)，取得極大值，也即為最大值，當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于，所以滿足條件．故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的基本方法，考查化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，考查抽象概括、運(yùn)算求解等數(shù)學(xué)能力，屬于難題．9、B【解題分析】

先用定積分求得陰影部分一半的面積，再根據(jù)幾何概型概率公式可求得．【題目詳解】根據(jù)題意，陰影部分的面積的一半為：，于是此點(diǎn)取自陰影部分的概率為．又，故．故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查了幾何概型，定積分的計(jì)算以及幾何意義，屬于中檔題．10、A【解題分析】

由已知先確定出雙曲線方程為，再分別找到為直角三角形的兩種情況，最后再結(jié)合即可解決.【題目詳解】由已知可得，，所以，從而雙曲線方程為，不妨設(shè)點(diǎn)在雙曲線右支上運(yùn)動(dòng)，則，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，所以，，所以；當(dāng)軸時(shí)，，所以，又為銳角三角形，所以.故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查雙曲線的性質(zhì)及其應(yīng)用，本題的關(guān)鍵是找到為銳角三角形的臨界情況，即為直角三角形，是一道中檔題.11、A【解題分析】依題意，基本事件的總數(shù)有種，兩個(gè)人參加同一個(gè)小組，方法數(shù)有種，故概率為.12、D【解題分析】

利用復(fù)數(shù)模的計(jì)算、復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，即可得答案；【題目詳解】，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的第四象限.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算、復(fù)數(shù)的除法、復(fù)數(shù)的幾何意義，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，兩角和差正弦公式，求得的值．【題目詳解】解：∵角的終邊過點(diǎn)，∴，，∴，故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，兩角和差正弦公式，屬于基礎(chǔ)題．14、【解題分析】

可看出，這樣根據(jù)即可得出，從而得出滿足條件的實(shí)數(shù)的個(gè)數(shù)為1．【題目詳解】解：，或，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)與的圖象，由圖可知與無交點(diǎn)，無解，則滿足條件的實(shí)數(shù)的個(gè)數(shù)為．故答案為：．【題目點(diǎn)撥】考查列舉法的定義，交集的定義及運(yùn)算，以及知道方程無解，屬于基礎(chǔ)題．15、【解題分析】

計(jì)算正四面體的高，并計(jì)算該正四面體的體積，利用等體積法，可得結(jié)果.【題目詳解】作平面，為的重心如圖則，所以設(shè)正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和為則故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查類比推理的應(yīng)用，還考查等體積法，考驗(yàn)理解能力以及計(jì)算能力，屬基礎(chǔ)題.16、9【解題分析】分析：先根據(jù)三角形面積公式得條件、再利用基本不等式求最值.詳解：由題意可知，,由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得，化簡(jiǎn)得，因此當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則的最小值為.點(diǎn)睛：在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)且時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；（2）見解析【解題分析】

（1）利用的導(dǎo)函數(shù)，求得的最大值的表達(dá)式，對(duì)進(jìn)行分類討論，由此判斷出的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).（2）由，得到和，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證得，即有，從而證得，即.【題目詳解】（1），∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，在上遞增，在上遞減，.令在上遞減，在上遞增，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．①時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；②時(shí)，，此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)；③時(shí)，，令在上遞增，，此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)；綜上:時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)且時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn);（2）由（1）可知：，令在上遞增，．【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.18、（1）分布列見解析；（2）①；②，.【解題分析】

（1）經(jīng)過1輪投球，甲的得分的取值為，記一輪投球，甲投中為事件，乙投中為事件，相互獨(dú)立，計(jì)算概率后可得分布列；（2）由（1）得，由兩輪的得分可計(jì)算出，計(jì)算時(shí)可先計(jì)算出經(jīng)過2輪后甲的得分的分布列（的取值為），然后結(jié)合的分布列和的分布可計(jì)算，由，代入，得兩個(gè)方程，解得，從而得到數(shù)列的遞推式，變形后得是等比數(shù)列，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式得，然后用累加法可求得．【題目詳解】（1）記一輪投球，甲命中為事件，乙命中為事件，相互獨(dú)立，由題意，，甲的得分的取值為，，，，∴的分布列為：－101（2）由（1），，同理，經(jīng)過2輪投球，甲的得分取值：記，，，則，，，，由此得甲的得分的分布列為：－2－1012∴，∵，，∴，，∴，代入得：，∴，∴數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為，∴．∴．【題目點(diǎn)撥】本題考查隨機(jī)變量的概率分布列，考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，考查由數(shù)列的遞推式求通項(xiàng)公式，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸思想，本題難點(diǎn)在于求概率分布列，特別是經(jīng)過2輪投球后甲的得分的概率分布列，這里可用列舉法寫出各種可能，然后由獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算出概率．19、（1）見證明；（2）【解題分析】

（1）設(shè)是的中點(diǎn)，連接、，先證明是平行四邊形，再證明平面，即（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向，建空間直角坐標(biāo)系，分別計(jì)算各個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算平面法向量，利用向量的夾角公式得到直線與平面所成角的正弦值.【題目詳解】（1）證明：設(shè)是的中點(diǎn)，連接、，是的中點(diǎn)，，，，，，，是平行四邊形，，，，，，，，由余弦定理得，，，，平面，，；（2）由（1）得平面，，平面平面，過點(diǎn)作，垂足為，平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，，令，則，，，直線與平面所成角的正弦值為.【題目點(diǎn)撥】本題考查了線面垂直，線線垂直，利用空間直角坐標(biāo)系解決線面夾角問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.20、(1)；(2)列聯(lián)表見解析，有超過的把握認(rèn)為“晉級(jí)成功”與性別有關(guān)；(3)分布列見解析，=3【解題分析】

（1）由頻率和為1，列出方程求的值；（2）由頻率分布直方圖求出晉級(jí)成功的頻率，計(jì)算晉級(jí)成功的人數(shù)，填寫列聯(lián)表，計(jì)算觀測(cè)值，對(duì)照臨界值得出結(jié)論；（3）由頻率分布直方圖知晉級(jí)失敗的頻率，將頻率視為概率，知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率值，寫出分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望.【題目詳解】解：（1）由頻率分布直方圖各小長(zhǎng)方形面積總和為1，可知，解得；（2）由頻率分布直方圖知，晉級(jí)成功的頻率為，所以晉級(jí)成功的人數(shù)為（人），填表如下：晉級(jí)成功晉級(jí)失敗合計(jì)男163450女94150合計(jì)2575100假設(shè)“晉級(jí)成功”與性別無關(guān)，根據(jù)上表數(shù)據(jù)代入公式可得，所以有超過的把握認(rèn)為“晉級(jí)成功”與性別有關(guān)；（3）由頻率分布直方圖知晉級(jí)失敗的頻率為，將頻率視為概率，則從本次考試的所有人員中，隨機(jī)抽取1人進(jìn)行約談，這人晉級(jí)失敗的概率為0.75，所以可視為服從二項(xiàng)分布，即，，故，，，，.所以的分布列為：01234數(shù)學(xué)期望為.或（）．【題目點(diǎn)撥】本題考查了頻率分布直方圖和離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用問題，屬于中檔題．若離散型隨機(jī)變量，則.21、（1）證明見解析（2）【